密度矩阵重整化群
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密度矩阵重整化群及其在凝聚态物理中的应用
向 涛
中科院理论物理所
凝聚态物理多体理论需要解决的问题是什么？
一个多体相互作用系统在某个特定状态 (例 如基态) 下的物理性质 困难点：不可微扰
密度矩阵重整化群
系统的总自由度随粒子数呈指数增长: mN (m = 2, 3, …, N ~1023)
优化处理多粒子相互作用体系的一种数值重整化群方法
Target State
Density matrix Lattice size
S=1/2 Heiserberg 模型的磁化率
0.16 0.12
c T
0.08 0.04 0
c c011/2 lnT/T )]
0
c0 1/ , T ~ 7.7
0
2
m = 80 0.01
0.1
1
ln(T/J)
S=1/2 Heiserberg 模型的关联长度
2
z
-1 z 0
= T [2 - 1/ln(T /T)]
0
log (z )
T =2
z
10
1 0 0
m = 80
D D
0.5 T/J
1
二维密度矩阵重整化群方法
核心问题：2D格子如何向1D格子映射？
多链方法
2D方法
Condmat/0102200
所研究的矩阵的特点
• 维数高: mN • 稀疏：90％或更多矩阵元为零
• 有一定的对称性（或守恒量〕：矩阵可 分块对角化
重整化群思想
标度变换：
W
0
dA,
W/
0
dA' , irrelevant
作用量A与A’具有相同的泛函形式(称之为可重整 性)，这也是量子场论方法的基础 重正化群：只是一个半群
L n R n
经典重整化群方法失败的原因
• 边界误差太大
• 切断误差太大
共 p2个状态 仅 p 个被保留 • 按能量取舍状态 有可能丢掉了一些 有用的状态而保留 了一些无用的状态
两个开边界子系统合 在一起其衔接部分的 状态与实际差的很远
改进的重整化群方法
• 边界误差减小
• 切断误差减小
2p个状态，保留p个
密度矩阵重整化群
Superblock
H sys H s,e H H env s ,e
按系统的约化密度矩 阵的本征值保留状态
sys Trenve H
系统 环境
约化密度矩阵
sys Trenv s ,e s e
s,e
, e
TrT
N/2
k
N/2 k
N
N/2 max
转移矩阵
e
H
e
H / L
e
H / L
时间
转移矩阵重整化群与DMRG的比较
T=0 DMRG Target Matrix Hamiltonian H Symmetric Ground state Symmetric Finite TMRG Transfer Matrix T Non-symmetric max | max> Non-symmetric Infinity (Finite time slices)
10 10 10 10
-4
1D free fermions, half filling
-7
L=70
-10
50 30 0 20 40 60 80 100 Number of States Retained
-13
1D量子系统 DMRG的误差 远小于其它近 似方法
密度矩阵重整化群方法发展的主要进展
• 零温，实空间：1992 • 热力学计算(TMRG)：经典系统 1995，1D量子系 统 1996 • 高维空间：动量空间1995，分子第一性原理计算 1998 ，待进一步发展 • 动力学关联函数计算：零温及1D有限温度 1999 • 非平衡态 (含时演化) 问题：2001，待进一步发展 • 与Monte Carlo方法的结合：1999，有很大的发展 空间
1 a 0 a 0 a1 2 1 a1 a 0 a 1 2
a 0 a1 a 0
1
a 4b
2 2 2 1
2 4b1 a0
DMRG与其它方法比较
Monte Carlo或 其它近似方法
误差 ~ 1%
总自由度数：2L
Error of the Ground State Energy
做基矢切断并求出变换 矩阵 Unp
构造并对角化约化密度 矩阵
Lanczos方法
H 0 a 0 0 b1 1 H 1 b1 0 a1 1 b 2 2 H 2 b 2 1 a 2 2 b3 3
a 0 b1 b1 a1 b 2 b 2 a 2 b3 H b3 a 3 b 4 b M 1 a M 1 b M b a M M
e
2
0
syss,s'
e
* s,es ',e
sys ,s s
s
约化密度矩阵的本 征值 等于其对应 的本征态 |> 在基 态上的投影振幅
DMRG 迭代过程
系统和环境中各加进一 个点并初始化或更新 H=Hsys+Henv+Hsys,env 用Lanczos或其它稀疏 矩阵对角化方法对角化 H 求出基态波函数
