有理数域上多项式不可约的判定-论文

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多项式在有理数域上不可约判定，

第21卷第1期湖南理工学院学报(自然科学版) Vol.21 No.12008年3月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences) Mar. 2008有理数域上的一类不可约多项式张卫，史滋福(湖南师范大学数学与计算机科学学院，长沙 410081)摘要: 首先介绍了判别有理数域上多项式不可约的常用结论，讨论了形如12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"的多项式的性质，并且得到了定理：若，6n >()0x ϕ>且它的次数小于的一半，则n 12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"在Q 上不可约.关键词: 有理数域; 不可约多项式; 次数中图分类号：O151.23 文献标识码：A 文章编号: 1672-5298(2008)01-0005-03A Class Irreducible Polynomials on Rational Number FieldZHANG Wei , SHI Zi-fu(Department of Mathematics, Hunan Normal University, Changsha 410081, China)Abstract: Some common results which used to decide a polynomial on rational number field irreducible are explained in this paper. Some properties of polynomial such as 12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"are discussed and some theorem is obtained if ，6n >()0x ϕ>and the degree of ()x ϕ is less than a half of ,then n ()f x is irreducible on rational number field.Key words: rational number field; irreducible polynomial; degree研究数域上不可约多项式就如研究整数中的素数一样重要. 如果F 是代数闭域，则F 上的不可约多项式就是全体的一次多项式，而在素域F 上的不可约多项式研究却是一个复杂的工作. 在我们熟悉的有理数域Q 上，存在着任意次的不可约多项式. 到目前为止，在有理数域Q 上，判断多项式不可约的方法主要有以下几类:Ⅰ 通过多项式的系数与某素数的整除关系来判定不可约，如Eisenstein 判别法及其推广形式[1][2]. Ⅱ 通过多项式的系数与某素数的大小关系来判定不可约，如命题1[3]设是一个素数，且整数适合p 12,,,n a a a "10nk k a =p <<∑，则多项式212()n n f x p a x a x a x =++++"在Q 上不可约.Ⅲ 将多项式作为函数所得到的一些特殊取值来判定不可约，如命题2[4] 若整系数多项式()f x 对于无限个整数值x ，其函数值()f x 都是素数，那么多项式()f x 在Q 上不可约.Ⅳ 通过辅助多项式的根的取值来判定不可约，如命题3[5] 设是n 个两两不同的整数，那么多项式12,,,n a a a "1()()1ni i f x x a ==−−∏在Q 上不可约.本文给出一类可以通过的多项式的次数或者多项式在某点的取值来进行判定的不可约多项式.收稿日期：2007-12-20 基金项目: 湖南省自然科学基金项目(04JJ40003) 作者简介：张卫(1963− ), 男，江西赣州人，博士，湖南师范大学讲师. 主要研究方向: 多项式代数和环论命题4[5]设是n (n ≥2)个两两不同的整数，如果多项式12,,,a a a "n 1()()1ni i f x x a ==−+∏在Q 上可约，则n 是一个偶数.引理1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，若多项式12,,,n a a a "212()()()()1n f x x a x a x a =−−−"+在Q 上可约，则存在整系数多项式h x ，使得()2()()f x h x =.证明因为n ，对于任何整数3≥0x ，或者()201020()()0n x a x a x a −−="或者−2201020010203()()()()()()n x a x a x a x a x a x a −−−≥−−−"2≥,所以，因此0()0f x ≠()f x 没有一次有理因式.现设()()()f x g x h x =是()f x 的真因式分解，其中()g x 与都是整系数多项式，且()h x ()g x 与的次数都小于，令()h x n ()()()x g x h x ϕ=−，由()1i f a =,()()1i i g a h a ==±，于是()0,1,2,,i a i n ϕ==".如果()0x ϕ≠，则必有deg(())x n ϕ<，这是不可能的，所以()0x ϕ=. 因此()()g x h x =，即有2()()f x h x =. 由引理1立即可得.定理1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，则当是偶数时，多项式12,,,n a a a "n 212()()()()1n f x x a x a x a =−−−"+在Q 上不可约.定理2 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "212()()()()1n f x x a x a x a =−−−+".若存在0x , 使得，则0()0f x <()f x 在Q 上不可约.引理2 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+"".若()f x 有真因式()g x ，则()g x 的次数至少是的一半.n 证明设()()()f x g x h x =，且deg(())g x <[2n]，由于()1,1,2,,i f a i n =="，所以, ，于是()1i g a =±1,2,,i n ="()g x 至少在[个点恒取值]deg(())12ng x ≥+1+或者1−，此时()g x 是常数，矛盾.推论1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，若多项式12,,,n a a a "222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+""有真因式()g x ，则()g x 的次数deg(())[]2ng x r n ≤+−.引理3 设是n (n ≥3)个两两不同的整数， 12,,,n a a a "[]2nr <，且222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+"".如果()f x 在Q 上可约，则一定存在整系数多项式，使得()h x 2()()f x h x =.证明设()f x 的真因式分解()()()f x g x h x =，(),()g x h x 都是整系数多项式，且次数[]2n deg(()),deg(())g x h x r n ≤≤+−[]2n . 令()()()x g x h x ϕ=−，和引理1相仿，由于也有deg(())x n ϕ<，所以()0x ϕ=，即2()()f x h x =.类似地可以证明引理4设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+ 6 湖南理工学院学报(自然科学版) 第21卷.第1期张卫等：有理数域上的一类不可约多项式 7如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且()f x 在Q 上可约，则一定存在整系数多项式，使得()h x 2()()=f x h x .定理3 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+.如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且 deg(())x n ϕ+是奇数，则()f x 在Q 上不可约.定理4 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+.如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且存在实数0x ，使得0()0f x <，则()f x 在Q 上不可约.定理5 设是n (n >6)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+，如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且()0x ϕ=没有有理根，则()f x 在Q 上不可约.证明不妨设，令12n a a a <<<"012n x a =−，因为0()0x ϕ≠，所以01()2r x ϕ≥，从而0001010()()()()()1ϕ−=−−−+"n n f x x x a x a x a <123311()()()()122222124211()()()(122222−⋅⋅⋅⋅⋅−+<−⋅⋅⋅⋅⋅−+""r r n n =222((2)!122−++−−⋅−+=−+n n r r n n 2)!1>. 因为当n 时，62deg(())[]log (2)!22nr x ，所以n ϕ=<<−−0()0f x <，再由定理4即得定理5.鉴于在定理证明中关于()x ϕ其实只利用了01()2r x ϕ≥，所以有推论2 若, 且，那么212()()()()1n f x x a x a x a =−−−+"6n >()f x 在Q 上不可约.最后提出两个问题作为本文的结束. 问题1 定理5在的时候是否也成立？6n =问题2 推论2中由于()x ϕ的次数仅等于1，是否的条件可以去掉？ 6n >参考文献[1] 张海山. Eisenstein 判别法的推广[J]. 首都师范大学学报(自然科学版), 2001，22(3):13~15 [2] 陈侠. 关于整系数不可约多项式[J]. 沈阳航空工业学院学报, 2004，21(1): 77~78 [3] 冯克勤，余红兵. 整数与多项式[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999: 138~142[4] 黎伯堂，刘桂真. 高等代数解题技巧与方法[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 1999:154~171 [5] 王品超. 高等代数新方法[M]. 济南: 山东教育出版社, 1989: 11~44李克安教授被评为第三届湖南省“双十佳期刊编辑”为了进一步加强编辑队伍建设，鼓励期刊出版行业出人才，出好人才，繁荣和发展期刊出版事业，中共湖南省委宣传部、湖南省新闻出版局联合组织评选了第三届湖南省“双十佳期刊编辑”。

