第五章数学教育的基本理论
中学数学教学原则
第一节 教学原则及数学教学原则
• 教学原则是教学必须遵循的基本要求，是 根据教育、教学目的，反映教学规律而制 定的指导教学工作的基本原理，是教师在 教学中实施教学最优化所必须遵守的各项 基本准则。 • 我国历史上的教育家关于教学原则的论述： 循序渐进；学思结合；启发引导；因材施 教；复习巩固；教学相长；知行结合等。
• 《教育学》，王道俊等，人民教育出版社， 1989年。 • 科学性与思想性统一原则，理论联系实际 原则，直观性原则，启发性原则，循序渐 进原则，巩固性原则，可接受性原则，因 材施教原则等。
• 数学教学原则：是依据数学教学和教育的 目的，反映数学教学规律而制定的指导数 学教学工作的基本原理。数学教学原则是 数学教学经验的提炼、概括、总结出的一 般原理，成为数学教学的基本要求和准则， 是数学教学规律的反映。
4、巩固与发展相结合原则
• 所谓巩固性原则就是要求学生牢固地掌握 已 学基本知识、基本的数学思想、数学方 法，使数学技能和技巧达到熟练，能够把 知识、数学思想和数学方法保持于记忆中， 而在需要时能够想起和应用这些知识。 • 发展性原则就是指 教学应当依靠学生那些 已有的知识、数学思想、数学方法及将要 成熟的心理过程，创造“最近发展区”， 让儿童自己努一把力 ，在智力的阶梯上提 高一级。即思维得到了发展。
如何贯彻抽象与具体相结合原则
• 首先要着重培养学生的抽象思维能力 思维的基本形式 ：概念、判断、推理 • 其次要培养学生观察能力和提高抽象、概括 能力 • 直观教具的使用、数形结合的方法
2、严谨性与量力性相结合原则
• 严谨性是数学科学理论的基本特点。它要求数学 结论的表述必须精练、准确。而对结论的推理论 证，要求步步有根据，处处符合逻辑理论的要求。 在数学内容的安排上，要求有严格的系统性，要 符合学科内在逻辑结构，既严格，又周密。 • 量力性是指学生的可接受性。
数学教育心得及体会
数学教育心得及体会数学教育概论》这本书是由张奠宙、宁乃庆主编的，是普通高等教育十五国家级规划教材数学系列教材之一，它带附带有一个光盘，由高等教育出版社出版。
这是一个关于数学教育基本理论与实践的概述，目的是帮助具有数学专业知识的学生获得有关数教育的基本知识和技能。
它不再只是教材教法的说明书式的记叙，而是阐述数学教育的规律，具有自己怕学科体系。
全书分为实践篇和理论篇。
首先从观赏、分析大量的数学教学案例入手，帮助学生编制教案，走上讲台。
然后概略地介绍当代数学教育的基本理论，探讨数学教学的目的、学生应具备的数学能力、数学教学模式、数学教育的德育功能等基本课题，同时研究数学思想方法的价值，以及数学史、数学教育技术、数学教育心理等有关问题。
书中设专章介绍和研究《全日制义务教育数学课程标准》和《普通高中数学课程标准》的制定和实验，并就数解题和数学考试、数学教育研究等问题进行阐述。
数学是人类文明的火车头。
古希腊文明时期的数学著作──欧几里得的《几何原本》成为人类理性精神的典范。
它在西方国家的印刷数量，仅次于圣经。
当历史经过中世纪的漫漫长夜之后，是笛卡尔、费马、牛顿、一莱布尼茨创立的微积分，宣告了资本主义文明的科学黄金时代的来临。
19世纪发现的非欧几何、高斯---黎曼建立的微分几何进入爱因斯坦的相对论，缔造了物理学革命，成为20世纪文明的标志之一。
现在，当人们在普遍享受信息文明的时候，自然会想起为它奠基的数学家的贡献：冯诺依曼设计的电子计算机，连同维纳的控制论、仙农的信息论，人类终于迎来了航天飞行和手机普及的时代。
数学无处不在，数学无往不利。
人类的进步一时一刻也不能离开数学。
就单个个人而言，由于数的严谨与抽象，经过烽学的学习和训练，人的思维能力就获得一次升华。
学习数学，不仅为学习其他学科打下了扎实基础，而且能够培养人们不迷信权威，不感情用事，不停留于表面现象的思维品质，甚至从数学这无声的音乐、无色的图画中，领略到美的崇高境界。
《数学教学论》教学大纲
《数学教学论》教学大纲课程编码：090117课程名称：数学教学论学时/学分：36/2先修课程：《教育学》、《心理学》适用专业：数学与应用数学专业开课教研室：课程论教研室一、课程性质与任务1．课程性质：本课程是数学与应用数学专业的专业必修课。
2．课程任务：本课程是一门与数学、教育学、心理学、逻辑学、数学数学论等学科相关联的综合性、边缘性学科，同时也是一门实践性很强的学科。
通过本课程的学习，使学生了解数学教育发展的历史和现状，掌握中学数学教育的基本理论和方法以及中学数学概念、命题、解题教学的基本方法和技能，理解中学数学课程的制定与改革的历史与现状，具备应用中学数学教育理论和方法于中学数学教学实践的能力，提高中学数学教育研究的能力，学生扩大数学视野，培养数学思维品质，克服对中学数学教学工作的畏难心理，激发学习兴趣。
二、课程教学基本要求明确在中学数学教学中“怎样教”、“怎样学”、“怎样评”和“教什么”、“学什么”以及相关的理论和实践，帮助学生树立先进的教学理念，掌握数学教学的基本规律和教学技能以及教学研究方法，培养未来数学教师的基本本领。
为后续的微格教学、初等数学研究课程提供必要的理论和方法学支持。
主要教学环节包括课堂讲授、案例分析、小组讨论等。
其中以课堂讲授为主，研制电子教案和多媒体幻灯片以及CAI课件，在教学方法和手段上采用现代教育技术。
成绩考核形式：期终成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％）。
