高中数学解题思维提升专题22数学思想方法专项训练手册
高中数学解题思维训练
第二讲 数学思维反思性训练
1. 概述 数学思维的反思性表现在思维活 动中善于提出独立见解，精细地检查 思维过程，不盲从、不轻信。在解决 问题时能不断地验证所拟定的假设， 获得独特的解决问题的方法，它和创 造性思维密切相关。 通过本讲训练，加强学生思维的 严密性培养他们的创造性思维。
养成验算的习惯，可以有效地 增强思维反思性。 如：在解无理方程、无理不等 式；对数方程、对数不等式时，由 于变形后方程或不等式两端代数式 的定义域可能会发生变化，这样就 有可能产生增根或失根，因此必须 进行检验，舍弃增根，找回失根。
小资料： 《怎样解题》
G.波利亚
第一：你必须弄清问题 弄清问题：未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满 足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余 的？或者是矛盾的？把条件的各部分分开。你能否把它们写下来？ 第二：找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅 助问题，你应该最终得出一个求解的计划。 拟订计划： 你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问 题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或 相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你 能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利用它，你是否应 该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述 它？回到定义去。 如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更 容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你 能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知 数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你 能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数 据，或二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？ 你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中 的所有必要的概念？ 第三：实现你的计划 实现计划：实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看 出这一步骤是否正确的？你能否证明这一步骤是正确的？ 第四：验证所得的解 回顾：你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你 能不能一下子看出来？你能不能把这个结果或方法用于其它的问题？
高中数学解题思维方法
高中数学解题思维方法刍议时间的步伐已进入二十一世纪，新时代的中心任务是大力发展社会经济.数学教育在社会发展中有着举足轻重的地位，他是经济建设的重要一环和主要途径，作为一名高中数学教师，在教学中应该深挖教材，努力探寻教学规律，然后与社会实践相联系，使学生真正做到学以致用，在注重传授知识的同时，也应该把数学思想方法融入到学生的学习中去，只有这样，才有利于培养学生的解题能力，才能使教学效率进一步的提高.同时注重学生思维能力和解题能力的培养，也为减轻学生的课业负担，为培养社会高素质的优秀人才奠定了基础.下面是我在教学中的一点浅显的看法，仅供大家参考.一、通过观察法，培养学生的解题能力数学观察能力是一种有目的、有选择的加工能力，它具体体现为：掌握教学概念的能力，抓住本质特征的能力，发现知识内在联系的能力，形成知识结构的能力，掌握数学法则或规律的能力；这些能力的取得，是数学教学工作中的重要载体，也是思想方法教学中的重要途径.我们大家都知道数学中的式子、图形等都是形式多样、交错复杂的，因此要求观察者要有目的、有选择地去认识解题的整个过程，对数学对象要进行全面的思考，在复杂的式子或者是图形中分析其主要特征，并根据其特点来达到我们解决问题的思路.例如，我在讲解高中数学人教版必修2a《直线与平面平行的性质》的内容时，我提出了这样的问题：如果有一条直线与某一个平面平行，这个平面内的所有直线是不是也与这条直线平行呢？这时同学们议论纷纷，我不失时机拿出一支笔，把这支笔放到和讲桌所在平面平行的位置上，把另外的一支笔放在桌面，这时问题的答案就很明了，可以说观察在问题的解决中起到了重要的作用，比用复杂的证明过程要简单得多、省事得多.当然，数学问题是抽象的也是复杂的，我们不能只看表面的现象，而应该透过事物的本质加以观察.作为教师，在教学过程中，要指导学生观察整个解题的过程，不仅审题、解题过程要观察，而且解题后还要观察，这样学生才能具有多层次观察的能力.事实证明我在教学中的这种做法，不仅激发了学生的学习兴趣和求知欲望，而且对调动学生的学习积极性也起到了一定的作用，更从很大程度上提高了学生的解题能力.二、通过探索能力，培养学生解题能力我们大家都知道，求异思维在数学教学中是一种很重要的方法，也是一种创造性思维，它是学生在自己原有知识的基础上，凭借自己的能力，对已有的问题从另外一个角度，从不同的方向去思考的一种方法，从而有创造性地去解决问题.但是我们的学生思维往往以具体形象思维为主，容易产生一定的思维定势.在这种情况下，作为教师应该从以下几点入手：1.培养学生一题多问的能力，对于同一个问题，引导学生从不同的角度，从不同的方位提出问题.2.培养学生学会变通的能力，同学们在解题时，往往受解题动机的影响及局部感知的干扰，从而影响了整个解题的过程.在教学中，我要求学生在掌握数学法则及公式定理的基础上，进行题目的变换，将学生的思维定势进行淡化.3.培养学生一题多解的能力，在数学教学中，我经常引导学生对于某一个问题，要从不同的方面去解决，看看哪种方法是最简洁的，是最好的，从比较之中筛选最佳方案.三、通过猜想法，培养学生解题能力心理学家研究表明，学生的创新能力是教师根据一定的教学目的，运用所有的信息来源，使学生开动脑筋，转变思想，产生新颖独特的思维的一种智力品质.在科学技术发展的今天，一个国家的创造水平已关系到这个国家的荣辱兴衰.所以说，没有创新能力是不行的，要想培养具有创新能力的优秀人才，在数学教学中，大胆猜想是一种很好的方法，它起到了事半功倍的效果.牛顿曾经说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现.”著名的数学教育学波利亚早在1953年就大声疾呼：“让我们教猜测吧！”“先猜后证──这是大多数的发现之道.”由此可见，在我们的教学实践中，不能只是强调数学的科学性与严密性，而应该通过猜想来培养学生的推理能力，让学生觉得数学是有趣的，不难学的.作为一名高中数学教师，要培养学生通过观察、实验的方法来进行大胆猜想.然后经过对问题的分析，归纳出其中的规律，先通过大体的估算，作出大胆的猜想，再通过严密的数学证明其正确性，这样激励着学生的猜想欲望，使学生觉得数学是有激情的，是与现实相联系的，并且是一门具有情趣的科学.在实际教学中，我经常向学生介绍一些著名的猜想案例，例如，德国数学家哥德巴赫猜想、我国数学家陈景润等人的猜想，使学生明白只要大胆猜想、敢于假设，学生就能从多角度、多层次去思考问题，就能打破传的思维模式，从而产生新的观念、新的思想、新的理论.作为一名高中数学教师，我很清楚，我们教师是学生的引路人、指导者.教师只有教会学生解决问题的方法，学生才能真正地掌握数学知识及技能，才能真正的具有解决问题的能力.在今后的工作道路上，我一定要勤于思考，努力探索适合自己学生的教学方法，使他们具有坚实的数学功底与解决问题的能力.（责任编辑黄桂坚）。
2019年高考数学二轮复习解题思维提升专题22数学思想方法专项训练手册(含答案)
专题22 数学思想方法专项【训练目标】1、 领会数形结合思想，函数与方程思想，转化与化归思想三种数学思想的本质，能灵活运用这三种数学思想解决问题；2、 掌握这三种数学思想的常见应用方式和方法； 【温馨小提示】数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用. 【名校试题荟萃】 1、函数与方程思想一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解. 1.若0<x 1<x 2<1，则( ) A.21e e x x->ln x 2－ln x 1 B.21e e x x-<ln x 2－ln x 1 C.1221e >e x xx x D.1221e <e x xx x 【答案】C 【解析】设f (x )＝e x－ln x (0<x <1)， 则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x－1＝0.根据函数y 1＝e x与y 2＝1x的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x 0∈(0，1)，因此函数f (x )在(0，1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确；设g (x )＝e x x(0<x <1)，则g ′(x )＝exx －1x 2. 又0<x <1，∴g ′(x )<0， ∴函数g (x )在(0，1)上是减函数. 又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)， ∴1221e >e xxx x ，故选C.2.已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )<0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g xex>1的解集为________.【答案】(－∞，0)3.已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，则x 的取值范围是__________________. 【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞) 【解析】∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. 问题转化为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立， 当x ＝2时，不等式不成立，∴x ≠2.令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3.问题转化为g (m )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上恒大于0，则⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，g 3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －2＋x －22>0，3x －2＋x －22>0，解得x >2或x <－1.4.若x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[－6，－2]故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增， 此时有a ≤f (x )min ＝f (－1)＝1＋4－3－1＝－2. 当x ＝0时，不等式恒成立.当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，则f (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥f (x )max ＝f (1)＝1－4－31＝－6.综上，实数a 的取值范围是[－6，－2]. 二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决. 5. 已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 等于( ) A.－23 B.－13 C.13 D.23【答案】D 【解析】设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋10×92d ＝70，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10，2a 1＋9d ＝14，解得d ＝23.6.已知在数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋23a n ，则a na n －1的最大值为( )A.－3B.－1C.3D.1 【答案】C7.在等差数列{a n }中，若a 1<0，S n 为其前n 项和，且S 7＝S 17，则S n 取最小值时n 的值为____. 【答案】 12 【解析】由已知得， 等差数列{a n }的公差d >0， 设S n ＝f (n )，则f (n )为二次函数，又由f (7)＝f (17)知，f (n )的图象开口向上，关于直线n ＝12对称， 故S n 取最小值时n 的值为12.8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 6＝3，则nS n 的最小值为________. 【答案】 －9 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝－2，6a 1＋15d ＝3解得a 1＝－2，d ＝1，所以S n ＝n 2－5n2 ，故nS n ＝n 3－5n 22.令f (x )＝x 3－5x 22，则f ′(x )＝32x 2－5x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝103，∴ f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞上单调递增.又∵n 是正整数，故当n ＝3时，nS n 取得最小值－9. 三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.9.(2016·全国Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【解析】不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆的方程设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5，点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p22＝r 2，③联立①②③，解得p ＝4(负值舍去)，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.10.如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，若∠PAQ ＝60°，且OQ →＝3OP →，则双曲线C 的离心率为( )A.233 B.72 C.396D.3 【答案】B所以点A 到直线y ＝b ax 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ba·a －0⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋－12＝aba 2＋b 2， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ab a 2＋b 22＝(2R )2－R 2＝3R 2，即a 2b 2＝3R 2(a 2＋b 2)， 在△OQA 中，由余弦定理得，|OA |2＝|OQ |2＋|QA |2－2|OQ ||QA |cos 60°＝(3R )2＋(2R )2－2×3R ×2R ×12＝7R 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧a2b 2＝3R2a 2＋b2，a 2＝7R 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝7R 2，b 2＝214R 2，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a＝c 2a 2＝a 2＋b2a 2＝1＋b 2a2＝1＋214R 27R 2＝72.11.设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点.若ED →＝6DF →，则k 的值为________. 【答案】 23或38【解析】依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.由ED →＝6DF →知，x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2. 由点D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.12.