n维向量,线性相关性

k11 k12 k 21 k 22 ( β1 , β2 ,, βt ) α1，α 2， ，α s k s1 k s 2 ， 记矩阵A α1，α2， αs , B β1 , β2 ,, βt , K (kij ) st k1t k 2t k st
将系数矩阵A分裂成列向量 A (1 , 2 , , n ) ,
则方程组改写为 x11 x2 2 xn n ,
线性方程组 Ax 解的问题， 等价于常数列 被 A 的列向量组线性表示的问题.
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定理3.3 n维向量 可由n维向量组 α1，α2， ，αs 线性表示 n元线性方程组 x1α1 x2 α2 xs αs β 有解 矩阵 A (α1 ,α2 , ,αs )与矩阵 A (α1 ,α2 ,,αs , β) 的秩相等. 由此可知： （1）n维向量 β 可由n维向量组 α1，α2， ，αs 唯一线 性表示 r ( A) r ( A) s； （2）n维向量 β 可由n维向量组 α1，α2， ，αs 线性表 示且表示法不唯一 r ( A) r ( A) s ； （3）n维向量 β 不能由n维向量组 α1，α2， ，αs 线性 表示 r ( A) r ( A) .
由定义3.4 不难验证向量组的等价关系具有下列性质： 设(A)，(B)，(C)均为n维向量组，则 反身性 任一维向量组(A) (A). 对称性 若(A) (B)，则(B) (A). 传递性 若(A) (B) ,(B) (C) 则(A) (C).
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设向量组 β1 , β 2 ,, βt 可由向量组 α1，α2， ，αs 线性表示为 k1 j k2 j β j k 1j α 1 k 2j α 2 k sj α s α1，α 2， ，α s k sj ( j 1,2,, t ) 将上述线性表示式写成矩阵形式：
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1 2 0 3 1 2 0 3 0 - 1 1 - 2 0 1 -1 2 , 0 0 a -1 0 0 1 -1 b 0 0 0 - 1 a - 2 0 b - 2
(1) b 2 时， 不能由1 , 2 , 3 线性表出；
6 31 2 2 - 5 3 ,
1 ( 3 1 2 2 - 5 3 ) (1,2,3) . 6
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定义3.2 数域F上所有n维向量组成的集合
F n {(a1 , a2 ,, an )T a1 , a2 ,, an F}
连同其上定义的加法和数量乘法，称为数域F上的n n 维向量空间(vector space). 特别， R 表示实数域R 上的n维向量空间. 以后，若无特别说明，涉及的向 量均为 R n 中的向量.
定理3.5 （1）若矩阵A经有限次初等行（列）变换 化成矩阵B，则矩阵A与B的行（列）向量组等价. （2）若矩阵A经有限次初等行（列）变换化成矩阵 B，则矩阵B的列（行）向量与矩阵A的列（行）向 量间有相同的线性关系，即矩阵的初等行（列）变 换不改变矩阵的列（行）向量间的线性关系.
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证明 设矩阵A经有限次初等行变换化成矩阵B，则 存在可逆矩阵P使 PA B ，所以矩阵A与B的行向量 组等价且
则 (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )，
k (ka1 , ka2 ,, kan ) .
3
向量的线性运算满足以下八条运算律：
(1) +=+ (2) +(+)=(+)+ (3) +0= (4) +(-)= 0 (5) (k+l)=k+l (6) k(+)=k+k (7) (kl)=k(l) (8) 1=
8
例如, =(2,-1,1), 1=(1,0,0), 2=(0,1,0), 3=(0,0,1),
因为 = 21-2+3 ,
即 是 1,2,3 的线性组合,
或者说 可由1,2,3 线性表示.
☎ ☎
零向量能被任何向量组1 ,, s 线性表示:
o 01 0 s .
定理3.4 向量组 β1 , β 2 ,, βt 可由向量组 α1，α2， ，αs 线性表示的充要条件是 r ( A) r ( A, B) ，其中
A α1，α2， ，αs , B β1 , β2 ,, βt
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推论3.4 设矩阵 A α1，α2， ，αs , B β1 , β2 ,, βt ，那么 （1）向量组 β1 , β 2 ,, βt 与向量组 α1，α2， ，αs 等价的 充要条件是 r ( A) r ( B) r ( A, B) . （2）若向量组 β1 , β2 ,, βt 可由向量组α1，α2， ，αs 线性 表示，则 r ( B) r ( A) . （3）r ( AB) min{r ( A), r ( B)} ，特别，当矩阵A可逆时， r ( AB) r ( B)
其中, , 都是n维向量, k, l 为实数.
