第7节二项分布及正态分布(轻巧夺冠)

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第7节二项分布与正态分布

5 4 10
P A 2
答案:(1)C
︱高中总复习︱一轮·理数
(2)某种家用电器能使用三年的概率为0.8,能使用四年的概率为0.4,已知这
种家用
解析:(2)记事件 A 为这个家用电器使用了三年,事件 B 为这个家用电器使用到四年,
显然事件 B⊂ A,即事件 AB=B, 故 P(A)=0.8,P(AB)=0.4,
每次随机检测一件产品,检测后不放回,则在第一次取出次品的条件下,第二次
取出的也是次品的概率是( )
(A) 3 10
(B) 3 5
(C) 1 2
(D) 1 4
解析:(1)记“第一次取出次品”为事件 A,“第二次取出次品”为事件 B,
则 P(A)= 3 , 5
P(AB)= 3 2 = 3 ,所以 P(B|A)= P AB = 1 ,故选 C.
服从或近似服从正态分布.
答案:⑤⑥⑦
︱高中总复习︱一轮·理数
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一条件概率【例1】 (1)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) (A)0.8 (B)0.75 (C)0.6 (D)0.45
︱高中总复习︱一轮·理数
知识链条完善
把散落的知识连起来
知识梳理
1.条件概率 (1)条件概率的概念:一般地,设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)= P AB
P A
为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件
下B发生的概率.
(2)条件概率的性质
性质1.任何事件的条件概率都在0和1之间,即0≤P(A|B)≤1,必然事件的条

高考数学一轮总复习二项分布超几何分布与正态分布教师用书

第七节　二项分布、超几何分布与正态分布考试要求：1．掌握二项分布和超几何分布的概念．2．了解正态分布的含义．一、教材概念·结论·性质重现1．n重伯努利试验与二项分布(1)n重伯努利试验把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．n重伯努利实验具有如下共同特征：(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X 表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝C p k(1－p )n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r．其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布．3．超几何分布的期望E(X)＝＝np (p为N件产品的次品率)．(2)已知各类对象的个数．(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体数X的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．4．正态分布(1)正态曲线函数f(x)＝e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称函数f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．②曲线是单峰的，它关于直线x＝ μ对称．③曲线在x＝ μ处达到峰值．④曲线与x轴围成的面积为1．⑤在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ 的变化而沿x轴平移，如图(1)所示．⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图(2)所示．(3)正态分布的定义及表示若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝e，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～ N(μ， σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值．①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7．②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5．③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．若X服从正态分布，即二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝C p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．(　√　)(2)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布．(　×　)(3)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　√　)(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一个球．若是白球，则取出来，若是黑球，则放回盒中，直到把白球全部取出来．设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布．(　×　)(5)二项分布是一个概率分布，其公式相当于二项式(a＋b)n展开式的通项，其中a＝p，b＝1－p．(　×　)(6)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布密度函数，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．(　√　)2．(2021·佛山期末)有一批谷类种子，如果每1粒种子发芽的概率为，那么插下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )A．B．C．D．A　解析：3粒种子中发芽的粒数服从二项分布X～B，所以恰有2粒发芽的概率为C××＝．3．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，则理论上在80分到90分的人数是( )A．32 B．16C．8 D．20B　解析：因为数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.682 7．根据正态曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，所以理论上在80分到90分的人数是×0.682 7×48≈16．4．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽取n件产品，抽到的次品数的数学期望是( )A．n B．(n－1)C．D．(n＋1)C　解：设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽取n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布即X～H(n，M，N)，所以抽到的次品数的数学期望值E(X)＝．5．已知随机变量ξ～B，则P(ξ＝3)＝________(用数字作答)．　解析：随机变量ξ～B，则P(ξ＝3)＝C·3·＝．6．已知随机变量X～N(1,62)，若P(X>0)＝0.8，则P(X≥2)＝________．0.2　解析：随机变量X服从正态分布N(1,62)，所以正态曲线关于x＝1对称，所以P(x≥2)＝P(x≤0)＝1－P(x>0)＝0.2．考点1　二项分布——基础性某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立．(1)求某应聘人员被录用的概率；(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．解：设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C．(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A∪BC．因为P(A)＝×＝，P(B)＝2××＝，P(C)＝，所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝．所以某应聘人员被录用的概率为．(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，且X～B，A i表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0,1,2,3,4)．因为P(A0)＝C×＝，P(A1)＝C××＝，P(A2)＝C××＝，P(A3)＝C××＝，P(A4)＝C××＝．所以X的分布列为X01234P二项分布概率公式可以简化求概率的(2021·杭州二模)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸得白球个数为X．若E(X)＝，则m＝________，P(X＝2)＝________．2 解析：甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸得白球个数为X，则X～B，因为E(X)＝，所以E(X)＝3×＝，所以m＝2，所以P(X＝2)＝C××＝．考点2　超几何分布——应用性在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝＝．(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，因此X的分布列为X01234P(1)超几何分布1．(多选题)在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球、4个白球，现从中任取4个小球．设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是( )A．P(X＝1)＝B．随机变量X服从二项分布C．随机变量X服从超几何分布D．E(X)＝ACD　解析：由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确．X的取值分别为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故A，D正确．2．某高中德育处为了调查学生对“国安法”的关注情况，在全校组织了“国家安全知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩(百分制)如下：52,63,67,68,72,76,76,76,82,88,93,94．(1)写出该样本的中位数，若该校共有3 000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布列和数学期望．解：(1)由已知数据可得中位数为76，样本中70分以上的所占比例为＝，故可估计该校测试成绩在70分以上的约为3 000×＝2 000(人)．(2)由题意可得ξ的可能取值为0,1,2,3,4．P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝，P(ξ＝4)＝＝．所以ξ的分布列为ξ01234PE(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2．考点3　正态分布——应用性(1)(多选题)若随机变量ξ～N(0,1)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0．下列等式成立的有( )A．φ(－x)＝1－φ(x)B．φ(2x)＝2φ(x)C．P(|ξ|<x)＝2φ(x)－1D．P(|ξ|>x)＝2－φ(x)AC　解析：因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，所以正态曲线关于ξ＝0对称，如图．φ(－x)＝P(ξ≤－x)＝P(ξ≥x)＝1－φ(x)，所以A项正确．φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2φ(x)＝2P(ξ≤x)，所以φ(2x)≠2φ(x)，B项错误．P(|ξ|<x)＝P(－x<ξ<x)＝1－2φ(－x)＝1－2[1－φ(x)]＝2φ(x)－1，所以C项正确．P(|ξ|≥x)＝P(ξ≥x或ξ≤－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝1－φ(x)＋1－φ(x)＝2－2φ(x)，所以D项错误．故选AC．(2)(2021·重庆校级模拟)重庆合川桃片远近闻名，某个品种的合川桃片是小袋装的，其质量服从正态分布N(100，0.01)(单位：g)．现抽取500袋样本，X表示抽取的桃片质量在(100，100.2]的袋数，则X约为______．(结果四舍五入保留整数)附：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5．239　解析：因为质量服从正态分布N(100,0.01)，所以μ＝100，σ＝0.1．因为P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，且μ＝100，σ＝0.1，所以P(99.8≤X≤100.2)≈0.954 5，所以P(100＜X≤100.2)≈＝0.47725，则抽取的桃片质量在(100,100.2)的袋数X服从二项分布，即X～B(500,0.477 25)，则E(X)＝500×0.477 25≈239．(2021·湖南模拟)扶贫期间，扶贫工作组从A地到B地修建了公路，脱贫后，为了了解A地到B地公路的交通通行状况，工作组调查了从A地到B地行经该公路的各种类别的机动车共4 000辆，汇总行车速度后作出如图所示的频率分布直方图．(1)试根据频率分布直方图，求样本中的这4 000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)．(2)由频率分布直方图可大致认为，该公路上机动车的行车速度Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取调查样本中4 000辆机动车的平均车速和车速的方差s2(s2＝204.75)．①请估计该公路上10 000辆机动车中车速高于84.8 km/h的车辆数(精确到个位)；②现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于84.8 km/h的车辆数为X，求X的数学期望．附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3，取＝14.3．解：(1)由题意可知，＝(45＋95)×0.1＋(55＋85)×0.15＋65×0.2＋75×0.3＝70.5．故样本中的这4 000辆机动车的平均车速为70.5 km/h．(2)由题意，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝＝70.5，σ2＝s2＝204.75，则σ＝14.3．①因为P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)＝P(56.2≤Z≤84.8)≈0.682 7，所以P(Z>84.8)≈×(1－0.682 7)＝0.158 65，所以车速高于84.8 km/h的车辆数的估计值为0.158 65×10 000＝1 586.5≈1 587．②行车速度低于84.8 km/h的概率为1－0.158 65＝0.841 35，又X～B(10,0.841 35)，所以E(X)＝10×0.841 35＝8.413 5．。