已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于不同的两点A ，B ，且以AB 为直径的圆过抛物线C 的焦点F ，则k ＝________. 【答案】22或－22依题意知，x 1，x 2是①的不相等的两个实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2－22－4k 4>0， ②x 1＋x 2＝22－k2k 2，x 1x 2＝1.由以AB 为直径的圆过F ，得AF ⊥BF ， 即k AF ·k BF ＝－1， 所以y 1x 1－1·y 2x 2－1＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2－(x 1＋x 2)＋1＝0， 所以x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)－(x 1＋x 2)＋1＝0， 所以(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0，③ 把x 1＋x 2＝22－k2k2，x 1x 2＝1代入③得2k 2－1＝0，解得k ＝±22， 经检验k ＝±22适合②式. 综上所述，k ＝±22. 2、数形结合思想一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数. 1.(2018·咸阳模拟)函数f (x )＝2x－1x的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3 【答案】 B2.若关于x 的方程||x x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ 【解析】x ＝0是方程的一个实数解；当x ≠0时，方程||x x ＋4＝kx 2可化为1k＝(x ＋4)|x |，x ≠－4，k ≠0，设f (x )＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0)，y ＝1k，则两函数图象有三个非零交点.f (x )＝(x ＋4)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x >0，－x 2－4x ，x <0，x ≠－4的大致图象如图所示，由图可得0<1k <4， 解得k >14.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为________.【答案】－7 【解析】因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2.又当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y 1＝f (x )与y 2＝|cos πx |的图象如图所示.由图象知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个.不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7. 4.(2018·石嘴山模拟)已知函数f (x )⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋1，x ≤1，ln x ，x >1，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是________.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1e二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018·全国Ⅰ )设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)【答案】D 【解析】方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1].②当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解.③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1，0).④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0). 故选D.方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，∴函数f (x )的图象如图所示.由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x . 此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x ). 此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0).故选D.6.设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________. 【答案】 [2－1，＋∞)【解析】 集合A 是圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时，有|m ＋1|2＝1，又m >0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是[2－1，＋∞).7.若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________.【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 【解析】作出y 1＝|x －2a |和y 2＝12x ＋a －1的简图，如图所示.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤2－2a ，a －1<0，故a ≤12.8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2ax ，x ≥1，2ax －1，x <1，若存在两个不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围为________. 【答案】 [0，＋∞)三、数形结合思想在解析几何中的应用在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围； 常见的几何结构的代数形式主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.9.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A.7B.6C.5D.4 【答案】B10.设双曲线C ：x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 【答案】D【解析】如图所示，设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q ，连接OQ ，则OQ ⊥PF 2.又PF 1⊥PF 2，O 为F 1F 2的中点， 所以|PF 1|＝2|OQ |＝2a . 又|PF 2|－|PF 1|＝2a ， 所以|PF 2|＝4a .在Rt △F 1PF 2中，由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，得4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c 2，即e ＝c a＝ 5.11.已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2，4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________. 【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－2，12 【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部， 如图，设抛物线的准线为l ，12.已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________.【答案】 2 2 【解析】连接PC ，由题意知圆的圆心C (1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt △PAC 的面积S △PAC ＝12|PA ||AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线l 时，S 四边形PACB 有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝22，所以(S 四边形PACB )min ＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.【配套练习】1.(2018·咸阳模拟)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＋f ′(x )>1，设a ＝f (2)－1，b ＝e[f (3)－1]，则a ，b 的大小关系为( ) A.a <b B.a >b C.a ＝b D.无法确定【答案】A2.(2018·宣城调研)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14 D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 【答案】C【解析】 因为f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又T ＝4，作图，由图知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14.3.在三棱锥A －BCD 中，△ABC 为等边三角形，AB ＝23，∠BDC ＝90°，二面角A －BC －D 的大小为150°，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为( ) A.7π B.12π C.16π D.28π 【答案】D【解析】满足题意的三棱锥A －BCD 如图所示，设三棱锥A －BCD 的外接球的球心为O ，半径为R ，△BCD ，△ABC 的外接圆的圆心分别为O 1，O 2，可知O ，O 1，O 2在同一平面内，由二面角A －BC －D 的大小为150°，得∠OO 1O 2＝150°－90°＝60°.依题意，可得△BCD ，△ABC 的外接圆的半径分别为r 1＝BC 2＝232＝3，r 2＝23×sin 60°×23＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ R 2＝OO 21＋r 21，R 2＝OO 22＋r 22，sin ∠OO 1O 2＝OO2OO1，即⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝OO 21＋3，R 2＝OO 22＋4，OO 2＝32OO 1，解得R ＝7，所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为4πR 2＝28π.4.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作直线y ＝－b ax 的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若FB →＝2FA →，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B.2 C. 5 D.7 【答案】C5.记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】C【解析】在同一坐标系中作出三个函数y 1＝x 2＋1，y 2＝x ＋3，y 3＝13－x 的图象如图.由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3，13－x }为y 2＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC 与直线y 3＝13－x 在点C 下方的部分的组合体.显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ＋3，y 3＝13－x ，得点C (5，8).所以f (x )max ＝8.6.已知函数f (x )＝|lg(x －1)|，若1＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围为( ) A.(3＋22，＋∞) B.[3＋22，＋∞) C.(6，＋∞) D.[6，＋∞)【答案】C由对勾函数的性质知，当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，＋∞时，f (b )＝2(b －1)＋1b －1＋3单调递增， ∵b ＞2， ∴a ＋2b ＝bb －1＋2b ＞6.7.(2018·东莞模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥1，x 2－3x ＋2，x <1，若不等式f (x )≥mx 恒成立，则实数m 的取值范围为( )A.[－3－22，－3＋22]B.[－3＋22，0]C.[－3－22，0]D.(－∞，－3－22]∪[－3＋22，＋∞) 【答案】C8.(2018·德阳诊断)已知函数f (x )＝3x－13x ＋1＋x ＋sin x ，若存在x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则实数k 的取值范围是( ) A.(－1，＋∞) B.(3，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－∞，－1)【答案】A 【解析】由题意知函数f (x )＝3x－13x ＋1＋x ＋sin x 的定义域为R ，f (－x )＝3－x－13－x ＋1＋(－x )＋sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x ＋1＋x ＋sin x ＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，且f ′(x )＝2ln 3·3x3x ＋12＋1＋cosx >0在R 上恒成立，即函数f (x )在R 上单调递增.若∃x 0∈[－2，1]，使得f (x 20＋x 0)＋f (x 0－k )<0成立， 即f (x 20＋x 0)<－f (x 0－k )，所以f (x 20＋x 0)<f (k －x 0)，即x 20＋x 0<k －x 0，则问题转化为∃x 0∈[－2，1]，k >x 20＋2x 0，令g (x )＝x 2＋2x ，x ∈[－2，1]. 则k >g (x )min ＝g (－1)＝－1故实数k 的取值范围是(－1，＋∞). 9.已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.【答案】2 3【解析】如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h.则其侧棱长为l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋h 2＝16h＋h 2.10.若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. 【答案】(0，2)【解析】由f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点， 可得|2x－2|＝b 有两个不等的实根，从而可得函数y 1＝|2x－2|的图象与函数y 2＝b 的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0<b <2.11.已知椭圆C 1：x 29＋y 24＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)，若两条曲线没有公共点，则r 的取值范围是______________. 【答案】(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫3305，＋∞因此，求使圆C 2与椭圆C 1有公共点的r 的集合，等价于在定义域为y ∈[－2，2]的情况下，求函数r 2＝f (y )＝－54y 2＋2y ＋10的值域.由f (－2)＝1，f (2)＝9，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝545，可得f (y )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，545，即r ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3305， 它的补集就是圆C 2与椭圆C 1没有公共点的r 的集合，因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3305，＋∞. 方法二 联立C 1和C 2的方程消去x ，得到关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0.①两条曲线没有公共点，等价于方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0要么没有实数根，要么有两个根y 1，y 2∉[－2，2].若没有实数根，则Δ＝4－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54×(10－r 2)<0，解得r >3305或r <－3305⎝ ⎛⎭⎪⎫由于r >0，则r <－3305舍去.若两个根y 1，y 2∉[－2，2]，设φ(y )＝－54y 2＋2y ＋10－r 2，其图象的对称轴方程为y ＝45∈[－2，2].则⎩⎪⎨⎪⎧φ2＝9－r 2>0，φ－2＝1－r 2>0，又r >0，解得0<r <1.因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3305，＋∞. 12.若关于x 的不等式e x－x 22－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恰成立，则实数a 的取值集合为________.【答案】{2e}【解析】 关于x 的不等式e x－x 22－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恰成立⇔函数g (x )＝e x－x 22－1x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a －94，＋∞.21故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12e －18－112＝2e －94， 所以a －94＝2e －94， 解得a ＝2e ，所以a 的取值集合为{2e}.。
