密度矩阵重整化讲解
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s
,e 2 0
e
约化密度矩阵的本 征值 等于其对应 的本征态 |> 在基 态上的投影振幅
DMRG 迭代过程
系统和环境中各加进一 个点并初始化或更新
H=Hsys+Henv+Hsys,env
用Lanczos或其它稀疏 矩阵对角化方法对角化 H 求出基态波函数
做基矢切断并求出变换 矩阵 Unp
构造并对角化约化密度 矩阵
Lanczos方法
H 0 a0 0 b1 1 H 1 b1 0 a1 1 b2 2 H 2 b2 1 a2 2 b3 3
a0 b1
b1
a1 b2
b2 a2
b3
H
b3 a3 b4
k
Nk / 2
N
Nm/a2x
空间
转移矩阵
eH eH/ L eH/ L
时间
转移矩阵重整化群与DMRG的比较
T=0 DMRG
TMRG
Target Matrix Target State Density matrix
Hamiltonian H Symmetric Ground state
Hsys Hs,e
Hs,e Henv
按系统的约化密度矩 阵的本征值保留状态
sys TrenveH
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
约化密度矩阵
sys Trenv
s,e s e
s,e
sys s,s' *s,es',e e
sys
,s s
i
i
i1 N 1
E0
2 cos
N 1
N
H ci1ci cici1
i 1
0 1
1 0 1
1 0 1
H
1 0 1
... ... ...
1 0 1
1
0
所研究的矩阵的特点
密度矩阵重整化群及其在凝聚态物理中的应用
向涛 中科院理论物理所
凝聚态物理多体理论需要解决的问题是什么？
一个多体相互作用系统在某个特定状态 (例 如基态) 下的物理性质 困难点：不可微扰
密度矩阵重整化群
系统的总自由度随粒子数呈指数增长: mN (m = 2, 3, …, N ~1023)
优化处理多粒子相互作用体系的一种数值重整化群方法
经典重整化群方法:按能量保留状态
H Si Si1 i
H2 S1 S2
保留 H2 的 p 最小本征态
H4
H
L 2
H
R 2
S2
S3
保留 H4 的 p 最小本征态
H2n HnL HnR Sn Sn1
经典重整化群方法失败的原因
• 边界误差太大
Sz
1 2
1 0
01
量子效应： SxSy SySx
Heisenberg 相互作用: JS1 S2
H2 分子
JS1
S2
143JJ
4
Singlet Triplet
能量 三重态
J 单态
Particle in a box
0
N
sin
• 切断误差太大 共 p2个状态 仅 p 个被保留
• 按能量取舍状态 有可能丢掉了一些 有用的状态而保留 了一些无用的状态
两个开边界子系统合 在一起其衔接部分的 状态与实际差的很远
改进的重整化群方法
• 边界误差减小
• 切断误差减小 2p个状态，保留p个
密度矩阵重整化群
Superblock
系统
环境
计算量
• 主要CPU时间用于矩阵的对角化 • 实际计算的矩阵的维数：104 － 106
稀疏程度：10-30％ • 需要对角化的矩阵的个数：103 － 105 • 矩阵与矢量相乘的总次数：105 － 107 • 硬盘：10G － 200G
转移矩阵重整化群：有限温度DMRG方法
Z TreH TrTN / 2
用密度矩阵挑选 所要保留的基矢
用有限的几个基矢来 近似表示一个无穷维 空间中的一些状态
S = 1/2 Heisenberg 模型
N
H Si Si1
i1
Total degrees of freedom: 2N
Sx
1 2
0 1
1 0
Sy
1 2
0 i
i 0
10-7
10-10
10-13 0
L=70 50 30
20 40 60 80 100 Number of States Retained
Monte Carlo或 其它近似方法
误差 ~ 1%
1D量子系统 DMRG的误差 远小于其它近 似方法
密度矩阵重整化群方法发展的主要进展
• 零温，实空间：1992
• 热力学计算(TMRG)：经典系统 1995，1D量子系 统 1996 • 高维空间：动量空间1995，分子第一性原理计算 1998 ，待进一步发展 • 动力学关联函数计算：零温及1D有限温度 1999 • 非平衡态 (含时演化) 问题：2001，待进一步发展 • 与Monte Carlo方法的结合：1999，有很大的发展 空间
Symmetric
Transfer Matrix T Non-symmetric
max | max>
Non-symmetric
Lattice size
Finite
Infinity (Finite time slices)
S=1/2 Heiserberg 模型的磁化率
c T
bM1
a M1 bM
bM aM
a0
1 2
a0
a1
a0 a12 4b12 a0
a1
1 2
a0
a1
a0 a12 4b12
DMRG与其它方法比较
Error of the Ground State Energy
总自由度数：2L
10-4
1D free fermions, half filling
• 维数高: mN • 稀疏：90％或更多矩阵元为零 • 有一定的对称性（或守恒量〕：矩阵可
分块对角化
重整化群思想
标度变换：
W
0
dA,
W
0
/
dA'
,
irrelevant
作用量A与A’具有相同的泛函形式(称之为可重整 性)，这也是量子场论方法的基础
重正化群：只是一个半群
,e 2 0
e
约化密度矩阵的本 征值 等于其对应 的本征态 |> 在基 态上的投影振幅
DMRG 迭代过程
系统和环境中各加进一 个点并初始化或更新
H=Hsys+Henv+Hsys,env
用Lanczos或其它稀疏 矩阵对角化方法对角化 H 求出基态波函数
做基矢切断并求出变换 矩阵 Unp
构造并对角化约化密度 矩阵
Lanczos方法
H 0 a0 0 b1 1 H 1 b1 0 a1 1 b2 2 H 2 b2 1 a2 2 b3 3
a0 b1
b1
a1 b2
b2 a2
b3
H
b3 a3 b4
k
Nk / 2
N
Nm/a2x
空间
转移矩阵
eH eH/ L eH/ L
时间
转移矩阵重整化群与DMRG的比较
T=0 DMRG
TMRG
Target Matrix Target State Density matrix
Hamiltonian H Symmetric Ground state
Hsys Hs,e
Hs,e Henv
按系统的约化密度矩 阵的本征值保留状态
sys TrenveH
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
约化密度矩阵
sys Trenv
s,e s e
s,e
sys s,s' *s,es',e e
sys
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i
i
i1 N 1
E0
2 cos
N 1
N
H ci1ci cici1
i 1
0 1
1 0 1
1 0 1
H
1 0 1
... ... ...