不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解

不可约多项式的判定及应用多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0，定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得f(x) =q(x)g(x)+ r(x)成立，其中c(r(x))<c(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x)，r(x)是唯一决定的。

定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P 上的多项式h(x)使等式f (x) = g(x)h(x)我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。

定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、成立，H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。

证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。

反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。

注1:带余除法中g(x)必须不为零。

F 面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。

(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。

整系数多项式在有理数域内不可约的一种新判别方法

文献［１］中给出了整系数多项式在有理数域内不可约的一种判别方法－Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法，此判别法仅是判别整系数多项式在有理数域上不可约的充分条件，而非必要条件。借鉴Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法的研究，给出了一种新的判别方
ห้องสมุดไป่ตู้
若ｋ＋ｍ＞ｆ，则＋ｍ＝ｂｋｃｍ＋６… ｃｍ—ｌ＋ｂｋ＋２ｃｍ一２＋…
ＺｈａｎｇＨｏｎｇｇａｎｇ，ＺｈａｎｇＬｉｈｏｎｇ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＢｏｄａＣｏｌｌｅｇｅｏｆＪｉｌｉｎＮｏｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｉｐｉｎｇ，Ｊｉｌｉｎ１３６０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＡｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｔｈｏｕｇｈｔｏｆＥｉｓｅｎｓｔｅｉｎＣｒｉｔｅｒｉｏｎ，ｔｈｅｔｈｅｓｉｓｏｆｆｅｒｓａｎｅｗｍｅｔｈｏｄｏｆｐｒｏｖｉｎｇｔｈｅＩｒｒｅｄｕｃｉｂｉｌｉｔｙ
给出了一些特殊类整系数多项式在有理数域内是否可约的判别。但随着代数学的发展，特别是抽象代数学的完善，相信会探索出更多新的判别方法。
一方面ｐｌａ，则有ＰｌｂｌＣ，又因为ｐ０，从而ｐ只能整除ｂ，ｃ中的一个。不妨设Ｐｌｂ，但Ｐｃｍ．
另一方面ｐ００，则ｐ６０假设ｂｆ，ｂｆ一一，ｂ。，ｂ０中第一个不被Ｐ整除的为ｂ，即Ｐｌｂｆ，ＰＩｂｆ＿Ｊ，…，ｐＩｂ＋，但ｐ
a文献1中给出了整系数多项式在有理数域内不可约的一种判别方法eisenstein判别法此判别法仅是判别整系数多项式在有理数域上不可约的充分条件而非必要条借鉴eisenstein判别法的研究给出了一种新的判别方1预备知识定理1eisenstein判别法设f是一个整系数多项式

有理系数多项式不可约

有理系数多项式不可约在代数学中，多项式的概念十分广泛。

除了无理数系数的多项式之外，还有一种重要的类型是具有有理数系数的多项式。

对于有理系数多项式来说，一个重要且有趣的性质就是它的不可约性问题。

本文将就这个问题进行深入探讨和研究。

首先，我们需要了解什么是多项式的不可约性。

多项式的不可约性是指该多项式不能被分解为几个一次或二次因式的乘积的形式。

换句话说，如果一个多项式可以被表示为一个长度的多项式的乘积形式，那么这个多项式就被称为可约的；反之，则被称为不可约的。

有理系数多项式的不可约性的重要性在于它与代数基本定理有着密切的关系。

代数基本定理指出任何次数大于1的多项式在复数域上都可以被分解成一次因式的整数次幂的和。

这意味着对于给定的有理系数多项式，如果能证明它是不可约的，那么我们就可以利用代数基本定理将其转化为一些简单的因式和指数运算来解决相关问题。

因此，理解并解决有理系数多项式的不可约性问题具有重要的理论和实践意义。

为了更好地理解和探究有理系数多项式的不可约性，我们可以从以下三个方面入手：一、定义的理解：需要仔细阅读和理解关于多项式的定义以及相关的数学知识，以便能够正确地处理和处理涉及有理系数多项式的问题。

