高中数学 不等式的基本性质
高中数学知识点精讲精析 不等式的基本性质
4.1不等式的基本性质1．不等式的基本性质： ①对称性：a>b b<a; ②传递性：a>b,b>c a>c; ③可加性：a>b a+c>b+c; ④加法法则：a>b,c>d a+c>b+d; ⑤可乘性：a>b,c>0 ac>bc; a>b,c<0 ac<bc; ⑥乘法法则：a>b>0,c>d>0 ac>bd;⑦倒数法则：a>b,ab>0 ; ⑧乘方法则：a>b>0 an>bn;⑨开方法则：a>b>0 ;⑩绝对值不等式的性质： |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 2．基本不等式（以下√表示根号，＾表示指数）如果a 、b 都为实数，那么a 平方+b 平方≥2ab，当且仅当a=b 时等号成立 证明如下： ∵（a-b)^2≥0 ∴a^2+b^2-2ab≥0 ∴a^2+b^2≥2ab如果a 、b 、c 都是正数，那么a+b+c≥3*3√abc,当且仅当a=b=c 时等号成立 如果a 、b 都是正数，那么（a+b ）/2 ≥√ab ，当且仅当a=b 时等号成立。
（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b 时等号成立。
）和定积最大：当a+b=S 时，ab≤S^2/4（a=b 取等） 积定和最小：当ab=P 是，a+b≥2√P（a=b 取等）ba 11<⇒nn b a >⇒均值不等式：如果a,b 都为正数，那么√(( a 平方+b 平方)/2)≥（a+b ）/2 ≥√ab≥2/（1/a+1/b)（当且仅当a=b 时等号成立。
）( 其中√(( a 平方+b 平方)/2)叫正数a,b 的平方平均数也叫正数a,b 的加权平均数；（a+b ）/2叫正数a,b 的算数平均数；√ab 正数a,b 的几何平均数；2/（1/a+1/b)叫正数a,b 的调和平均数。
高中数学《不等式的基本性质》导学案
1.1不等式的基本性质导学案1.掌握两个实数比较大小的理论依据；2.理解并掌握不等式的性质；3.会利用不等式的基本性质证明不等式和比较大小；【重点、难点】教学重点：不等式的性质；教学难点：不等式性质的应用.二、学习过程【情景创设】1.在必修5中，我们学习了不等式的基本性质，这些性质是我们解不等式及证明不等式或者求一个变量的范围的理论依据；2.在必修5中学到的两个实数比较大小的原理及不等式的基本性质是怎样的？3.这些性质及原理是如何应用的？应用时应注意什么？【导入新课】1．不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
2. 实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数，可知： 0ba b a -⇔> 0ba b a -⇔=0b a b a -⇔<结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
3. 不等式的基本性质：10. 对称性：b a >⇔ ；20. 传递性：⇒>>c b b a , ； 30. 同加性：⇒>b a ；推论：加法法则：⇒>>d c b a , ； 40. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ； 推论1：乘法法则：⇒>>>>0,0d c b a ； 推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论4：可倒性：⇒>>0b a .☆比较两数大小的一般方法： 与 ．三 、典例分析【例1】 判断下列各题的对错(1)c a ＜c b且c ＞0⇒a ＞b ( )． (2)a ＞b 且c ＞d ⇒ac ＞bd ( )．(3)a ＞b ＞0且c ＞d ＞0⇒a d ＞b c(4)a c 2＞b c2⇒a ＞b ( )． 【例2】 比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x 2＋3与3x ；(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．分析：我们知道，a －b ＞0a ＞b ，a －b ＜0a ＜b ，因此，若要比较两式的大小，只需作差并与0作比较即可．【例3】已知0,0,a b c >><求证: c c a b>。
高中数学不等式知识点总结
高中数学不等式知识点总结一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)“≥”、不大于号(小于或等于号)“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
总的来说，用不等号(<,>,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式。
扩展资料高中数学不等式知识点总结：1、用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
2、性质：①如果x>y，那么y<z;如果yy;(对称性)②如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z;(加法原则，或叫同向不等式可加性)④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz;如果x>y，z<0，那么xz<yz;(乘法原则)⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n;(充分不必要条件)⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;⑦如果x>y>0，那么x的.n次幂>y的n次幂(n为正数)，x的n 次幂<y的n次幂(n为负数)。
或者说，不等式的基本性质有：①对称性;②传递性;③加法单调性，即同向不等式可加性;④乘法单调性;⑤同向正值不等式可乘性;⑥正值不等式可乘方;⑦正值不等式可开方;⑧倒数法则。
3、分类：①一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
②一元一次不等式组：a.关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
b.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
高中数学不等式知识点
高中数学不等式知识点在高中数学的学习中，不等式是一个重要的知识板块。
它不仅在数学学科内有着广泛的应用，对于我们解决实际问题也具有重要的意义。
不等式的定义很简单，用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个数或代数表达式的式子就是不等式。
