第三章 数学教育的基本理论汇总
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抽象化、公理化、模型化、形式化等等，都可看 成是数学化
数学化的两种形式： 一是实际问题转化为数学问题，即发现实际
问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理； 二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴
之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理
数学学习的“再创造”
学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做 数学”(doing mathematics)的过程。其核心是数学 过程再现。 (经验，理解，反思，主体，主动)
《怎样解题》表包括“弄清问题”、“拟定计 划”、“实现计划”和“回顾”四个阶段。
“弄清问题”是认识并对问题进行表征的过程， 应成为成功解决问题的一个必要前提；
“拟定计划”是关键环节和核心内容；
分析详细，他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系， 你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”
第三章 数学教育的基本理论
本章学习提要
一、弗赖登塔尔的数学教育理论——《作为教育 任务的数学》
二、波利亚的解题理论——《怎样解题》 三、建构主义的数学教育理论 四、我国“双基”数学教学
一、弗赖登塔尔的数学教育理论 ——《作为教育任务的数学》
(一) 弗赖登塔尔的生平
Hans Freudenthal（1905-1990年）,荷兰数 学家和数学教育家,生于德国。 1930年获柏林大学数学博士学位； 1946年起任荷兰Utrecht 大学教授； 1951年起为荷兰皇家科学院院士； 1971-1976年任数学教育研究所所长； 1987年12月应邀来上海华东师范大学讲学。
《怎样解题》
《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就 销售了100万册以上。
不是简单地“由学生本人把学的东西自己去发现或创 造出来。”也不是简单地“教师指导下的学生活动。” 而是通过教师精心设计，创造问题情景，通过学生自 己动手实验研究、合作商讨，探索问题的结果并进行 组织的学习方式。
二、波利亚的解题理论
(一)波利亚的生平
乔治·波利亚（George Polya,1887~1985）美籍 匈牙利数学家。波利亚是法国科学院、美国科学 院和匈牙利科学院的院士。
(11)数的概念；
(3)传统和教育；
(12)数的概念发展1；
(4)数学教育的用处和目的；
(13)数的概念的发展2；
(5)苏格拉底法；
(14)数的概念发展3；
(6)再创造；
(15)集合与函数；
(7)用数学化的方法组织一个域； (16)几何的情况；
(8)数学的严谨性；
(17)分析学；
(9)教学；
(18)概率与统计；
第二，数学教育的内容不能只考虑代数、几何、三角 之间的联系，还应该研究数学与现实世界各种不同领 域的外部关系和联系
第三，不同专业所需的数学知识不尽相同，数学教育 应为不同的人提供不同层次的数学知识，即不同的人 应有不同需要的“现实的数学”．
什么是“数学化”
人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运 用数学的思想方法来分析和研究客观世界的种种 现象并加以整理和组织的过程——即数学地组织 现实世界的过程就是数学化
主要数学教育论著： 《作为教育任务的数学》，1973年版 ； 《除草与播种— ——数学教育学的序言》，1978年版 ；《数学结构的教学法现 象》，1983年版 ； 《数学教育再探———在中国的三次讲 学》， 1978年版 。
《作为教育任务的数学》介绍
共9章:
(1)数学的传统；
(10)数学教师；
(2)今日数学；
1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、 维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲 学，获博士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士联 邦理工学院任教。
1940年移居美国 1942年起任美国斯坦福大学教授 他对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数
论，几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献， 一些术语和定理都以他的名字命名。由于他在数 学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产 生的影响，在他93岁高龄时，被ICME（国际数 学教育大会）聘为名誉主席。
数学教育中的现实——数学来源于现实，存在 于现实，应用于现实，而且每个学生有各自不 同的“数学现实”
数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现 实，并在此基础上发展他们的数学现实
例题生活化，问题情境化
运用“现实的数学”进行教学需明确以下认识
第一，把最能反映现代生产，现代社会生活需要的最 基本最核心的数学知识和技能，应作为数学教育的内 容．
弗赖登塔尔被称为“二十世纪数学教育之父
（二）弗赖登塔尔数学教育贡献
主要工作： 1967年当选为国际数学教育委员会主席 举行国际数学教育大会（ICME－1，1969．法国．里昂） 提倡数学教育的科学研究 创办ICME的理论刊物——《Educational Studies in
Mathematics（数学教育研究）》
主要著作：《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与
猜想》先后被译成多种文字多次出版，风行世界。20
世纪80年代中期，三本著作的中译本问世，数学解题
理论成为数学教育研究的热点。
主要思想：倡导教会思考 学习原则：主动学习原则
培养创造精神
最佳动机原则
探索式教学
循序渐进原则
波利亚专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他 分解解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表，并以例题表明这张表的实际应用
(19)逻辑。
——手中的书厚了，心中的书才能 薄
（三）弗赖登塔尔数学教育的主要特征
——情景问题是教学的平台 ——数学化是数学教育的目标 ——学生通过自己努力得到的结论和创造是
教育内容的一部分 ——“互动”是主要的学习方式 ——学科交织是数学教育内容的呈现方式 “现实” 、“数学化”、“再创造”
何谓数学教育中的“现实”
“实现计划”较为容易，是思路打通之后具体 实施信息资源的逻辑配置；
“回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚将其 作为解题的必要环节而固定下来。
他还把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和多个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的