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《高中数学解题思维与思想》导读数学家G。
波利亚在《怎样解题》中说过：数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的训练,本策略结合数学教学的实际情况,从以下四个方面进行讲解：一、数学思维的变通性根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案二、数学思维的反思性提出独特见解，检查思维过程,不盲从、不轻信。
三、数学思维的严密性考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。
四、数学思维的开拓性对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。
什么"转变，从而培养他们的思维能力.《思维与思想》的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面验证.一、高中数学解题思维策略第一讲数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化,要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。
根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：（1）善于观察心理学告诉我们:感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。
观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提.任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。
高中数学思想方法教辅
高中数学思想方法教辅数学作为一门系统性强、逻辑性强的学科，对于高中生而言，既是一种挑战，也是一种乐趣。
在学习数学的过程中，除了掌握基本的知识和技巧外，更重要的是培养和锻炼数学思维方法。
本文将从高中数学思想方法的教辅角度进行探讨，旨在帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
一、数学思想方法的重要性数学思想方法是指在解决数学问题时所运用的一系列思考逻辑和方法。
良好的数学思想方法不仅可以提高解题效率，还可以培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
在高中阶段，学生需要通过数学的学习，逐步形成和完善自己的数学思想方法，为日后的学习和科研打下坚实基础。
二、数学思想方法的培养途径1. 基础知识扎实数学思想方法的培养首先要建立在扎实的基础知识之上。
只有掌握了数学的基本概念和定理，才能更好地理解和运用数学思想方法。
因此，学生在学习数学时，要注重对基础知识的理解和掌握，通过不断练习和思考，将基础知识内化为自己的思维工具。
2. 多做题多练习做题是锻炼数学思想方法的有效途径。
通过大量的习题练习和解题实践，学生可以不断提高自己的数学思维能力，培养解决问题的能力和方法。
在做题的过程中，学生要注重总结经验，探索解题的规律和方法，逐步形成自己的解题思路和方法。
3. 多角度思考数学问题往往有多种解法和途径。
为了培养学生的数学思维方法，教师可以引导学生从不同的角度和方法去思考和解决问题。
通过比较和分析不同的解题思路，学生可以拓展自己的思维空间，提高解题的灵活性和多样性。
4. 实际应用实践数学思维方法的培养不仅限于课堂中的纸上练习，还要结合实际生活进行实践。
学生可以利用数学知识解决实际问题，比如日常生活中的计算、测量和统计等，通过实际应用的方式深化对数学思维方法的理解和掌握。
三、高中数学思想方法的教辅1. 教材辅导高中数学教材是学生学习的重要依托，教师可以通过对教材内容的详细讲解和案例分析，引导学生建立正确的数学思维方法。
教材辅导可以帮助学生系统地掌握数学知识，训练解题的思维和方法。
高考数学运用数形结合的思想方法解题专项练习(含答案解析)
高考数学运用数形结合的思想方法解题专项练习（含答案解析）一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）若直线():40l x m y +−=与曲线x =有两个交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0m <<B ．0m ≤<C ．0m <≤D ．0m ≤【答案】B【解析】x =()0,0，半径为2的圆在y 轴以及右侧的部分，如图所示：直线():40l x m y +−=必过定点()0,4， 当直线l 与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，2=，结合直线与半圆的相切可得m =当直l 的斜率不存在时，即0m =时，直线和曲线恰有两个交点， 所以要使直线和曲线有两个交点，则0m ≤故选：B.2．（2023春·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知x ，y 是实数，且22410x y x +−+=，则21y x ++的最大值是（ ）A B ．116C ．336D 【答案】D【解析】方程可化为()223x y −+=，表示以()2,021y x ++的几何意义是圆上一点与点A ()1,2−−连线的斜率，设21k y x =++，即()21y k x +=+，当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，当切线位于切线AB 时斜率最大.=k =，所以21y x ++故选：D ．3．（2023春·陕西渭南·高一统考）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()24f x x x =−.若函数()()()R g x f x m m =+∈，则函数()g x 的零点个数不可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()224(2)4f x x x x =−=−−,作出()f x 的图像如图：，故当0m =时，()()g x f x =有3个零点；当0m <或4m =时，()()g x f x m =+的图像与x 轴有两个交点，则函数有2个零点； 当04m <<时，()()g x f x m =+的图像与x 轴有4个交点，则函数有4个零点；由于()()g x f x m =+也为偶函数，结合()f x 图像可知，()()g x f x m =+不可能有1个零点， 故选：A4．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨−<⎩， 若函数()()()g x f x f x =−−，则函数()g x 的零点个数为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【解析】当0x >时，0x −<，()3f x x −=当0x <时，0x −>，()e xf x −−=()()()3e ,00,0e 3,0x x x x g x f x f x x x x −⎧−>⎪∴=−−==⎨⎪+<⎩，()()()()g x f x f x g x −=−−=−，且定义域为R ，关于原点对称，故()g x 为奇函数，所以我们求出0x >时零点个数即可，(0,)3e x g x x x =−>，()3e 0x g x '=−>，令()3e 0x g x '=−>，解得0ln3x <<，故()g x 在()0,ln 3上单调递增，在(ln3,)+∞单调递减，且(ln3)3ln330g =−>，而()226e 0g =−<，故()g x 在(ln 3,2)有1零点，1311e 03g ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭，故()g x 在1(,ln 3)3上有1零点，图像大致如图所示：故()g x 在()0,∞+上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在(),0∞−上也有2个零点，且()00g =，故()g x 共5个零点， 故选：D.5．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若函数()f x 的定义域为(),1f x −R 为偶函数，当1x ≥−时，()31xf x −=−，则函数()()12g x f x =−的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】D【解析】令310x −−≥解得0x ≤，令310x −−<解得0x >， 所以当1x ≥−时，()11,1033111,03xxxx f x x −⎧⎛⎫−−≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=−=⎨⎛⎫⎪−+> ⎪⎪⎝⎭⎩， ()1f x −为偶函数，所以()1f x −的图像关于y 轴对称，所以()f x 的图像关于直线=1x −轴对称， 故作出()f x 的图像如下，令()()102g x f x =−=，即()12f x =， 由图像可知，()f x 的图像与12y =的图像共有四个交点， 所以函数()()12g x f x =−的零点个数为4个.故选:D.6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且(1)f x −是奇函数，当01x 剟时，有()f x =()(2021)y f x k x =−−的零点个数为5，则实数k 取值范围是（ ） A ．15<2<1kB ．16<3<1kC k k =D ．k <k 【答案】C【解析】∵偶函数()f x ，()()f x f x ∴−=，(1)f x −是奇函数，得(1)(1)f x f x −=−−−，即 ()(2)f x f x =−−−，(2)()f x f x −−−=−，得4T =，()(2021)0f x k x −−=，即()y f x =与(2021)y k x =−的图像交点的个数，因为4T =，即为()y f x =与(1)y k x =−的图像交点的个数，因为()f x =k 应该在1k 与2k 之间或为3k ，213k k k ==k k =故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()ln2,01ln 2ln 2,12xx f x x x ⎧<<⎪=⎨−+≤<⎪⎩，若存在02a b c <<<<使得()()()f a f b f c ==，则111ab bc ca++的取值范围是（ ） A ．20,93⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．∞⎫+⎪⎪⎣⎭ D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A【解析】∵()()ln 2ln2ln 22x x ⎡⎤−+=−⎣⎦，∴ln 2y x =与()ln 2ln2y x =−+的图像关于直线1x =对称，作出()f x 的大致图像如图所示，易知2b c +=，由ln2ln2a b =，即ln 2ln 2a b −=，ln 40ab =，得14ab =， ∵112b <<，∴11124a<<，得1142a <<，∴()()421621112181244a a a a b c a c ab bc ca abc a a+++++++====−−. 设81t a =−， 则()1,3t ∈，111117184t ab bc ca t ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭. 17t t+≥=t 故当()1,3t ∈时，令()1718h t t t +=+，()h t 单减，()()80136,33h h ==， 故1172018,943t t ⎛⎫⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A 二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yE a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ）A ．2160PF F ∠=，B ．2112MF PF =C ．ED ．E的渐近线方程为y =【答案】BCD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以212PF F π∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知：22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 正确；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BCD ．9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点F l 与抛物线交于,P Q 两点（P 在第一象限），以,PF QF 为直径的圆分别与y 轴相切于,A B 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．32||3PQ =B ．AB =C ．若M 为抛物线C 上的动点，(2,1)N ，则min (||||)4MF MN +=D ．若0(,M x 为抛物线C 上的点，则9MF = 【答案】ABC【解析】设直线PQ 的方程为：y x ﹣2），与28y x =联立整理可得：3x 2﹣20x +12=0，解得：x 23=或6，则P （6，，Q （23，；所以|PQ |=623++4323=，选项A 正确；因为F (2,0),所以PF ，QF 的中点分别为：（4，，（43，，所以A （0，，B （0，，所以|AB =， 选项B 正确；如图M 在抛物线上，ME 垂直于准线交于E ，可得|MF |=|ME |， 所以|MF |+|MN |=|ME |+|MN |≥NE =2+2=4，当N ，M ，E 三点共线时， |MF |+|MN |最小，且最小值为4，选项C 正确；对于选项D ，若0(M x 为抛物线C 上的点，则05x =，又4p =， 所以072pMF x =+=，选项D 错误. 故选：ABC.10．（2023春·河南·高三校联考）在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，2BD CD ==，ABD △为等边三角形，E 是棱AC 的中点，F 是棱AD 上一点，若异面直线DE与BF AF 的值可能为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．53【答案】AC【解析】由ABD △为等边三角形，取BD 的中点O ，连接AO ,则AO BD ⊥ 又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD = 所以AO ⊥平面BCD ，由BD CD ⊥过O 作与CD 平行的直线为y 轴，分别以,OB OA 为,x z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为2BD CD ==，则()1,0,0B ，()()(1,0,0,1,2,0,D C A −−，所以12E ⎛− ⎝⎭．