首先，我们来了解一下不等式的基本性质。
性质 1：如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c ；如果 a ＜ b，那么 a ＋c ＜ b ＋ c 。
这意味着在不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变。
性质 2：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＞ b 且 c ＜ 0，那么 ac ＜ bc 。
也就是说，不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
性质 3：如果 a ＞ b 且 b ＞ c，那么 a ＞ c 。
这是不等式的传递性。
掌握这些基本性质是解决不等式问题的基础。
接下来，我们看看常见的一元一次不等式。
形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0）的不等式就是一元一次不等式。
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但要特别注意不等式两边乘以（或除以）负数时，不等号方向的变化。
例如，解不等式 2x 5 ＜ 7 。
首先，将－5 移到右边得到 2x ＜ 7 ＋5 ，即 2x ＜ 12 。
然后两边同时除以 2 ，得到 x ＜6 。
再来说说一元二次不等式。
形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （其中a ≠ 0）的不等式就是一元二次不等式。
解一元二次不等式，需要先求出对应的一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0 的根，然后根据二次函数的图像来确定不等式的解集。
例如，对于不等式 x² 3x ＋ 2 ＞ 0 ，先解方程 x² 3x ＋ 2 ＝ 0 ，因式分解得到（x 1)（x 2) ＝ 0 ，所以方程的根为 x ＝ 1 和 x ＝ 2 。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结摘要：一、不等式的基本概念1.不等式的定义2.不等式的符号表示二、不等式的基本性质1.对称性2.传递性3.可加性4.乘法原则三、常见不等式的解法1.作差比较法2.作商比较法3.韦达定理四、实际应用1.生活中的应用2.数学中的应用正文：一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种基本概念，用于表示两个数的大小关系。
不等式的定义很简单，就是一个比较式，用符号">"或"<"来表示大小关系。
例如，x > y表示x大于y，x < y表示x小于y。
二、不等式的基本性质不等式有许多基本性质，这里我们介绍四个常见的性质。
1.对称性：如果x > y，则y < x。
这就是说，不等式两边同时改变符号，不等式的方向不会改变。
2.传递性：如果x > y，且y > z，则x > z。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而另一个数又大于第三个数，那么第一个数一定大于第三个数。
3.可加性：如果x > y，且a > 0，则x + a > y + a。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而加上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。
4.乘法原则：如果x > y，且m > 0，则x * m > y * m。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而乘上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。
三、常见不等式的解法有许多方法可以解不等式，这里我们介绍三种常用的方法。
1.作差比较法：如果x > y，则x - y > 0。
我们可以通过作差来比较两个数的大小。
2.作商比较法：如果x > y，则x / y > 1。
我们可以通过作商来比较两个数的大小。
3.韦达定理：如果x > y，则(x + y) / 2 > (x - y) / 2。
我们可以通过韦达定理来比较两个数的大小。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
高一基本不等式的知识点
高一基本不等式的知识点在数学学科中，不等式是我们经常遇到的一类问题，也是解决实际问题和推理证明的常用工具。
在高中数学的学习中，如何正确处理和应用不等式是非常重要的。
本文将介绍一些高一阶段常见的基本不等式的知识点，希望能够对同学们的学习有所帮助。
一、正数不等式的基本性质正数不等式是我们在学习不等式时最常见的一种形式。
正数不等式的基本性质有以下几点：1. 加减同项，不等号方向不变。
例如，若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
2. 乘除同正数，不等号方向不变。
例如，若a>b，且c>0，则ac>bc，a/c>b/c。
3. 乘除同负数，不等号方向改变。
例如，若a>b，且c<0，则ac<bc，a/c< b/c。
二、平方不等式的知识点平方不等式是高一阶段经常遇到的一个重要内容。
对于大多数正实数和负实数，我们可以使用平方不等式进行简化和推导。
以下是一些常见的平方不等式知识点：1. 平方不等式基本性质：对于任意实数a和b，若a>b，那么a^2>b^2。
这是由于当a和b都为正数或负数时，平方操作不改变不等关系；而当a为正数，b为负数时，平方操作会改变不等关系。
2. 平方不等式求解方法：对于形如x^2-c>0的平方不等式，我们可以通过因式分解法或配方法将其转化为(x-a)(x-b)>0的形式，然后根据零点的位置关系进行讨论求解。
三、绝对值不等式的知识点绝对值不等式也是高一数学中重要的内容之一。
绝对值不等式的处理方法与普通的不等式稍有不同，需要注意以下几个方面：1. 绝对值不等式基本性质：对于任意实数a和b，若|a|>|b|，那么a^2>b^2。
这是因为绝对值的定义决定了当a和b的符号不同时，|a|>|b|必然意味着a^2>b^2。
2. 绝对值不等式求解方法：对于形如|ax+b|>c或|ax+b|<c的绝对值不等式，我们可以根据绝对值的定义将其转化为不等式组形式进行求解。
不等式的基本性质
从而a<c<b。当b-c=0，即b=c时，因为bc>a2，
所以b2>a2，即b≠a。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0，所以a=b，
与前面矛盾，故b≠c.所以a<c<b.