成绩评定采用百分制，60分为及格。
三、课程教学内容第一章 绪 论1.教学基本要求理解和掌握数学教学论的定义和研究范围,明确数学教学论的学科性质；掌握数学教学论的研究方法。
2.要求学生掌握的基本概念、理论通过本章学习，使学生能准确理解数学教学论、观察法、实验法、调查法、访谈法等基本概念，掌握数学教学论学的研究方法。
3.教学重点和难点重点：数学教育成为一个专业、一门科学学科的历史，数学教育学的研究方法；难点：数学教育学的研究方法。
数学教育学复习资料
第一章绪论：为什么要学习数学教育学1、古代学校教育的主要目的：培养大大小小的官吏，僧侣和文职人员2、西方教育的主要目的：训练学生的心智，在“七艺”教育（文法、修辞、逻辑学、算术、几何、天文、音乐）中，几何和天文的地位排在文法、修辞、逻辑学之后。
3、中西教育的区别：在中国，古代算学仪测量田亩、计算税收等为目的，主要用于国家管理，中国古代数学教育的主要目的是为了经世致用，地位不高；在西方，见西方教育的目的。
4、教育斗争的焦点：传统的人文学科依然在学校教育中占领着统治地位。
5、数学教育研究的热点问题：从课程问题到教师教育问题，到学习问题，到课堂教学问题，到社会、文化、语言问题和评价问题，如果说得更小更具体一点的话，数学教育研究关注过符号化和形式化，问题解决、应用和建模，证明和论证，各个学习领域教与学和各个教育层次的数学教育问题。
1960、1970年代以研究教育体制、课程、教学经验或大规模的课程实验为主，使用统计分析方法的定量的比较研究较多；1970年代后期，对个别人或少数学生的小型的、定性的研究明显增加，这种研究在1980和1990年代盛行；1980年代以后，受皮亚杰和V ygotsky等心理学家的影响，解释学生理解的理论及相应的思想学派变得兴旺起来。
第二章数学课堂教学观摩与评析一些特定类型的课例赏析：（1）活动教学；（2）生成式的数学概念教学；（3）整体数学教学；（4）基于网络环境的数学教学；（5）探索命题教学；（6）探索性复习课合理的运用数学教学活动应当具备以下特征：数学活动应该是现实的、有趣的、富有挑战性的，与学生的生活经验相联系的；数学活动应该有助于培养学生实验、观察、猜想和思维的能力；数学活动应该关注正式的活动。
第三章数学教学设计1、教案三要素：明确教学目标；形成设计意图；制定教学过程。
2、数学教学目标的定义：设计者希望通过数学教学活动达到的理想状态，是数学教学活动的结果，也是数学教学设计的结果。
数学教育概论
数学教育概论数学教育概论目录第一章绪论：为什么要学习数学教育学第一节数学教育成为一个专业的历史第二节数学教育成为一门科学学科的历史第三节数学教育研究热点的演变第四节几个数学教育研究的案例理论篇第二章与时俱进的数学教育第一节20世纪数学观的变化第二节作为社会文化的数学教育第三节20世纪我国数学教育观的变化第四节国际视野下的中国数学教育第五节改革中的中国数学教育附录：我国影响较大的几次数学教改实验第三章数学教育的基本理论第一节弗赖登塔尔的数学教育理论第二节波利亚的解题理论第三节建构主义的数学教育理论第四节我国“双基”数学教学第四章数学教育的核心内容第一节数学教育目标的确定第二节数学教学原则第三节数学知识的教学第四节数学能力的界定第五节数学思想方法的教学第六节数学活动经验第七节数学教学模式第八节数学教学的德育功能第五章数学教育研究的一些特定课题第一节数学教学中数学本质的揭示第二节学习心理学与数学教育第三节数学史与数学教育第四节数学教育技术第五节数学优秀生的培养与数学竞赛第六节数学学差生的诊断与转化附录：数学学差生诊断与转化个案第六章数学课程的制定与改革第九章数学课堂教学观摩与评析第一节师范生走向课堂执教时的困惑第二节案例学习——数学弄懂了还要知道怎么教第三节一些特定类型的课例赏析第四节一些案例（课堂教学片段）的评析第十章数学课堂教学基本技能训练第一节如何吸引学生第二节如何启发学生第三节如何与学生交流第四节如何组织学生第五节形成教学艺术风格第十一章数学教学设计第一节教案三要素第二节数学教学目标的确定第三节设计意图的形成第四节教学过程的展示第五节优秀教学设计的基本要求第一章绪论:为什么要学习数学教育学一、数学教育的沿革与发展（一）专业培养目标本专业主要培养学生掌握数学科学的基本理论与基本方法，能够运用数学知识解决实际中的一些问题，具有现代教育观念，适应教育改革需要，以及具有良好的知识更新能力。
就业面向九年制义务教育阶段中学数学师资和教育、教学管理工作人员、教学研究人员及其他教育工作者。
数学教育概论
(3)审美作用
见P106
数学教学语言说明的类型 （一）叙述性说明 （二）论证性说明 （三）描绘性说明 （四）解释性说明 （五）启发性说明 根据上述五种数学教学语言说明的类型总结得出数学课堂语言的类型
（一）一般教学语言 简练明确、丰富生动、文明热情 （二)数学语言 1、数学语言具有精确性 2、数学语言具有简约性 1、数学语言具有逻辑性
表格式：根据教学内容可以明显的分项设计的（例如学 习椭圆的标准方程，函数的图象等） 图示式：特点是形象直观的展示数学内容，许多难以用语 言解释的都可以采用这个方法。（例如初中实数概念）
版图式：几何课中运用最多
总分式：这种板书条理清楚、从属关系分明（例如实数 的分类）
综合式：这种板书新鲜、层次清楚、图文并茂，能充分 发挥板书版画的功能。
*教师应当养成良好的板书习惯：板书时要注意姿势，要学会边交流边
