第五章数学教育的基本理论

3. 实现计划
实现你的求解计划,检验每一步骤. 你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你 能否证明这一步骤是正确的?
4. 回顾
能否检验这个论证?你能否用别的方法 导出结果?能不能一下子看出它来? 能不能把这结果或方法用于其他问题?
数学问题解决的框架
问题识别 问题识别 与定义 与定义
问题表征 问题表征
借助于数学化的两种成分,比较 四种不同类型的数学化途径
水平的数学化 现实的（realistic） 经验的（empiricist） 构造的 (structuralist) 机械的（mechanistic） + + － － 垂直的数学化 + － + －
其中“＋”号表示对这方面给予更多的注意,而“－”号则表 示较少注意或根本未加注意.
问题解决
波利亚充分肯定解题的一般教育价值,把教会学 生解题看做是教会学生思考,培养他们独立探索 的一条有效途径.
如何培养学生的思维能力
1.思维应该在学生的头脑中产生出来,教师应当是“产 婆”的作用,引导探究 ,鼓励启发.----苏格拉底问答法 2.教师应该让学生自己独立思考. 3.教师可以找一个适当的问题或建议帮助学生. 4.教师应当做研究工作. 合情推理----不断猜想,然后进行证实或否定的过程.
将问题运用数学的方式陈述,通过图式化与形象化的手段发 现规律与关系 1. 从一般的背景资料中辨认特殊的数学; 2. 图式化; 3. 以不同的方式将一个问题公式化或形式化; 4. 发现关系,发现规律; 5. 在不同的问题中识别其同构的本质; 6. 将现实世界的问题转化为数学问题; 7. 将现实世界的问题转化为已知的数学模型.
2.拟订计划
考虑以前是否见过它? 是否见过相同的问题而形式稍有不同? 你是否知道一个可能用得上的定理? 考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题. 能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅助元素? 能否用不同的方法重新叙述它? 回到定义去. 如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题. 是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否考虑了 包含在问题中的所有必要的概念?
几何学习思维水平----通过数学化 来进行数学教学
学习过程是由各层次构成的,用低层次的方法组织活 动就成为高层次的分析对象;低层次的运算内容又成 为高层次的题材.
0---水平:直观----借助于直观形象; 1---水平:分析----识别观察; 2---水平:抽象----形成概念及其与性质的逻辑关系; 3---水平:演绎----抓住整个演绎体系,理解和构造发展 整个体系的逻辑结构及其关系; 4---水平:严谨领会公理化体系的严谨性.
特莱弗斯和哥弗里在数学化的过程中区分 水平的和垂直的成分
当问题转化为或多或少具有数学性质的问题时,运用数 学工具处理问题,也就是现实世界的问题的数学加工与 整理. -----垂直成分(数学活动) 1.将某个关系表示成公式; 2.证明一些规则; 3.调整与完善模型; 4.使用不同的模型; 5.将一些模型汇集并综合在一起; 6.形成新的数学概念; 7.推广并建立起一般化的理论.
波利亚的数学教育思想概述
波利亚数学教育思想的核心问题:数学教育的目的 是什么？ 1.波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一 般素养:首先和主要的目标应当是教会青年思考. 2.教什么样的思考?数学是什么?数学有什么特点?对 数学及其意义的认识地教学观其者决定性的作用.
3. 波利亚强调应该教有目的的思考,教正规的演 绎推理，也教非正规的似真的合情推理.
建构主义下的数学学习特征
1.学习不是由教师把知识简单地传递给学生,而是 由学生自己建构知识的过程.学生不是简单被动地 接受信息,而是主动地建构知识的意义. 2.学习不是被动接受信息刺激,而是主动地建构意 义,是根据自己的经验背景,对外部信息进行主动 地选择,加工和处理,从而获得自己的意义,. 3.学习意义的获得是以原有的知识经验为基础,对 新信息重新认识和编码,建构自己的理解.
建构主义具有认知理论和方法论双重意义
教师必须知道学生正在想什么,他们对所呈现的材料有何反 应; 要重视诊断学生的工具; 不要让学生天天做练习,而要 训练学生建构技能;教师要提供建构数学对象和关系的材料、 工具、模型和良好的学习环境. 建构主义是认知学习理论的新发展 知识不是通过感官或交流被动获得的,而是通过认识 主体的反省抽象来主动建构的;有目的的活动和认知结构的 发展存在着必然的联系.