设()F a ，则12DE ⎛= ⎝⎭，()BF a =−，则28=13a =−或23a =−， 故1233AF AD ==或2433AF AD ==．故选：AC11．（2023秋·福建三明·高一福建省宁化第一中学校考阶段练习）已知G 为ABC 的重心，60BAC ∠=︒，2AB AC ⋅=，则||AG uuu r的可能取值为（ ）A ．23B ．1CD ．32【答案】CD【解析】如图，G 是ABC 的重心，记,,AB c AC b AB a ===， 则2211()()3323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+， 222222111()(2)(4)999AG AB AC AB AB AC AC b c =+=+⋅+=++，又1cos6022AB AC bc bc ⋅=︒==，即4bc =，所以2228b c bc +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立，所以214(84)93AG ≥⨯+=．即233AG ≥CD 满足． 故选：CD ．12．（2023春·湖北黄冈·高三校考开学考试）已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB ，AC 的交点分别为M ，N ，若AM MB λ=，且AMN 与ABC 的面积之比为920，则λ的可能取值为（ ）A ．43B ．32C ．53D ．3【答案】BD【解析】如图，()AM MB AB AM λλ==−，1AM AB λλ∴=+，即1AB AM λλ+=，设AC t AN =，则11()333tAG AB AC AM AN λλ+=+=+， M G N 、、三点共线，1=133t λλ+∴+，12t λ∴=−， 所以12AC AN λ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，AMN ∴与ABC 的面积之比为920，191sin sin 2202AM AN A AB AC A ∴=⨯⨯， 即112029λλλ+⎛⎫⎛⎫−=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22990λλ−+=，解得32λ=或3. 故选：BD13．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校联考）在三维空间中，定义向量的外积：a b ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①()a a b ⊥⨯，()b a b ⊥⨯，且a ，b 和a b ⨯构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②a b ⨯的模sin ,a b a b a b ⨯=，(,a b 表示向量a ，b 的夹角)． 在正方体1111ABCD A B C D −中，有以下四个结论，正确的有（ ）A ．11AB AC AD DB ⨯=⨯ B ．111AC A D ⨯与1BD 共线C ．AB AD AD AB ⨯=⨯ D ．6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等【答案】ABD【解析】对于A ，设正方体的棱长为1，在正方体中1,60AB AC =︒，则111sin ,2AB AC AB AC AB AC ⨯===， 因为11//BD B D ，且1160AD B ∠=︒，所以1,120AD DB =︒，所以111sin ,2AD DB AD DB AD DB ⨯=== 所以11AB AC AD DB ⨯=⨯，所以A 正确；对于B ，1111AC B D ⊥，111AC BB ⊥，1111B B B D B ⋂=，111,B B B D ⊂平面11BB D D ，11AC ⊥平面11BB D D ，因为1BD ⊂平面11BB D D ，所以111BD AC ⊥，同理可证11BD A D ⊥， 再由右手系知，111AC A D ⨯与1BD 同向，所以B 正确；对于C ，由a ，b 和a b ⨯构成右手系知，a b ⨯与b a ⨯方向相反， 又由a b ⨯模的定义知，sin ,sin ,a b a b a b b a a b b a ⨯===⨯， 所以a b ba ⨯=−⨯，则AB AD AD AB ⨯=−⨯，所以C 错误； 对于D ，正方体棱长为a ，266sin 456BC AC BC AC a a ⨯=⋅︒=⨯， 正方体表面积为26a ，所以D 对． 故选：ABD ．三、填空题14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨−>⎪+⎩.若关于x 的方程()()()2[]2110f x m f x m +−−+=有6个不同的实数根，则m 的取值范围___________.【答案】7,5⎛− ⎝⎭【解析】因为243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨−>⎪+⎩，所以当0x ≤时，()243f x x x =++开口向上，对称轴为2x =−，()()min 21f x f =−=−，两零点为1,3x x =−=−；当0x >时，()411f x x =−+，则()f x 在()0,∞+上单调递减，零点为3x =，且()1f x >−； 由此作出()f x 的图像如图，.令()t f x =，则当13t −<<时，()t f x =有三个实数根，因为()()()2[]2110f x m f x m +−−+=有6个不同的实数根，所以()22110t m t m +−−+=必须有两个不等实根12,t t ，且()21,1,3t t ∈−，令()()2211g t t m t m =+−−+，则()()103021132Δ0g g m ⎧−>⎪>⎪⎪⎨−−<−<⎪⎪>⎪⎩，即()()()()212110932110621221410m m m m m m m ⎧−−−+>⎪+−−+>⎪⎨−<−<⎪⎪−−−+>⎩，解得75m −<<7,5m ⎛∈− ⎝⎭.故答案为：7,5⎛− ⎝⎭. 15．（2023春·全国·高一期末）已知函数241,1()log 3,1xx f x x x ⎧−⎪=⎨+>⎪⎩…集合21()2()02M x f x t f x t ⎧⎫⎛⎫=−++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合M 中有3个元素，则实数t 的取值范围为________．【答案】{|0t t =或1}2t ≥【解析】令()f x m =，记21()(2)2g m m t m t =−++的零点为12,m m ，因为集合M 中有3个元素，所以()f x 的图像与直线12,y m y m ==共有三个交点，则，12001m m =⎧⎨<<⎩或12101m m =⎧⎨<<⎩或12001m m >⎧⎨<<⎩当10m =时，得0=t ，212m =，满足题意； 当11m =时，得12t =，212m =，满足题意；当12001m m >⎧⎨<<⎩时，(0)01(1)1202g t g t t =>⎧⎪⎨=−−+<⎪⎩，解得12t >. 综上，t 的取值范围为{|0t t =或1}2t ≥.故答案为：{|0t t =或1}2t ≥16．（2023秋·黑龙江绥化·高一校考期末）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30,12=︒=A b ，若ABC 有两解，写出a 的一个可能的值为__________．【答案】7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一） 【解析】由于满足条件的ABC 有两个，则sin b A a b <<，即612a <<.故答案为：7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一）．17．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数()314f x x m π⎛⎫=++− ⎪⎝⎭在3,04π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上有3个零点1x ，2x ，3x ，其中123x x x <<，则1232x x x ++=______． 【答案】53π−【解析】令()0f x =314x m π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故()314f x x m π⎛⎫++− ⎪⎝⎭的零点为函数()314g x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭与函数y ＝m 交点的横坐标，作出函数g (x )在3,04π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的大致图像：令3()42x k k πππ+=+∈Z ，解得()123k x k ππ=+∈Z ， 令1k =−，得4x π=−，则由图知2322=4x x ππ⎛⎫+=⨯−− ⎪⎝⎭，令2k =−，得712x π=−，则由图知12772=126x x ππ⎛⎫+=⨯−− ⎪⎝⎭， 故123752263x x x πππ++=−−=−． 故答案为：53π−﹒18．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知双曲线22:14x y C m −=与直线2y x =无交点，则m 的取值范围是_____． 【答案】(]0,16【解析】依题意，由22:14x y C m −=可得0m >，双曲线C 的渐近线方程为y =，因为双曲线C 与直线2y x =无交点，所以直线2y x =应在两条渐近线上下两部分之间，2≤，解得016m <≤，即(]0,16m ∈. 故答案为：(]0,16..。
22 分类与整合思想、化归与转化思想(命题猜想)-2017年高考数学(理)命题猜想与仿真押题含解析
专题22 分类与整合思想、化归与转化思想（命题猜想)2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题【考点定位】分类讨论思想，转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数解答题中，难度较大。
【命题热点突破一】分类与整合思想1.分类讨论思想的本质是“化整为零,积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论.常见的分类讨论问题有：(1)集合：注意集合中空集∅讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a，一般应分a ＞1和0＜a＜1的讨论；函数y＝ax2＋bx＋c有时候分a ＝0和a≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论。
(3)数列：由S n求a n分n＝1和n＞1的讨论；等比数列中分公比q＝1和q≠1的讨论.(4）三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论。
（6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论。
(7）平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b＝0和b≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论。
（8）排列、组合、概率中的分类计数问题。
(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等。
例1、（1）设x∈R，x］表示不超过x的最大整数．若存在实数t,使得t]＝1,t2］＝2,…，t n]＝n同时成立，则正整数n的最大值是（)A．3 B．4 C．5 D．6（2）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为错误!,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为P0(0<P0〈1），中奖可以获得3分;未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品．①张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为错误!,求P0的值；②若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【答案】（1)B（2）解:①由已知得，张三中奖的概率为错误!，李四中奖的概率为P0，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3"为事件A，则事件A的对立事件为“X＝5"．因为P(X＝5）＝错误!P0，所以P(A)＝1－P(X＝5）＝1－错误!×P0＝79，所以P0＝13。
【数学】高中数学解题思想方
【关键字】数学高中数学解题思想方法常用数学方法：配方法、消去法、换元法、待定系数法、数学归纳法、坐标法、参数法等；数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想、运动与变换思想等。
一、配方法例1.讨论下列问题：1.在正项等比数列.2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是（）.A. <k<1B. k<或k>. k∈R D. k＝或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为（）.A. 1B. －. 1或－1 D. 04. 函数y＝的单调递增区间是（）.A. （－∞, ]B. [,+∞)C.(－,]D. [,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两实数根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
6. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）.A. B. C. 5 D. 6例2. 设方程x2＋kx＋2=0的两根为p、q，若成立，求k的取值范围。
例3. 设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求。
二、换元法例1.讨论下列问题：1. y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x＋1)＝（a>1），则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{an}中，a1＝－1，an+1·an＝an+1－an，则数列通项an＝________________。
4. 设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是________________。
5.方程的解是_______________。
6.不等式log2(2－1) ·log2(2－2)〈2的解集是____________________。
2022届高考数学解题思想方法-数形结合思想方法
第二章高中数学常用的数学思想一、数形结合思想方法中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。
”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。
“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。
华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。
如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
Ⅰ、再现性题组：1. 设命题甲：0<x<5；命题乙：|x －2|<3，那么甲是乙的_____。
高中数学解题思想方法训练【完全精美版】
【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则 ,而欲求对角线长 ，将其配凑成两已知式的组合形式可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得： 。
长方体所求对角线长为： ＝ ＝ ＝5
所以选B。
数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
A. <k<1 B. k< 或k>1 C. k∈R D. k＝ 或k＝1
3.已知sin α＋cos α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1 B.－1 C. 1或－1 D. 0
4.函数y＝log (－2x ＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
高考数学解题思想秘籍--指导数学解题的七个数学思想(325张)
就可以得到 A a 1 a 1.