14
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小结
小结：理解并掌握不等式的六个基本性质
作业
一、课本 P10 3
2、求证：
1 1 （1）如果a>b, ab>0，那么 ; a b （2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac<bd。
3、选做题：设a≥b,c≥d，
3．已知 a 0，比较 (a 2 2a 1)( a 2 2a 1) 与 (a a 1)(a a 1) 的大小．
a2 c2 且 0, c>0。 a>0，所以b= 2a
因为(a-c)2=a2-2ac+c2=2ab-2ac=2a(b-c )≥0，所以b-c≥0. 2 2 a c a2 c2 2 2 c a , , bc a , 当b-c>0，即b>c时，b= 得 2a 2a 所以a2c+c3 >2a3即a3-c3+a3-a2c<0，(a-c)(2a2+ac+c2)<0
• 例2、比较
【典型例题】
例3、比较以下两个实数的大小：
1 (1)16 与18 ; ( 2) 与2 n (n N* ) n1 n
18 16
（3）比较a b 和a b 的
高中不等式知识点归纳总结
高中不等式知识点总结1. 不等式的定义和基本性质不等式是数学中用来表示大小关系的符号。
一般地，设a、b是实数，可以有以下四种不等式关系：•$ a < b $ ：表示a小于b，即a严格小于b；•$ a > b $ ：表示a大于b，即a严格大于b；•$ a b $ ：表示a小于等于b，即a小于或等于b；•$ a b $ ：表示a大于等于b，即a大于或等于b。
基本性质：•对于不等式的加减运算：若a小于等于b，则a+c小于等于b+c，a-c小于等于b-c（c为实数）；•对于不等式的乘法运算：若a小于等于b且c大于0，则ac小于等于bc，若c小于0，则ac大于等于bc；•对于不等式的除法运算：若a小于等于b且c大于0，则a/c小于等于b/c，若c小于0，则a/c大于等于b/c（c不等于0）。
2. 一元一次不等式2.1 不等式的解集表示一元一次不等式的解集可以用数轴上的区间表示。
对于形如ax+b>0或ax+b<0的一元一次不等式，可以先求出方程的零点x=-b/a，再根据a的正负判断不等式的解集：•当a>0时，不等式的解集为x<−b/a或x>−b/a；•当a<0时，不等式的解集为x>−b/a或x<−b/a。
2.2 一元一次不等式的性质•当且仅当不等式两边同时加上（或减去）同一个正数时，不等号的方向不变；•当且仅当不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数时，不等号的方向不变；•当且仅当不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变。
3.1 不等式的解集表示一元二次不等式的解集可以用数轴上的区间表示。
对于形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的一元二次不等式，可以先求出抛物线的顶点和判别式D的值，再根据D的正负判断不等式的解集。
•当a>0时，不等式的解集为抛物线顶点的左右两侧；•当a<0时，不等式的解集为抛物线顶点的外侧。
(完整版)高中数学不等式知识点总结
选修 4--5 知识点1、不等式的基本性质①（对称性） a b b a同向可加性）a b,c⑧（倒数法则）2、几个重要不等式用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大） 三相等” .④ （可积性）a b,cac bca b ,c 0 acbc⑤ （同向正数可乘性）a b0,c d 0 acbdb 0,0cdab （异向正数可除性） cd⑥ （平方法则）a bna b n(n N,且n1)异向可减性）a b,c dN,且n b 1)a na n b(n③（三个正数的算术—几何平均不等式） abc33 abc(a 、b 、 cR ）（当且仅当a b c 时取到等号）②（传递性）a b,bc ac③（可加性） a bacbc⑦（开方法则） 11a b ;a22①a 2b 2 2aba ，,（当且仅当b时取 "" 号） . 变形公式：aba2 b22②（基本不等式）aba ，,（当且仅当 a b 时取到等号）变形公式： a 2 ababa b2，要注意满足三个条件“一正、二定、(a 2 b 2)(c 2 d 2) (ac bd ）2 （a,b,c,d R ）.当且仅当 ad bc 时，等号成立2ax⑨绝对值三角不等式3、几个著名不等式②幂平均不等式：④二维形式的柯西不等式：2④ab 22c ab bc ca a ， b R（当且仅当a b c 时取到等号） .3⑤ab33c 3abc(a 0,b 0,c 0)（当且仅当a b c 时取到等号） .若ab⑥0,则ba2ab （当仅当 a=b 时取等号）若ab b 0,则aa 2b (当仅当 a=b 时取等号）b b m1anbn a ⑦aa mb ，（其中a b 0，规律： 小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小 .⑧当a 0时，x22a x a x a 或 x a;m 0， n 0)1（a 1n ③二维形式的三角不等式： 22 a 1 a 2 2 a n a 2a n )2.22 x 1 y 122x 2 y 2(x 1 x 2)2 (y 1 y 2)2(x 1,y 1,x 2,y 2 R).a. b.①平均不等式： 211ababb a 2 b 2，（a,b R ，当且仅当 ab 时取 " "号） . （即调和平均 变形公式：几何平均 算术平均 平方平均） .aba b22abb 2(a b)2 20)⑤ 三维形式的柯西不等式：顺序和)，当且仅当 a1 a2 ... an 或 b1 b2 ... bn 时，反序和等于顺序和 ⑨琴生不等式 : (特例 :凸函数、凹函数)若定义在某区间上的函数f ( x),对于定义域中任意两点 x1,x2(x1 x2),有f(x 1 x 2)f(x 1) f(x 2)或 f(x 1 x 2) f (x 1) f(x 2).f (2 )2或 f (2 )2 .