写，侧身写，板书姿势应使教师的目光既能看到黑板，又能随时观察 到学生的表情，也不遮挡学生的视线，这样能够做到随时与学生交流 。
提纲式：数学课中常用的板书方法，特别是小结课和复习 课（例如集合的知识）
数 学 课 板 书 版 画 的 类 型
3.突出重点，强化记忆：高度概括的板书，以简练的语言将知识条理化、 系统化，并把教学重点、难点、关键和注意事项写在突出位置上或加以醒 目的色彩，学生通过耳听、眼视、手动以强化对知识的记忆。
4.激发学生的学习兴趣，启发学生思维：合理的板书布局、秀丽的文字、独具 匠心的版画，构成一个形式优美、重点突出、高度概括的微型教案，它赋予学 生美的感受。 5.审美作用：板书版画是书法、绘画，制表艺术的综合体现，书写端正，字 迹清秀，绘图精美，布局合理的板书，犹如用文字和符号巧妙组成一幅艺术 画面，令人赏心悦目，获得美的感受。
幼儿数学教育第五章
二、区别1与许多
（一）意义 引导感知集合及其元素，促进幼 儿感知元素的分化过程。以及确切计 数能力以及10以内数概念的发展。
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ Ⅳ ∵ Ⅴ
（二）区别“1”与“许多”教学的一般方法
1、感官参与
为幼儿提供一定的材料和环境，引导幼 儿通过感觉器官的直接参与来体验和加以 区分的一种较常见的方法。
∵
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ
不含任何元素的集合称为空集，记作
例2 求方程 X 2 X 1 0 的集合
所有实数解
解：因为 X 2 X 1 0 没有实数解，所以 {x| X 2 X 1 0 ,x∈R}=
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ Ⅳ
∵
Ⅴ
选择题 1.不能形成集合的是（ C） A.正三角形的全体 B.高一年级所有学生 C.高一年级所有高学生 D.所有无理数 2.设集合{a}用A表示，则下列各式中正确的是 （B ）A．0∈A B．a∈A Ⅰ C．a A D．a≠0
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ Ⅳ ∵ Ⅴ
Q：本活动可以如何设计？ 小组讨论，并分享
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ Ⅳ ∵ Ⅴ
区分1与许多活动组织的要点：
教学步骤 1、通过观察比较，教学前儿童区别1个物体和多个物 体 2、运用多种感官感知“1”和“许多” 3、通过寻找物体的活动，加深学前儿童对“1”和“许 多”的认识 4、通过分与和的操作活动，加深学前儿童对“1”和 Ⅰ “许多”关系的认识 Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ Ⅳ
∵
Ⅴ
三、结束部分 教师：我们今天捉了许多小鱼，现在一起 回家煮鱼吃吧。 鸭妈妈带着小鸭，唱着歌儿回家：“一条 一条又一条，许多小鱼水里游。一只一只又 一只，许多小鸭捉小鱼。捉了小鱼回家煮， Ⅰ 回家煮！”
五年级下册数学全册教案设计：教育理论篇
五年级下册数学全册教案设计：教育理论篇数学是一门重要的学科，也是人类文明发展的基石之一。
在学习数学的过程中，教师应该借助教育理论来指导教学，提高教学效果。
本文将从教育理论的角度出发，结合五年级下册数学全册的教学内容，探讨如何有效地设计教案。
一、认知发展理论1. 理论简介认知发展理论是关于人类思维方式、能力变化和个体差异的理论。
这一理论主要关注儿童的思维和认识发展。
认知发展理论分为三个阶段：感性阶段（0-2岁），前运算阶段（2-7岁）和具体运算阶段（7-12岁）。
2. 在数学教学中的应用在五年级下册数学教学中，我们主要关注前运算阶段和具体运算阶段的教学。
在前运算阶段，儿童对数量的认知主要是通过观察和体验进行的。
我们可以采用实物、图片等多种形式来帮助学生理解数学概念。
在具体运算阶段，儿童已经具有了较为成熟的数量概念，我们可以通过具体的问题来提高学生的运算能力。
二、建构主义理论1. 理论简介建构主义强调学生通过自主探究和合作学习来建构知识。
教师的主要任务是引导学生探究和发现知识，而不是直接传授知识。
建构主义强调学生的学习是主动的过程，他们需要通过实践来探究解决问题的方法。
2. 在数学教学中的应用在五年级下册数学教学中，我们可以采用多种方法来引导学生探究和发现知识。
例如，我们可以组织学生一起制作数学实物，通过实际操作来深入理解数学概念。
同时，我们可以采用问题解决的方式来提高学生的解决问题能力，在这个过程中引导学生发现知识点。
三、认知负荷理论1. 理论简介认知负荷理论是指在学习过程中，人们的（认知）能力是有限的，当对某个任务的认知负荷超过了学习者的认知能力时，学习效果就会下降。
教学设计应该考虑到学生的认知能力，尽量避免认知负荷的超限。
2. 在数学教学中的应用在五年级下册数学教学中，我们应该考虑到学生的认知能力，尽量避免将不同难度的知识点混在一起教授。
同时，在进行知识传授时，我们可以通过多次演示、讲解和实践来减少学生的认知负荷，提高学习效果。
数学专业的数学教育理论
数学专业的数学教育理论在数学教育领域，数学专业的专业知识和教育理论的结合是非常关键的。
数学专业的学生不仅需要具备扎实的数学功底，还需要了解数学教育的理论和方法，以便能够有效地传授数学知识给学生。