第五章 数学教育的基本理论
著名的数学教育权威----荷兰著名学者弗赖登塔尔认为数 学教学方法的核心是学生的“再创造”. P.Ernest:“数学是由人造就并惟一的存在于人的大脑,因此, 学习数学的人的大脑造就或再造就数学就是必然的.在这个 意义上,学习数学的人正是造就数学的人.” 弗赖登塔尔认为数学是现实世界的抽象反映和人类经验的 总结,数学教育应该源于现实,用于现实,应该通过具体的问 题来教抽象的数学内容,应该从学习者所经历所接触的客观 实际中提出问题，然后升华归结为数学概念,运算法则或数 学思想.主张数学与现实应密切结合,并能应用于实际.
数学建模过程的流程图
不合乎实际情况 实 际 情 境 提 出 问 题 数 学 模 型 数 学 结 果 合 乎 实 际 情 况 可 用 结 果
检验
数学知识的重新建构
芬兰图库大学欧内·列丁能教授----数学教育与学习科学. 存在某种可能的方法,使得科学的传统数学的训练及学习科学能 在数学教育中得到考虑. 传统的数学教育,特别是在高水平的数学教学中,强调数学的学科 知识,而没有认真的思考学习和教学的知识.然而,在初等水平的数 学教育中,常常强调教学法的知识,而数学学科的知识较少得到认 真的考虑.在当前主流的数学教育中数学和学习科学这两方面的 训练,或多或少得到平衡,但它们是被分割地或是作为必要的信息 平行地加以处理的. 学科的知识受到数学家的影响,教学方法的知识则来自于学习的 科学,所选择的数学知识以数学的传统为基础,而教学方法则来自 于一般教育,两者之间没有实质性的相互影响.
现实数学教育的数学化
1.确定一个具体问题中包含的数学成分; 2.建立这些数学成分与已知的数学模型之间的联系; 3.把这些数学成分形象化,符号化和公式化; 4.找出蕴涵在其中数学关系和规则; 5.考虑相同数学成分在其他数学知识领域的体现; 6.做出形式化的表述.
数学化是一种组织与构建的活动
1.用数学公式表示关系; 2.对有关规则作出证明; 3.尝试建立和使用不同的数学模型; 4.对做出的数学模型进行调整和加工; 5.综合不同数学模型的共性,形成新模型; 6.用已知数学公式和语言准确描述新概念和方法; 7.作一般化的处理和推广.
建构主义的学习理论
建构主义是行为主义发展到认知主义后的进一步发展,是 在吸取了众多学习理论的基础上,总结了20 世纪60 年代以 来的各种教育改革方案的经验基础上发展和形成的. 知识建构不是任意的,它具有多向社会性和他人交互性, 知识的建构过程应当有交流,磋商, 进行自我调整和修正. 学习过程是多元化的, 对对象意义的建构是多维度的.
（1）我们这里所说的思考不是空想,而是有目的的思考或 有意义的思考或有成果的思考; （2）数学思考不是完全正规的,它不仅涉及到公理定义和 严格证明,而且还包含许多别的方面,从观察到的情况的出 结论,归纳推理,类比推理.在具体的情况里辨认数学概念或 从具体情况进行抽象.数学教师应不失时机地使他的学生熟 知这些相当重要的非正规的思想方法.
数学学习的原则
主动学习原则 最佳动机原则 阶段序进原则
对教师的要求
1. 要对所讲的课题有兴趣; 2. 要懂得所讲的课题; 3. 要懂得学习的途径—发现; 4. 要观察学生的脸色,弄清他们的期望和困难, 置身于他们之中; 5. 不仅要传授知识,而且要教给学生才智,思维的方式和工作习惯; 6. 要让他们学习猜测; 7. 要让他们学习证明; 8. 要找出手边题目中那些对后来题目有用的特征; 9. 不要立即吐露你的全部秘密—让学生在你说出来之前先去猜,尽量 让他们自己找出来; 10. 要建议,不要强迫别人去接受.