则称 f(x) 为凸(或凹)函数4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法(作差，作商法) 、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等 一化：化二次项前的系数为正数 二判：判断对应方程的根 . 三求：求对应方程的根 .2 2 2 2 2 2 (a 1 a 2 a3 )(b 1 b 2 b 3) (a 1b 1 a 2b 2⑥一般形式的柯西不等式：(a 12a 22... a n 2)(b 12b 22... b n 2) (a 1b 1⑦向量形式的柯西不等式：ur urur urur ur设 ,是两个向量，则,当且仅当等号成立 .⑧排序不等式( 排序原理)：设a 1 a 2... a n ,b 1 b 2bn为两组实数 a 1b n a 2b n 1... a n b 1a 1c 1 a 2c 2... a n c na 3b 3) .a 2b 2 ... a n b n ) .ur ur ur是零向量，或存在实数 k ，使 k 时， .c 1,c 2,...,c n是b 1,b 2,...,b n的任一排列，则①舍去或加上一些项，如 1(a12)234②将分子或分母放大(缩小) ，11,11如k 2 k(k 1),k 2k(k1),1 2 (k * N *,k1)等.kk k 15、一元二次不等式的解法2求一元二次不等式 ax bx c0(或12(a12)2;22 1 22 k k k k k k 1常见不等式的放缩方法：(a 0,2b 4ac 0)解集的步骤：四画：画出对应函数的图象 . 五解集：根据图象写出不等式的解集 . 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边 .6、高次不等式的解法：穿根法 . 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿(奇穿偶切) ，结合原式不等号的方向， 写出不等式的解集 .7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f(x)0 f (x) g(x) 0 g(x)f(x) 0f (x) g(x) 0g(x) g(x) 0(“ 或 ”时同理)规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解 .8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑵当0 a 1时,a f(x) a g(x)f (x) g(x)规律：根据指数函数的性质转化 .10、对数不等式的解法f(x) 0log a f (x) log a g(x) g(x) 0⑴当a 1时,f(x) g(x)f(x)⑴a(a 0)f(x) f(x)f(x)⑵a(a 0)f(x) f(x) f(x) g(x) f(x)g(x) f(x) 0 02 [g(x)]2或f(x) 0 或g(x) 0 f(x)g(x) f(x)g(x) f(x)0 02[g(x)]2f(x)g(x)f (x) g(x) f (x) 0g(x) ⑸ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解 9、指数不等式的解法：⑴当 a 1时 ,af (x) a g(x)f (x) g(x)f (x) 0log a f(x) log a g(x) g(x) 0 .f (x) g(x)⑵当0 a 1时,规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：a (a 0)a.⑴定义法： a (a 0)2(x) g2(x).⑵平方法：f(x) g(x) f⑶同解变形法，其同解定理有：①x a a x a(a 0);或x a(a 0);②x a x a③ f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) (g(x) 0)或f(x) g(x) (g(x) 0) 规律：关键是去掉绝对值的符号.④f (x) g(x) f(x) g(x)12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法2解形如ax bx c 0 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a与0的大小；⑵讨论与0 的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题c 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是⑴不等式ax2 bx0 时b0,c 0;①当aa00.②当a0时⑵不等式ax2 bx c 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是①当a 0 时b 0,c 0;a0②当a 0 时0.⑶f (x) a恒成立f (x)max a;f(x) a恒成立f(x)max a⑷ f (x) a 恒成立f (x)min a;f(x) a恒成立f(x)min a.15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：zAx By;z ②“斜率”型：y z yx 或x b; a③“距离”型：z22x2 y2或z22 xyz (x a)2 (y b)2或z (x a)2(y b)2.在求该“三型” 的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，题简单化.从而使问。