第七章二项分布与正态分布

第七章假设检验第一节二项分布二项分布的数学形式·二项分布的性质第二节统计检验的基本步骤建立假设·求抽样分布·选择显著性水平和否定域·计算检验统计量·判定第三节正态分布正态分布的数学形式·标准正态分布·正态分布下的面积·二项分布的正态近似法第四节中心极限定理抽样分布·总体参数与统计量·样本均值的抽样分布·中心极限定理第五节总体均值和成数的单样本检验σ已知，对总体均值的检验·学生t分布(小样本总体均值的检验)·关于总体成数的检验一、填空1．不论总体是否服从正态分布，只要样本容量n足够大，样本平均数的抽样分布就趋于（）分布。

2．统计检验时，被我们事先选定的可以犯第一类错误的概率，叫做检验的( )，它决定了否定域的大小。

3．假设检验中若其他条件不变，显著性水平的取值越小，接受原假设的可能性越（），原假设为真而被拒绝的概率越（）。

4．二项分布的正态近似法，即以将B(x；n，p)视为（)查表进行计算。

5．已知连续型随机变量X～N(0,1)，若概率P{X≥λ}=0.10，则常数λ=（）。

6．已知连续型随机变量X～N(2,9)，函数值9772.0)2(=Φ，则概率}8{<XP=（）。

二、单项选择1．关于学生t分布，下面哪种说法不正确（）。

A 要求随机样本B 适用于任何形式的总体分布C 可用于小样本D 可用样本标准差S代替总体标准差σ2．二项分布的数学期望为（）。

A n(1-n)pB np(1- p)C npD n(1- p)。

3．处于正态分布概率密度函数与横轴之间、并且大于均值部分的面积为（）。

A 大于0.5B －0.5C 1D 0.5。

4．假设检验的基本思想可用（）来解释。

A 中心极限定理B 置信区间C 小概率事件D 正态分布的性质5．成数与成数方差的关系是（）。

A 成数的数值越接近0，成数的方差越大B 成数的数值越接近0.3，成数的方差越大C 成数的数值越接近1，成数的方差越大D 成数的数值越接近0.5，成数的方差越大6．在统计检验中，那些不大可能的结果称为( )。

二项分布与正态分布

二项分布与正态分布二项分布与正态分布是概率统计学中两个重要的分布模型。

它们在实际应用中发挥着重要的作用，对于描述随机事件和现象的分布规律具有重要意义。

本文将分别介绍二项分布和正态分布的基本概念和性质，并对它们之间的关系进行探讨。

一、二项分布二项分布是概率统计学中最基本的离散型概率分布之一。

它描述了在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。

其中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。

试验次数n和成功次数X（取值范围为0到n）是二项分布的两个重要参数。

二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n, k)表示从n个物体中取出k个的组合数。

二项分布具有以下性质：1. 期望和方差：二项分布的期望为E(X) = np，方差为Var(X) = np(1-p)。

2. 归一性：二项分布的概率之和为1，即∑P(X=k) = 1，其中k的取值范围为0到n。

二、正态分布正态分布是概率统计学中最重要的连续型概率分布之一。

它以钟形曲线的形式描述了大量随机变量分布的特征。

正态分布由两个参数决定，即均值μ和标准差σ。

正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，exp表示自然指数函数，sqrt表示开方。

正态分布具有以下性质：1. 对称性：正态分布呈现出关于均值对称的特点，即其左右两侧的曲线是镜像关系。

2. 均值和方差：正态分布的均值即为μ，方差即为σ^2。

3. 中心极限定理：当样本容量较大时，多个独立随机变量的均值近似服从正态分布。

三、二项分布与正态分布的关系在一些情况下，二项分布可以近似看作正态分布。

当试验次数n较大，成功概率p较接近0.5时，二项分布的概率分布形状逐渐接近于正态分布。

根据中心极限定理，当n足够大时，二项分布的均值和方差趋近于正态分布的均值和方差，因此可以用正态分布来近似描述二项分布的概率分布。

二项分布与正态分布了解二项分布与正态分布的性质与应用

二项分布与正态分布了解二项分布与正态分布的性质与应用二项分布与正态分布二项分布和正态分布是概率统计学中两个重要的分布形式。

二项分布适用于独立重复试验，每次试验只有两种可能的结果，成功或失败；而正态分布则是一种连续性的概率分布，常用于描述一组数据的分布情况。

本文将介绍二项分布和正态分布的性质与应用。

一、二项分布二项分布，又称为伯努利分布，是最基本的离散型概率分布之一。

它描述了在一系列相互独立的、同类的随机试验中，成功的次数的概率分布。

一次伯努利试验中，只有两个可能的结果，例如抛硬币的正反面。

二项分布的概率质量函数如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，X表示成功的次数，n表示试验的总次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示从n次试验中选取k次成功的组合数。

从公式中可以看出，二项分布的参数为n和p。

二项分布的性质：1.期望和方差：二项分布的期望为E(X) = np，方差为Var(X) = np(1-p)。

2.形状特点：二项分布的形状呈现对称性，随着试验次数n的增加，其形状逐渐接近正态分布。

二项分布的应用：1.质量控制：在质量控制中，可以使用二项分布来描述合格品和不合格品的比例，判断产品是否符合生产标准。

2.市场调查：通过市场调查统计来预测某个事件的发生概率，例如选举候选人的支持率。

3.投资决策：根据二项分布的特点，可以计算在不同投资情况下的预期收益和风险。

二、正态分布正态分布，也称为高斯分布，是一种连续型的概率分布。

在自然界和社会科学中，许多现象都可以被正态分布描述，例如身高、体重等。

正态分布的概率密度函数如下：f(x) = 1/(σ*sqrt(2π)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，x表示连续随机变量的取值，μ表示均值，σ表示标准差。

正态分布的参数为μ和σ。

正态分布的性质：1.对称性：正态分布是对称分布，其均值和中位数重合。

2.标准正态分布：当μ=0、σ=1时，得到标准正态分布。

二项分布与正态分布

二项分布与正态分布二项分布（Binomial Distribution）和正态分布（Normal Distribution）是统计学中常用的两种分布类型，它们在描述概率和随机变量的分布特征上有着重要的应用。

一、二项分布二项分布是一种离散概率分布，适用于两个互斥事件（成功和失败）发生的多次独立重复实验。

每个实验的结果只有两种可能性，并且各试验之间的概率不会发生变化。

该分布以两个参数来描述：n（实验次数）和p（事件成功的概率）。

二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中X为成功事件发生的次数，k为取值范围，C(n, k)表示组合数。

例如，某外卖平台的数据显示，在送达100份订单中，正好有20份遇到问题，成功率为0.2。

如果我们想要了解在送达下一个订单时会出现多少问题的概率分布，我们就可以使用二项分布来计算。

二、正态分布正态分布是一种连续概率分布，也被称为高斯分布。

在统计学中，正态分布常常用来描述一组数据中心性的表现，其图形呈钟形曲线。

正态分布由两个参数来描述：均值（μ）和标准差（σ^2）。

正态分布的概率密度函数为f(x) = 1 / (σ * √(2π)) * exp(-(x-μ)^2 /2σ^2)，其中x为取值范围。

例如，在考试成绩分析中，如果我们知道某门考试的平均分是80分，标准差是10分，我们就可以使用正态分布来计算不同分数段的比例和概率。

三、二项分布与正态分布的关系当二项分布的参数n（实验次数）足够大，同时p（事件成功的概率）也足够接近0.5时，二项分布可以近似地用正态分布来描述。

根据中心极限定理（Central Limit Theorem），当样本容量足够大时，无论数据服从什么分布，其样本均值的分布均近似服从正态分布。

由于二项分布和正态分布之间的关系，我们可以利用正态分布的性质对二项分布进行近似计算。

这种近似计算可简化复杂的二项分布计算，并提高效率。

二项分布与正态分布

二项分布与正态分布随机现象在统计学中起着重要的作用，而其中最常见的概率分布是二项分布和正态分布。

本文将对二项分布和正态分布进行详细的论述，以便更好地理解和运用它们。

一、二项分布二项分布是指在n次相互独立的伯努利试验中，成功的次数所服从的概率分布。

每一次试验只有两种可能的结果，记为"成功"和"失败"。

例如，扔一枚硬币正面朝上为成功，反面朝上为失败。

随机变量X表示成功的次数，则X满足二项分布B(n, p)，其中n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率。