本文将探讨数学专业的数学教育理论，并就该理论在实际教学中的应用进行讨论。
一、数学教育理论的重要性数学是一门抽象而具有逻辑性的学科，许多学生对数学感到困惑和无趣。
因此，数学教育理论的研究对于提高数学教学的效果至关重要。
数学教育理论可以帮助教师深入了解学生学习数学的特点，明确数学教学的目标，并选择合适的教学策略和方法。
二、数学专业的数学教育理论数学专业的学生在学习数学教育理论时，需要掌握以下几个关键的理论内容：1. 发展性学习理论发展性学习理论认为学生的学习过程是一个逐渐发展的过程，不同年龄段的学生具有不同的学习特点和能力。
数学专业的教师需要根据学生的认知发展水平来设计教学内容和方法，以促进学生的学习进步。
2. 构成主义学习理论构成主义学习理论认为学习是主动构建知识的过程，学生通过积极参与问题解决和实践活动来建立数学概念和知识。
数学专业的教师可以通过启发性教学方法和探究式学习活动来激发学生的学习兴趣和动力。
3. 社会文化理论社会文化理论认为学习是一种社会交往和文化传承的过程，学生通过与他人的合作和交流来建构数学知识。
数学专业的教师需要创设积极的学习环境，鼓励学生之间的互动和合作，以促进数学知识的共建。
4. 多元智能理论多元智能理论认为学生具有多种智能，数学专业的教师应该通过多样化的教学方法和评价手段来满足学生的不同学习需求和智能特点。
三、数学教育理论的应用数学专业的教师应该将数学教育理论与实际教学相结合，以提高教学效果。
以下是一些运用数学教育理论的实际教学策略：1. 引导性教学数学专业的教师可以通过提出问题、引导学生思考和讨论的方式，激发学生的学习兴趣和动力。
2. 合作学习数学专业的教师可以组织学生进行小组合作学习，让学生之间相互交流、合作解决问题，提高学生的学习效果。
《数学分析》第五章 一元函数积分学
“求出”来的．例如
∫e
± x2
dx, ∫
dx sin x ,∫ dx,∫ 1 − k 2 sin 2 x dx(0 < k 2 < 1) ln x x
等等，虽然它们都存在，但却无法用初等函数来表示，因此可以说，初等函数的原函数 不一定是初等函数．即在初等函数的范围内，某些初等函数的原函数是不存在的，即使该函 数可积。这类非初等函数可采用定积分形式来表示。
它在[0，1]上必定不可积，这是因为对任何分割 T，在 T 所属的每个小区间都有有理数与无 理数（据实数的稠密性） ，当取 {ξ i }1 全为有理数时，得
n
∑ D(ξ )∆x = ∑ ∆x
I i i =1 i =1
n
n
i
= 1,
当取 {ξ i }1 全为无理数时，得
n
∑ D(ξ )∆x = ∑ 0 ⋅ ∆x
b
x
7. 无穷限反常积分： 设函数／定义在无穷区间[ a,+∞ )上，且在任何有限区间[ a, u ]上可 积．如果存在极限
f ( x)dx = J ， u → +∞ ∫a
lim
u
(1)
则称此极限 J 为函数 f 在[ a,+∞ )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作
J = ∫a f ( x)dx ，
3. 定积分： 设
f
是定义在
[a, b] 上的一个函数， J 是一个确定的实数．若对任给的正数 [a, b] 的任何分割 T ，以及在其上任意选取的点集 {ξ i } ，
≺ ε ，则称函数 f 在区间 [a , b ] 上可积或黎曼可
ε
，总存在某一正数 δ ，使得对
只要
T ≺δ
阜阳师院中小学数学教育概论课件第5章 与时俱进的数学教育
如何理解数学？（续）
数学是人类文明的火车头 数学打上了人类各个文化发展阶段的烙 印 数学从社会文化中汲取营养 数学思维方式对人类文化的独特贡献 数学成为描述自然和社会的语言
第三节 20世纪我国数学教育观
由关心教师的“教”转向更关注学生的 “学”（以学促教，以学评教） 由“双基”与“三大能力”发展到更广泛的 能力（P149新课标提出新的数学能力观） 从听课、阅读、演练到倡导实验、讨论、探 索的学习方式（表5-1） 从注重数学抽象和严谨到数学文化、数学探 究和数学建模（创新意识，应用能力）
一切高技术的背后都有某种数学技术支持， 数学技术已成为知识经济时代的一个重要特征
核心数学的发展趋势
从线性到非线性 从交换到非交换 从一维到高维 从确定到随机，连续到离散，局部到整体
核心数学更加核心，应用数学更加应用
20世纪数学观的变化
公理化方法与形式演绎仍然是数学的基 本特征之一（数学不等于形式） 在计算机技术的支持下，数学注重应用 逻辑是数学家为了保持数学健康而实行 的卫生规则（H.外尔）——数学不等于 逻辑，做“好”的数学
（续1）
从学科分类看，数学既不属于自然科学， 也不属于文化学科
从认识论的角度看，数学具有经验性、 演绎性
从数学研究的方法论看，在传统数学研 究的方法论视野中，数学被看做是演绎 的科学，而在现代数学研究的方法论视 野中，数学被看作是实验与演绎并重的 科学
（续2）
从价值论角度看，数学具有科学价值和 实用价值。
第四节 国际背景下的中国数学 教育
WTO ICMI（国际数学教育委员会）始于1908 F.Klein Freudenthal ICME(国际数学教育大会)始于1969年 高分下潜伏的数学危机——缺乏顺序教育理论 中外（东西方）数学教育比较（表5-2）
数学教育概论教学大纲(最新完整版)