下面研究第(Ⅱ)问. 1 3 2 3 1 3 2 关于 f x 2 x x 的方程可以化为 4 x ax x 2 x x . 3 3 3 解得
x 0 和 x 2 ax 2 0 .
由于 a 2 8 0 ,所以方程 x 2 ax 2 0 有两个非零实根 x1 , x 2 .
①
把 a 2 8 看作关于 a 的函数 T a a 2 8 , 则①式等价于
m 2 tm 1 Tmax a
②
由于 a A ,则 T a a 2 8 1 8 3 ,从而②式转化为
m 2 tm 1 3,
即
m 2 tm 2 0
这些数学思想的名称与通常学习的数学概念或数学方法的名称有一些虽然 相同,但是,数学概念和数学方法本身并不等于数学思想,它们之间有联系,又有区 别,这些区别主要表现在不同的层次上.例如,学习了函数的定义和性质,并能基本 运用,并不一定具备函数思想,当题目明确了所研究的对象是函数时,你可能会想 到运用这个函数的性质去解决问题,如果没有明确所研究的对象是函数的时候， 你是否想到用函数与变化的观点去思考与解决问题呢？又如，解方程中的消元 法，恒等变形中的配方法，三角函数中的诱导公式，几何中的割补法等都是把问 题向简单方向转化的具体方法，是化归与转化思想的具体体现，但是，化归与转 化思想相对于消元法，配方法，诱导公式和割补法等来说，具有较高的层次。这 就是说， 数学中的一些具体方法都是在数学思想的指导下产生的， 我们在解题的 时候，如果能够站在数学思想的高度，抓住数学中最本质的东西去思考，就会高 屋建瓴，就会使解题更加科学与合理，就会使解题从被动变为主动，就会形成较 为完善的解题系统.
2017年高考数学深化复习+命题热点提分专题22分类与整合思想化归与转化思想理
专题22 分类与整合思想、化归与转化思想1.等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A.1 B.－12C.1或－12D.－1或12解析 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求.当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q＝21，解之得，q ＝－12或q ＝1(舍去).综上可知，q ＝1或－12.答案 C2.函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A.0B.1C.2D.3答案 B3.已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0，2)，任意的x 2∈[1，2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，142 B.(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，142D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，142 解析 依题意，问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ，f (x )＝ln x －14x ＋34x－1，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x2. 由f ′(x )＞0，解得1＜x ＜3，故函数f (x )单调递增区间是(1，3)，同理得f (x )的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f (x 1)min ＝f (1)＝－12.函数g (x 2)＝－x 22＋2bx 2－4，x 2∈[1，2]. 当b ＜1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5； 当1≤b ≤2时，g (x 2)max ＝g (b )＝b 2－4； 当b ＞2时，g (x 2)max ＝g (2)＝4b －8. 故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧b ＜1，－12≥2b －5，或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＞2，－12≥4b －8. 解第一个不等式组得b ＜1， 解第二个不等式组得1≤b ≤142， 第三个不等式组无解.综上所述，b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142.故选A. 答案 A4．定义函数y ＝f(x)，x∈D，若存在常数c ，对任意x 1∈D，存在唯一的x 2∈D，使得f （x 1）＋f （x 2）2＝c ，则称函数f(x)在D 上的均值为c.已知f(x)＝lg x ，x∈[10，100]，则函数f(x)＝lg x 在[10，100]上的均值为( ) A.32 B.34 C.710 D ．10 【答案】A【解析】由题意可知x 1x 2＝1000，所以x 2＝1x 1∈[10，100]，所以函数f(x)＝lg x 在[10，100]上的均值为lg x 1＋lg x 22＝lg x 1x 22＝lg 10002＝32. 5．已知g(x)＝ax ＋a ，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，0≤x≤2，－x 2＋1，－2≤x<0，对∀x 1∈[－2，2]，∃x 2∈[－2，2]，使g(x 1)＝f(x 2)成立，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，＋∞) B．[－1，1] C ．(0，1] D ．(－∞，1] 【答案】B【解析】对∀x 1∈[－2，2]，∃x 2∈[－2，2]，使g(x 1)＝f(x 2)成立等价于当x∈[－2，2]时，函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．易知当x∈[－2，2]时，函数f(x)的值域为[－3，3]．当a>0时，函数g(x)在[－2，2]上的值域为[－a ，3a]，由[－a ，3a]⊆[－3，3]，得－a≥－3且3a≤3，得a≤1，此时0<a≤1；当a ＝0时，函数g(x)在[－2，2]上的值域为{0}，显然满足要求；当a<0时，函数g(x)在[－2，2]上的值域为[3a ，－a]，由[3a ，－a]⊆[－3，3]，得3a≥－3且－a≤3，解得a≥－1，此时－1≤a<0.综上可知，－1≤a≤1.6．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y≥4，x ＋y≤4，x ＋y≥2，x≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D|x 0，y 0∈Z，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值时的点}，则T 中的点最多能确定的三角形的个数为( ) A ．15 B ．25 C ．28 D ．32 【答案】B7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝2sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3 34B.7 36 C.213 D.3 34或7 36【答案】B 【解析】在△ABC 中，C ＝π3，∴B＝2π3－A ，B －A ＝2π3－2A ，∵sin(B＋A)＋sin(B －A)＝2sin 2A ，∴sin C＋sin(2π3－2A)＝2sin 2A ，∴3sin(2A －π6)＝sin C ＝32，∴sin(2A－π6)＝12，又A∈(0，2π3)，∴A＝π6或A ＝π2.当A ＝π6时，B ＝π2，tan C ＝c a ＝7a ＝3，解得a ＝213，∴S △ABC ＝12ac ＝12³213³7＝7 36.当A ＝π2时，B ＝π6，同理可得S △ABC ＝7 36.故选B.8．已知a∈R，则函数f(x)＝acos ax 的图像不可能是( )【答案】D【解析】若a ＝0，则f(x)＝0，故可以是选项A 中的图像；若0<a<1，则f(x)的最大值为a ，最小正周期为2πa>2π，对于C ，D 两个选项的图像，选项D 中图像的最小正周期小于2π，故f(x)的图像不可能是选项D 中的图像．9．已知α为钝角，且cos(π2＋α)＝－35，则sin 2α＝________．【答案】－2425【解析】cos(π2＋α)＝－35，即sin α＝35，又α为钝角，∴cos α＝－45，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425. 10．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥外接球的表面积等于________cm 2.【答案】14π【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥A BCD.把该三棱锥补成长方体，可得外接球的直径2r ＝14，故外接球的表面积为14π.11．若不等式x 2＋2xy≤a(x 2＋y 2)对于一切正数x ，y 恒成立，则实数a 的最小值为________． 【答案】5＋1212．如图所示，已知△ABC 是等腰直角三角形，CA ＝1，点P 是△ABC 内一点，过点P 分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分)．当点P 在△ABC 内运动时，以P 为顶点的三个三角形面积和取最小值时，以CP 为半径的球的表面积为________．【答案】8π9【解析】如图所示，以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(1，0)，B(0，1)．设过点P 且平行于直线AB 的直线GE 的方程为x ＋y ＝a(0<a<1)，则P(m ，a －m)，0<m<a ，所以PF ＝GF ＝m ，PD ＝ED ＝a －m.易知直线AB 的方程为y ＝1－x ，将x ＝m 代入可得y ＝1－m ＝DH ，故HP ＝DH －DP ＝1－a ，故S △DEP ＋S △GFP ＋S △HIP ＝12(a －m)2＋12m 2＋12(1－a)2＝m 2－am ＋a 2－a ＋12＝(m －a 2)2＋34a 2－a ＋12≥34a 2－a ＋12＝34(a－23)2＋16，所以当a ＝23，m ＝13时，三个三角形面积之和最小，此时P(13，13)，CP ＝23，所以以CP 为半径的球的表面积为89π.13．若实数x ，y 满足4x 2＋2x ＋y 2＋y ＝0，则2x ＋y 的取值范围是________． 【答案】[－2，0]14．如图所示，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，PA ＝PD ＝AD ＝2BC ＝2，CD ＝3，PB ＝6，Q 是AD 的中点，M 是棱PC 上的点，且PM ＝3MC. (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD ； (2)求二面角M BQ C 的大小．【解析】(1)证明：连接PQ.因为四边形ABCD 是直角梯形，AD∥BC，AD ＝2BC ，Q 为AD 的中点，所以四边形BCDQ 为平行四边形，所以QB ＝CD ＝ 3.因为△PAD 是边长为2的正三角形，Q 是AD 的中点，所以PQ⊥AD，PQ ＝ 3. 在△PQB 中，QB ＝PQ ＝3，PB ＝6， 所以PQ 2＋BQ 2＝PB 2，所以PQ⊥BQ. 因为AD∩BQ＝Q ，AD ，BQ ⊂平面ABCD ； 所以PQ⊥平面ABCD.因为PQ ⊂平面PAD ，所以平面PAD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PQ⊥AD，PQ⊥BQ. 又QD∥BC，∠ADC＝90°，所以BQ⊥AD.如图所示，以Q 为原点，QA ，QB ，QP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则Q(0，0，0)，P(0，0，3)，B(0，3，0)，C(－1，3，0)． 易知平面BQC 的一个法向量为n ＝(0，0，1)．设M(x ，y ，z)，则PM →＝(x ，y ，z －3)，MC →＝(－1－x ，3－y ，－z)． 因为PM →＝3MC →，所以⎩⎨⎧x ＝3（－1－x ），y ＝3（3－y ），z －3＝3（－z ），所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－34，y ＝3 34，z ＝34，所以M(－34，3 34，34)， 则QB →＝(0，3，0)，QM →＝(－34，3 34，34)．设平面MBQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧QB →²m＝0，QM →²m＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 1＝0，－34x 1＋3 34y 1＋34z 1＝0， 令x 1＝1，得z 1＝3，所以m ＝(1，0，3)， 所以|cos 〈m ，n 〉|＝|n²m |n|²|m||＝32，所以二面角M BQ C 的大小为30°.15．如图所示，抛物线C 1：y 2＝2px 与椭圆C 2：x 216＋y212＝1在第一象限的交点为B ，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，△OAB 的面积为8 63.(1)求抛物线C 1的方程．(2)过A 点作直线l 交C 1于C ，D 两点，射线OC ，OD 分别交C 2于E ，F 两点，记△OEF 和△OCD 的面积分别为S 1和S 2，问是否存在直线l ，使得S1∶S 2＝3∶77？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解析】(1)因为△OAB 的面积为8 63，|OA|＝4，所以y B ＝4 63，代入椭圆方程得B(43，4 63)，所以抛物线的方程是y 2＝8x.(2)假设存在直线l 符合条件，显然直线l 不垂直于y 轴，故直线l 的方程可设为x ＝my ＋4， 将其代入y 2＝8x ，得y 2－8my －32＝0.设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1²y 2＝－32， 所以S 2S 1＝12|OC||OD|sin∠COD 12|OE||OF|sin∠EOF ＝|OC||OD||OE||OF|＝|y 1||y 2||y E ||y F |＝32|y E y F |.由直线OC 的斜率为y 1x 1＝8y 1，故直线OC 的方程为y ＝8y 1x ，与x 216＋y 212＝1联立得y 2(y 2164³16＋112)＝1，所以y 2E(y 2164³16＋112)＝1，同理y 2F (y 2264³16＋112)＝1， 所以y 2E²y 2F(y 2164³16＋112)(y 2264³16＋112)＝1.