二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n, k)表示组合数。

二项分布的特点是每次试验都是相互独立的，并且成功的概率为p。

二、正态分布正态分布是最常见的连续型概率分布之一，也被称为高斯分布。

正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，μ表示均值，σ表示标准差。

正态分布的特点是呈钟形曲线，均值μ决定了曲线的中心位置，标准差σ决定了曲线的形状。

正态分布在自然界和人类社会中广泛存在，例如人的身高、智力测验成绩等。

根据统计学的中心极限定理，当试验次数足够多时，二项分布的近似分布趋近于正态分布。

三、二项分布与正态分布的关系当试验次数n较大、成功的概率p接近于0.5时，二项分布可以近似地看作是正态分布。

这是因为中心极限定理的影响，当试验次数n趋近于无穷时，二项分布的形态越来越接近正态分布。

这使得我们可以利用正态分布对二项分布进行近似计算，简化问题的解决过程。

四、应用举例1. 计算二项分布的概率：假设某产品的质量合格率为0.8，每次抽检3个产品，问其中有2个合格的概率是多少？根据二项分布的公式，代入n=3，k=2，p=0.8，可以计算出概率为2.88%。

2. 近似计算二项分布：假设某超市每天卖出的某种商品数目服从二项分布，已知每个顾客买到该商品的概率为0.2，每天有100名顾客来购买。

A新高考数学第七节二项分布与正态分布

P(ξ＝0)＝C30×180×1－183＝354132， P(ξ＝1)＝C31×181×1－182＝154172， P(ξ＝2)＝C32×182×1－181＝52112， P(ξ＝3)＝C33×183×1－180＝5112．所以 ξ 的分布列为
ξ0
1
2
3
P
343 512
147 512
21 512
故选 C．
答案：C
4．(选择性必修第三册 87 页练习 2 题改编)已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1)，且 P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则 c＝________．
解析：∵X～N(3,1)，∴正态曲线关于 x＝3 对称，且 P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)， ∴2c－1＋c＋3＝3×2，∴c＝43．答案：43
02
考点分类突破课堂讲练
理解透规律明变化究其本
n 重伯努利试验与二项分布
考向 1 概率问题某气象站天气预报的准确率为 80%，计算：(结果保留到小数点后 2 位)
(1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率； (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率； (3)5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率． [解] 令 X 表示 5 次预报中预报准确的次数，则 X～B5，45，故其中分布列为 P(X＝k)＝C5k45k·1－455－k(k＝0,1,2,3,4,5)．
2．(选择性必修第三册 71 页习题 4 题改编)在一次招聘中，主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，并独立完成所抽取的 3 道题．．记乙能答对的题数为 Y，则 Y 的数学期望为________．解析：由题意知 Y 的可能取值为 0,1,2,3，且 Y～B3，23，则 E(Y)＝3×23＝2．答案：2

二项分布与正态分布二项分布正态分布的性质与应用

二项分布与正态分布二项分布正态分布的性质与应用二项分布与正态分布概述：统计学中，二项分布和正态分布都是重要的概率分布。

它们在不同领域有着广泛的应用。

本文将介绍二项分布和正态分布的性质以及它们在实际问题中的应用。

一、二项分布的性质与应用1. 二项分布的定义：二项分布是一种离散概率分布，用于描述在重复进行相同试验的情况下，成功的次数的概率分布。

它的概率密度函数为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，k为成功次数，p为每次试验成功的概率。

2. 二项分布的性质：（1）期望和方差：对于二项分布，其期望值μ=np，方差σ^2=np(1-p)。

这意味着在大量重复试验中，预期的成功次数接近于np，方差的开方近似于标准差。

（2）对称性：当p=0.5时，二项分布是对称的。

（3）独立性：在独立重复试验中，每次试验的结果不会影响其他试验的结果。

3. 二项分布的应用：（1）品质控制：二项分布可用于质量检验中，判断产品合格与否的概率。

（2）医学研究：例如，某种药物的治疗成功率可以用二项分布进行建模和分析。

（3）市场调研：根据市场调查的结果，可以利用二项分布对样本群体的属性进行推断。

二、正态分布的性质与应用1. 正态分布的定义：正态分布是一种连续概率分布，是自然界中许多随机现象的近似分布。

正态分布的概率密度函数为：f(x)=1/(σsqrt(2π)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。

2. 正态分布的性质：（1）均值与标准差：正态分布完全由均值μ和标准差σ确定。

均值决定了分布的位置，标准差决定了分布的宽度。

（2）对称性：正态分布是关于均值对称的，曲线在均值处达到峰值。

（3）中心极限定理：大量独立随机变量的和趋近于正态分布。

3. 正态分布的应用：（1）统计推断：正态分布在统计学中起到重要的作用，例如，利用正态分布进行参数估计和假设检验。

（2）风险管理：正态分布在金融领域常用于模拟资产回报率和风险价值的计算。

二项分布与正态分布

二项分布与正态分布在概率统计学中，二项分布和正态分布是两个非常重要的概率分布。

二项分布是描述离散型随机变量的分布，而正态分布则是描述连续型随机变量的分布。

本文将对二项分布和正态分布进行详细介绍和比较。

一、二项分布二项分布是由进行多次独立的二元实验而引起的概率分布。

在每次实验中，结果只有两种可能，成功或失败，成功的概率为p，失败的概率为1-p。

进行n次实验后，成功的次数就构成了一个二项分布。

二项分布的概率质量函数可以用公式表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个实验中取出k个成功的组合数，p表示成功的概率，(1-p)表示失败的概率。

二、正态分布正态分布又称为高斯分布，是自然界中非常常见的一种连续型概率分布。

正态分布的概率密度函数在数学上表达为：f(x) = (1/σ√(2π)) * e^-(x-μ)^2/(2σ^2)其中，μ表示分布的均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底。