二、方法的应用：由于有理系数多项式的特殊性，可能需要使用不同于无理数系数的多项式的方法来解决问题。

例如，可以通过观察特殊情况下的例子或者借助其他工具如几何方法和矩阵知识等来寻找规律和方法。

三、数值模拟实验：通过具体的数值模拟实验可以直观地看到某些有理系数多项式的行为，从而帮助我们更准确地把握其性质和特点。

基于以上分析，我们将以一个具体的有理系数多项式为例来进行说明和分析。

假设我们有这样一个多项式f(x)=x^4+2x^3-5x^2+6x+7, 它是一个四次多项式。

在这个例子中，我们可以通过观察发现它没有公因子（即不是可约的），并且无法通过合并同类项的方式将它化简到更高次的单项式之和的形式。

这就意味着这个多项式是不可约的。

利用同态关系讨论有理数域上多项式的可约性判定

第27卷V01．27第3期N o．3中州大学学报J O U R N A L O F Z H O N G Z H O U U N I V E R SnY2010年6月JuJ．20l O利用同态关系讨论有理数域上多项式的可约性判定王骁力1，夏云青2(1．南阳师范学院数学与统计学院，河南南阳473061；2．中州大学信息工程学院，郑州450044)摘要：文中讨论了整系数多项式的不可约判定的充分条件Ei s ens t ei n判别法的若干等价形式，并借助同态映射，i正B／t了整系数多项式不可约的若干判定定理，推广了已知结果。

关键词：同态；可约性；有理数域；多项式；艾森斯坦因判别法中图分类号：0241．6文献标识码：A文章编号：1008-3715(2010)03—0100—03有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题可以归结为整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题。

已有整系数多项式的不可约判定的充分条件的Ei s ens t ei n判别法…，一些学者也给了一些结果m51。

本文首先讨论了Ei sens t ei n判别法的若干等价形式，然后借助同态映射证明了判定有理系数多项式可约性的若干结果。

1．E i se ns t e i n判别法的等价形式Ei s em t ei n判别法…设以茗)=乏口．膏‘是一个整系数多项式，如果存在素数P，使得：(1)p不整除a。

；(2)pl a。

，O≤i≤忍一1；(3)p2不整除口0，那么，(菇)在有理数域上是不可约的。

引理1【21设，(菇)=乏q茹‘是数域F上的一个多项式，％≠o，口o≠o，则g(x)=乏嘶石”‘也是数域F上的多项式，且火石)与g(茗)在数域，上同时可约或同时不可约。

引理2设以茗)=置a；膏‘是数域，上的一个多项式，a．≠0，口o≠0，m为一个正整数，则数域F上的多项式h(算)=蓦口‘p戚矿．。

=薹％一i p州”。

茗i与，(鼻)在数域F上同时可约或同时不可约。

不可约多项式定义

不可约多项式定义好的，以下是为您生成的关于“不可约多项式定义”的文章：---【不可约多项式定义】**开场白**嘿，朋友们！在数学的奇妙世界里，有一个叫做“不可约多项式”的概念。

你有没有在做数学题或者学习代数的时候，被这个词搞得有点晕头转向？其实啊，它并没有那么神秘，今天咱们就一起来揭开它的面纱！**什么是不可约多项式？**简单来说，不可约多项式就是在某个数域范围内，不能再分解成两个次数更低的非零多项式乘积的多项式。

比如说，在有理数域上，多项式 x² + 1 就是不可约多项式。

给您举个生活中的例子，不可约多项式就像是一个完整的、无法再拆开的拼图块。

如果能拆开，那就不是不可约多项式啦。

这里要纠正一个常见的误区哦，有些人可能会觉得只要多项式看起来复杂，就是不可约多项式，这可不对！得按照严格的数学定义和方法来判断。

**关键点解析**3.1 核心特征或要素不可约多项式有几个关键要素。

首先是数域，不同的数域中，同一个多项式的可约性可能不同。

比如 x² - 2 在有理数域上是不可约的，但在实数域上就不是了，因为在实数域上它可以分解为 (x - √2)(x + √2) 。

这就好比同样的一个物品，在不同的环境下可能有不同的用途。

其次是次数，不可约多项式的次数是有规定的，不能是零次多项式（也就是常数）。

还有就是不能分解这一特性，意味着找不到其他两个非零多项式相乘能得到它。

3.2 容易混淆的概念容易和不可约多项式混淆的概念是可约多项式。

可约多项式就是能分解成两个次数更低的非零多项式乘积的多项式。

比如说在有理数域上，x² - 1 就是可约多项式，因为它可以分解为 (x - 1)(x + 1) 。

不可约多项式和可约多项式的区别就在于能否分解，这是判断的关键。

**起源与发展**不可约多项式的概念起源于代数数论的研究。

在数学的发展历程中，随着对多项式性质的深入研究，不可约多项式的重要性逐渐凸显出来。

有理系数不可约多项式的判别

有理系数不可约多项式的判别
对于一个多项式 f(x)，如果它的次数小于等于 3，那么它一定
是可约的，因为任何次数小于等于 3 的多项式都可以通过因式分解为
线性因式乘积。