可得y 2E ²y 2F ＝36³256121＋48m2，要使S 2S 1＝773，只需322（121＋48m 2）36³256＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7732，即121＋48m 2＝49³121，解得m ＝±11，所以存在直线l ：x±11y－4＝0符合条件． 16．已知函数f(x)＝x －1－aln x(a>0)．(1)若对任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值集合； (2)证明：(1＋1n )n <e<(1＋1n )n ＋1(其中n∈N *，e 为自然对数的底数)【解析】(1)易知f′(x)＝1－a x ＝x －ax，x∈(0，＋∞)．令f′(x)＝0，得x ＝a ，所以当0<x<a 时，f′(x)<0，当x>a 时，f′(x)>0， 所以f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a ，＋∞)，所以f(x)min ＝f(a)＝a －1－aln a ．由题意得f(x)min ≥0，即a －1－aln a≥0.令g(a)＝a －1－aln a ，可得g′(a)＝－ln a ，因此g(a)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(a)max ＝g(1)＝0，故当a －1－aln a≥0时，a ＝1， 故实数a 的取值集合为{1}．17.数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. (1)求数列的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .解 (1)a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， 所以{a n ＋1－a n }为常数列，所以{a n }是以a 1为首项的等差数列， 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 4＝a 1＋3d ， 所以d ＝2－83＝－2，所以a n ＝10－2n .(2)因为a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n ＞5时，a n ＜0；当n ＝5时，a n ＝0；当n ＜5时，a n ＞0.所以当n ＞5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝T n ＝9n －n 2.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2（n ≤5），n 2－9n ＋40 （n ＞5）.18.已知函数g (x )＝axx ＋1(a ∈R )，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x ). (1)若函数g (x )过点(1，1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性.解 (1)因为函数g (x )过点(1，1)，所以1＝a 1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2x x ＋1.由f ′(x )＝1x ＋1＋2（x ＋1）2＝x ＋3（x ＋1）2，则f ′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f (0)＝0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y ＝3x . (2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋axx ＋1(x ＞－1)，所以f ′(x )＝1x ＋1＋a （x ＋1）－ax （x ＋1）2＝x ＋1＋a （x ＋1）2. ①当a ≥0时，因为x ＞－1，所以f ′(x )＞0， 故f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；19.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1，0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m ，0)，使PE →²QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.(2)假设存在满足条件的点E ，当直线l 的斜率存在时设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1). 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k （x －1），得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1.则PE →＝(m －x 1，－y 1)，QE →＝(m －x 2，－y 2)，所以PE →²QE →＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝m 2－8k 2m 4k 2＋1＋4k 2－44k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－44k 2＋1－8k24k 2＋1＋1＝（4m 2－8m ＋1）k 2＋（m 2－4）4k 2＋1＝（4m 2－8m ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14＋（m 2－4）－14（4m 2－8m ＋1）4k 2＋1＝14(4m 2－8m ＋1)＋2m －1744k 2＋1.要使PE →²QE →为定值，令2m －174＝0，即m ＝178，此时PE →²QE →＝3364.当直线l 的斜率不存在时， 不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，由E ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，可得PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，－32，QE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，32， 所以PE →²QE →＝8164－34＝3364.综上，存在点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，使PE →²QE →为定值3364.。
高中数学解题思维能力的训练与培养
高中数学解题思维能力的训练与培养【摘要】发展学生的解题思维能力，只有通过掌握知识、技能的过程来发展学生的思维品质才符合素质教育的基本要求。
数学知识可能在将来会遗忘，但解题思维的培养会影响学生的一生，解题思维的培养是数学教育的价值得以真正实现的理想途径。
【关键词】解题；思维能力；训练新课改下新课程标准强调“知识结构”与“学习过程”，目的在于发展学生的解题思维能力，只有通过掌握知识、技能的过程来发展学生的思维品质才符合素质教育的基本要求。
数学知识可能在将来会遗忘，但解题思维的培养会影响学生的一生，解题思维的培养是数学教育的价值得以真正实现的理想途径。
因此做好学生解题思维的培养，使学生的解题思维得到更好的发展势在必行。
1通过培养“发散思维”来提高解题思维灵活性在数学教学中比较重视集中思维的训练，而相对忽视了发散思维的培养。
发散思维是理解教材、灵活运用知识所必须的，也是迎接信息时代、适应未来生活所应具备的能力。
1.1引导学生对问题的解法进行发散。
在教学过程中，用多种方法，从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案，用一题多解来培养学生思维过程的灵活性。
此题答案有误。
因为⑴，⑵式的等号不能同时成立，所以⑶式等号不能取。
但事实上推导过程无误，只不过扩大了ｘ＋ｙ的范围。
此种推导在选择题时，其选择项若是6，8，12，16，当可排除6，8，12得16。
此法作为例子强调使用重要不等式时等号成立条件的必不可少。
法2，1的妙用(在区间内有一个极值点，此极值必为最值)通过一题多解引导学生归纳证明三角恒等式的基本方法：(1)统一函数种类；(2)统一角度；(3)统一运算。
一题多解可以拓宽思路，增强知识间联系，学会多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。
1.2引导学生对问题的结论进行发散。
对结论的发散是指确定了已知条件后没有现成的结论．让学生自己尽可能多地探究寻找有关结论，并进行求解。
例如：在学习完等差、等比数列，求数列的通项公式中，可以先进行复习巩固再进行变式探索<例2>当数列{an}中满足a1=2，an+1=an+3（n1），求数列通项公式当数列{an}中满足a1=2，an+1=3an（n1），求数列通项公式变式1数列{an}满足a1=2，an+1=2an+3（n∈N*），求通项公式思考：数列{an}满足：首项为a1，an+1=Pan+q，（n∈N*，P，q 为非零常数），求通项公式变式2数列{an}满足a1=2，an+1=2an+2n，（n∈N* ），求通项公式思考：数列{an}满足a1=2，an+1=3an+2n ，（n∈N* ），求通项公式以上题目直观看，都是由地推公式求通项公式的问题，实际上难度是逐级增加的，练习中的两道基础题直接判断数列为等差等比数列，代入通项公式，或利用叠加、叠乘求通项公式。
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专题22 数学思想方法专项【训练目标】1、 领会数形结合思想,函数与方程思想,转化与化归思想三种数学思想的本质,能灵活运用这三种数学思想解决问题；2、 掌握这三种数学思想的常见应用方式和方法； 【温馨小提示】数学教学的最终目标,是要让学生会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力,数学核心素养高于具体的数学知识技能,具有综合性、整体性和持久性,反映数学本质与数学思想,数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想,加强个人数学素养的培养,就会在复习中高屋建瓴,对整体复习起到引领和导向作用. 【名校试题荟萃】 1、函数与方程思想一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化,把不等式转化为函数,借助函数的图象和性质可解决相关的问题,常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数,建立函数关系求解. 1.若0<x 1<x 2<1,则( ) A.21e e x x ->ln x 2－ln x 1 B.21e e xx-<ln x 2－ln x 1 C.1221e >e x xx x D.1221e <e x xx x 【答案】C 【解析】设f (x )＝e x－ln x (0<x <1), 则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0,得x e x－1＝0.根据函数y 1＝e x与y 2＝1x的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x 0∈(0,1),因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数,故A,B 选项不正确； 设g (x )＝e xx(0<x <1),则g ′(x )＝exx －1x 2. 又0<x <1,∴g ′(x )<0,∴函数g (x )在(0,1)上是减函数. 又0<x 1<x 2<1,∴g (x 1)>g (x 2),∴1221e >e x xx x ,故选C.2.已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x ),满足g ′(x )－g (x )<0,若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称,且g (4)＝1,则不等式g xex>1的解集为________.【答案】(－∞,0)3.已知f (t )＝log 2t ,t ∈[2,8],对于f (t )值域内的所有实数m ,不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立,则x 的取值范围是__________________. 【答案】(－∞,－1)∪(2,＋∞) 【解析】∵t ∈[2,8],∴f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. 问题转化为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立, 当x ＝2时,不等式不成立,∴x ≠2.令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2,m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3.问题转化为g (m )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上恒大于0, 则⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，g 3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －2＋x －22>0，3x －2＋x －22>0，解得x >2或x <－1.4.若x ∈[－2,1]时,不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立,则实数a 的取值范围是______. 【答案】[－6,－2]故f (x )在[－2,－1]上单调递减,在(－1,0)上单调递增, 此时有a ≤f (x )min ＝f (－1)＝1＋4－3－1＝－2. 当x ＝0时,不等式恒成立.当0<x ≤1时,a ≥x 2－4x －3x 3,则f (x )在(0,1]上单调递增,此时有a ≥f (x )max ＝f (1)＝1－4－31＝－6.综上,实数a 的取值范围是[－6,－2]. 二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数,可用函数的观点去处理数列问题,常涉及最值问题或参数范围问题,一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决. 5. 