数学教育概论教学大纲(最新完整版)数学教育概论教学大纲教学大纲是规定教学内容及教学方法的指导性文件，以下是数学教育概论的大纲：一、课程基本信息数学教育概论是高等师范院校教师教育类必修课程，具有学科专业性和教育专业性，旨在使学生掌握数学教育的基本理论和实践技能，提高从事小学数学教学和小学数学教育研究工作能力。
二、课程目标1.知识目标：掌握数学教育的基本理论，包括数学课程、教学、评价和管理等方面的知识；了解小学数学教育的特点和方法。
2.能力目标：培养学生从事小学数学教学和小学数学教育研究的能力，包括教学设计、教学实施和教学评价的能力。
3.情感和价值观目标：培养学生热爱教育事业，关注小学数学教育改革和发展，树立正确的教育观念。
三、课程内容和要求1.数学课程与教学的基本理论：包括数学课程的性质和目标、教学内容和要求、教学方法和手段等方面的知识。
2.小学数学教学的基本理论：包括小学数学教学的特点和规律、小学数学教学设计和实施、小学数学教学评价等方面的知识。
3.小学数学教育的实践技能：包括教学设计、教学实施和教学评价等方面的技能。
4.综合实践：结合具体案例，培养学生综合运用所学知识分析和解决小学数学教学问题的能力。
四、教学方法和手段采用讲授、案例分析、课堂讨论等多种教学方法，注重理论联系实际，通过具体案例分析，帮助学生理解和掌握小学数学教育的基本理论和实践技能。
五、课程评估课程评估采用平时作业、课堂讨论、综合实践等形式进行评估。
平时作业包括课后作业和课堂讨论题；课堂讨论题目根据课程内容和学生实际情况进行选择；综合实践包括学生根据所学知识，结合具体案例，撰写小学数学教学设计或教学研究论文。
数学教学大纲表格以下的图表展示了数学教学大纲：章节内容:--::--:第一章数学的概念、数学的意义、数学的应用第二章数学的计算、数学的测量、数学的问题解决第三章数学的推理、数学的概念、数学的计算第四章数学的统计、数学的数据分析、数学的测量第五章数学的几何、数学的空间想象、数学的解析几何数学建模课教学大纲和教案课程名称：数学建模课授课人：张老师课程时长：32学时课程目标：本课程的目标是让学生掌握数学建模的基本概念、方法和应用，能够应用数学建模解决实际问题。
《数学》第五章“三角函数”教材分析与教学建议-2019年精选文档
《数学》第五章“三角函数”教材分析与教学建议在学习三角函数之前，学生已经学习了一次函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数，对函数有了一定的认识。
三角函数是学生遇到的第一个周期性函数，是中等教育阶段最后一个基本初等函数。
学完本章以后，学生应对函数的一般内容，如函数符号、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等建立更完整的认识。
初中数学教学中已有锐角的三角函数的概念，但没有将其作为一种函数来教学，关注的只是三角函数值，主要利用锐角三角函数的定义解决直角三角形中有关边角的问题。
到了中职教育阶段，需要从函数的角度来认识三角函数，落实大纲中与三角函数部分相关的教学内容与要求。
本章首先对角的概念进行推广，并通过弧度制对角的度量建立角与实数之间的一一对应关系，为学生理解三角函数是以实数为自变量的函数奠定基础；为了角的概念推广的需要，把角放到平面直角坐标系中进行研究，不仅建立了角的大小与终边位置的关系，而且通过角的终边上的点的坐标来定义任意角的三角函数，并利用角的终边上点的坐标的正负直观性，判断三角函数值的符号，得到特殊角的三角函数值，建立同角三角函数的两个基本关系式以及诱导公式；借助三角函数图像以及诱导公式帮助学生从“形”与“数”两方面理解正弦函数、余弦函数的变化规律；最后利用计算器及诱导公式，能由已知三角函数值求出指定范围的角。
本章内容分为五个部分：角的概念推广，弧度制，任意角三角函数的概念及相关公式，正弦函数、余弦函数的图像与性质，已知三角函数值求角。
《中等职业学校数学教学大纲》建议本章设置18课时，其中新授部分16课时，复习部分2课时。
《大纲》对本章知识内容的学习要求包括：4项“了解”（角的概念推广、诱导公式、余弦函数的图像和性质、已知三角函数值求指定范围内的角）；4项“理解”（弧度制，任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数，同角三角函数基本关系式，正弦函数的图像和性质）；2项“掌握”（利用计算器求三角函数值及利用计算器求角度）。
5-第五章-留数定理
因此
z ez
e e1
C
z2
dz 1
2 π i( 2
) 2 πi ch1 2
： 我们也可以用规则III来求留数
| Res[ f (z),1] z ez e ; 2z z1 2
| Res[ f (z),1] z ez e1 . 2z z1 2
这比用规则1要简单些，但要注意应用的条件。
z
例7
环域内绕原点的任何一条简单闭曲线，则积分
1
2π i f (z) d z C
称其为f (z)在点的留数，记作
1
Res[ f (z), ]
f (z)d z
2i C
这里积分路径的方向是顺时针方向，这个方向很自然
地可以看作是围绕无穷远点的正向。
将 f (z)在 R<|z|<+∞内的罗朗展式为
f
(z)
z 4z3
1 4z2
,故z1111C源自z4d 1z
2π
i( 4
4
4
4)
0
Ñ 例 8
计算积分
C
ez z(z 1)2
dz,
C
为正向圆周|z|=2.