对于次数大于 3 的多项式 f(x)，要判断它是否为不可约多项式，可以使用以下方法之一：
1. 尝试寻找 f(x) 的有理根。

如果 f(x) 的有理根存在，则
f(x) 是可约的，因为有理根可以转化为一次因式。

2. 使用 Eisenstein 判别法：如果存在一个素数 p，使得 p
能够整除多项式 f(x) 的所有非首项系数，但不能整除首项系数，并
且 p^2 不能整除多项式的常数项系数，那么 f(x) 是不可约的。

3. 使用约化多项式的方法。

假设 f(x) 是不可约的，那么根据
整系数多项式的性质，可以将 f(x) 看作是有理数系数多项式。

为了
判断 f(x) 是否可约，可以考虑将 f(x) 通过符号替换，转化为一个
整系数多项式 g(x) = f(ax+b)，其中 a 和 b 是整数。

如果 g(x) 是
可约的，则 f(x) 也是可约的。

这些方法可以帮助我们判断一个多项式是否是不可约多项式，但
需要注意的是，并不是所有的不可约多项式都可以通过这些方法判断
出来。

对于高次多项式，判别它是否为不可约多项式可能会更加困难。

关于有理系数多项式可约性的一个判别定理

关于有理系数多项式可约性的一个判别定理
有理系数多项式可约性是数论中一个重要的概念，它可以用来判断一个
多项式是否可以经过简化算出一个简单的形式。

在数学上，可约性判别定理
规定了有理系数多项式可约性的情况。

首先，有理系数多项式可约性判别定理的条件是，已知一个有理系数多
项式。

其次，定义在一个域K上的有理系数多项式f (x)，已知f (x)为一
个次数为n的多项式并且其系数在K上不恒为零。

给定以上条件，有理系数多项式可约性判别定理认为，如果存在一个复
数a，使得多项式f (a)=0，则此有理系数多项式是可约的。

反之，如果f (a)≠0，则此有理系数多项式是不可约的。

有理系数多项式可约性判别定理是判断一个多项式是否可约的一种有效
的方法。

它可以使用上述定理检查可约性，以尽快确定一个多项式是否可约。

此外，它能根据除可约性外的条件预测一个多项式是否可得到简化形式，对
进行数学计算极其有价值。

从而可以看出，有理系数多项式可约性判定定理是一个重要的定理，它
不仅有助于确定一个有理系数多项式是否可约，还能降低计算量，为数学计
算提供有效的帮助。

有理数域上多项式的因式分解本科毕业论文

有理数域上多项式的因式分解内容摘要多项式理论是学习高等代数和解析几何必不可少的内容，它具有独立完整不基于其他高代理论基础的体系，并且为学习代数和其他的数学分支提供理论依据.因式分解，也叫做分解因式，是我们研究有理数域上多项式理论的核心之一，也是进一步学习代数和科学知识的必备基础.因此，在这里我们要对有理数域上多项式的因式分解进行研究.本文讲述了有理数域上多项式因式分解的条件和方法，通过多个判别方法判断多项式因式分解的充分条件；在多项式可以因式分解的基础上，总结出应用于多项式因式分解的简便算法，给出实例供参考；并在实际应用中融入因式分解的意义和目的.关键词：有理数域多项式因式分解Rational polynomial factorization domainAbstractPolynomial theory is the study of Higher Algebra and analytic geometry essential content, it has independent and complete not system based on other generation of high theoretical basis and algebra and other branches of mathematics learning and provide a theoretical basis. Factorization, also called factorization, we study the rational number field polynomial theory is one of the core, also for further study of the essential basis of the algebra and scientific knowledge. Therefore, here we want to factor the polynomial over the rational number field decomposition was studied.This paper tells the factorization of polynomial factorization of rational number field conditions and methods, through multiple discriminant method to determine sufficient conditions for polynomial factorization; in polynomial can factorization based, summed for simple algorithm for polynomial factorization, give an example for reference; and in the practical application into factorization of meaning and purpose.Key words：Rational number field polynomial factoring目录一、多项式的相关概念 (1)（一）一元多项式和一元多项式环的概念 (1)（二）多项式整除的概念 (2)二、有理数域上的多项式的可约性 (3)（一）有理数域与实数域和复数域的区别 (3)（二）多项式的可约性和因式分解的相关理念 (3)（三）本原多项式的基本内容 (4)1.