高中数学不等式知识点
1、不等式的基本性质①（对称性）②（传递性）③（可加性）（同向可加性）（异向可减性）④（可积性）；⑤（平方法则）⑥（开方法则）⑦（倒数法则）2、几个重要不等式①,（当且仅当时取号）. 变形公式：②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）.变形公式：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.3、几个著名不等式平均不等式：，，当且仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；①舍去或加上一些项，如②将分子或分母放大（缩小），如等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、指数不等式的解法：⑴当时,⑵当时,规律：根据指数函数的性质转化.9、对数不等式的解法⑴当时,⑵当时,规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：⑵平方法：⑶同解变形法，其同解定理有：①②③④规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含参数的不等式的解法解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时⑵不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时⑶恒成立恒成立⑷恒成立恒成立15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：②“斜率”型：或③“距离”型：或或在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
湘教版高中高二数学必修四《不等式的基本性质》评课稿
湘教版高中高二数学必修四《不等式的基本性质》评课稿一、教材分析及评价1. 教材概述湘教版高中高二数学必修四《不等式的基本性质》是高中数学教材中的一部分，主要介绍不等式的基本概念、性质和解题方法。
本章内容涵盖了不等式的定义、绝对值不等式、二次函数和有理函数不等式等内容。
2. 教材内容分析本章主要内容分为六个部分，包括：不等式的基本概念、绝对值不等式、二次函数不等式、有理函数不等式、不等式组与不等式解集等。
每个部分都采用了一定的例题和习题，并附有详细的解答步骤和答案。
3. 教材特点评价本章的教材内容设计紧密结合数学学科本身特点，注重培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
通过理论讲解和例题分析，有助于学生掌握不等式的基本概念、性质以及解题方法。
此外，教材还提供了大量的习题，有助于学生巩固和提高所学的知识。
4. 教学目标评价本章的教学目标主要包括： - 理解不等式的基本概念； - 掌握不等式的性质和基本解题方法； - 能够运用不等式解决实际问题； - 培养学生的逻辑思维和数学证明能力。
二、教学过程分析及评价1. 教学内容分析本章的教学内容主要包括不等式的基本概念、性质和解题方法。
在教学过程中，教师通过讲解、例题演示和学生练习等方式，引导学生逐步掌握不等式的相关知识和技巧。
2. 教学方法评价在教学过程中，教师采用了多种教学方法，如讲解、演示、练习等。
其中，讲解环节可以帮助学生理解不等式的基本概念和性质；演示环节可以通过具体例子帮助学生掌握解题方法；练习环节则是巩固所学知识和提高解题能力的重要环节。
3. 学生反应评价根据观察和学生反馈，大部分学生对本章的教学内容表示较好的理解和掌握。
不少学生认为教材中的例题和习题设计恰当，有助于他们理解不等式的性质和解题方法。
同时，一部分学生认为例题数量稍嫌有些少，希望能增加更多的练习题来巩固所学知识。
4. 教学效果评价通过测试和作业的评分，本章的教学效果整体较好。
大部分学生在学习本章后能够正确解决不等式相关的问题，并能够独立思考和解决实际问题。
2.1不等式的基本性质高中
(1)作差； 常用手段:配方法，因式分
(2)变形；
解法。
常见形式:变形为常数；
(3)定号；
一个常数与几
(4)下结论；
个平方和； 几个因式的积。
作商比较两数大小的依据
若 b0
(1) a 1 a b b
(2) a 1 a b b
(3) a 1 a b b
例1：已知a 0,1 b 0 ，那么在
三、例题分析：
例2:(2)已知2x 4y 1 ，比较 x2 y2
作与差210比的较大法:小__xx2_2_y_y2_2__121_0 _
注：特殊值 法容易漏“=”
20
x2
(1 4
1 2
x)2
1（条件 20
2x
4y=1
的应用）
5 x2 - 1 x+ 1 5（x2 - 1 x+ 1 ） 4 4 80 4 5 100
3b 4
1 1 1（乘法单调性）
4 Q2
a
b
3
3
1
-
a
（1 乘法法则）
2b
1 a 1（乘法单调性）
b2
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求 a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
ba
解：（4）Q 4 b 3 3 b 4（乘法单调性）
• 上式中的左边反映的是实数的运算性质， 而右边则是实数的大小顺序，合起来就成 为实数的运算性质与大小顺序之间的关系。 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大 小，而且是推导不等式的性质，不等式的 证明，解不等式的主要依据。
高中数学 不等式的基本性质
高中数学不等式的基本性质
高中数学不等式的基本性质
不等式的基本性质
1.不等式的定义：a-b0ab,a-b=0a=b,a-b0a