[解] z=0为被积函数的一级极点, z=1为二级极点, 而
Res[ f (z),0] lim z0
z
ez z(z 1)2
lim z0
ez (z 1)2
1.
一、 留数的定义
定义 若f (z)在去心邻域 0 z z0 R内解析，
z0是f (z)的孤立奇点，C是 0 z z0内 包R 围z0的
任意一条正向简单闭曲线，定义积分
1
2i
C
f
(z)d
z
数学教学论幻灯片课件
瓦根舍因（德国）“范例方式教学论”。
马斯洛、洛杰斯（美国）“人本主义”教学论
苏霍姆林斯基（前苏联）提出了现代是有影响
的教育理论—— “和谐教学论”，并 著有《给
教师的一百条建议》一书，世界影响力很大。
沙塔洛夫(前苏联)提出“纲要信号”图示教学法
是“积极化教学思想”的体现，国际影响广泛。
教（学）什么样的数学？（课程内容问题）
怎样教和学数学？（教师教、学生学问题）
教学效果如何?（教学评价问题）
解决上述问题包括五个方面的内容：
❖
1)中学数学课程目标的研究
❖ 2)中学数学课程内容的研究
❖ 3)中学数学学习心理的研究
❖ 4)中学数学教学过程的研究
❖ 5)中学数学教学评价的研究
❖
3.数学教学论的理论基础
(2)空间与图形—物体,几何体,平面图形.
(3)统计与概率—数据与随机现象.
(4)实践与综合应用—实践性,探索性,研究性
内容.
❖
2.第三学段(7～9年级)数学课程的具体内容
(1)数与代数
1) 数与式：①有理数；②实数；③代数式；④
整式与分式。
2) 方程与不等式：①方程与方程组；②不等式
与不等式组。
3.提高学生数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和
交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。
4.发展学生数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵
的一些数学模式进行思考和做出判断。
5.提高学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而
不舍的钻研精神和科学态度。
6.具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值
17世纪，捷克教育家夸美纽斯(1592~1670)
《课程与教学论》重点整理.
第一章绪论古罗马教育家昆体良，撰写了西方第一本专门教育学著作《雄辩术原理》。
捷克教学家夸美纽斯在1632年发表的《大教学论》，标志着教学论学科的诞生。
《大教学论》的内容：1.在教育目的和课程内容上提倡泛智教育，主张把一切事物教给一切人类，而大教学论就是把一切事物教给一切人类的艺术；2.较系统地探讨了教学原则问题；3.强调教学必须遵循万物的严谨秩序，力求教得彻底、迅速和愉快，并就此提出了一系列具体的要求；4.在理论上首次论证了班级教学制的优越性，主张采用集体教学的新形式；5.讨论了各级学校的管理和不同学科的具体教学方法问题。
德国教育家赫尔巴特于1806年出版《普通教育学》，是继《大教学论》后教学论学科形成的另一里程碑，是教学论学科成熟的标志。
《普通教育学》的内容：1.系统地阐述了教育性教学原理，认为教学是教育的基本手段；2.该书依据观念心理学原理分析教学的机制，认为教学是统觉的运动，即新旧观念产生联系和统整的过程；3.探讨了教学阶段理论，依据多方面兴趣理论和学生的注意力状况，把教学分为明了、联系、系统和方法四个主要阶段，分析了不同阶段教学的类型和方法；4.依据多方面兴趣理论，设计了课程的类型和目标。
美国教育家杜威提出了“教育即生活，学校即社会，教育即经验的不断改造”三大教育哲学命题。
提倡实用主义三大教育哲学命题：1.主张以儿童的需要为基础设计课程，倡导活动课程；2.倡导“做中学”的教学方法，主张通过制作、社交、艺术、探究等动手操作活动来进行教学。
杜威现代教学论三中心：儿童中心、经验中心、活动中心赫尔巴特传统教学论三中心：教师中心、书本中心、课堂中心20世纪五六十年代以来教学论学科进入多元化发展时代，各种流派分为两个阵营：“科学主义”教学论和“人本主义”教学论。
“科学主义”教学论基本特点：把教学主要理解为一个认知、理性和逻辑的过程，注意探寻教学的普遍规律和通用模式，在教学目的方面强调科学知识、技能和智慧的习得，在教学过程方面强调教学的精确性、控制性、计划性，在课程内容方面注意吸收科技发展的最新成果，教学手段方面重视新技术工具的使用。
弗赖登塔尔的数学教育理论
❖ 在《作为教育任务的数学》里，阐述了他对数学和 数学教育的各种基本观点。
❖ 第一方面是他对数学的看法。在弗赖登塔尔看来， 数学是系统化了的常识。常识要成为数学，它必须 经过提炼和组织，而凝聚成一定的法则。这些法则 在高一层次里又成为常识，再一次被提炼、组织， 而凝聚成新的法则，新的法则又成为新的常识，如 此不断地螺旋上升，以至于无穷。这样，数学的发 展过程就显出层次性，构成许多等级；同时也形成 诸多如抽象、严密、系统等特性。一个人在数学上 达到怎样的层次，则因人而异，决定于他的先天和 后天的条件。但是，一个为多数人都能达到的层次 必然存在。数学教育家的任务就在于帮助多数人去 达到这个层次，并努力不断地提高这个层次，和指 出达到这个层次的途径。
1969．法国．里昂）； ❖ 提倡数学教育的科学研究； ❖ 创办ICME的理论刊物——《Educational
Studies in Mathematics（数学教育研究）》
主要数学教育论著： ❖ 《作为教育任务的数学》； ❖ 《除草与播种》； ❖ 《数学教育再探———在中国的三次讲学》
第一章 数学的传统 第二章 今日的数学 第三章 传统与教育 第四章 数学教育的用处和目的 第五章 苏格拉底的方法 第六章 再创造 第七章 用数学化方法组织一个领域 第八章 数学的严谨性 第九章 教学 第十章 数学教师 第十一章 数的概念——客观的形成途径 第十二章 数的概念从直观方法到算法化 和推理化的发展 第十三章 数的概念的发展——代数方法 第十四章 数的概念的发展——从代数原 理到代数的整体组织 第十五章 集合与函数 第十六章 几何的状况 第十七章 微积分 第十八章 概率和统计 第十九章 逻辑 附录
❖ 数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基 础上发展他们的数学现实.因此，在教学过程中，教师应该充 分利用学生的认知规律、已有的生活经验和数学的实际，灵 活处理教材，根据实际需要对原材料进行优化组合。即“数 学教育即是现实的数学教育”。
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4.学习者的建构是多元化的. 5.学习是一个积极主动的建构进程,学生不是被动 地接受外在信息,而是根据先前认知结构主动地和 有选择地知觉外在信息,进行加工和处理，从而获 得自己的意义. 6.课本知识不是客观现实的准确表征,它只是一种 解释，一种较为可靠的假设,学生对这些知识的学 习是在理解基础上对这些假设作出检验和调整的过 程,因此,知识可以视为个人经验的合理化，而不是 说明世界的真理.