正态分布的形状是一个钟形曲线，呈现对称性，并且均值、中位数、众数都位于曲线中心。

三、二项分布与正态分布的关系当二项分布中的实验次数n足够大，并且成功的概率p足够接近于0.5时，二项分布可以近似地用正态分布来描述。

这是由于中心极限定理的作用，即大量相互独立的随机变量的和近似服从正态分布。

具体来说，当n比较大时，二项分布的均值μ=n*p和方差σ^2=n*p*(1-p)的值也比较大。

而正态分布的均值和方差可以通过对二项分布的均值和方差进行适当的变换得到。

当n趋近于无穷大时，二项分布与正态分布的差别越来越小，因此可以用正态分布来近似描述二项分布。

四、应用场景二项分布常用于描述二元实验的结果，比如投掷硬币的结果、产品的合格率等。

通过对二项分布进行分析，可以计算出实验成功的概率、失败的概率以及在一定实验次数下成功的期望次数。

而正态分布则广泛应用于自然和社会科学的各个领域。

由于其对称性和中心极限定理的作用，正态分布可以用于描述和分析连续型随机变量的分布情况。

第七节二项分布与正态分布

1 / 19第七节二项分布与正态分布命题导航课程标准(2017年版)命题预测1.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.2.通过具体实例,了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题. 3.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例,借助频率直方图的几何直观,了解正态分布的特征. 4.了解正态分布的均值、方差及其含义.1.考向预测:相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验与二项分布、正态分布是考查热点.2.学科素养:主要考查数据分析核心素养.1.条件概率(1)定义对于任何两个事件A 和B,在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率叫做① 条件概率 ,用符号② P(B|A) 来表示,其公式为P(B|A)=③ P (AB )P (A )(P(A)>0).在古典概型中,若用n(A)表示事件A 中基本事件的个数,则P(B|A)=n (AB )n (A ).(2)性质(i)④ 0≤P(B|A)≤1 ;(ii)如果B 和C 是两个互斥事件,那么P(B∪C|A)=⑤ P(B|A)+P(C|A) . 2.相互独立事件(1)对于事件A 、B,若A 的发生与B 的发生互不影响,则称⑥ A 、B 是相互独立事件 . (2)若A 与B 相互独立,则P(B|A)=⑦ P(B) ,P(AB)=P(B|A)·P(A)=⑧P(A)P(B) .(3)若A与B相互独立,则⑨A与B ,⑩A 与B ,A 与B 也都相互独立.(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.3.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中事件发生的概率都是一样的.(2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=C n k p k(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记为X~B(n,p) ,并称p为成功概率.4.正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(3)曲线在x=μ处达到峰值σ√2π;(4)曲线与x轴之间的面积为 1 ;(5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.【常用结论】1.若事件A与B相互独立,则A与,A与,A与B也相互独立.2.若A1,A2,…,An相互独立,则P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An).2 / 193 / 191.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)条件概率一定不等于它的非条件概率.( )(2)对于任意两个互斥事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.( )(3)独立事件可能是互斥事件也可能不是互斥事件,而互斥事件一定不是独立事件.( ) (4)若事件A,B 相互独立,则P(B|A)=P(B).( )(5)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.( )答案 (1)✕ (2)✕ (3)√ (4)√ (5)√2.已知P(B|A)=12,P(AB)=38,则P(A)等于( ) A.316 B.1316 C.34D.14答案 C3.设随机变量X~B (6,12),则P(X=3)等于( ) A.516 B.316 C.58 D.38答案 A4.某人射击,一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为 . 答案811255.某小区有两个相互独立的安全防范系统甲和乙,系统甲和系统乙在任意时刻发生故障的概率分别为18和p.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为14,则p= . 答案 164 / 196.已知ξ~N(0,σ2)且P(-2≤ξ≤0)=0.4,则P(ξ>2)= . 答案 0.1条件概率典例1 (2016课标全国Ⅱ,18(1)(2))某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出险次数0 1 2 3 4 ≥5 概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率. 解析 (1)设A 表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)设B 表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=P (AB )P (A )=P (B )P (A )=0.150.55=311. 因此所求概率为311. 方法技巧条件概率的求法(1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=P (AB )P (A )求P(B|A).(2)基本事件法:借助古典概型概率公式,先求事件A 包含的基本事件数n(A),再求事件AB 所包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=n (AB )n (A ).5 / 19(3)缩样法:缩小样本空间的方法,就是去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用古典概型求解,它能化繁为简.1-1 甲、乙两地都位于长江下游,根据天气预报的记录知,一年中下雨天甲市占20%,乙市占18%,两市同时下雨占12%.则在甲市为雨天的条件下,乙市也为雨天的概率为( )A.0.6B.0.7C.0.8D.0.66答案 A1-2 现有3道理科题和2道文科题,共5道题,若不放回地一次抽取2道题,则在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率为( )A.310B.25C.12D.35答案 C 设“第1次抽到理科题”为事件A,“第2次抽到理科题”为事件B,则P(B|A)=P (AB )P (A )=3×2A 5235=12.故选C.相互独立事件的概率典例2 某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛,本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.规定一名运动员出线记1分,未出线记0分.假设甲、乙、丙出线的概率分别为23,34,35,他们出线与未出线是相互独立的.(1)求这次选拔赛中,这三名运动员至少有一名出线的概率;(2)记在这次选拔赛中,甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列.解析 (1)记“甲出线”为事件A,“乙出线”为事件B,“丙出线”为事件C,“甲、乙、丙三名运动员至少有一名出线”为事件D,则P(D)=1-P(A B C )=1-13×14×25=2930.(2)由题意可得,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6 / 19则P(ξ=0)=P(A B C )=13×14×25=130;P(ξ=1)=P(A B C )+P(A B C )+P(A B C)=23×14×25+13×34×25+13×14×35=1360; P(ξ=2)=P(AB C )+P(A B C)+P(A BC)=23×34×25+23×14×35+13×34×35=920; P(ξ=3)=P(ABC)=23×34×35=310. 所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P1301360920310方法技巧相互独立事件的概率的求法(1)直接法:利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解;(2)间接法:正面计算较复杂(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算.2-1 甲、乙两人玩投篮游戏,规则如下:两人轮流投篮,每人至多投2次,甲先投,若有人投中即停止投篮,结束游戏,已知甲每次投中的概率为14,乙每次投中的概率为13,求:(1)乙投篮次数不超过1的概率;(2)记甲、乙两人投篮次数总和为ξ,求ξ的分布列.解析 (1)记“甲投篮投中”为事件A,“乙投篮投中”为事件B.“乙投篮次数不超过1”包括三种情况:第一种是甲第1次投篮投中,第二种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中,第三种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中,故所求的概率P=P(A+A ·B+A ·B ·A) =P(A)+P(A ·B)+P(A ·B ·A)=P(A)+P()·P()·P(A)=14+34×13+34×23×14=58. (2)甲、乙投篮次数总和ξ的值为1,2,3,4,P(ξ=1)=P(A)=14;7 / 19P(ξ=2)=P(A ·B)=34×13=14; P(ξ=3)=P(A ·B ·A)=34×23×14=18; P(ξ=4)=P(A ·B ·A )=34×23×34=38. 所以甲、乙投篮次数总和ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 P1 1 1 3 独立重复试验与二项分布典例3 (1)已知种植某种树苗,成活率为0.9.若种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率约为( )A.0.33B.0.66C.0.5D.0.45(2)设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=59,则P(η≥1)= . 答案 (1)A (2)6581解析 (1)种植这种树苗5棵,恰好成活4棵的概率为C 540.94(1-0.9)≈0.33. (2)P(ξ≥1)=1-P(ξ<1)=1-C 20p 0·(1-p)2=59,所以p=13,所以P(η≥1)=1-P(η=0)=1-C 40(13)0(23)4=1-1681=6581.方法技巧1.判断随机变量X 服从二项分布的条件(X~B(n,p))(1)X 的取值为0,1,2,…,n.(2)P(X=k)=C nk p k (1-p)n-k(k=0,1,2,…,n,p 为试验成功的概率). 2.判断某种随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中,事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的.8 / 19(3)在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.▶提醒在实际应用中,往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼,这表明试验可视为独立重复试验,进而判断是否服从二项分布.3-1 甲、乙两名运动员练习定点投球,已知在该点每次投篮甲命中的概率是0.8,乙命中的概率是0.9,每人投两次,则甲、乙都恰好命中一次的概率为( )A.0.32B.0.18C.0.50D.0.057 6答案 D 甲命中一次的概率为C 21×0.8×(1-0.8)=0.32,乙命中一次的概率为C 21×0.9×(1-0.9)=0.18,他们投篮命中与否相互独立,所以甲、乙都恰好命中一次的概率P=0.32×0.18=0.057 6.3-2 在一次数学考试中,第21题和第22题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名学生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率;(2)设这4名学生中选做第22题的学生个数为ξ,求ξ的分布列.解析 (1)设事件A 表示“甲选做第21题”,事件B 表示“乙选做第21题”,则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB+AB ”,且事件A 、B 相互独立.故P(AB+)P(B )=12×12+(1-12)×(1-12)=12. (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4,且ξ~B (4,12), 则P(ξ=k)=C 4k (12)k(1-12)4-k=C 4k (12)4(k=0,1,2,3,4).故ξ的分布列为ξ 0 1234P116 1 38 1 116正态分布典例4 (2017课标全国Ⅰ理,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①试说明上述监控生产过程方法的合理性;②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95 10.129.969.9610.019.929.9810.0410 .2 6 9.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x=116∑i=116xi=9.97,s=√116∑i=116(x i-x)2=√116(∑i=116x i2-16x2)≈0.212,其中x i为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)用样本平均数x作为μ的估计值μ^,用样本标准差s作为σ的估计值σ^,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 4.9 / 1910 / 190.997 416≈0.959 2,√0.008≈0.09.解析 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.002 6,故X~B(16,0.002 6).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 416≈0.040 8. X 的数学期望为EX=16×0.002 6=0.041 6.(2)①如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.②由x =9.97,s≈0.212,得μ的估计值为μ^=9.97,σ的估计值为σ^=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02,因此μ的估计值为10.02.