已知{a n }是等差数列,a 10＝10,其前10项和S 10＝70,则其公差d 等于( ) A.－23 B.－13 C.13 D.23【答案】D 【解析】设等差数列的首项为a 1,公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋10×92d ＝70，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10，2a 1＋9d ＝14，解得d ＝23.6.已知在数列{a n }中,前n 项和为S n ,且S n ＝n ＋23a n ,则a na n －1的最大值为( ) A.－3 B.－1 C.3 D.1 【答案】C7.在等差数列{a n }中,若a 1<0,S n 为其前n 项和,且S 7＝S 17,则S n 取最小值时n 的值为____. 【答案】 12 【解析】由已知得, 等差数列{a n }的公差d >0, 设S n ＝f (n ),则f (n )为二次函数,又由f (7)＝f (17)知,f (n )的图象开口向上,关于直线n ＝12对称, 故S n 取最小值时n 的值为12.8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4＝－2,S 6＝3,则nS n 的最小值为________. 【答案】 －9 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝－2，6a 1＋15d ＝3解得a 1＝－2,d ＝1,所以S n ＝n 2－5n2 ,故nS n ＝n 3－5n 22.令f (x )＝x 3－5x 22,则f ′(x )＝32x 2－5x ,令f ′(x )＝0,得x ＝0或x ＝103,∴ f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞上单调递增.又∵n 是正整数,故当n ＝3时,nS n 取得最小值－9. 三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题,可以通过转化为一元二次方程,利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值,用函数的思想分析解答.9.(2016·全国Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB |＝42,|DE |＝25,则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B【解析】不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0),圆的方程设为x 2＋y 2＝r 2(r >0),如图,又可设A (x 0,22),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5, 点A (x 0,22)在抛物线y 2＝2px 上,∴8＝2px 0,① 点A (x 0,22)在圆x 2＋y 2＝r 2上,∴x 20＋8＝r 2,②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上,∴5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p22＝r 2,③联立①②③,解得p ＝4(负值舍去),即C 的焦点到准线的距离为p ＝4,故选B.10.如图,已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的右顶点为A ,O 为坐标原点,以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于P ,Q 两点,若∠PAQ ＝60°,且OQ →＝3OP →,则双曲线C 的离心率为( )A.233 B.72 C.396D.3 【答案】B所以点A 到直线y ＝bax 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ·a －0⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋－12＝aba 2＋b 2,所以⎝⎛⎭⎪⎫ab a 2＋b 22＝(2R )2－R 2＝3R 2, 即a 2b 2＝3R 2(a 2＋b 2), 在△OQA 中,由余弦定理得,|OA |2＝|OQ |2＋|QA |2－2|OQ ||QA |cos 60°＝(3R )2＋(2R )2－2×3R ×2R ×12＝7R 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2b 2＝3R 2a 2＋b2，a 2＝7R 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝7R 2，b 2＝214R 2，所以双曲线C 的离心率为e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝1＋214R 27R 2＝72.11.设椭圆中心在坐标原点,A (2,0),B (0,1)是它的两个顶点,直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E ,F 两点.若ED →＝6DF →,则k 的值为________. 【答案】 23或38【解析】依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1,直线AB ,EF 的方程分别为x ＋2y ＝2,y ＝kx (k >0).如图,设D (x 0,kx 0),E (x 1,kx 1),F (x 2,kx 2),其中x 1<x 2,且x 1,x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4,故x 2＝－x 1＝21＋4k2.由ED →＝6DF →知,x 0－x 1＝6(x 2－x 0), 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2. 由点D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2,得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k 2,化简得24k 2－25k ＋6＝0,解得k ＝23或k ＝38.12.已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于不同的两点A ,B ,且以AB 为直径的圆过抛物线C 的焦点F ,则k ＝________.【答案】22或－22依题意知,x 1,x 2是①的不相等的两个实根,则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2－22－4k 4>0， ②x 1＋x 2＝22－k2k 2，x 1x 2＝1.由以AB 为直径的圆过F ,得AF ⊥BF , 即k AF ·k BF ＝－1, 所以y 1x 1－1·y 2x 2－1＝－1,即x 1x 2＋y 1y 2－(x 1＋x 2)＋1＝0, 所以x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)－(x 1＋x 2)＋1＝0, 所以(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0,③ 把x 1＋x 2＝22－k2k2,x 1x 2＝1代入③得2k 2－1＝0,解得k ＝±22, 经检验k ＝±22适合②式. 综上所述,k ＝±22. 2、数形结合思想一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数,将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时,要先对方程进行变形,尽量构造两个比较熟悉的函数. 1.(2018·咸阳模拟)函数f (x )＝2x－1x的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3 【答案】 B2.若关于x 的方程||x x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解,则k 的取值范围为________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ 【解析】x ＝0是方程的一个实数解；当x ≠0时,方程||x x ＋4＝kx 2可化为1k＝(x ＋4)|x |,x ≠－4,k ≠0,设f (x )＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0),y ＝1k,则两函数图象有三个非零交点.f (x )＝(x ＋4)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x >0，－x 2－4x ，x <0，x ≠－4的大致图象如图所示,由图可得0<1k <4, 解得k >14.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (－x －1)＝f (x －1),当x ∈[－1,0]时,f (x )＝－x 3,则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为________.【答案】－7 【解析】因为函数f (x )为偶函数,所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1),所以函数f (x )的周期为2.又当x ∈[－1,0]时,f (x )＝－x 3,由此在同一平面直角坐标系内作出函数y 1＝f (x )与y 2＝|cos πx |的图象如图所示.由图象知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个. 不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7,则由图得x 1＋x 2＝－4,x 3＋x 5＝－2,x 4＝－1,x 6＋x 7＝0,所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7. 4.(2018·石嘴山模拟)已知函数f (x )⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋1，x ≤1，ln x ，x >1，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时,实数a的取值范围是________.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1e二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型,分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018·全国Ⅰ )设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞,－1]B.(0,＋∞)C.(－1,0)D.(－∞,0)【答案】D 【解析】方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时,f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ,即－(x ＋1)＜－2x ,解得x ＜1.因此不等式的解集为(－∞,－1].②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ＞0时,不等式组无解.③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时,f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x,解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1,0).④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时,f (x ＋1)＝1,f (2x )＝1,不合题意.综上,不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞,0). 故选D.方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，∴函数f (x )的图象如图所示.由图可知,当x ＋1≤0且2x ≤0时,函数f (x )为减函数,故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x . 此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时,f (2x )＞1,f (x ＋1)＝1,满足f (x ＋1)＜f (2x ). 此时－1＜x ＜0.综上,不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞,－1]∪(－1,0)＝(－∞,0).故选D.6.设A ＝{(x ,y )|x 2＋(y －1)2＝1},B ＝{(x ,y )|x ＋y ＋m ≥0},则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________. 【答案】 [2－1,＋∞)【解析】 集合A 是圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合,集合B 是不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合,要使A ⊆B ,则应使圆被平面区域所包含(如图),即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的左下方),而当直线与圆相切时,有|m ＋1|2＝1,又m >0,所以m ＝2－1,故m 的取值范围是[2－1,＋∞).7.若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是________.【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 【解析】作出y 1＝|x －2a |和y 2＝12x ＋a －1的简图,如图所示.