思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。
数学化的两种形式： 一是实际问题转化为数学问题，即发现实际
问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理； 二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴
之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理
数学学习的“再创造”
学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做 数学”(doing mathematics)的过程。其核心是数学 过程再现。 (经验，理解，反思，主体，主动)
《怎样解题》表包括“弄清问题”、“拟定计 划”、“实现计划”和“回顾”四个阶段。
“弄清问题”是认识并对问题进行表征的过程， 应成为成功解决问题的一个必要前提；
“拟定计划”是关键环节和核心内容；
分析详细，他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系， 你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”
第三章 数学教育的基本理论
本章学习提要
一、弗赖登塔尔的数学教育理论——《作为教育 任务的数学》
二、波利亚的解题理论——《怎样解题》 三、建构主义的数学教育理论 四、我国“双基”数学教学
一、弗赖登塔尔的数学教育理论 ——《作为教育任务的数学》
(一) 弗赖登塔尔的生平
Hans Freudenthal（1905-1990年）,荷兰数 学家和数学教育家,生于德国。 1930年获柏林大学数学博士学位； 1946年起任荷兰Utrecht 大学教授； 1951年起为荷兰皇家科学院院士； 1971-1976年任数学教育研究所所长； 1987年12月应邀来上海华东师范大学讲学。
《怎样解题》
《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就 销售了100万册以上。
不是简单地“由学生本人把学的东西自己去发现或创 造出来。”也不是简单地“教师指导下的学生活动。” 而是通过教师精心设计，创造问题情景，通过学生自 己动手实验研究、合作商讨，探索问题的结果并进行 组织的学习方式。
二、波利亚的解题理论
(一)波利亚的生平
乔治·波利亚（George Polya,1887~1985）美籍 匈牙利数学家。波利亚是法国科学院、美国科学 院和匈牙利科学院的院士。
(11)数的概念；
(3)传统和教育；
(12)数的概念发展1；
(4)数学教育的用处和目的；
(13)数的概念的发展2；
(5)苏格拉底法；
(14)数的概念发展3；
(6)再创造；
(15)集合与函数；
(7)用数学化的方法组织一个域； (16)几何的情况；
(8)数学的严谨性；
(17)分析学；
(9)教学；
(18)概率与统计；
第二，数学教育的内容不能只考虑代数、几何、三角 之间的联系，还应该研究数学与现实世界各种不同领 域的外部关系和联系
第三，不同专业所需的数学知识不尽相同，数学教育 应为不同的人提供不同层次的数学知识，即不同的人 应有不同需要的“现实的数学”．
什么是“数学化”
人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运 用数学的思想方法来分析和研究客观世界的种种 现象并加以整理和组织的过程——即数学地组织 现实世界的过程就是数学化
主要数学教育论著： 《作为教育任务的数学》，1973年版 ； 《除草与播种— ——数学教育学的序言》，1978年版 ；《数学结构的教学法现 象》，1983年版 ； 《数学教育再探———在中国的三次讲 学》， 1978年版 。
《作为教育任务的数学》介绍
共9章:
(1)数学的传统；
(10)数学教师；
(2)今日数学；
1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、 维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲 学，获博士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士联 邦理工学院任教。
1940年移居美国 1942年起任美国斯坦福大学教授 他对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数
论，几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献， 一些术语和定理都以他的名字命名。由于他在数 学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产 生的影响，在他93岁高龄时，被ICME（国际数 学教育大会）聘为名誉主席。
数学教育中的现实——数学来源于现实，存在 于现实，应用于现实，而且每个学生有各自不 同的“数学现实”
数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现 实，并在此基础上发展他们的数学现实
例题生活化，问题情境化
运用“现实的数学”进行教学需明确以下认识
第一，把最能反映现代生产，现代社会生活需要的最 基本最核心的数学知识和技能，应作为数学教育的内 容．
弗赖登塔尔被称为“二十世纪数学教育之父
（二）弗赖登塔尔数学教育贡献
主要工作： 1967年当选为国际数学教育委员会主席 举行国际数学教育大会（ICME－1，1969．法国．里昂） 提倡数学教育的科学研究 创办ICME的理论刊物——《Educational Studies in
Mathematics（数学教育研究）》
主要著作：《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与
猜想》先后被译成多种文字多次出版，风行世界。20
世纪80年代中期，三本著作的中译本问世，数学解题
理论成为数学教育研究的热点。
主要思想：倡导教会思考 学习原则：主动学习原则
培养创造精神
最佳动机原则
探索式教学
循序渐进原则
波利亚专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他 分解解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表，并以例题表明这张表的实际应用
(19)逻辑。
——手中的书厚了，心中的书才能 薄
（三）弗赖登塔尔数学教育的主要特征
——情景问题是教学的平台 ——数学化是数学教育的目标 ——学生通过自己努力得到的结论和创造是
教育内容的一部分 ——“互动”是主要的学习方式 ——学科交织是数学教育内容的呈现方式 “现实” 、“数学化”、“再创造”
何谓数学教育中的“现实”
“实现计划”较为容易，是思路打通之后具体 实施信息资源的逻辑配置；
“回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚将其 作为解题的必要环节而固定下来。
他还把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和多个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的
思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。