∑i=116x i 2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008, 因此σ的估计值为√0.008≈0.09. 方法技巧3σ原则的应用(1)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ)或(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个.(2)充分利用正态分布密度曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为 1.(3)①正态分布密度曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相等;②P(X<σ)=1-P(X≥σ),P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ).(4)解决实际问题时,读取题目中的有用信息,确定正态分布的参数μ,σ的值,从而求事件的概率.4-1 设两个正态分布N(μ1,σ12)(σ1>0)和N(μ2,σ22)(σ2>0)的密度曲线如图所示,则有( )A.μ1<μ2,σ1<σ2B.μ1<μ2,σ1>σ2C.μ1>μ2,σ1<σ2D.μ1>μ2,σ1>σ2答案 A μ反映的是正态分布的平均水平,直线x=μ是正态密度曲线的对称轴,由题图可知μ1<μ2;σ反映的是正态分布的离散程度,σ越大,越分散,曲线越“矮胖”,σ越小,越集中,曲线越“瘦高”,由题图可知σ1<σ2.4-2 某人乘车从A地到B地,所需时间(分钟)服从正态分布N(30,100),求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率.注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997 3.解析由μ=30,σ=10,P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682 7知,此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.682 7,又P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954 5,所以此人在10分钟至20分钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954 5-0.682 7=0.271 8,由正态曲线关于直线x=30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 9.11 / 1912 / 19为了拓展网络市场,某公司为手机客户端用户推出了多款APP 应用,如“农场”“音乐”“读书”等.市场调查表明,手机用户在选择以上三种应用时,选择“农场”、“音乐”、“读书”的概率分别为12,13,16.现有甲、乙、丙三位手机客户端用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行安装.(1)求三人所选择的应用互不相同的概率;(2)记ξ为三人中选择的应用是“农场”与“音乐”的人数,求ξ的分布列. 解析记第i 名用户选择的应用是“农场”、“音乐”、“读书”分别为事件A i ,B i ,C i ,i=1,2,3.由题意知A 1,A 2,A 3相互独立,B 1,B 2,B 3相互独立,C 1,C 2,C 3相互独立,A i ,B j ,C k (i,j,k=1,2,3且i,j,k 互不相同)相互独立,且P(A i)=12,P(B i )=13,P(C i )=16. (1)他们选择的应用互不相同的概率P=6·P(A 1B 2C 3)=6P(A 1)P(B 2)P(C 3)=16.(2)设3位用户选择的应用是“读书”的人数是η,由已知得η~(3,16),且ξ=3-η, 所以P(ξ=0)=P(η=3)=C 33×(16)3=1216,P(ξ=1)=P(η=2)=C 32×(16)2×56=15216, P(ξ=2)=P(η=1)=C 31×16×(56)2=75216, P(ξ=3)=P(η=0)=C 30×(56)3=125216.故ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P121615216 7521612521613 / 19A 组基础题组1.打靶时甲每打10次,可中靶8次;乙每打10次,可中靶7次,两人打靶相互独立.若两人同时射击一个目标,则他们都中靶的概率是( ) A.35B.34C.1225D.1425答案 D2.袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球,逐个不放回地摸出两球,设“第一次摸得白球”为事件A,“摸得的两球同色”为事件B,则P(B |A )=( ) A.110 B.15 C.14D.25答案 C3.(2018广东茂名一模)设X~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )(注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈95.45%)A.7 539B.6 038C.7 028D.6 587答案 D4.甲、乙两名羽毛球运动员要进行三场比赛,且这三场比赛可看作三次独立重复试验,若甲至少取胜一次的概率为6364,则甲恰好取胜一次的概率为( ) A.14B.34C.964D.2764答案 C5.甲、乙两人同时解答某一问题,解答成功的概率是0.8,已知甲单独解答成功的概率是0.6,甲、乙单独解答成功与否互不影响,则乙单独解答成功的概率是 .14 / 19答案 0.56.甲、乙两个狙击手对同一个目标各射击一次,其命中率分别为0.9,0.95.现已知目标被击中,则它被乙击中的概率是 .(精确到小数点后三位) 答案 0.955解析设“目标被击中”为事件A,“目标被乙击中”为事件B,则P(A)=0.9×(1-0.95)+(1-0.9)×0.95+0.9×0.95=0.995,P(AB)=P(B)=0.95, 所以P(B|A)=P (AB )P (A )=0.950.995≈0.955.7.某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后两位): (1)5次预报中恰有2次准确的概率; (2)5次预报中至少有2次准确的概率;(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率. 解析令X 表示5次预报中预报准确的次数,则X~B (5,45). (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X=2)=C 52×(45)2×(1-45)3=10×1625×1125≈0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-C 50×(45)0×(1-45)5-C 51×45×(1-45)4=1-0.000 32-0.006 4≈0.99.(3)“5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确”的概率为C 41×45×(1-45)3×45≈0.02.8.一个通讯小组有两套设备,只要其中有一套设备能正常工作,就能进行通讯.每套设备由3个部件组成,只要其中有一个部件出现故障,这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p,计算在这一时间段内. (1)恰有一套设备能正常工作的概率; (2)能进行通讯的概率.解析记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A,“第二套通讯设备能正常工作”为事件B. 由题意知P(A)=p 3,P(B)=p 3, P(A )=1-p 3,P(B )=1-p 3.15 / 19(1)恰有一套设备能正常工作的概率为P( B +B)=P(=p 3(1-p 3)+(1-p 3)p 3=2p 3-2p 6.(2)两套设备都不能正常工作的概率为 P(B )=P()·P(B )=(1-p 3)2.至少有一套设备能正常工作的概率,即能进行通讯的概率为1-P(A )=1-P(A )·P(p 3)2=2p 3-p 6.B 组提升题组1.如图,在网格状小地图中,一机器人从A(0,0)点出发,每秒向上或向右行走1格到相应顶点,已知向上的概率是23,向右的概率是13,则6秒后到达B(4,2)点的概率为( )A.16729 B.80243 C.4729 D.20243答案 D 根据题意可知,机器人每秒运动一次, 则6秒共运动6次,若其从A(0,0)点出发,6秒后到达B(4,2), 则需要向右走4步,向上走2步, 故其6秒后到达B的概率为C 62·(23)2(13)4=60729=20243.2.(2018江西南昌模拟)口袋中装有大小、形状相同的红球2个,白球3个,黄球1个,甲从中不放回地逐一取球,已知第一次取得红球,则第二次取得白球的概率为 . 答案3516 / 19解析设事件A 表示“第一次取得红球”,事件B 表示“第二次取得白球”,则P(A)=26=13,P(AB)=26×35=15,∴第一次取得红球后,第二次取得白球的概率为P(B|A)=P (AB )P (A )=1513=35. 3.“过大年,吃水饺”是我国很多地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕,A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标值,所得频率分布直方图如下:(1)求所抽取的100包速冻水饺的该项质量指标值的平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z 落在(14.55,38.45]内的概率;②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中该项质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X 的分布列和数学期望.附:计算得所抽查的这100包速冻水饺的该项质量指标值的标准差为σ=√142.75≈11.95;若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.954 5. 解析 (1)所抽取的100包速冻水饺的该项质量指标值的平均数x =5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5. (2)①∵Z 服从正态分布N(μ,σ2),且μ=26.5,σ≈11.95, ∴P(14.55<Z≤38.45)=P(26.5-11.95<Z≤26.5+11.95)≈0.682 7, ∴Z 落在(14.55,38.45]内的概率是0.682 7. ②根据题意得X~B (4,12),P(X=0)=C 40(12)4=116;P(X=1)=C 41(12)4=14; P(X=2)=C 42(12)4=38;17 / 19P(X=3)=C 43(12)4=14; P(X=4)=C 44(12)4=116.∴X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P116143814116∴E(X)=2.4.某生物产品每一个生产周期的成本为20万元,此产品的产量受气候影响、价格受市场影响,二者均具有随机性,且互不影响,该产品在一个生产周期的具体情况如下表:产量(吨) 30 50 概率 0.5 0.5 市场价格(万元/吨) 0.6 1 概率0.40.6(1)设X(单位:万元)表示1个生产周期的此产品的利润,求X 的分布列;(2)连续生产3个周期,求这3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率.(注:假设生产的产品全部售出)解析 (1)设A 表示事件“产品产量为30吨”,B 表示事件“产品市场价格为0.6万元/吨”, 则P(A)=0.5,P(B)=0.4,由题意可知,利润=产量×市场价格-成本,即50×1-20=30,50×0.6-20=10,30×1-20=10,30×0.6-20=-2, ∴X 的所有可能取值为30,10,-2,则P(X=30)=P(A )P(B )=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,P(X=10)=P()P(B)+P(A)P(B )=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,18 / 19P(X=-2)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2, 则X 的分布列为X 30 10 -2 P0.30.50.2(2)设C i 表示事件“第i 个生产周期的利润不少于10万元”(i=1,2,3), 则C 1,C 2,C 3相互独立,由(1)知,P(C i )=P(X=30)+P(X=10)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),∴3个生产周期的利润均不少于10万元的概率为P(C 1C 2C 3)=P(C 1)P(C 2)P(C 3)=(0.8)3=0.512, 3个生产周期中有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为P(C 1C 2C 3)+P(C 1C 2C 3)+P(C 1C 2C 3)=3×(0.8)2×0.2=0.384.∴3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为0.512+0.384=0.896. 素养拓展5.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由落下,小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A 袋或B 袋中,已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率分别为23,13,则小球落入A 袋中的概率为( )A.34B.14C.13D.23答案 D 由题意知,小球落入A 袋中的概率P(A)=1-P(B) =1-(13×13×13+23×23×23)=23.6.如果{a n }不是等差数列,但若∃k∈N *,使得a k +a k+2=2a k+1,那么称{a n }为“局部等差”数列.已知数列{x n }的项数为4,记事件A:集合{x 1,x 2,x 3,x 4}⊆{1,2,3,4,5},事件B:{x n }为“局部等差”数列,则条件概率P(B|A)=()A.415B.730C.15D.16答案 C7.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9.他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:①他第3次击中目标的概率是0.9;②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1;③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是.答案①③解析因为射击一次击中目标的概率是0.9,所以第3次击中目标的概率是0.9,所以结论①正确;因为连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,所以本题是一个独立重复试验,根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是C43×0.93×0.1,所以结论②不正确;至少击中目标1次的概率用对立事件表示是1-0.14,所以结论③正确.19 / 19。

