数学知识点4-五四制初四

鲁教版初四知识点

鲁东大学商学院经济系 李建鹏

第一章 解直角三角形

一、锐角三角函数

在直角三角形ABC 中,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,∠C 为直角。则定义以下运算方式:

sin ∠A=∠A 的对边长/斜边长，sin A 记为∠A 的正弦；sinA=a/c cos ∠ A=∠A 的邻边长/斜边长，cos A 记为∠A 的余弦；cosA=b/c

tan ∠ A=∠A 的对边长/∠A 的邻边长,tanA=sinA/cosA=a/ b tan A 记为∠A 的正切 cotA=∠A 的邻边长/∠A 的对边长,cotA=cosA/sinA=b/c cotA 记为∠A 的余切 1.sin=对/斜 cos=邻/斜 tan=对/邻 cot=邻/对 2.sinA=cos(90°-A)

cos A=sin(90°-A) tanA=cot(90°-A) cotA=tan(90°-A) tanAcotA=1 tanA=sinA/cosA sin ²A ＋cos ²A ＝１ 3.增减性(A 为锐角)

sinA 、tanA 随着∠A 的增大而增大,cosA 、cotA 随着∠A 的增大而减小 4.取值范围:00,cotA>0

二、30°,45°,60°角的三角函数

三角函数 锐角α

正弦 sin α 余弦 cos α 正切 tan α 余切 cot α 30°

45° 1 60°

三、解直角三角形及其应用

1.解直角三角形的概念:

在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素。

在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形。

3

313

2

323222

22

12

13

3

3

2.解直角三角形的依据:

(1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理)

(2)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90°

(3)边角之间的关系:sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/ b,cot=b/a

3.解直角三角形的原则

(1)有角先求角,无角先求边

(2)有斜用弦,无斜用切；宁乘毋除,取原避中。

这两句话的意思是:当已知或求解中有斜边时,就用正弦或余弦,无斜边时,就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时,则用乘法,不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时,则用已知数据,尽量避免用中间数据。

4.解直角三角形的应用

(1)把实际问题转化成数学问题,这个转化包括两个方面:一是将实际问题的图形转化为几何图形,画出正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系；(2)把数学问题转化成解直角三角形问题,如果示意图不是直角三角形,可添加适当的辅助线,画出直角三角形；

(3)仰角和俯角

在进行观察或测量时，

从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角；

从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角。

第二章二次函数

一、对函数的再认识

定义:一般地,在一个变化过程中有两个变量,对于自变量x某一范围内的每一个确定值,y都有惟一确定的值与它对应,那么就说y是x的函数。

强调:

对于函数概念的理解,主要抓住以下三点:

①函数不是数,是指在一个变化过程中两个变量之间的关系；

②自变量每一个确定值,函数有一个并且只有一个值与之对应；

③自变量的取值范围。

函数值的定义:对于自变量在可以取值范围内的一个确定的值函数有惟一确定的对应值,这个对应值叫做当时函数的值,简称函数值。

二、二次函数及其表达式

1.定义:我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。ax2叫做二次项,a为二次项系数,bx叫做一次项,b为一次项系数,c为常数项。

注意:二次函数的二次项系数不能为零。因为如果a为0,就没有二次项,也就谈不上什么二次函数!

2.三种表达式:

(1)一般式:y=ax2+bx+c

(2)顶点式:y=a(x-h)2+k,对称轴x=h,顶点坐标是(h,k)

(3)交点式:y=(x-x1)(x-x2),与x轴两交点坐标为(x1,0)、(x2,0)

3.确定函数的解析式

一般地,在所给条件中已知顶点坐标时,可设顶点式y=a(x-h)2+k,在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称轴，可设交点式y=(x-x1)(x-x2)；在所给的三个条件是任意三点时,可设一般式y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解。

三、二次函数的图像与性质

二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象,是一个轴对称图形,对称轴是直线x=-b/2a

对于一般式y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0),当x=-b/2a时,y最大或最小。即抛物线顶点坐标为(-b/2a,4ac-b2/4a)

(1)a决定开口方向:a>0开口向上；a<0开口向下

补充:|a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小,|a|越小开口就越大

①当a>0时,开口向上,对称轴左侧(即x<-b/2a时),y随x增大而减小；对称轴右侧(x≥-b/2a),y随x增大而增大。当x=-b/2a时,有最小值y=4ac-b2/4a；

②当a<0时,开口向下,对称轴左侧(即x<-b/2a时),y随x增大而增大；对称轴右侧((x≥-b/2a)),y随x增大而减小。当x=-b/2a时,有最大值y=4ac-b2/4a。

(2)a、b共同决定对称轴:抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-b/2a

a、b同号(即ab>0,则-b/2a<0)对称轴在y轴左侧

a、b异号(即ab<0,则-b/2a>0)对称轴在y轴右侧

b=0对称轴是y轴

(3)c决定抛物线与y轴的交点(与y轴交点的横坐标为0,即x=0,此时纵坐标y=c):

c>0与y轴正半轴相交

c<0与y轴负半轴相交

c=0经过坐标原点(即x=0时,纵坐标y=c=0)

(4)Δ=b2-4ac确定抛物线与x轴交点的个数(联系一元二次方程):

b2-4ac>0与x轴有两个交点

b2-4ac=0与x轴有一个交点

b2-4ac<0与x轴无交点

(5)抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方,即函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是正值的条件是

a>0且b2-4ac<0(开口向上且与x轴无交点)

(6)抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方,即函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是负值的条件是

a<0且b2-4ac<0(开口向下且与x轴无交点)

同样自己可确定不论x取何值时,函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是非负数或非正数的条件

四、二次函数与一元二次方程