大学微积分的教程
零基础微积分入门基本教程
零基础微积分入门基本教程1 前言微积分是数学中的一门重要学科，可以用来研究变化率和极值等问题。
在高等数学中，微积分是必修课程。
然而，对于零基础的学生来说，学习微积分可能会显得困难和枯燥。
因此，本文将提供一个基础的入门教程，以帮助零基础的学生理解微积分的概念和应用。
2 微积分的定义微积分主要分为微分和积分两个部分。
微分可以用来研究函数的变化率，积分可以用来计算曲线下面的面积。
具体来说，微积分可以用以下公式表示：微分：dy/dx=f’(x)积分：∫f(x)dx其中，f’(x)表示函数f(x)在x点的导数，∫f(x)dx表示f(x)在积分区间上的面积或整体。
3 基础概念微积分中有许多基础概念，其中包括：导数：导数表示函数在某一点处的变化率，是微积分中的重要概念之一。
极值：极值是函数的最大值或最小值，可以通过导数的概念来计算。
积分：积分可以用来计算函数在一定区间上的面积，也可以用来计算反常积分和定积分等。
4 应用微积分在实际中有许多应用，其中包括：物理：微积分在物理学中是必不可少的，可以用来研究物体在空间中的运动轨迹。
工程：微积分在工程学中也可以发挥重要的作用，可以用来研究建筑物的结构和稳定性等问题。
经济学：微积分在经济学中也有许多应用，可以用来研究经济数据的变化规律和趋势。
5 结论微积分是一门重要的数学学科，可以用来研究变化率和极值等问题。
然而，对于零基础的学生来说，学习微积分可能会显得困难和枯燥。
因此，建议学生在学习微积分之前，要先掌握一些基础概念和方法，逐步提高自己的学习能力。
同时，学生应该注重理论的学习和实践的应用，通过多方面的学习和实践，来提高自己的微积分水平。
《微积分》讲义
《微积分》讲义第一章极限一、函数极限的概念：f＝A要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。
二、函数极限存在的充分必要条件：f＝A f＝A，f＝A 例：判定是否存在？三、极限的四则运算法则⑴＝f±g⑵＝f·g⑶＝……g≠0⑷k·f＝k·f四、例：⑴⑵⑶⑷五、两个重要极限⑴＝1 ＝1⑵＝e ＝e ………型理论依据：⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，则：limg＝A⑵单调有界数列必有极限。
例题：⑴＝⑵＝⑶＝⑷＝⑸＝六、无穷小量及其比较1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。
2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。
3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0）七、函数的连续性1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量x：⑴x0时，y0。
即：y＝0⑵f＝f⑶左连续：f＝f右连续：f＝f2、函数y＝f在区间上连续。
3、连续函数的性质：⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、（g()≠0）在点处连续。
⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，则复合函数f(j(x)) 在点处连续。
例：＝＝＝4、函数的间断点：⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。
⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。
⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。
5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。
⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有一根。
例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。
第二章一元函数微分学一、导数1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f＝A f'＝A ……y'，，。
2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。
3、基本初等函数的导数公式：⑴＝0⑵＝n·⑶＝，＝⑷＝·lnɑ，＝⑸＝cosx，＝－sinx＝x，＝－＝secx·tanx，＝－cscx·cotx⑹＝－＝－4、导数的运算：⑴、四则运算法则：＝±＝·g(x)＋f(x)·＝例：求下列函数的导数y＝2－5＋3x－7f(x)＝＋4cosx－siny＝⑵、复合函数的求导法则：y u，u v，v w，w x y x'＝''''例：y＝lntanxy＝lny＝arcsin⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y 的式子，先对y求导，然后y再对x求导。
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
大学数学基础教程：一元函数微积分
大学数学基础教程：一元函数微积分一、函数微积分的主要课题在于研究变量的变化形态。
这个说法很抽象。
说的直白一点，就是研究一个量的变化过程。
这个量可以是速度，可以是加速度，可以是生产率等等。
这些是变化的，我们称之为变量。
中学时，已经学过，描述变量的数学模型是函数。
因此从函数开始说起。
函数是中学数学的主要内容，概念这里就不重复了。
对函数概念的的理解需要重点把握定义域和对应法则，有了定义域和对应法则就确定一个函数，换句话说，确定两个函数是否相同，定义域和对应法则缺一不可。
这里有一些考题，容易因为忽视了定义域而出现错误。
函数的表示形式有多种，运用数形结合的思想，在坐标系中画函数图像，可以探索函数的性质（如单调性、周期性、奇偶性）。
研究函数的性质，有时可以在积分运算过程中简化运算。
掌握了研究方法后，复合函数、反函数和初等函数都可以自己来研究。
二、无穷小量极限方法的本质就是无穷小量的分析。
因此首先学习无穷小量。
定义设有数列{εn},如果对于任意给定的正数η>0，都能取到正整数N，使得当n>N时成立|εn|<η,则称n→∞时，{εn}是无穷小量，记作εn=ο（1）,n→∞.由定义可以看出，无穷小量的本质是可以任意小的变量。
这个需要好好理解。
掌握了该定义后，无穷小量的运算和无穷大量的定义都可以自己给出。
无穷小量之间的关系有高阶、低阶、同阶、等价。
这些概念要熟记。
三、极限极限是刻画变量变化趋势的重要工具。
好多教材中数列的极限、函数的极限、单侧极限的概念是分别给出的。
对比这些概念，给出的方法都相同，即ε-δ（N）语言。
通用模型是这样的：对于任意ε，存在δ，使得当****时成立，|f（x）-A|<ε,则称f（x）在x→**时以A为极限，记作或称f（x）收敛于A。
数列是定义域为整数集的特殊函数，函数极限的概念也可以用数列极限的形式来表述。
这里有许多题型，主要题型是：证明这类题目的一般解法是解不等式，用ε表示δ。
大一上册微积分教程《CalculusI》
1.1 Rates of Change and Limits
The Tangent Problem
Let f be a function and let P(a, f(a)) be a point on the graph of f. To find the slope m of the tangent line l at P(a, f(a)) on the graph of f, we first choose another nearby point Q(x, f(x)) on the graph (see Figure 1) and then compute the slope mPQ of the secant line PQ.