第十章第七节二项分布、正态分布及其应用课件

总体的分布越_集__中__；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越_分__散_．
1．两个概率公式 (1)在事件 B 发生的条件下 A 发生的概率为 P(A|B)＝PP（（ABB）），注意其与 P(B|A)的不同． (2)若事件 A1，A2，…，An 相互独立，则 P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).
分发到的大米质量在 9.9 kg 以下的职工数大约为 1 000×0.02＝20.故选 B.]
3．已知随机变量 X～B(2，p)，Y～N(2，σ2)，若 P(X≥1)＝0.64，P(0<Y<2)
＝p，则 P(Y>4)＝________．解析： ∵随机变量 X～B(2，p)，P(X≥1)＝0.64， ∴P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝0.64，解得 p＝0.4 或 p＝1.6(舍)，∴P(0<Y<2)＝p＝0.4， ∴P(Y>4)＝12 (1－0.4×2)＝0.1. 答案： 0.1
一个落入盒子的情形包括：①甲落入、乙未落入的概率为12 ×23 ＝13 ；②甲
未落入、乙落入的概率为12 ×13 ＝16 ；③甲、乙均落入的概率为12 ×13 ＝16 .
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为13 ＋16 ＋16 ＝23 .
答案：
1 6
；23
考点·分类突破
⊲学生用书 P184
正态分布
第十章计数原理与概率、随机变量及其散布
第七节二项散布、正态散布及其应用
栏目一知识·分步落实栏目二考点·分类突破
栏目导引
课程标准
考向预测
1.在具体情境中，了解条件概率和两考情分析：条件概率、相互独立事

高三数学一轮复习第十一篇计数原理概率随机变量及其分布第7节二项分布与正态分布课件理

4.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布,则E(X)= p ,D(X)= p(1-p) . (2)若X～B(n,p),则E(X)= np ,D(X)= np(1-p) .
5.正态分布 (1)正态曲线的定义
函数 μ ,σ (x)=
1
(x)2
e 2 2
,x∈(-∞,+∞)(其中实数μ
32
时以上且不超过 3 小时还车的概率分别为 1 , 1 ,且两人租车的时间都不超过 4 23
小时. (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
解:(1)甲、乙所付费用分别可以为 10 元、20 元、30 元. 甲、乙两人所付费用都是 10 元的概率为
P1= 1 × 1 = 1 , 3 26
甲、乙两人所付费用都是 20 元的概率为
2
2
P(5<X<6)= 1 ×P(4<X<6)= 1 ×0.682 6=0.341 3;
2
2
P(6<X<7)=P(5<X<7)-P(5<X<6)=0.135 9.
答案:0.135 9
考点专项突破在讲练中理解知识
考点一条件概率
【例 1】(1)(2015 济南 5 月针对性训练)某射击手射击一次命中的概率是 0.7, 两次均射中的概率是 0.4,已知某次射中,则随后一次射中的概率是( )
故选 B.
2.设随机变量 X～B (6, 1 ) ,则 P(X=3)等于( A )
2
(A) 5 16
(B) 3 16
(C) 5 8
(D) 3 8
解析:P(X=3)=
C
3 6
(
1 )6 2
=