①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
2.不等式的性质：
①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：
(1)abb
(2)ab,bcac(传递性)
(3)aba+cb+c(cR)
(4)c0时，abacbc
c0时，abac
运算性质有：
(1)ab,cda+cb+d。
(2)ab0,cd0acbd。
(3)ab0anbn(nN,n1)。
高中数学不等式
不等式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>；4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______（答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭）二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
高中数学必修五《不等式的基本性质》教案
不等式的基本性质教学设计教学设计思想本节主要学习了不等式的三个基本性质，重点是不等式的基本性质，难点是不等式性质3的探索及运用，讲解时要将不等式的基本性质与等式的基本性质加以对比，弄清它们之间的相同点与不同点，这样有助于加深理解不等式的基本性质。
对于不等式的基本性质3，采用通过学生自己动手实践、观察、归纳猜想结论、验证等环节来突破的。
并在理解的基础上加强练习，以期达到学生巩固所学知识的目的.教学目标（一）教学知识点1.探索并掌握不等式的基本性质；2.理解不等式与等式性质的联系与区别．（二）能力训练要求通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力．（三）情感与价值观要求通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与交流．教学重点探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用．教学难点能根据不等式的基本性质进行化简．教学方法类推探究法即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质．教具准备投影片两张第一张：（记作§1.2 A）第二张：（记作§1.2 B）课时安排1课时教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？［生］记得．等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式．基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式．［师］不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证．Ⅱ.新课讲授1．不等式基本性质的推导［师］等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法．［生］∵3＜5∴3+2＜5+23－2＜5－23+a＜5+a3－a＜5－a所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．［师］很好．不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究．［生］∵3＜5∴3×2＜5×23×a＜5×b．所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变．［生］不对．如3＜53×（－2）＞5×（－2）所以上面的总结是错的．［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明．［生］如3＜43×3＜4×33×5＜4×53×（－3）＞4×（－3）3×（－4）＞4×（－4）3×（－5）＞4×（－5）由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变．［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为0），情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导．［生］当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变．［师］因此，大家可以总结得出性质2和性质3，并且要学会灵活运用．2．用不等式的基本性质解释(l/4)2＞π?(l/2π)2的正确性．［师］在上节课中，我们知道周长为l的圆和正方形，它们的面积分别为(l/4)2和π?(l/2π)2，且有(l/4)2＞π?(l/2π)2存在，你能用不等式的基本性质来解释吗？［生］∵4π＜16∴1/4π＞1/16根据不等式的基本性质2，两边都乘以l 2得(l/4)2＞π?(l/2π)23．例题讲解将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）x－5＞－1；（2）－2x＞3；（3）3x＜－9．［生］（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得x＞－1+5即x＞4；（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得x＜－2/3；（3）根据不等式的基本性质2，两边都除以3，得x＜－3．说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，要注意数的正、负，从而决定不等号方向的改变与否．4．议一议投影片（§ 1.2 A）讨论下列式子的正确与错误．