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除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：
(1' ) 0 o, ko o(其 0 为 零 , k为 意 ) ; 中 数 任 数
(2' ) 若k o, 则 k 0, 或 o ; 故 或
kα O k 0或α O
☎
任意一个 n 维向量 ( a1 , a 2 , , a n ) 都能被向量
组 1 , 2 , , n 线性表示:
a1 1 a2 2 an n .
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x1 b1 x2 b2 对线性方程组 Ax , x , , x b n n
(3' ) 向量方程 x 有唯一解x - . 移项规则
例1 设 3(1 - ) 2( 2 ) 5( 3 ) ， 其中 1 (2,5,1) , 2 (10,1,5) , 3 (4,1,-1) , 求 .
解 31 - 3 2 2 2 5 3 5 ,
则上式可写成: B AK （K叫该线性表示的系数矩阵）
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一般地，若矩阵 A, B, C 具有关系 A BC ，则矩阵A 的列向量组可由矩阵B的列向量组线性表示，C为这 一表示的系数矩阵；而矩阵A的行向量组可由矩阵C 的行向量组线性表示，B为这一表示的系数矩阵. 特别，若矩阵C可逆，则矩阵A的列向量组与矩阵 B的列向量组等价；若矩阵B可逆，则矩阵A的行向量 组与矩阵C的行向量组等价. 上述讨论表明： 向量组 β1 , β 2 ,, βt 可由向量组 α1，α2， ，αs线性表示 的充要条件是矩阵方程 AX B 有解 X K (kij ) st 其中 A α1，α2， ，αs , B β1 , β2 ,, βt
练习：
P123
习题三
6
§3.3
7
一、线性组合、线性表示
定义3.3 给定 n 维向量 1 ,, s 和 , 若存在 s 个数
k1 ,, ks ，使 k11 ks s ，则称 是向量 组 1 ,, s 的一个线性组合，或称 能被向量组 1 ,, s 线性表示(线性表出)。
k1 k1 k1 k2 k2 k2 A O PA B O k k k n n n
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例2
设向量组 1 (1, 4, 0, 2) ， 2 ( 2, 7, 1, 3) ，
T T
T
3 ( 0, 1, - 1, a) ， (3, 10, b, 4)T ，问：a, b 满
足什么条件时,
(1) 可由 1 , 2 , 3 线性表出，且表示法唯一；
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1 1 2 2 例1 设 1 0 , 2 2 , 3 1 , 5 , 1 1 0 4
能否由1 , 2 , 3 线性表示?
(2) b 2 且a 1 时， 可由1 , 2 , 3 唯一表出；
(3) b 2 且a 1 时， 可由1 , 2 , 3 线性表出；
但表示法不唯一: β (3 - 2t )α1 tα2 (-2 t )α3 , (t R)
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现在讨论两个向量组之间的线性表示问题.
向量组 1 , , s 01 1 j 0 s .
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称 1 (1 , 0 , , 0) , 2 (0 , 1 , , 0) , , n (0 , 0 , , 1) 为n维基本单位向量组。
定义 3.4 如果向量组(Ⅰ) 1 ,, s 中每个向量
均可由向量组(Ⅱ) 1 ,, t 线性表出，则称向量组 (Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出； 若两向量组 1 ,, s 与 1 ,, t 可以互相线性 表出,则称它们等价，记为{α1，α2， ，αs } {β1 , β2 ,, βt }
§3.2
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定义3.1 n 个数组成的有序数组 (a1 , a2 ,, an ) 称为
一个 n 维向量。
a1 , a2 ,, an 称为向量 的分量或坐标。
行向量
(a1 , a2 ,, an )
a1 a2 a n
列向量
或 (a1 , a2 ,, an )T
2
一般用希腊字母 , , 等表示 n 维向量。
分量全部为零的向量称为零向量，记为 o 。 向量可视为特殊的矩阵, 因此, 向量的相等、加减法、 数乘等概念完全与矩阵相同.