0.2
0.3
1/L
1/L
Square DMRG MC SW -0.3346 -0.334719 -0.33475
Triangle -0.1814 -0.1819 -0.1822
小 结
• 密度矩阵重整化群是目前研究一维量子 多体系统最为精确的数值计算方法 • 但在研究高维或非平衡态系统的物理性 质方面还有许多需要解决的数学问题
Heisenberg 模型的基态性质
Ground State Energy
Ground State Energy
-0.34
Square Lattice
-0.18 -0.2 -0.22 -0.24 -0.26
Triangle Lattice
-0.36
-0.38
-0.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
0.1
经典重整化群方法:按能量保留状态
H S i S i 1
i
H 2 S1 S 2
保留 H2 的 p 最小本征态
H4 H H S2 S3
L 2 R 2
保留 H4 的 p 最小本征态
H 2n H H S n S n 1
H ciຫໍສະໝຸດ Baidu1ci ci ci 1
i 1 N
i 0 sin i N 1 i 1 E 0 2 cos N 1
N
0 1 1 0 1 1 0 1 H 1 0 1 ... ... ... 1 0 1 1 0
用密度矩阵挑选 所要保留的基矢
用有限的几个基矢来 近似表示一个无穷维 空间中的一些状态
S = 1/2 Heisenberg 模型
H Si Si 1
N i 1
1 0 1 Sx 2 1 0 1 0 i Sy 2 i 0 1 1 0 Sz 2 0 1
Total degrees of freedom: 2N 量子效应：
S x S y S yS x
Heisenberg 相互作用: JS1 S2
H2 分子
3 J JS1 S2 4 1 J 4
能量
Singlet T riplet
J 三重态 单态
Particle in a box
计算量
• 主要CPU时间用于矩阵的对角化 • 实际计算的矩阵的维数：104 － 106 稀疏程度：10-30％ • 需要对角化的矩阵的个数：103 － 105 • 矩阵与矢量相乘的总次数：105 － 107 • 硬盘：10G － 200G
转移矩阵重整化群：有限温度DMRG方法
Z Tre
空间
H
向 涛
中科院理论物理所
凝聚态物理多体理论需要解决的问题是什么？
一个多体相互作用系统在某个特定状态 (例 如基态) 下的物理性质 困难点：不可微扰
密度矩阵重整化群
系统的总自由度随粒子数呈指数增长: mN (m = 2, 3, …, N ~1023)
优化处理多粒子相互作用体系的一种数值重整化群方法
Target State
Density matrix Lattice size
S=1/2 Heiserberg 模型的磁化率
0.16 0.12
c T
0.08 0.04 0
c c011/2 lnT/T )]
0
c0 1/ , T ~ 7.7
0
2
m = 80 0.01
0.1
1
ln(T/J)
S=1/2 Heiserberg 模型的关联长度
2
z
-1 z 0
= T [2 - 1/ln(T /T)]
0
log (z )
T =2
z
10
1 0 0
m = 80
D D
0.5 T/J
1
二维密度矩阵重整化群方法
核心问题：2D格子如何向1D格子映射？
多链方法
2D方法
Condmat/0102200
所研究的矩阵的特点
• 维数高: mN • 稀疏：90％或更多矩阵元为零
• 有一定的对称性（或守恒量〕：矩阵可 分块对角化
重整化群思想
标度变换：
W
0
dA,
W/
0
dA' , irrelevant
作用量A与A’具有相同的泛函形式(称之为可重整 性)，这也是量子场论方法的基础 重正化群：只是一个半群
L n R n
经典重整化群方法失败的原因
• 边界误差太大
• 切断误差太大
共 p2个状态 仅 p 个被保留 • 按能量取舍状态 有可能丢掉了一些 有用的状态而保留 了一些无用的状态
两个开边界子系统合 在一起其衔接部分的 状态与实际差的很远
改进的重整化群方法
• 边界误差减小
• 切断误差减小
2p个状态，保留p个
密度矩阵重整化群
Superblock
H sys H s,e H H env s ,e
按系统的约化密度矩 阵的本征值保留状态
sys Trenve H
系统 环境
约化密度矩阵
sys Trenv s ,e s e
s,e
, e
TrT
N/2
k
N/2 k
N
N/2 max
转移矩阵
e
H
e
H / L
e
H / L
时间