本原多项式的概念 (4)2.本原多项式的性质 (4)（四）判断多项式在有理数域上的可约性 (5)1.爱森斯坦(Eisentein)判别法 (5)2.布朗（Brown）判别法 (6)3.佩龙（Perron）判别法 (6)4.克罗内克(Kronecker)判别法 (7)5.反证法 (7)6.有理法（利用有理根） (8)7.利用因式分解唯一性定理 (8)8.综合分析法 (8)三、多项式的有理根及因式分解 (9)（一）求根法 (9)（二）待定系数法 (9)（三）重因式分离法 (10)（四）应用矩阵的初等行变换法 (10)（五）利用行列式的性质 (11)四、结论 (12)参考文献 (13)序言代数问题是方程问题，方程问题就是求解问题.低阶方程的求解具有一般的代数方法（一次到四次）[1]，而对于高次方程的求解关键在于掌握多项式的因式分解.因式分解是集分解变形为之意，综合应用以前所学的知识，是解决许多数学问题的有力工具.它是研究各种运算和代数的恒等变形，采用了大部分相同的变形技能和技巧，如常用的因子提取、公式化配方等.因此，因式分解不只是数学上的一个重点，也是一个难点.在本文中，研究的有理数域上多项式的因式分解实际上是整系数多项式的分解.整系数多项式是一个无限集，如何判断它可约迄今为止还没有精确和易操作的方法，所以文中针对这个难点进行研究讨论.一、多项式的相关概念（一）一元多项式和一元多项式环的概念多项式是代数学中重要的基础知识，它不仅与高次方程有密切联系，在其他方向为学习代数知识也做了很好的铺垫，因此，我们必须清楚多项式的基本内容.定义1设n是一非负整数，表达式a n x n+a n−1x n−1+⋯a0其中a0，a1，⋯a n全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式.[2]多项式可以加、减、乘，例如：(2x2−1)+(x3−2x2+x+2)=x3+x+1(2x2−1)(x2−x+1)=2x4−2x3+2x2−x2+x−1=x4−2x3+x2+x−1根据上述式子的计算，可以看出数域P上的两个多项式通过加、减、乘等运算后，其结果仍然是数域P上的多项式.接下来，我们引入一个概念.定义2 所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x]，P 称为P[x]的系数域.[3]之后我们要讨论的有理数域上多项式的因式分解是在一个固定的数域P上的多项式环P[x]中进行的.（二）多项式整除的概念我们讨论过一元多项式可以容易地进行加、减、乘法运算，但是多项式之间的除法并不像其他运算那样可以普遍地做.因此整除运算就成为了两个多项式之间区别于其他运算更值得探讨的课题.和高中代数一样，作为一种表达式，可以用一个多项式去除另一个多项式，求得商和余式，如：设f(x)=3x3+4x2−5x+6g(x)=x2−3x+1接下来，我们作除法：x2−3x+1|3x3+4x2−5x+63 x2−9x2+3x13x2−8x+613x2−39x+1331x−7|3x+13于是，求得商为3x+13，余式为31x−7，所得结果可以写成下列形式：3x3+4x2−5x+6=(3x+13)(x2−3x+1)+(31x−7)定理1（带余除法）对于P[x]中任意两个多项式f(x)和g(x)，其中g(x)≠0，一定有P[x]中的多项式q(x),r(x)存在，使f(x)= q(x) g(x)+ r(x)成立，并有∂( r(x))<ð(g(x))或r(x)=0，并且这样的q(x),r(x)是唯一决定的.证明（唯一性）设另外有多项式q,(x),r,(x)使f(x)=q,(x) g(x)+ r,(x)成立，其中∂( r,(x))<ð(g(x))或r,(x)=0,于是有q(x) g(x)+ r(x)=q,(x) g(x)+ r,(x)即(q(x)−q,(x)) g(x)=r,(x)− r(x)如果q(x)≠q,(x)，就假设g(x)≠0，那么r,(x)− r(x)≠0即可得出∂(q(x)−q,(x))+∂(g(x))=ð(r,(x)− r(x))又因为∂(g(x)) >ð(r,(x)− r(x))所以上述式子不可能成立，这也证明了q(x)=q,(x)，同时r,(x)= r(x)定义 3 数域P上的多项式q(x)通常称作g(x)整除f(x)，存在数域P上的多项式ℎ(x)使等式f(x)= g(x)ℎ(x)成立，我们用“g(x)| f(x)”表示g(x)整除 f(x)，用“g(x) | f(x)"表示g(x)不可以整除 f(x).当g(x)| f(x)时，g(x)就称为f(x)的因式，f(x)称为 g(x)的倍式.事实上，整除多项式原理使我们很轻松的了解多项式因式分解的原理.二、有理数域上的多项式的可约性（一）有理数域与实数域和复数域的区别我们知道，有理数域，实数域和复数域的范围不同.为了能更好的分析有理数域上多项式的因式分解，我们要区分有理数域，实数域和复数域的概念，只有将单项涵义牢记于心，我们才能知道多项式在各个数域中需要分解到何种形式，这里先做简要介绍.首先，有理数包括：（1）整数：正整数，负整数和0；（2）分数：正分数，负分数；（3）小数：有限小数和无限循环小数[4].所有有理数组成一个集合，即为有理数集.而有理数集是一个域，可以在其中进行四则运算（0作除数除外），用字母Q表示.