第7节二项分布与正态分布

第7节二项分布与正态分布知识梳理1．条件概率条件概率的定义条件概率的性质设A ，B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝P （AB ）P （A ）为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率 (1)0≤P (B |A )≤1；(2)如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )2．事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．(2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立，P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1，2，…，n )是第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )． (2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 4．正态分布 (1)正态分布的定义如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛a b φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2)．其中φμ，σ(x )＝12πσe(σ>0).(2)正态曲线的性质①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_7；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954_5；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997_3．1．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B).2．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立.()(2)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.()(3)n次独立重复试验要满足：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；②每次试验“成功”的概率为p，“失败”的概率为1－p；③各次试验是相互独立的．()(4)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√解析对于(1)，只有当A，B为相互独立事件时，公式P(AB)＝P(A)P(B)才成立．2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为()A．310B．13C．38D．29答案 B解析设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P(A)＝210＝15，P(AB)＝2×310×9＝115，故P(B|A)＝P（AB）P（A）＝13.3．已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝________．答案4 3解析∵X～N(3，1)，∴正态曲线关于x＝3对称，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，∴2c－1＋c＋3＝2×3，∴c＝4 3.4．(2020·广州调研)某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x服从正态分布N(100，σ2)，且P(x<80)＝0.2.现从中随机抽取该产品1 000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为()A．200 B．300 C．400 D．600答案 B解析由题意，这种产品的综合质量指标值x服从正态分布N(100，σ2)，则正态分布曲线的对称轴为x＝100，根据正态分布曲线的对称性，得P(100≤x≤120)＝P(80≤x≤100)＝0.5－0.2＝0.3，所以从中随机抽取该产品1 000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为1 000×0.3＝300，故选B.5．(2021·郑州模拟)甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制，每局甲赢的概率是23 ，乙赢的概率是13 ，则甲以3∶1获胜的概率是( ) A.827 B ．1627 C ．1681 D ．3281 答案 A解析甲以3∶1获胜是指前3局比赛中甲2胜1负，第4局比赛甲胜，∴甲以3∶1获胜的概率是P ＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫23 2×13 ×23 ＝827 .故选A. 6．(多选题)(2021·济南调研)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( ) A ．P (B )＝25 B ．P (B |A 1)＝511C ．事件B 与事件A 1相互独立D ．A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件答案 BD解析易见A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件，P (B )＝P (BA 1)＋P (BA 2)＋P (BA 3)＝510 ×511 ＋210 ×411 ＋310 ×411 ＝922 .故选BD.考点一条件概率1．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A ．18 B ．14 C ．25 D ．12 答案 B解析法一 P (A )＝C 23 ＋C 22 C 25 ＝410 ＝25 ，P (AB )＝P (B )＝C 22C 25＝110 .由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝11025＝14 .法二事件A 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个．事件AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即n (AB )＝1. 故由古典概型概率P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝14 .2．(2020·大同模拟)某射击选手射击一次击中10环的概率是45 ，连续两次均击中10环的概率是12 ，已知该选手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是( )A ．25B ．58C ．12D ．45 答案 B解析设该选手某次击中10环为事件A ，随后一次击中10环为事件B ，则P (A )＝45 ，P (AB )＝12 ，∴某次击中10环，随后一次击中10环的概率是 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1245＝58 .故选B.3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．答案 0.72解析设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B (发芽又成活为幼苗). 依题意P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9.根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.感悟升华 (1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ），这是求条件概率的通法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝n（AB）n（A）.考点二相互独立事件同时发生的概率【例1】(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为1 2.(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率．解(1)甲连胜四场的概率为12×12×12×12＝116.(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116；丙上场后连胜三场的概率为1 8.所以需要进行第五场比赛的概率为1－116－116－18＝34.(3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为1 8；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116，18，18.因此丙最终获胜的概率为18＋116＋18＋18＝716.感悟升华求相互独立事件同时发生的概率的主要方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．【训练1】 (多选题)(2021·威海模拟)如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣分别为A ，B ，C ，D ，E .箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是( )A ．AB 所在线路畅通的概率为16 B ．ABC 的所在线路畅通的概率为56 C ．DE 所在线路畅通的概率为130D ．当开关合上时，整个电路畅通的概率为2936 答案 BD解析 A ，B 所在线路畅通的概率为12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ＝13 ，因此A 错误；D ，E 所在线路畅通的概率为1－15 ×16 ＝1－130 ＝2930 ，因此C 错误； A ，B ，C 所在线路畅通的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ×14 ＝1－16 ＝56 ，B 正确；根据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为2930 ×56 ＝2936 ，D 正确．考点三独立重复试验与二项分布【例2】 (2021·东北三省三校联考)某市旅游局为了进一步开发旅游资源，需要了解游客的情况，以便制定相应的策略．在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如图所示，若景点甲的数据的中位数是126，景点乙的数据的平均数是124.(1)求x ，y 的值；(2)若将图中景点甲的数据作为该景点较长一段时间内的样本数据(视样本频率为概率)，则从这段时间内任取4天，记其中游客数不低于125的天数为ξ，求P (ξ≤2)； (3)现从图中的20个数据中任取2个数据(甲、乙两景点的数据各取1个)，记其中游客数不低于115且不高于135的个数为η，求η的分布列．解 (1)由题意知x >4，则120＋x ＋1272＝126，解得x ＝5. 由109＋110×3＋120×3＋130×2＋141＋y ＋5＋8＋4＋5＋6＋3＋510＝124，解得y ＝4.(2)由题意知，景点甲一天的游客数不低于125的概率为610 ＝35 ，从这段时间内任取4天，即进行4次独立重复试验，其中有ξ次发生，所以随机变量ξ服从二项分布，则P (ξ≤2)＝C 04 ⎝ ⎛⎭⎪⎫35 0⎝ ⎛⎭⎪⎫25 4＋C 14 ⎝ ⎛⎭⎪⎫35 1⎝ ⎛⎭⎪⎫25 3＋ C 24 ⎝ ⎛⎭⎪⎫35 2⎝ ⎛⎭⎪⎫25 2＝328625 . (3)从茎叶图中可以看出，景点甲的数据中符合条件的有3个，景点乙的数据中符合条件的有7个，所以在景点甲的数据中符合条件的数据被选出的概率为310 ，在景点乙的数据中符合条件的数据被选出的概率为710 . 由题意知，η的所有可能取值为0，1，2.则P (η＝0)＝710 ×310 ＝21100 ，P (η＝1)＝310 ×310 ＋710 ×710 ＝2950 ，P (η＝2)＝310 ×710 ＝21100 . 所以η的分布列为感悟升华，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率．【训练2】(2019·天津卷改编)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．(1)用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列；(2)设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．解 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率为23 ，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23 ，从而P (X ＝k )＝C k 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23 k ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 3－k ，k ＝0，1，2，3.所以，随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P1272949827(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ，则Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23 ，且M ＝{X ＝3，Y ＝1}∪{X ＝2，Y ＝0}．由题意知事件{X ＝3，Y ＝1}与{X ＝2，Y ＝0}互斥，且事件{X ＝3}与{Y ＝1}，事件{X ＝2}与{Y ＝0}均相互独立，从而由(1)知P (M )＝P ({X ＝3，Y ＝1}∪{X ＝2，Y ＝0}) ＝P (X ＝3，Y ＝1)＋P (X ＝2，Y ＝0) ＝P (X ＝3)P (Y ＝1)＋P (X ＝2)P (Y ＝0) ＝827 ×29 ＋49 ×127 ＝20243 . 考点四正态分布【例3】 (1)(2020·南宁、柳州联考)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N (μ1，σ21 )，N (μ2，σ22 )，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法错误的是( )A ．甲类水果的平均质量为0.4 kgB ．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99(2)(2021·新高考8省联考)对于一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理值的最后结果．已知最后结果的误差εn ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2n ，为使误差εn 在(－0.5，0.5)的概率不小于0.954 5，至少要测量________次．(若X ～N (μ，σ)，则P (|X －μ|<2σ)＝0.954 5)(3)(多选题)(2021·青岛质检)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N (μ，302)和N (280，402)，则下列选项正确的是( )附：若随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)≈0.682 7. A ．若红玫瑰日销售量范围在(μ－30，280)的概率是0.682 7，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B ．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C ．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D ．白玫瑰日销售量范围在(280，320)的概率约为0.341 35 答案 (1)D (2)32 (3)ABD解析 (1)由图象可知甲的正态曲线关于直线x ＝0.4对称，乙的正态曲线关于直线x ＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，A 项正确，C 项正确．由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右，B 项正确．因为乙的正态曲线的最大值为1.99，即12πσ2＝1.99，所以σ2≠1.99，D 项错误．故选D.(2)P (|εn －μ|<2σ)＝0.954 5，又μ＝0，σ2＝2n ，即P (μ－2σ<εn <μ＋2σ) ＝P ⎝⎛⎭⎪⎫－22n <εn <22n ＝0.954 5，由题意知2σ≤0.5，即22n ≤12，所以n ≥32.(3)对于选项A ：μ＋30＝280，μ＝250，正确；对于选项BC ：利用σ越小越集中，30小于40，B 正确，C 不正确；对于选项D ：P (280＜X ＜320)＝P (μ＜X ＜μ＋σ) ≈0.682 7×12 ≈0.341 35，正确．感悟升华 (1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用： ①P (X ＜a )＝1－P (X ≥a )；②P (X ＜μ－σ)＝P (X ≥μ＋σ).【训练3】某生物研究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有A ，B 两种，且这两种的个体数量大致相等．记A 种蜻蜓和B 种蜻蜓的翼长(单位：mm)分别为随机变量X ，Y ，其中X 服从正态分布N (45，25)，Y 服从正态分布N (55，25).(1)从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间[45，55]的概率； (2)记该地区蜻蜓的翼长为随机变量Z ，若用正态分布N (μ0，σ20 )来近似描述Z 的分布，请你根据(1)中的结果，求参数μ0和σ0的值(精确到0.1).注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－0.64σ≤X ≤μ＋0.64σ)≈0.477 3，P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954 5.解 (1)记这只蜻蜓的翼长为t .因为A 种蜻蜓和B 种蜻蜓的个体数量大致相等，所以这只蜻蜓是A 种还是B 种的可能性是相等的．所以P (45≤t ≤55)＝12 ×P (45≤X ≤55)＋12 ×P (45≤Y ≤55) ＝12 ×P (45≤X ≤45＋2×5)＋12 ×P (55－2×5≤Y ≤55) ＝12 ×0.954 52 ＋12 ×0.954 52 ＝0.477 25.(2)由于两种蜻蜓的个体数量相等，X ，Y 的方差也相等，根据正态曲线的对称性，可知μ0＝45＋552 ＝50.0.∴0.477 25≈0.477 3，∴由(1)可知45＝μ0－0.64σ0，55＝μ0＋0.64σ0，得σ0＝50.64 ≈7.8.