数学学习的原则
主动学习原则 最佳动机原则 阶段序进原则
对教师的要求
1. 要对所讲的课题有兴趣; 2. 要懂得所讲的课题; 3. 要懂得学习的途径—发现; 4. 要观察学生的脸色,弄清他们的期望和困难, 置身于他们之中; 5. 不仅要传授知识,而且要教给学生才智,思维的方式和工作习惯; 6. 要让他们学习猜测; 7. 要让他们学习证明; 8. 要找出手边题目中那些对后来题目有用的特征; 9. 不要立即吐露你的全部秘密—让学生在你说出来之前先去猜,尽量 让他们自己找出来; 10. 要建议,不要强迫别人去接受.
策略选择 策略选择 与应用 与应用
资源分配 资源分配
监控与 监控与 评估 评估
数学问题解决的过程
数学问题解决的过程必须经过下列四个步骤, 即理解问题,明确任务;拟定求解计划;实现求解 计划;检验和回顾.
问题情境 转换 寻求解决途径
检验与评价
求得答案
数学问题解决的策略
1.分析给出的数据信息和条件; 2.表征信息----从外部和大脑内部; 3.建立假设和计划过程; 4.应用公式算法定理,监控这类应用; 5.决定和检验假设,反思.
波利亚的数学教育思想概述
波利亚数学教育思想的核心问题:数学教育的目的 是什么？ 1.波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一 般素养:首先和主要的目标应当是教会青年思考. 2.教什么样的思考?数学是什么?数学有什么特点?对 数学及其意义的认识地教学观其者决定性的作用.
3. 波利亚强调应该教有目的的思考,教正规的演 绎推理，也教非正规的似真的合情推理.
问题解决
波利亚充分肯定解题的一般教育价值,把教会学 生解题看做是教会学生思考,培养他们独立探索 的一条有效途径.
如何培养学生的思维能力
1.思维应该在学生的头脑中产生出来,教师应当是“产 婆”的作用,引导探究 ,鼓励启发.----苏格拉底问答法 2.教师应该让学生自己独立思考. 3.教师可以找一个适当的问题或建议帮助学生. 4.教师应当做研究工作. 合情推理----不断猜想,然后进行证实或否定的过程.
教师如何开展课堂教学
1.建构主义指导下的课堂教学基于以下基本假设：
①教师必须建立学生理解的数学模式.教师应该建立反 映每个学生建构状况的“卷宗”,以便判定每个学生建构能 力的强弱; ②教学是师生、生生之间的互动; ③学生自己决定建构是否合理.
现实数学教育的数学化
1.确定一个具体问题中包含的数学成分; 2.建立这些数学成分与已知的数学模型之间的联系; 3.把这些数学成分形象化,符号化和公式化; 4.找出蕴涵在其中数学关系和规则; 5.考虑相同数学成分在其他数学知识领域的体现; 6.做出形式化的表述.
数学化是一种组织与构建的活动
1.用数学公式表示关系; 2.对有关规则作出证明; 3.尝试建立和使用不同的数学模型; 4.对做出的数学模型进行调整和加工; 5.综合不同数学模型的共性,形成新模型; 6.用已知数学公式和语言准确描述新概念和方法; 7.作一般化的处理和推广.
第五章 数学教育的基本理论
著名的数学教育权威----荷兰著名学者弗赖登塔尔认为数 学教学方法的核心是学生的“再创造”. P.Ernest:“数学是由人造就并惟一的存在于人的大脑,因此, 学习数学的人的大脑造就或再造就数学就是必然的.在这个 意义上,学习数学的人正是造就数学的人.” 弗赖登塔尔认为数学是现实世界的抽象反映和人类经验的 总结,数学教育应该源于现实,用于现实,应该通过具体的问 题来教抽象的数学内容,应该从学习者所经历所接触的客观 实际中提出问题，然后升华归结为数学概念,运算法则或数 学思想.主张数学与现实应密切结合,并能应用于实际.
借助于数学化的两种成分,比较 四种不同类型的数学化途径
水平的数学化 现实的（realistic） 经验的（empiricist） 构造的 (structuralist) 机械的（mechanistic） + + － － 垂直的数学化 + － + －
其中“＋”号表示对这方面给予更多的注意,而“－”号则表 示较少注意或根本未加注意.