其次，实数可以包含所有的轴点数量，直观的看作是有限小数和无限小数，是有理数和无理数的统称，用字母R表示.再次，复数是写成如下形式a+bi的数，a和b是实数，i是虚数单位，是实数和虚数的统称，用字母C表示.（二）多项式的可约性和因式分解的相关理念定义4 数域P上次数≥1的多项式p(x)称为域P上的不可约多项式，如果它不能表成数域P上两个次数比p(x)的次数低的多项式的乘积.定理2（因式分解及唯一性）数域P上每一个次数≥1的多项式f(x)都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.而唯一性是指，若有两个分解式f(x)=p1(x)p2(x)⋯p s(x)=q1(x)q2(x)⋯q t(x)那么必有s=t,根据因式的次序适当排列得到p i(x)=c i q i,i=1,2,⋯,s其中c i(i=1,2,⋯,s)属于非零常数.多项式因式分解看似简单，实质蕴含了许多深奥的理论.多项式在不同数域上分解程度是不同的,我们不应该想当然的提出多项式因式分解后，就说它已经不能再分，并完成了多项式分解.我们可以比较一下复数域、实数域和有理数域上多项式因式分解的差异.如:分别求多项式x4−4在复数域，实数域以及有理数域上的因式分解.①在复数域上这个多项式的因式分解为(x+√2)(x−√2)(x+√2i)(x−√2i)②在实数域上这个多项式的因式分解为(x2+2)(x+√2)(x−√2)③在有理数域上这个多项式的因式分解为(x2+2)(x2−2)从上述结果可以看出，对于一个多项式能否因式分解，不能单独考虑它是否满足因式分解的定理.我们具体情况具体分析，有理数域的多项式的因式分解比较困难.因为在有理数域上多少次的不可约多项式都存在，我们有时还认不出其究竟是否可约，所以研究非常麻烦.故而确定有理数域上多项式是否可约是麻烦的，掌握多项式因式分解不如想象中那么简单.（三）本原多项式的基本内容1.本原多项式的概念定义 5 设g(x)=b n x n+b n−1x n−1+⋯+b0是非零的整系数多项式，如若g(x)的系数b n,b n−1,⋯,b0互素，就称g(x)是本原多项式.所以，任何一个非零的有理系数多项式f(x)都能表示为一个有理数r与一个本原多项式g(x)的乘积，即f(x)=r g(x).由此证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的，可以说，若f(x)=rg(x)=r1g1(x),且r,r1是有理数，g(x),g1(x)是本原多项式，那么必定有r=±r1,g(x)=±g1(x).因为多项式f(x)和本原多项式g(x)只相差一个非零的常数倍，他们都有着相同的整除性质，因此f(x)的因式分解问题可以归结为本原多项式g(x)的因式分解问题.所以我们可以讨论本原多项式的性质，之后考虑整系数多项式的因式分解问题.2.本原多项式的性质性质1(高斯(Guass)引理)设f(x)与g(x)为两个本原多项式，那么他们的乘积ℎ(x)=f(x) g(x)也是本原多项式.性质2设f(x)是非零整系数多项式，若f(x)分成为两个有理数域上的多项式g(x)与ℎ(x)的乘积，且∂(g(x))<ð(f(x)),∂(ℎ(x))<ð(f(x))那么f(x)定能分解成两个次数较低的整系数多项式乘积.例1：设f(x),g(x)是两个整系数多项式，且g(x)是本原多项式.证明：若f(x)= g(x)ℎ(x)，且ℎ(x)是有理数域上的多项式，那么ℎ(x)一定是整系数多项式.证明：根据本原多项式的性质来证明，设f(x)=af1(x),ℎ(x)=rℎ1(x)其中f1(x),ℎ1(x)都是本原多项式，a是整数，r是有理数.于是有af1(x)= rg(x)ℎ1(x)因为g(x)ℎ1(x)是本原多项式.故r=±a，即r是一个整数，所以ℎ(x)=rℎ1(x)是整系数多项式.（四）判断多项式在有理数域上的可约性基于整系数多项式，我们需要判断它是否可约，这是我们讨论有理数域上多项式因式分解的重点，接下来列出一些判别整系数多项式不可约的方法.1.爱森斯坦(Eisentein)判别法定理3设f(x)=a0+a1x+⋯+a n x n,a n≠0是一个整系数多项式，若找到一个素数p，使⑴p与a n不可约；⑵p与a n−1,a n−2,⋯,a0是可约的；⑶p2与a0不可约，那么多项式f(x)在有理数域上不可约.证明：如果a0=−p1p2⋯p n,a1=a2=⋯=a n−1=0,a n=1可找到素数p1满足p|a i,(i=0,1,⋯n−1),p1|a n,p12|a0所以，根据爱森斯坦(Eisentein)判别法可知，f(x)在有理数域上不可约[5].特别注意的是，爱森斯坦判别法的条件只是充分条件，即满足三个条件的多项式不可约.如：多项式f(x)=2x n−5x+10，满足爱森斯坦判别法的三个条件，故而不可约.但并不是说所有不满足定义要求的多项式都可约，因为有很多多项式不满足上述三个条件但却是不可约的，譬如x2+2.当然，也有可约的多项式，如：x2+x−6不满足上述的三个条件，但却可以分解为x2+x−6=(x−2)(x−3)有时，对于某个多项式来说，爱森斯坦判别法不能直接应用，但我们可以把其适当变形.设a和b是两个有理数，且a≠0，整数系多项式f(x)在有理数域上不可约当且仅当f(ax+b)在有理数域上不可约[6].例2：证明f(x)=x6+x3+1在有理数域上不可约.证明：因为f(x)的系数都是1，无法应用爱森斯坦判别法.因此，我们令x= y+ 1 并把其代入f(x)，则多项式变为（y+1)6+(y+1)3+1=y6+6y5+15y4+21y3+18y2+9y+3=g(y)根据爱森斯坦判别法判别g(y)，取p=3，即证上式不可约，故而可知f(x)=x6+x3+1在有理数域上不可约.2.