1 0 1
1
0
所研究的矩阵的特点
密度矩阵重整化群及其在凝聚态物理中的应用
向涛 中科院理论物理所
凝聚态物理多体理论需要解决的问题是什么？
一个多体相互作用系统在某个特定状态 (例 如基态) 下的物理性质 困难点：不可微扰
密度矩阵重整化群
系统的总自由度随粒子数呈指数增长: mN (m = 2, 3, …, N ~1023)
优化处理多粒子相互作用体系的一种数值重整化群方法
经典重整化群方法:按能量保留状态
H Si Si1 i
H2 S1 S2
保留 H2 的 p 最小本征态
H4
H
L 2
H
R 2
S2
S3
保留 H4 的 p 最小本征态
H2n HnL HnR Sn Sn1
经典重整化群方法失败的原因
• 边界误差太大
Sz
1 2
1 0
01
量子效应： SxSy SySx
Heisenberg 相互作用: JS1 S2
H2 分子
JS1
S2
143JJ
4
Singlet Triplet
能量 三重态
J 单态
Particle in a box
0
N
sin
• 切断误差太大 共 p2个状态 仅 p 个被保留
• 按能量取舍状态 有可能丢掉了一些 有用的状态而保留 了一些无用的状态
两个开边界子系统合 在一起其衔接部分的 状态与实际差的很远
改进的重整化群方法
• 边界误差减小
• 切断误差减小 2p个状态，保留p个
密度矩阵重整化群
Superblock
系统
环境
计算量
• 主要CPU时间用于矩阵的对角化 • 实际计算的矩阵的维数：104 － 106
稀疏程度：10-30％ • 需要对角化的矩阵的个数：103 － 105 • 矩阵与矢量相乘的总次数：105 － 107 • 硬盘：10G － 200G
转移矩阵重整化群：有限温度DMRG方法
Z TreH TrTN / 2
用密度矩阵挑选 所要保留的基矢
用有限的几个基矢来 近似表示一个无穷维 空间中的一些状态
S = 1/2 Heisenberg 模型
N
H Si Si1
i1
Total degrees of freedom: 2N
Sx
1 2
0 1
1 0
Sy
1 2
0 i
i 0
10-7
10-10
10-13 0
L=70 50 30
20 40 60 80 100 Number of States Retained
Monte Carlo或 其它近似方法
误差 ~ 1%
1D量子系统 DMRG的误差 远小于其它近 似方法
密度矩阵重整化群方法发展的主要进展
• 零温，实空间：1992
• 热力学计算(TMRG)：经典系统 1995，1D量子系 统 1996 • 高维空间：动量空间1995，分子第一性原理计算 1998 ，待进一步发展 • 动力学关联函数计算：零温及1D有限温度 1999 • 非平衡态 (含时演化) 问题：2001，待进一步发展 • 与Monte Carlo方法的结合：1999，有很大的发展 空间
Symmetric
Transfer Matrix T Non-symmetric
max | max>
Non-symmetric
Lattice size
Finite
Infinity (Finite time slices)
S=1/2 Heiserberg 模型的磁化率
c T
bM1
a M1 bM
bM aM
a0
1 2
a0
a1
a0 a12 4b12 a0
a1
1 2
a0
a1
a0 a12 4b12
DMRG与其它方法比较
Error of the Ground State Energy
总自由度数：2L
10-4
1D free fermions, half filling
• 维数高: mN • 稀疏：90％或更多矩阵元为零 • 有一定的对称性（或守恒量〕：矩阵可
分块对角化
重整化群思想
标度变换：
W
0
dA,
W
0
/
dA'
,
irrelevant
作用量A与A’具有相同的泛函形式(称之为可重整 性)，这也是量子场论方法的基础
重正化群：只是一个半群