安徽大学期末试卷QM15-1.doc

一、简答题（1——8题，每题5分，共40分）
1. 用球坐标表示，粒子波函数表为()ϕθψ,,r 。

写出粒子在),(ϕθ方向的立体角Ωd 中且半径在a r <<0范围内被测到的几率。

解： ()⎰Ω=a
dr r r d P 02
2
,,ϕθψ。

2. 写出三维无限深势阱
⎩
⎨⎧∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(c
z b y a x z y x V
中粒子的能级和波函数。

解：能量本征值和本征波函数为 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=
+
+2
22
2222
22c n b n a n m
E z y
x n n n z
y x πη， Λ
Λ,3,2,1,00,0,0,sin sin sin 8),,(=⎪⎩
⎪
⎨⎧<<<<<<=n c z b y a x c
z
n b y n a x n abc z y x z y x n n n z y x 其余区域πππψ
3. 量子力学中，一个力学量Q 守恒的条件是什么？用式子表示。

解：有两个条件：0],[,0==∂∂H Q t
Q。

4. ）
（z L L ,2
的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ 解：(
)
z L L ,2
的共同本征函数是球谐函数),(ϕθlm Y 。

),(),(,
),()1(),(22ϕθϕθϕθϕθlm lm z lm lm Y m Y L Y l l Y L ηη=+=。

5. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：
∑=n
n n x c x )()(ψψ，
写出展开式系数n c 的表达式。

解： ()dx x x x x c n n n ⎰==)()()(,)(*
ψψψψ。

6. 一个电子运动的旋量波函数为 ()()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=2,2,,ηϖηϖ
ϖ
r r s r z ψψψ，写出表示电子自旋向上、位置在r ϖ
处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。

解：电子自旋向上（2η=z s ）、位置在r ϖ
处的几率密度为
()2
2/,ηϖ
r ψ；
电子自旋向下（2η-=z s ）的几率为()
2
32/,⎰
-ηϖ
r r d ψ。

7. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？
解：在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。

在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为)12(+j 条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。

原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

8. 对于阶梯形方势场
⎩⎨
⎧><=a
x V a x V x V ,
,
)(21 ，
如果（12V V -）有限，则定态波函数)(x ψ连续否？其一阶导数 )(x ψ'连续否？ 解：定态波函数)(x ψ连续；其一阶导数 )(x ψ'也连续。

二、计算证明题
9. 设粒子处于一维无限深势阱
()⎩⎨
⎧><∞<<=a
x x a x x V 或
0,
0,
中，求处于定态()x n ψ中的粒子位置x 的平均值。

（10分）
解： ()⎪⎩
⎪
⎨⎧><<<=a x x a x a
x
n a x n 或0,00,sin 2πψ ， 2
sin 202a xdx a x n a x a
==⎰π 。

10. 已知厄米算符A 、B 互相反对易：{}0,=+=BA AB B A
；b 是算符B 的本征态：b b b B =，本征值0≠b。

求在态b 中，算符A 的平均值。

（15分） 解： {},0A B AB BA =+=Q
，
{}0,2A B b b AB b b BA b b b A b ∴==+=。

但0≠b ，从而有
0A b A b ==，
即在态b 中，算符A 的平均值为零。

11. 氢原子处于状态),()(2
3
),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ-+=
Y r R Y r R r 。

试求： （1）能量算符H 、角动量平方算符2
L 和角动量z 分量z L 的可能取值； （2）上述三个量取各可能值的几率； （3）上述三个量的平均值。

（15分） 解：氢原子波函数为),,(ϕθψr nlm ，能量2
24
2n e E n ημ-
=，2L 的本征值为2
)1(η+l l ，z
L 的本征值为ηm 。

本题中，氢原子所处的状态为210ψ和121-ψ二本征态的叠加。

在这二本征态中，0,1,2===m l n 或1-。

故H 只可能取值2
4
2
2
4
282
2η
ηe e E μμ-
=⋅-
=，出现的几率为1（因二本征态对应的能量同
为2E ），平均值2
4
28ηe E H μ-
==；
2L 只可能取值222)11(1ηη=+，出现的几率为1，平均值222η=L ；
z L 的可能取值有两个：0、η-，出现0的几率为41212
=⎪⎭
⎫
⎝⎛，出现η-的几率为
43
232
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛，平均值()ηη4343410-=⨯-+⨯=z L 。

12. 质量为μ的粒子受微扰后，在一维势场
⎪⎩⎪⎨⎧
><∞≤≤=a
x x a x a
x A x V ,0,0,
cos )(π
中运动。

（1）题中应当把什么看作微扰势？
（2）写出未受微扰时的能级和波函数；
（3）用微扰论计算基态能量到二级近似，其中2
2
210a A μπη=。

解：（1）应当把
⎪⎩⎪⎨⎧
><≤≤='a
x x a x a
x A H ,0,00,cos π
看作微扰势。

（2）未受微扰时的波函数和能级分别为
Λ
η,3,2,1,2,
sin 2)(2
222)
0()0(===n a
n E
a
x
n a x n
n
μππψ
（3）未受微扰时的基态波函数和能量分别为
2
2
2)
0(1
)0(1
2,sin 2)(a E
a
x a x μππψ
η=
=
， 基态能量的一级修正： a x d a x A dx a x A a x a H E
a
a
πππππsin sin 2cos sin 20
20211)1(1
⎰⎰=⋅='= 0sin 320
3==a
a x
A ππ，
基态能量的二级修正： ∑-'=n
n
n
E E H E )
0()0(12
1)
2(1
'
，
220
0012
22sin sin 2sin sin
sin cos 2sin sin 2cos sin 2
n n a
a
a
n
A A y
yd ny A
a
x
d a x a x n A
dx a
x a x a x n a A dx a
x a a x A a x n a H δδπππ
πππππππππππ
=⋅=
⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅='⎰⎰⎰⎰
所以 ()()2
2222
222)
0(2
)0(12
)
2(1
64121
42η
ηπμμπA a a A E E A E
-=-⋅=-=。

2222
2222
22
600106a a a μπμππμηηη
-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⋅-=。

2
2
2222222)2(1
)1(1
)0(1
16002996002a
a a E
E
E
E μπμπμπηηη=-=++=。