二项分布与超几何分布的辨别教材和考题中常涉及二项分布与超几何分布，学生对这两种模型的定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，不加分析，滥用公式，运算对象不明晰，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别．【例1】写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？(1)X 1表示n 次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数． (2)X 2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2枚骰子的点数之和.(3)有一批产品共有N 件，其中次品有M 件(N ＞M ＞0)，采用有放回抽取方法抽取n 次(n ＞N )，抽出的次品件数为X 3.(4)有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法抽n 件，出现次品的件数为X 4(N －M ＞n ＞0). 解 (1)X 1的分布列为X 1 0 12…n PC 0n ⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2…C n n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13nX 1服从二项分布，即X 1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13 .(2)X 2的分布列为 X 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P136236336436536636536436336236136(3)X 3的分布列为X 3 0 1 2…n P⎝ ⎛⎭⎪⎫1－M N nC 1nM N ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－M N n －1C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫M N 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－M N n －2…⎝ ⎛⎭⎪⎫M N n X 3服从二项分布，即X 3～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，M N .(4)X 4的分布列为X 4 0 1… k… n PC n N －MC n NC 1M C n －1N －MC n N…C k M C n －kN －MC n N…C n MC n NX 4服从超几何分布．【例2】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图).(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为质量超过505克的产品数量，求X 的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y 为质量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．解 (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).(2)重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X 的取值为0，1，2， X 服从超几何分布．P (X ＝0)＝C 228 C 240 ＝63130 ，P (X ＝1)＝C 112 C 128C 240 ＝2865 ，P (X ＝2)＝C 212 C 240＝11130 ，∴X 的分布列为(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240 ＝310 .从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y 的可能取值为0，1，2，且Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，310 ， P (Y ＝k )＝C k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－310 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫310 k ，所以P (Y ＝0)＝C 02·⎝ ⎛⎭⎪⎫710 2＝49100 ， P (Y ＝1)＝C 12·310 ·710 ＝2150 ，P (Y ＝2)＝C 22 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫310 2＝9100 .∴Y 的分布列为思维升华，二项分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互独立．当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布．A 级基础巩固一、选择题1．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们同时中靶的概率是( ) A ．1425 B ．1225 C ．34 D ．35 答案 A解析因为甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，所以P (甲)＝45 ，P (乙)＝710 ，所以他们都中靶的概率是45 ×710 ＝1425 .2．(2020·西安质检)若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13 ，则P (X ＝3)等于( )A ．13B ．40243C ．1027D ．35 答案 B解析随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13 ，则P (X ＝3)＝C 35 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23 2 ＝40243 ，故选B.3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45 答案 A解析记事件A 表示“一天的空气质量为优良”，事件B 表示“随后一天的空气质量为优良”，P (A )＝0.75，P (AB )＝0.6.由条件概率，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.60.75＝0.8.4．(多选题)(2021·武汉调研)为吸引顾客，某商场举办购物抽奖活动抽奖规则是：从装有2个白球和3个红球(小球除颜色外，完全相同)的抽奖箱中，每次摸出一个球，不放回地依次摸取两次，记为一次抽奖．若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．下列随机事件的概率正确的是( )A ．某顾客抽奖一次中奖的概率是25B ．某顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是98125C ．在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是310 D ．在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是12 答案 ABD解析顾客抽奖一次中奖的概率为C 22 ＋C 23C 25＝1＋310 ＝25 ，故A 选项正确．顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25 3 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫35 3＝1－27125 ＝98125 ，故B 选项正确．对于CD 选项，由于第一次抽出了红球，故剩余2个白球和2个红球，再抽一个，抽到红球的概率是22＋2＝12 ，故C 选项错误，D 选项正确． 5．(2021·长沙模拟)袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是( )A ．47B ．27C ．12D ．13 答案 C解析在这两次摸球过程中，设A ＝“第一次摸到黑球”，B ＝“第二次摸到白球”．则n (A )＝C 14 C 16 ＝24，n (AB )＝C 14 C 13 ＝12，所以P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝1224 ＝12 .故选C.6．(2021·重庆诊断)已知随机变量X 服从正态分布N (80，25)，若P (75<X ≤m )＝0.818 6，则m 等于( )(附：P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 5) A ．89 B ．90 C ．91 D ．92 答案 B解析由题意得σ＝5，μ＝80，P (80－5<X ≤80＋5)＝0.682 7，即P (75<X ≤85)＝0.682 7； P (80－10<X ≤80＋10)＝0.954 5，即P (70<X ≤90)＝0.954 5. 所以P (85<X ≤90)＝0.954 5－0.682 72＝0.135 9.因为P (75<X ≤m )＝0.818 6，而P (75<X ≤90)＝P (75<X ≤85)＋P (85<X ≤90)＝0.682 7＋0.135 9＝0.818 6，所以m ＝90. 二、填空题7．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．答案 0.128解析记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A ，由题意，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，故P (A )＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.8．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13 ，用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (X ＝4)＝________．答案 10243解析考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13 ，即有P (X ＝k )＝C k 5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 k×⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k，k ＝0，1，2，3，4，5.故P (X ＝4)＝C 45 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23 1＝10243 .9．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________.答案0.18解析记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.三、解答题10．(2021·北京东城区综合练习节选)某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，下表记录了A，B，C，D四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为a，b.已知P(ξ＝0)＝140，P(ξ＝4)＝110.(1)求甲同学至多被三个项目招募的概率；(2)求a，b的值．解因为P(ξ＝0)＝1 40，所以a>60，且b>80.设事件A表示“甲同学被项目A招募”，由题意可知，P(A)＝50100＝12；设事件B表示“甲同学被项目B招募”，由题意可知，P(B)＝60 a；设事件C表示“甲同学被项目C招募”，由题意可知，P(C)＝80 b；设事件D表示“甲同学被项目D招募”，由题意可知，P(D)＝160200＝45.(1)由于事件“甲同学至多被三个项目招募”与事件“ξ＝4”是对立的，所以甲同学至多被三个项目招募的概率是1－P(ξ＝4)＝1－110＝910.(2)由题意可知，P (ξ＝0)＝P (A B C D )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－60a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－80b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45 ＝140 ； P (ξ＝4)＝P (ABCD )＝12 ·60a ·80b ·45 ＝110 . 解得a ＝120，b ＝160.11．(2020·湖南五市十校联考改编)为全面贯彻党的教育方针，坚持立德树人，适应经济社会发展对多样化高素质人才的需要，按照国家统一部署，湖南省高考改革方案从2018年秋季进入高一年级的学生开始正式实施．新高考改革中，明确高考考试科目由语文、数学、英语3科，及考生在政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择的3科组成，不分文理科．假设6个自主选择的科目中每科被选择的可能性相等，每位学生选择每个科目互不影响，甲、乙、丙为某中学高一年级的3名学生．(1)求这3名学生都选择物理的概率；(2)设X 为这3名学生中选择物理的人数，求X 的分布列．解 (1)设“这3名学生都选择物理”为事件A ，依题意得每位学生选择物理的概率都为12，故P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 3＝18 ，即这3名学生都选择物理的概率为18 .(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3，由题意知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12 ，P (X ＝0)＝C 03 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12 0＝18 ，P (X ＝1)＝C 13 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12 1＝38 ，P (X ＝2)＝C 23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2＝38 ，P (X ＝3)＝C 33 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 0⎝ ⎛⎭⎪⎫12 3＝18 .所以X 的分布列为P 18 38 38 18B 级能力提升12．(2020·武汉模拟)甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12 ，甲接发球赢球的概率为25 ，则在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局的概率为( )A ．225B ．310C ．110D ．325答案 C解析在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为p 1＝12 ×35 ×12 ×25 ＝350 ；②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为p 2＝12 ×25 ×12 ×25 ＝125 ，所以，所求事件的概率为p 1＋p 2＝110 .故选C.13．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000，502)，且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________.答案 38解析设元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12 ，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A B ＋A B ＋AB )C ，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12＋12×12＋12×12 ×12 ＝38 . 14．(2021·山东新高考模拟)为了严格监控某种零件一条生产线的生产情况，某企业每天从该生产线上随机抽取10 000个零件，并测量其内径(单位：cm).根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X 服从正态分布N (μ，σ2).如果加工的零件内径小于μ－3σ或大于μ＋3σ均为不合格品，其余为合格品．(1)假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10 000个零件中不合格的个数约为多少．(2)若生产的某件产品为合格品，则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品，则该件产品亏损．已知每件产品的利润L (单位：元)与零件的内径X 有如下关系：L ＝⎩⎨⎧－5，X <μ－3σ，4，μ－3σ≤X <μ－σ，6，μ－σ≤X ≤μ＋3σ，－5，X >μ＋3σ.求该企业一天从生产线上随机抽取10 000个零件的平均利润．附：若随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之内的概率为0.997 3，从而抽取一个零件为不合格品的概率为0.002 7，因此一天内抽取的10 000个零件中不合格品的个数约为10 000×0.002 7＝27.(2)结合正态分布曲线和题意可知P (X <μ－3σ)＝0.001 35，P (μ－3σ≤X <μ－σ)＝12 (0.997 3－0.682 7)＝0.157 3，P (μ－σ≤X ≤μ＋3σ)＝0997 3－0.157 3＝0.840 0，P (X >μ＋3σ)＝0.001 35，故随机抽取10 000个零件的平均利润为10 000L ＝10 000×(－5×0.001 35＋4×0.157 3＋6×0.840 0－5×0.001 35)＝ 56 557(元).。

第7节 二项分布及正态分布(轻巧夺冠)

第7节 二项分布与正态分布

高考数学一轮总复习二项分布超几何分布与正态分布教师用书

第七章 二项分布与正态分布

二项分布与正态分布

二项分布与正态分布了解二项分布与正态分布的性质与应用

二项分布与正态分布

二项分布与正态分布

A新高考数学 第七节 二项分布与正态分布

二项分布与正态分布二项分布正态分布的性质与应用

二项分布与正态分布

第七节 二项分布与正态分布

第十章第七节 二项分布、正态分布及其应用课件

高三数学一轮复习第十一篇计数原理概率随机变量及其分布第7节二项分布与正态分布课件理

第7节 二项分布与正态分布

第7节二项分布及正态分布(轻巧夺冠)

第7节二项分布与正态分布

第七章二项分布与正态分布

A新高考数学第七节二项分布与正态分布

第七节二项分布与正态分布

第十章第七节二项分布、正态分布及其应用课件

第7节二项分布与正态分布