布朗（Brown）判别法定理4设f(x)为n次整系数多项式，令Sf(x)={⋯,|f(−1)|,f(0)|,|f(1)|,⋯}其中N1表示 Sf(x)中1的个数，N p表示 Sf(x)质数的个数，令N p+2 N1>n+4，则f(x)在Q上不可约.例3：证明f(x)=2x3−x2+x−1在Q上不可约.证明：因为无法找到素数p来判断f(x)满足爱森斯坦(Eisentein)判别法的条件，因此我们无法根据爱森斯坦(Eisentein)判别法来判别可约性，但是我们可以根据布朗（Brown）判别法判断多项式的可约性.因此，我们可以得到：f(0)=−1，f(1)=1，f(−1)=−5，f(−2)=−23，f(3)=47故而，N p≥4,N1≥2所以得到N p+2 N1≥8>3+4由此根据布朗（Brown）判别法可知，f(x)在有理数域上不可约.3.佩龙（Perron）判别法定理5设f(x)=x n+a n−1x n−1+⋯a1x+a0(a0≠0,a iϵZ,i=0,1,⋯,n−1)是整系数多项式，若此系数满足|a n−1|>1+|a n−2|+|a n−3|+⋯|a1|+|a0|，则f(x)在有理数域上不可约.例4：证明f(x)=x5+4x4+x2+1在有理数域上不可约.证明：因为无法找到素数p来判断f(x)满足爱森斯坦(Eisentein)判别法的条件，因此我们不能用爱森斯坦(Eisentein)判别法，但是我们可以看出多项式f(x)满足佩龙（Perron）判别法的条件.因此根据佩龙（Perron）判别法定理以及题目得出4>1+1+1，所以该多项式在有理数域上不可约.4.克罗内克(Kronecker)判别法定理6设f(x)=a n x n+a n−1x n−1+⋯+a1x+a0是一个整系数多项式，可以在有理数域上将f(x)分解成两个不可约多项式的乘积.例5：证明f(x)=x5+1在有理数域上不可约.证明：s=2<52，取a0=−1,a1=0,a2=1，则有f(−1)=0，f(0)=1，f(1)=2因此，f(−1)的因子为0，f(x)的因子为1，f(x)的因子为1,2故令g(−1)=0， g(0)=1， g(1)=1； g(−1)=0， g(0)=1， g(1)=2应用插值多项式得g1(x)=0+(x+1)(x−1)+(x+1)(x−0)=−1(x2−x−2)g2(x)=0+(x+1)(x−1)(0+1)(0−1)+2(x+1)(x−0)(1+x)(1−0)=x+1由带余除法可知：g1(x)不能整除f(x)，g2(x)不能整除f(x)，从而得到f(x)在有理数域上不可约.此方法是一个通过有限次数计算判定整系数多项式可以分解成若干个次数低的整系数多项式的方法[7].然而，有大量的文献资料显示，整系数多项式的因式分解过程中往往不采用克罗内克方法[8]，因为对于工作量来说，克罗内克方法的使用非常大，通常选择使用其他的分解技巧实现.因此克罗内克方法只是一种理论上可行的方法，不能用于因式分解的实际操作，实用价值不大5.反证法上述判别法判别多项式在有理数域上的条件并不是所有题目都适用，因此，我们不确定不满足爱森斯坦判别法的多项式是不是可约的，或在无法找到满足判别法中的素数p时，我们选择反证法.例6：设p(x)是F(x)上一个次数大于零的多项式，如果对任意f(x)，都有g(y)∈F(x)，且p(x)| f(x) g(y)，并且p(x)| f(x)或者p(x)| g(y)，那么p(x)不可约.证明：若p(x)可约，则有p(x)=p1(x)p2(x)，其中0<∂(p i(x))<ð(p(x))，i=1,2令f(x)=p1(x)，g(y)=p2(x)，则p(x)| f(x) g(y)由题可得：p(x)| f(x)或p(x)| g(y)则有∂(p(x))>ð(f(x)),∂(p(x))>ð(g(y))，与前面整除矛盾，故p(x)不可约.6.有理法（利用有理根）对于一些次数不超过三次的多项式，利用有理根方法进行判别会更简便，若没有有理根，则该多项式在有理数域上不可约.例7：判断f(x)=x3 −5x+1在有理数域上是否可约？解：假设f(x)可约，那么f(x)至少有一个一次因子，即有一个有理根.但f(x)的有理根只可能是±1，因此带入验算得f(±1)≠0.说明该多项式没有有理根，因此f(x)在有理数域上不可约.例8：判断f(x)=x3−46x2+171x−127在有理数域上是否可约？解：若f(x)可约必有有理根，而f(x)的有理根中只能是±1或±127.因为f(±1)≠0,f(±127)≠0，所以f(x)无有理根，解得 f(x)在有理数域上不可约.7.利用因式分解唯一性定理将有理数域看作实数域的一部分，多项式可以分解成几个实数域上的不可约因子.由于其不可约因式的系数不都是有理数，所以通过因式分解唯一性定理，则该多项式在有理数域上不可约.例9：证明x4+ 1在有理数域上不可约.解：多项式x4+1在实数域上分解为不可约因式的乘积为x4+1=（x2+√2x+1)(x2−√2x+1)根据因式分解唯一性定理可知，如果x4+1在有理数域上可约，应该为上述的分解形式，但上述不可约因式的系数不全为有理数，故而x4+1在有理数域上不可约.8.综合分析法在多项式因式分解过程中，我们有时不能只用一种方法判断其是否可约，因为有时靠一种方法并不能推断出来，所以我们采取综合分析法.例10：证明f(x)=x4+4kx+1（k是整数）在有理数域上是否可约？解：f(x)的有理根只能是±1，且f(±1)≠0.所以f(x)无一次因式，如若f(x)可约，只能是两个二次因式乘积。