转移矩阵重整化群与DMRG的比较
T=0 DMRG Target Matrix Hamiltonian H Symmetric Ground state Symmetric Finite TMRG Transfer Matrix T Non-symmetric max | max> Non-symmetric Infinity (Finite time slices)
10 10 10 10
-4
1D free fermions, half filling
-7
L=70
-10
50 30 0 20 40 60 80 100 Number of States Retained
-13
1D量子系统 DMRG的误差 远小于其它近 似方法
密度矩阵重整化群方法发展的主要进展
• 零温，实空间：1992 • 热力学计算(TMRG)：经典系统 1995，1D量子系 统 1996 • 高维空间：动量空间1995，分子第一性原理计算 1998 ，待进一步发展 • 动力学关联函数计算：零温及1D有限温度 1999 • 非平衡态 (含时演化) 问题：2001，待进一步发展 • 与Monte Carlo方法的结合：1999，有很大的发展 空间
1 a 0 a 0 a1 2 1 a1 a 0 a 1 2
a 0 a1 a 0
1
a 4b
2 2 2 1
2 4b1 a0
DMRG与其它方法比较
Monte Carlo或 其它近似方法
误差 ~ 1%
总自由度数：2L
Error of the Ground State Energy
做基矢切断并求出变换 矩阵 Unp
构造并对角化约化密度 矩阵
Lanczos方法
H 0 a 0 0 b1 1 H 1 b1 0 a1 1 b 2 2 H 2 b 2 1 a 2 2 b3 3
a 0 b1 b1 a1 b 2 b 2 a 2 b3 H b3 a 3 b 4 b M 1 a M 1 b M b a M M
e
2
0
syss,s'
e
* s,es ',e
sys ,s s
s
约化密度矩阵的本 征值 等于其对应 的本征态 |> 在基 态上的投影振幅
DMRG 迭代过程
系统和环境中各加进一 个点并初始化或更新 H=Hsys+Henv+Hsys,env 用Lanczos或其它稀疏 矩阵对角化方法对角化 H 求出基态波函数
0.2
0.3
1/L
1/L
Square DMRG MC SW -0.3346 -0.334719 -0.33475
Triangle -0.1814 -0.1819 -0.1822
小 结
• 密度矩阵重整化群是目前研究一维量子 多体系统最为精确的数值计算方法 • 但在研究高维或非平衡态系统的物理性 质方面还有许多需要解决的数学问题
Heisenberg 模型的基态性质
Ground State Energy
Ground State Energy
-0.34
Square Lattice
-0.18 -0.2 -0.22 -0.24 -0.26
Triangle Lattice
-0.36
-0.38
-0.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
0.1
经典重整化群方法:按能量保留状态
H S i S i 1
i
H 2 S1 S 2
保留 H2 的 p 最小本征态
H4 H H S2 S3
L 2 R 2
保留 H4 的 p 最小本征态
H 2n H H S n S n 1
H ciຫໍສະໝຸດ Baidu1ci ci ci 1
i 1 N
i 0 sin i N 1 i 1 E 0 2 cos N 1
N
0 1 1 0 1 1 0 1 H 1 0 1 ... ... ... 1 0 1 1 0
用密度矩阵挑选 所要保留的基矢
用有限的几个基矢来 近似表示一个无穷维 空间中的一些状态
S = 1/2 Heisenberg 模型
H Si Si 1
N i 1
1 0 1 Sx 2 1 0 1 0 i Sy 2 i 0 1 1 0 Sz 2 0 1
Total degrees of freedom: 2N 量子效应：
S x S y S yS x
Heisenberg 相互作用: JS1 S2
H2 分子
3 J JS1 S2 4 1 J 4
能量
Singlet T riplet
J 三重态 单态
Particle in a box
计算量
• 主要CPU时间用于矩阵的对角化 • 实际计算的矩阵的维数：104 － 106 稀疏程度：10-30％ • 需要对角化的矩阵的个数：103 － 105 • 矩阵与矢量相乘的总次数：105 － 107 • 硬盘：10G － 200G
转移矩阵重整化群：有限温度DMRG方法
Z Tre
空间
H