建构主义的学习理论
建构主义是行为主义发展到认知主义后的进一步发展,是 在吸取了众多学习理论的基础上,总结了20 世纪60 年代以 来的各种教育改革方案的经验基础上发展和形成的. 知识建构不是任意的,它具有多向社会性和他人交互性, 知识的建构过程应当有交流,磋商, 进行自我调整和修正. 学习过程是多元化的, 对对象意义的建构是多维度的.
建构主义具有认知理论和方法论双重意义
教师必须知道学生正在想什么,他们对所呈现的材料有何反 应; 要重视诊断学生的工具; 不要让学生天天做练习,而要 训练学生建构技能;教师要提供建构数学对象和关系的材料、 工具、模型和良好的学习环境. 建构主义是认知学习理论的新发展 知识不是通过感官或交流被动获得的,而是通过认识 主体的反省抽象来主动建构的;有目的的活动和认知结构的 发展存在着必然的联系.
1.数学是最容易创造的一种科学. 2.每个人都应按照自己的特点重新创造数学知识. 3.每个人都有不同的数学现实,因而可以达到不同 的水平. 4.再创造的操作程序----数学化的过程 5.再创造应当贯穿于数学教育的全过程.
再创造在课堂教学中的实施
1. 努力激发学生再创造的动机 2. 再创造应以学生的数学现实为基础 3. 重视合情推理在再创造中的作用 4. 引导学生在数学化过程中再创造 5. 实现从再创造到创造的飞跃
变更题目的常用方法----题目
分解与组合------穷举法,中途点 等价的题目 回到定义 等价变换 映射到别的领域 简化 特殊的题目 约化 极端情形 一般化 更一般的题目--------强化 充分题 必要题 基本题 相关的题目 辅助题 类似题 部分题---弱化来自问题解决与数学思维的培养
现代数学教学理论认为,数学教学是数学思维的教学, 学 习数学的过程是在头脑中建构数学认知结构的过程. 通过数学的学习活动,逐步认识到数学知识形成和发展 的思维过程,使学生学会运用思维方法,善于对问题进行 分析,综合归纳类比抽象概括. 问题解决的过程不是学生被动地吸收知识,而是主动建 构知识的过程,是在深层次的参与中,真正地学会数学的 思维.
（1）我们这里所说的思考不是空想,而是有目的的思考或 有意义的思考或有成果的思考; （2）数学思考不是完全正规的,它不仅涉及到公理定义和 严格证明,而且还包含许多别的方面,从观察到的情况的出 结论,归纳推理,类比推理.在具体的情况里辨认数学概念或 从具体情况进行抽象.数学教师应不失时机地使他的学生熟 知这些相当重要的非正规的思想方法.
建构主义下的数学学习特征
1.学习不是由教师把知识简单地传递给学生,而是 由学生自己建构知识的过程.学生不是简单被动地 接受信息,而是主动地建构知识的意义. 2.学习不是被动接受信息刺激,而是主动地建构意 义,是根据自己的经验背景,对外部信息进行主动 地选择,加工和处理,从而获得自己的意义,. 3.学习意义的获得是以原有的知识经验为基础,对 新信息重新认识和编码,建构自己的理解.
数学建模过程的流程图
不合乎实际情况 实 际 情 境 提 出 问 题 数 学 模 型 数 学 结 果 合 乎 实 际 情 况 可 用 结 果
检验
数学知识的重新建构
芬兰图库大学欧内·列丁能教授----数学教育与学习科学. 存在某种可能的方法,使得科学的传统数学的训练及学习科学能 在数学教育中得到考虑. 传统的数学教育,特别是在高水平的数学教学中,强调数学的学科 知识,而没有认真的思考学习和教学的知识.然而,在初等水平的数 学教育中,常常强调教学法的知识,而数学学科的知识较少得到认 真的考虑.在当前主流的数学教育中数学和学习科学这两方面的 训练,或多或少得到平衡,但它们是被分割地或是作为必要的信息 平行地加以处理的. 学科的知识受到数学家的影响,教学方法的知识则来自于学习的 科学,所选择的数学知识以数学的传统为基础,而教学方法则来自 于一般教育,两者之间没有实质性的相互影响.
建构主义对指导数学学习的意义
学生的认知结构必须和外部的知识结构相一致,才能接受 外面来的新知识,获得学习上的成功. 1.应该用建构主义的观点认识数学. 2.知识的学习是一个建构的过程,必须突出学习者的主体 作用,教师借助于组织者、合作者、引导者的身份,使学生主 动参与整个学习过程中去. 3.关注学生学习的个性化特征,使其在数学知识学习中获 得合理的个人经验的内化. 4.有意义的学习发生于真实的学习任务之中.
2.拟订计划
考虑以前是否见过它? 是否见过相同的问题而形式稍有不同? 你是否知道一个可能用得上的定理? 考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题. 能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅助元素? 能否用不同的方法重新叙述它? 回到定义去. 如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题. 是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否考虑了 包含在问题中的所有必要的概念?
3. 实现计划
实现你的求解计划,检验每一步骤. 你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你 能否证明这一步骤是正确的?
4. 回顾
能否检验这个论证?你能否用别的方法 导出结果?能不能一下子看出它来? 能不能把这结果或方法用于其他问题?
数学问题解决的框架
问题识别 问题识别 与定义 与定义
问题表征 问题表征
特莱弗斯和哥弗里在数学化的过程中区分 水平的和垂直的成分
当问题转化为或多或少具有数学性质的问题时,运用数 学工具处理问题,也就是现实世界的问题的数学加工与 整理. -----垂直成分(数学活动) 1.将某个关系表示成公式; 2.证明一些规则; 3.调整与完善模型; 4.使用不同的模型; 5.将一些模型汇集并综合在一起; 6.形成新的数学概念; 7.推广并建立起一般化的理论.