不可约多项式的判定及应用毕业论文

不可约多项式的判定及应用摘要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein判别法、Kronecker判别法、Perron判别法、Browm判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用Judgment and Application of Irreducible PolynomialsAbstractThe theory of polynomial is an important portion of advanced algebra. Irreducible polynomial is an important class of polynomials. We induce, in this paper, the judgment methods of irreducible polynomials over rational number field, and give some judgment methods of irreducible polynomials such as Eisenstein method, Kronecker method, Perron method and Browm method. The equivalence and inclusion relations between judgment methods are also investigated. In addition, we give some applications of irreducible polynomials.Key wordsIrreducible polynomial; Judgment method; Application1.引言众所周知，多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念。

毕业设计论文-有理数域上的多项式的因式分解-应用数学论文

嘉应学院本科毕业论文（设计）（2014届）题目：有理数域上的多项式的因式分解姓名：江志会学号：101010100学院：数学学院专业：数学与应用数学指导老师：许鸿儒申请学位：学士学位嘉应学院教务处制摘要在多项式理论中，对于有理数域上多项式的因式分解的研究有着极其重要的地位。

判断一元多项式是否能因式分解是不容易的。

本文根据多项式的可约性和有理根的判断与求法的理论，探究多项式的因式分解的方法，并进行了归纳、整理和补充。

关键词：有理数域, 可约, 因式分解AbstractIn polynomial, the research on rational polynomial factorization has an extremely important position. Determine whether a polynomial can be factoring or not is not easy. According to the theory of irreducible polynomials and rational roots, we explore polynomial factorization method, and make some the induction, consolidation and supplements.Key words： rational number field, reducible, factorization目录1 有理数域上的多项式基本内容 (i)1.1 多项式因式分解的基本概念 (1)1.2 本原多项式 (2)1.3 不可约多项式的艾森斯坦判别法 (5)2 多项式的有理根及因式分解 (7)2.1多项式在有理数域上的性质 (7)2.2多项式有理根的判定 (8)2.3多项式有理根的求法及因式分解 (10)2.4因式分解的特殊解法 (12)参考文献................................................... 错误！未定义书签。

有理数域上多项式不可约的判定

有理数域上多项式不可约的判定
刘中良
【期刊名称】《科技信息》
【年(卷),期】2009(000)001
【摘要】通过对有理数域上多项式不可约判定的相关知识探讨,本文给出了艾森斯坦因判别法和克朗奈克法,并补充了其他方法,不仅拓宽了判别多项式不可约的范围,而且使有理数域上多项式不可约的判定更为系统化.
【总页数】2页(P559-560)
【作者】刘中良
【作者单位】许昌学院数学科学学院,河南许昌461000
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.整系数多项式在有理数域上不可约的几个判定定理 [J], 兰春霞
2.有理数域上多项式不可约的判定 [J], 陈丽
3.有理数域上分圆多项式的不可约性 [J], 顾江永
4.整系数多项式在有理数域上不可约的几个判定定理 [J], 黄瑞芳
5.整系数多项式在有理数域上不可约的判定方法 [J], 王守峰
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不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。

定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、成立，H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。

证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。

反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。

注1:带余除法中g(x)必须不为零。

F 面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。

(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。

反证法证明多项式不可约

反证法证明多项式不可约
在有理数域上，直接判别一个多项式是否不可约，是一件及其困难和复杂的事情，此时我们可以利用反证法来判别．
例1 已知是次数大于零的多项式，若对于任意两个多项式和，由可以推出或，则是不可约多项式．
证明假设可约，则必存在次数小于的多项式与，使得，即，又由已知条件，知，，但，，所以不可能实现，从而必不为可约多项式．
例2 次数大于的整系数多项式对于任意整数的函数值都是素数，则为有理数域上的不可约多项式．
证明假设不是有理数域上的不可约多项式，因为，所以在整数环上也可约，即有整系数多项式与，使得，其中，．
由已知条件知，若为一个整数，则为素数，即为素数，所以或，再由的无限性，知，或，四个式子中至少有一个式子对无限个成立，即与中有一个为零次多项式，这与已知条件矛盾，所以结论成立．
例3设是一个整系数多项式，如果有一个素数，使得
（1）；
（2）；
（3），
那么在有理数域上是不可约的．
证明假设在有理数域上可约，那么可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积，即
，
因此，．
因为，所以能整除或．又因为，所以不能同时整除及，因此不妨假定，但．另一方面，因为，所以．假设在中第一个不能被整除的是，比较中的系数，得等式
，
式中都能被整除，所以也必能被整除，但因是一个素数，所以与中至少有一个被整除，这是一个矛盾，故在有理数域上是不可约的．
对于一些关于不可约多项式定理的逆定理，均可尝试用反证法来证明，在否定结论之后，利用已知条件推出了矛盾，从而使命题得证．。

有理数域上分圆多项式的不可约性

有理数域上分圆多项式的不可约性
顾江永
【摘要】本文探讨了有理数域上分圆多项式的性质和推论,给出了n阶分圆多项式与本原n次单位根的最小多项式之间的关系,得到了n阶分圆多项式在有理数域上
是不可约的结论,为有理数域上不可约多项式理论的完善和应用提供一些理论依据.【期刊名称】《牡丹江大学学报》
【年(卷),期】2019(028)001
【总页数】3页(P119-121)
【关键词】有理数域;分圆多项式;不可约多项式;最小多项式
【作者】顾江永
【作者单位】宿迁学院文理学院,江苏宿迁 223800
【正文语种】中文
【中图分类】O156.1
有理数域上的分圆多项式是以本原单位根作为根的一类多项式，它与有理数域上不可约多项式有着密切的联系.有理数域上不可约多项式在密码、编码理论以及随机
数的产生等方面有着广泛的应用.不可约多项式和本原多项式又是分析伪随机性能
和密码体制的一种有效工具.由于有理数域上不可约多项式可以用分圆多项式刻画，所以可以由分圆多项式来求不可约多项式.本文探讨了n阶分圆多项式和有理数域
上本原n次单位根的最小多项式之间的关系，得到了n阶分圆多项式在有理数域
上不可约性的结论.。