（1）如果a＜b，那么a+c＜b+c；（2）如果a＜b，那么a－c＜b－c；（3）如果a＜b,那么ac＜bc；（4）如果a＜b,且c≠0,那么ac＞bc．［师］在上面的例题中，我们讨论的是具体的数字，这种题型比较简单，因为要乘以或除以某一个数时就能确定是正数还是负数，从而能决定不等号方向的改变与否.在本题中讨论的是字母，因此首先要决定的是两边同时乘以或除以的某一个数的正、负．本题难度较大，请大家全面地加以考虑，并能互相合作交流．.［生］（1）正确∵a＜b，在不等式两边都加上c，得a+c＜b+c；∴结论正确．同理可知（2）正确．（3）根据不等式的基本性质2，两边都乘以c，得ac＜bc；所以正确．（4）根据不等式的基本性质2，两边都除以c，得ac＜bc．所以结论错误．［师］大家同意这位同学的做法吗？［生］不同意．［师］能说出理由吗？［生］在（1）、（2）中我同意他的做法，在（3）、（4）中我不同意，因为在（3）中有a＜b,两边同时乘以c时，没有指明c的符号是正还是负，若为正则不等号方向不变，若为负则不等号方向改变，若c=0，则有ac=bc,正是因为c的不明确性，所以导致不等号的方向可能是变、不变，或应改为等号．而结论ac＜bc．只指出了其中一种情况，故结论错误．在（4）中存在同样的问题，虽然c≠0,但不知c是正数还是负数，所以不能决定不等号的方向是否改变，若c＞0,则有ａ＜b ,若 c＜0，则有a＞b ,而他只说出了一种情况，所以结果错误．［师］通过做这个题，大家能得到什么启示呢？［生］在利用不等式的性质2和性质3时，关键是看两边同时乘以或除以的是一个什么性质的数，从而确定不等号的改变与否．［师］非常棒.我们学习了不等式的基本性质，而且做过一些练习，下面我们再来研究一下等式和不等式的性质的区别和联系，请大家对比地进行．［生］不等式的基本性质有三条，而等式的基本性质有两条．区别：在等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，所得结果仍是等式；在不等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时会出现两种情况，若为正数则不等号方向不变，若为负数则不等号的方向改变．联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，都讨论的是在两边同时加上（或减去），同时乘以（或除以，除数不为0）同一个数时的情况.且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似．Ⅲ.课堂练习1.将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．（1）x－1＞2（2）－x＜３［生］解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x＞3（2）根据不等式的基本性质3，两边都乘以－1，得x＞－３．2．已知x＞y,下列不等式一定成立吗？（1）x－6＜y－6；（2）3x＜3y；（3）－2x＜－2y．解：（1）∵x＞y,∴x－6＞y－6．∴不等式不成立；（2）∵x＞y,∴3x＞3y∴不等式不成立；（3）∵x＞y,∴－2x＜－2y∴不等式一定成立．投影片（§ 1.2 B）3．设a＞b,用“＜”或“＞”号填空．（1）a+1 b+１；（2）a－3 b－3；（3）3a 3b；（4）a/4 b/4；（5）－1/2a－1/2b；（6）－a－b．分析：∵a＞b根据不等式的基本性质1，两边同时加上1或减去3，不等号的方向不变，故（1）、（2）不等号的方向不变；在（3）、（4）中根据不等式的基本性质2，两边同时乘以3或除以4，不等号的方向不变；在（5）、（6）中根据不等式的基本性质3，两边同时乘以－１／2或－1，不等号的方向改变．解：（1）a+1＞b+1；（2）a－3＞b－3；（3）3a＞3b；（4） a/4＞；（5）－1/2＜－1/2；（6）－a＜－b．Ⅳ．课时小结1．本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质．2．利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空．Ⅴ．课后作业习题1.2Ⅵ．活动与探究1．比较a与－a的大小．解：当a＞0时，a＞－a；当a=0时，a=－a；当a＜0时，a＜－a．说明：解决此类问题时，要对字母的所有取值进行讨论.2．有一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大哪个小？解：原来的两位数为10b+a．调换后的两位数为10a+b．根据题意得10a+b＞10b+a．根据不等式的基本性质1，两边同时减去a，得9a+b＞10b两边同时减去b，得9a＞9b根据不等式的基本性质2，两边同时除以9，得a＞b．板书设计§1.2不等式的基本性质1．不等式的基本性质的推导．2．用不等式的基本性质解释＞．3．例题讲解.4．议一议练习小结作业备课资料参考练习1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）x－2＜3；2）6x＜5x－1；（3） x＞5；（4）－4x＞3．2.设a＞b.用“＜”或“＞”号填空.（1）a－3 b－3；（2）；（3）－4a－4b；（4）5a 5b；（5）当a＞0，b 0时，ab＞0；（6）当a＞0，b 0时，ab＜0；（7）当a＜0，b 0时，ab＞0；（8）当a＜0，b 0时，ab＜0．参考答案：1.（1）x＜5;（2）x＜－1；（3）x＞10;（4）x＜－．2.（1）＞（2）＞（3）＜（4）＞（5）＞（6）＜（7）＜（8）＞．。
高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1
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������ ������2+1
,
故正确;对于选项
D,当 c=0 时不正确.