1.数学是最容易创造的一种科学. 2.每个人都应按照自己的特点重新创造数学知识. 3.每个人都有不同的数学现实,因而可以达到不同 的水平. 4.再创造的操作程序----数学化的过程 5.再创造应当贯穿于数学教育的全过程.
再创造在课堂教学中的实施
1. 努力激发学生再创造的动机 2. 再创造应以学生的数学现实为基础 3. 重视合情推理在再创造中的作用 4. 引导学生在数学化过程中再创造 5. 实现从再创造到创造的飞跃
教师如何开展课堂教学
1.建构主义指导下的课堂教学基于以下基本假设：
①教师必须建立学生理解的数学模式.教师应该建立反 映每个学生建构状况的“卷宗”,以便判定每个学生建构能 力的强弱; ②教学是师生、生生之间的互动; ③学生自己决定建构是否合理.
怎样解题----怎样解题表
解题过程分为以下四个阶段: 1. 2. 3. 4. 弄清问题 拟订计划 实现计划 回顾
1. 弄清问题
（1）未知数是什么?已知数据是什么？条件是
什么?满足条件是否可能?要确定未知数,条件是 否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者 是矛盾的? （2）画张图,并引入适当的符号. （3）把条件的各部分分开,并把它们写下来.
建构主义对指导数学学习的意义
学生的认知结构必须和外部的知识结构相一致,才能接受 外面来的新知识,获得学习上的成功. 1.应该用建构主义的观点认识数学. 2.知识的学习是一个建构的过程,必须突出学习者的主体 作用,教师借助于组织者、合作者、引导者的身份,使学生主 动参与整个学习过程中去. 3.关注学生学习的个性化特征,使其在数学知识学习中获 得合理的个人经验的内化. 4.有意义的学习发生于真实的学习任务之中.
再创造
再创造:教师不必将各种规则定律灌输给学生, 而是应该创造合适的条件,提供很多具体的例子, 让学生在实践活动的过程中,自己再创造出各种 运算法则,或是发现有关的各种规律.
怎样指导再创造?
1.在学生的数学现实中选择学习情境,使其适合 于横向水平的数学化. 2.为纵向垂直数学化提供手段和条件. 3.相互作用的教学系统 4.承认和鼓励学生自己的成果 5.将所学的各个部分结合起来
变更题目的常用方法----题目
分解与组合------穷举法,中途点 等价的题目 回到定义 等价变换 映射到别的领域 简化 特殊的题目 约化 极端情形 一般化 更一般的题目--------强化 充分题 必要题 基本题 相关的题目 辅助题 类似题 部分题---弱化
问题解决与数学思维的培养
现代数学教学理论认为,数学教学是数学思维的教学, 学 习数学的过程是在头脑中建构数学认知结构的过程. 通过数学的学习活动,逐步认识到数学知识形成和发展 的思维过程,使学生学会运用思维方法,善于对问题进行 分析,综合归纳类比抽象概括. 问题解决的过程不是学生被动地吸收知识,而是主动建 构知识的过程,是在深层次的参与中,真正地学会数学的 思维.
4.学习者的建构是多元化的. 5.学习是一个积极主动的建构进程,学生不是被动 地接受外在信息,而是根据先前认知结构主动地和 有选择地知觉外在信息,进行加工和处理，从而获 得自己的意义. 6.课本知识不是客观现实的准确表征,它只是一种 解释，一种较为可靠的假设,学生对这些知识的学 习是在理解基础上对这些假设作出检验和调整的过 程,因此,知识可以视为个人经验的合理化，而不是 说明世界的真理.
策略选择 策略选择 与应用 与应用
资源分配 资源分配
监控与 监控与 评估 评估
数学问题解决的过程
数学问题解决的过程必须经过下列四个步骤, 即理解问题,明确任务;拟定求解计划;实现求解 计划;检验和回顾.
问题情境 转换 寻求解决途径wenku.baidu.com
检验与评价
求得答案
数学问题解决的策略
1.分析给出的数据信息和条件; 2.表征信息----从外部和大脑内部; 3.建立假设和计划过程; 4.应用公式算法定理,监控这类应用; 5.决定和检验假设,反思.