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤2－2a ，a －1<0，故a ≤12.8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2ax ，x ≥1，2ax －1，x <1，若存在两个不相等的实数x 1,x 2,使得f (x 1)＝f (x 2),则实数a 的取值范围为________. 【答案】 [0,＋∞)三、数形结合思想在解析几何中的应用在解析几何的解题过程中,通常要数形结合,挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式,构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围； 常见的几何结构的代数形式主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.9.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ,0),B (m ,0)(m >0).若圆C 上存在点P ,使得∠APB ＝90°,则m 的最大值为( )A.7B.6C.5D.4 【答案】B10.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,左、右焦点分别为F 1,F 2,以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切,则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 【答案】D【解析】如图所示,设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q ,连接OQ ,则OQ ⊥PF 2.又PF 1⊥PF 2,O 为F 1F 2的中点, 所以|PF 1|＝2|OQ |＝2a . 又|PF 2|－|PF 1|＝2a , 所以|PF 2|＝4a .在Rt △F 1PF 2中,由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2,得4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c 2,即e ＝c a＝ 5.11.已知抛物线的方程为x 2＝8y ,F 是其焦点,点A (－2,4),在此抛物线上求一点P ,使△APF 的周长最小,此时点P 的坐标为________. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 【解析】因为(－2)2<8×4,所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部,如图,设抛物线的准线为l ,12.已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点,PA ,PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线,A ,B 是切点,C 是圆心,则四边形PACB 面积的最小值为________. 【答案】 2 2 【解析】连接PC ,由题意知圆的圆心C (1,1),半径为1,从运动的观点看问题,当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时,Rt △PAC 的面积S △PAC ＝12|PA ||AC |＝12|PA |越来越大,从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时,S 四边形PACB变小,显然,当点P 到达一个最特殊的位置,即CP 垂直于直线l 时,S四边形PACB有唯一的最小值,此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3,从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝22,所以(S 四边形PACB )min ＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.【配套练习】1.(2018·咸阳模拟)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x ),且f (x )＋f ′(x )>1,设a ＝f (2)－1,b ＝e[f (3)－1],则a ,b 的大小关系为( ) A.a <b B.a >b C.a ＝bD.无法确定【答案】A2.(2018·宣城调研)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x ),且在[0,1]上是减函数,则有( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14 D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 【答案】C【解析】 因为f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x ),所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称,又T ＝4,作图,由图知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14.3.在三棱锥A －BCD 中,△ABC 为等边三角形,AB ＝23,∠BDC ＝90°,二面角A －BC －D 的大小为150°,则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为( ) A.7π B.12π C.16π D.28π 【答案】D【解析】满足题意的三棱锥A －BCD 如图所示,设三棱锥A －BCD 的外接球的球心为O ,半径为R ,△BCD ,△ABC 的外接圆的圆心分别为O 1,O 2,可知O ,O 1,O 2在同一平面内,由二面角A －BC －D 的大小为150°,得∠OO 1O 2＝150°－90°＝60°.依题意,可得△BCD ,△ABC 的外接圆的半径分别为r 1＝BC 2＝232＝3,r 2＝23×sin 60°×23＝2,所以⎩⎪⎨⎪⎧ R 2＝OO 21＋r 21，R 2＝OO 22＋r 22，sin ∠OO 1O 2＝OO2OO1，即⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝OO 21＋3，R 2＝OO 22＋4，OO 2＝32OO 1，解得R ＝7,所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为4πR 2＝28π.4.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的右焦点F 作直线y ＝－b ax 的垂线,垂足为A ,交双曲线左支于B 点,若FB →＝2FA →,则该双曲线的离心率为( )A. 3B.2C. 5D.7 【答案】C5.记实数x 1,x 2,…,x n 中最小数为min{x 1,x 2,…,x n },则定义在区间[0,＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1,x ＋3,13－x }的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】C【解析】在同一坐标系中作出三个函数y 1＝x 2＋1,y 2＝x ＋3,y 3＝13－x 的图象如图.由图可知,在实数集R 上,min{x 2＋1,x ＋3,13－x }为y 2＝x ＋3上A 点下方的射线,抛物线AB 之间的部分,线段BC 与直线y 3＝13－x 在点C 下方的部分的组合体.显然,在区间[0,＋∞)上,在C 点时,y ＝min{x 2＋1,x ＋3,13－x }取得最大值. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ＋3，y 3＝13－x ，得点C (5,8).所以f (x )max ＝8.6.已知函数f (x )＝|lg(x －1)|,若1＜a ＜b 且f (a )＝f (b ),则a ＋2b 的取值范围为( )A.(3＋22,＋∞)B.[3＋22,＋∞)C.(6,＋∞)D.[6,＋∞)【答案】C由对勾函数的性质知,当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，＋∞时,f (b )＝2(b －1)＋1b －1＋3单调递增, ∵b ＞2, ∴a ＋2b ＝bb －1＋2b ＞6.7.(2018·东莞模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥1，x 2－3x ＋2，x <1，若不等式f (x )≥mx 恒成立,则实数m 的取值范围为( )A.[－3－22,－3＋22]B.[－3＋22,0]C.[－3－22,0]D.(－∞,－3－22]∪[－3＋22,＋∞) 【答案】C8.(2018·德阳诊断)已知函数f (x )＝3x－13x ＋1＋x ＋sin x ,若存在x ∈[－2,1],使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立,则实数k 的取值范围是( ) A.(－1,＋∞) B.(3,＋∞) C.(0,＋∞) D.(－∞,－1)【答案】A 【解析】由题意知函数f (x )＝3x－13x ＋1＋x ＋sin x 的定义域为R ,f (－x )＝3－x－13－x ＋1＋(－x )＋sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x ＋1＋x ＋sin x ＝－f (x ),即函数f (x )为奇函数,且f ′(x )＝2ln 3·3x3x ＋12＋1＋cosx >0在R 上恒成立,即函数f (x )在R 上单调递增.若∃x 0∈[－2,1],使得f (x 20＋x 0)＋f (x 0－k )<0成立, 即f (x 20＋x 0)<－f (x 0－k ),所以f (x 20＋x 0)<f (k －x 0),即x 20＋x 0<k －x 0,则问题转化为∃x 0∈[－2,1],k >x 20＋2x 0,令g (x )＝x 2＋2x ,x ∈[－2,1]. 则k >g (x )min ＝g (－1)＝－1故实数k 的取值范围是(－1,＋∞). 9.已知正四棱锥的体积为323,则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.【答案】2 3【解析】如图所示,设正四棱锥的底面边长为a ,高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323,故a 2h ＝32,即a 2＝32h.则其侧棱长为l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋h 2＝16h＋h 2.10.若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点,则实数b 的取值范围是________. 【答案】(0,2)【解析】由f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点, 可得|2x－2|＝b 有两个不等的实根,从而可得函数y 1＝|2x－2|的图象与函数y 2＝b 的图象有两个交点,如图所示.结合函数的图象,可得0<b <2.11.已知椭圆C 1：x 29＋y 24＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0),若两条曲线没有公共点,则r 的取值范围是______________. 【答案】(0,1)∪⎝⎛⎭⎪⎫3305，＋∞因此,求使圆C 2与椭圆C 1有公共点的r 的集合,等价于在定义域为y ∈[－2,2]的情况下,求函数r 2＝f (y )＝－54y 2＋2y ＋10的值域. 由f (－2)＝1,f (2)＝9,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝545,可得f (y )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，545,即r ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3305, 它的补集就是圆C 2与椭圆C 1没有公共点的r 的集合,因此,两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3305，＋∞. 方法二 联立C 1和C 2的方程消去x ,得到关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0.①两条曲线没有公共点,等价于方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0要么没有实数根,要么有两个根y 1,y 2∉[－2,2].若没有实数根,则Δ＝4－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54×(10－r 2)<0,解得r >3305或r <－3305⎝ ⎛⎭⎪⎫由于r >0，则r <－3305舍去.若两个根y 1,y 2∉[－2,2],设φ(y )＝－54y 2＋2y ＋10－r 2,其图象的对称轴方程为y ＝45∈[－2,2].则⎩⎪⎨⎪⎧φ2＝9－r 2>0，φ－2＝1－r 2>0，又r >0,解得0<r <1.因此,两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0,1)∪⎝⎛⎭⎪⎫3305，＋∞. 12.若关于x 的不等式e x－x 22－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恰成立,则实数a 的取值集合为________.【答案】{2e}【解析】 关于x 的不等式e x－x 22－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恰成立⇔函数g (x )＝e x－x 22－1x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a －94，＋∞.故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增,则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12e －18－112＝2e －94,所以a －94＝2e －94,解得a ＝2e,所以a 的取值集合为{2e}.。