答案:C
【做一做2-2】 下列命题中正确的有
.
①若a>b,则ac2>bc2;
②若
������ ������2
>
������ ������2
,
则a>b;
③若
a>b,ab≠0,则
1 ������
<
1 ������
;
④若 a>b,c>d,则 ac>bd;
C.
������ ������2+1
>
������ ������2+1
D.a|c|>b|c|
解析:对于选项A,还需有ab>0这个前提条件;对于选项B,当a,b都
为负数时不成立,或一正一负时可能不成立,如2>-3,但22>(-3)2不正
确;对于选项
C,由
1 ������2+1
>
0,a>b,可知
������ ������2+1
(3) 加(减) 如果 a>b,那么 a+c>b+c,即 a>b⇔a+c>b+c
(4)
乘(除)
如果 a>b,c>0,那么 ac>bc; 如果 a>b,c<0,那么 ac<bc
(5) 乘方 如果 a>b>0,那么 an>bn(n∈N*,且 n≥2)
(6) 开方 如果 a>b>0,那么������ ������ > ������ ������(n∈N*,且 n≥2)
(完整版)高中数学不等式知识点总结
(完整版)高中数学不等式知识点总结高中数学中，不等式是一个重要的内容，它是解决数学问题的一种有力工具。
不等式是一种用于描述数值的大小关系的数学语句，它包含“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等符号。
在数学考试中，不等式问题常常出现在基础知识和综合应用的部分，所以对不等式的学习是非常必要的。
下面我将为大家总结一下高中数学中关于不等式的知识点。
一、不等式的基本概念1. 不等式的定义：不等式是数值之间大小关系的表达式，由关系符号和数值构成。
2. 关系符号的含义：- 大于：表示前面的数比后面的数要大，如a>b。
- 小于：表示前面的数比后面的数要小，如a<b。
- 大于等于：表示前面的数比后面的数大或相等，如a≥b。
- 小于等于：表示前面的数比后面的数小或相等，如a≤b。
二、不等式的性质及常用规则1. 不等式的性质：- 若a>b，则-a<-b。
- 若a>b，则a+c>b+c。
- 若a>b，则ac>bc（当c为正数时）。
- 若a>b，则ac<bc（当c为负数时）。
- 若a>b，且c>0，那么a/c>b/c。
- 若a>b，且c<0，那么a/c<b/c。
2. 不等式的常用规则：- 加法规则：若a>b，则a+c>b+c。
- 减法规则：若a>b，则a-c>b-c。
- 乘法规则：若a>b（c>0），则ac>bc；若a<b（c<0），则ac<bc。
- 除法规则：若a>b（c>0），则a/c>b/c；若a<b（c<0），则a/c<b/c。
- 对称性：若a>b，则-b<-a。
三、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解集表示法：- 解集用区间表示。
- 开区间：解集中的数不包括端点。
- 闭区间：解集中的数包括端点。
2. 不等式的性质应用举例：- 若a>0，则-1/a<0。
高中数学不等式知识点总结
弹性学制数学讲义不等式（4课时）★知识梳理1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2baab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b aab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b an b n a m a mb a b<++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小）， 如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k >+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=< ②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z =22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
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高中数学不等式的基本性质不等式的基本性质
1.不等式的定义：a-b0ab,a-b=0a=b,a-b0a
①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
2.不等式的性质：
①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：
(1)abb
(2)ab,bcac(传递性)
(3)aba+cb+c(cR)
(4)c0时，abacbc
c0时，abac
运算性质有：
(1)ab,cda+cb+d。
(2)ab0,cd0acbd。
(3)ab0anbn(nN,n1)。
(4)ab0(nN,n1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：
(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。
(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。
要练说，先练胆。
说话胆小是幼儿语言发展的障碍。
不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。
总之，说话时外部表现不自然。
我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。
一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。
每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。
二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。
或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励
他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。
三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。
对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。
长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。
我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文
水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。
特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。
知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。
根本原因还是无“米”下“锅”。
于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。
所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中
学生作文的通病。
要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。
(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。