Let
min(1,
).
7
x3 ,
7
2.Showing that this works.
given 0,
Let
min(1, )
7
If
0 x3 ,
then x2 9
Therefore , by the definition of a limit, lim x2 9 x3
1.2 Finding Limits and One-Sided Limits
of the secant lines, i.e
P(a,f(a)) 0
m lim f (x) f (a) . xa x a
The velocity problem
Suppose an object moves along a straight line according to an equation of motion
微积分基础教程
微积分教程【1】微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分的基本介绍微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。
我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。
他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。
因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。
学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。
所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。
在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。
就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。
这个概念是成功的。
微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。
微积分_(中国人民大学出版社)
(x2 y2)y2
,
z y
[2 y
x
2y2 (x2
x y2
xy
]e ( x2 y2 ) . )
三、 dz e x (1 x) . dx 1 x 2e 2x
四、 z x
2 xf1
ye xy
f
2
,
z y
2 yf1
xe xy
f 2.
五、u f (1 y yz), u f ( x xz), u xyf .
z v dx v dy v x y
z du z dv. u v
例 4 已知exy 2z e z 0，求z 和z . x y
解 d(exy 2z ez ) 0,
exyd( xy) 2dz ezdz 0,
(ez 2)dz exy ( xdy ydx)
dz
ye xy (ez 2)
u
z
v
t
w
以上公式中的导数
dz dt
称为全导数.
上定理还可推广到中间变量不是一元函数
而是多元函数的情况：z f [( x, y), ( x, y)].
如果u ( x, y)及v ( x, y) 都在点( x, y)
具有对x 和y 的偏导数，且函数z f (u,v) 在对应
点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
u v 时，有dz z dx z dy .
x y
全微分形式不变形的实质：
无论 z是自变量u、v的函数或中间变量u、v
的函数，它的全微分形式是一样的.
dz z dx z dy x y
z u
u x
z v
v x
dx
z u
u y
《微积分入门》课件
隐函数求导法与全微分与微分近
2
掌握它们在数学和物理中的应用。
似
了解隐函数求导法、全微分和微分近似
的方法，能够应用于解决多元函数问题。
3
多元函数的积分及其应用
研究多元函数的积分和应用，掌握多元
函数积分的求解技巧。
麦克劳林展开与泰勒展开
4
深入了解麦克劳林展开和泰勒展开，了 解它们在数学和物理中的应用。
结语：微积分的学习方法与技 巧
线性化与近似计算
学习线性化与近似计算的方法，能够利用导数进 行近似计算。
导数的运算法则
掌握导数的运算法则，能够求解各种导数问题。
高阶导数及其应用
研究高阶导数的性质和应用，掌握高阶导数在数 学和物理中的重要性。
积分与微积分基本定理
积分的概念
了解积分的概念和意义，学习积分在微积分中的应 用。
不定积分与基本积分公式
学习微积分是一项具有挑战的任务，需要加强理论学习，并运用到实际问题 中。掌握好学习方法和技巧，能够事半功倍地掌握微积分知识。
微积分的应用前景与展望
微积分的应用范围广泛，几乎涉及到所有科学和工程领域。未来，微积分将继续发展，推动科技进步，改变我 们的生活。 **谢谢收听！**
极限的运算法则
2
积分中的重要性。
掌握极限运算法则，能够灵活应用于解
决各种数学问题。
3
连续的概念与判定方法
研究连续函数的概念和判定方法，了解
中值定理及其应用
4
连续性在数学中的意义。
深入了解中值定理的原理和应用，掌握 使用中值定理解决实际问题的方法。
导数与微分
导数的定义与性质
学习导数的定义与性质，理解导数在几何和物理 中的意义。
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