优选叠加法绘制弯矩图
区段叠加法作弯矩图
1、掌握叠加原理； 2、会用叠加法作弯矩图； 3、会用区段叠加法作弯矩图
重 点
1、叠加法绘制弯矩图 2、区段叠加法绘制弯矩图。
难 点
区段叠加法绘制弯矩图
叠加原理： 几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独作用效果之和 “效果”——指载荷引起的反力、内力、应力或变形 “之和”——代数和 叠加原理成立的前提条件：小变形条件
+
1 Fl 8
+
1 Fl 4
6kN 6kN
A
2kN m
B
2kN m
D
C
2m
2m
4
2m
2m
2m
2m
+
+
4
6
4
-
MA A
q
MB B
l A
q
B A
MA
MB B
l
l
+
MA 1/8qL2
+
MB 1/8qL2 MA
+
MB
区段叠加法——用叠加法作某一段梁弯矩图的方法 原理
任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁 的弯矩图
M x M1 x M 2 x
qx2 M x Fx 2
q
B
A F
X
l
叠加法——用叠加原理绘制弯矩图的方法
叠加时，易先画直线形的弯矩图，再叠加曲线形或折线形 的弯矩图 由于剪力图比较好画，重点介绍用叠加法画弯矩图
步骤：
1. 荷载分解 2. 作分解荷载的弯矩图
3. 叠加作荷载共同作用下 的弯矩图
注意：
弯矩图的叠加， 不是两个图形的简单叠加， 而是对应点处纵坐标的相加。
叠加法作弯矩图32
D
4
支座反力 RA=15KN
6KN q=2KN/m
8KN q=2KN/m
RB=11KN
C 2m
梁分CA、AD、DB、BF段。
各控制面弯矩分别为：
A 4m
RA
D
E
2m 2m
BF 2m
RB
MA=-12KN MD=8KN MB=-4KN
12 4
8
10
的拼凑。
ql2/8
任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁
的弯矩图。
支座反力（可不求） 梁分两段：AB段和BD段。
AB段： A端弯矩MAB=0， B端弯矩MBA=-4KN•m BD段： B端弯矩MBD=-4KN•m D端弯矩MDB=0
6kN 2kN m
AC
B
D
2m 2m 2m
4
B
2
A
1
步骤：1. 荷载分解(分解）
2. 作分解荷载的弯矩图（查表9-1）
3. 作荷载共同作用下的弯矩图（叠加）
注意：
弯矩图的叠加，不是两个图形的简单叠加，而是对应点处 纵坐标的相加。
叠加法作弯矩图举例
F
q
F
q
=
+
A
BA l
B l
A
B
l
1/2qL2+FL
1/2qL2
FL
F A
m 1 Fl
4A
F
C
B
B
l2 l2
1 Fl 4
-
+ 1 Fl 8
l2 l2
+
1 Fl 4
A C
m 1 Fl 4 C
l
1 Fl
按叠加原理作弯矩图
F
x
F, q 作用该截面上的弯矩等于F, q 单独作 用该截面上的弯矩的代数和
q
qx M ( x ) Fx 2
2
x
3
(Internal forces in beams)
F
q
2 ql 6
+
2l/3
2 ql 81
M F ( x ) Fx
+
x l
Fl
F
2
ห้องสมุดไป่ตู้
qx M q ( x) 2
2 ql 6
1
(Internal forces in beams)
三、步骤 (Procedure)
（1）分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图;
（2）将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑） 例16 悬臂梁受集中荷载 F 和均布荷载 q 共同作用, 试按叠加 原理作此梁的弯矩图. F=ql/3 q
x
F2 F1 F3
a
122
a
a
a
d
a
+
c
d
a
c
b
e
d
a
c
b
5 215
e
b
e 291
(Internal forces in beams)
F1
D a A
F2
C B
F3
E
d
a
c
b
e
291 a a c 131 215 291 a a
122
d
a
d
a
1 1 M C ( 291 ) 122 ( 215 ) 131kN m 2 2
FS (F1 ,F2 , ,Fn ) = FS (F1 ) + FS ( (F2 ) + + FS (Fn )
叠加法在绘制弯矩图中的应用
叠加法在绘制弯矩图中的应用作者：詹景元石煜威朱芳振来源：《建材发展导向》2015年第03期摘要：弯矩图是结构力学最为重要和基础的知识点，是后续变形和位移计算的关键内容。
但是现在的大部分教材对于弯矩图的绘制技巧和一些特殊情况的处理方法的介绍并不是很多，只是通过几道例题去将弯矩图的画法展现出来，让学生自己去理解，这便使得不少学生对于弯矩图的绘制感到无从下手。
文章通过对书本上例题的理解分析，总结出叠加法运用在绘制弯矩图中的一些简单的基本理念和分析方法。
关键词：弯矩图；叠加法；静定结构1 叠加法的介绍1.1 叠加法的前提条件材料力学讨论的杆件均满足几个基本假设，其中，小变形假设是指构件在承受荷载作用时，所产生的变形和构件的原始尺寸相比非常微小。
由于变形量微小，我们在研究杆件的支反力、内力、应力、变形等问题时都可以用构件的原始尺寸和形状进行计算，不必考虑构件受荷变形后尺寸变化给计算带来的影响。
同时，采用构件的原始尺寸进行计算所得的支反力、内力、应力、变形均与梁上的荷载保持线性关系。
1.2 叠加法的使用条件叠加法的理论依据就是叠加原理，它不仅可以用来梁的位移，也可用来计算梁的支反力、内力和应力；它不仅可用于梁，也可用于拉（压）杆和其他结构。
一般来说，当构件或结构上同时作用几个荷载时，如果各荷载产生的效果（应力、反力、内力和位移等）互不影响（或影响甚小可忽略不计），则它们所产生的总效果即等于各荷载单独作用时所产生的效果总和（或为代数和，或为矢量和，由所求的物理量的性质而定）。
在土木工程实践中，一般的梁工作时变形很小，由梁上荷载产生的剪力和弯矩与荷载呈线性关系，并且其跨长的改变可以略去不计。
因此当梁上同时受到几个载荷作用时，由每一个载荷所引起的梁的内力将不受其他载荷的影响，满足叠加原理的条件，即可用叠加法来计算梁的内力（包括剪力、弯矩等）。
1.3 叠加法的使用准备梁的内力采用叠加法来求解时，必须要对简单梁承受单个基本荷载时的内力分布比较熟悉，这样叠加计算才会比较简单便捷。
叠加法绘制弯矩图-PPT
AX l
B
F
叠加法——用叠加原理绘制弯矩图的方法
叠加时，易先画直线形的弯矩图，再叠加曲线形或折线形 的弯矩图
由于剪力图比较好画，重点介绍用叠加法画弯矩图
步骤： 注意：
1. 荷载分解 2. 作分解荷载的弯矩图
3. 叠加作荷载共同作用下 的弯矩图
弯矩图的叠加， 不是两个图形的简单叠加， 而是对应点处纵坐标的相加。
叠加法绘制弯矩图
重点
1、叠加法绘制弯矩图 2、区段叠加法绘制弯矩图。
难点
区段叠加法绘制弯矩图
叠加原理：
几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独作用效果之和
“效果”——指载荷引起的反力、内力、应力或变形
“之和”——代数和
叠加原理成立的前提条件：小变形条件
q
MxFxqx2
2
M x M 1 x M 2 x
kN
190 160
kNm
210 280
340
4
-
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
MA A
MA
q
MB
B
lபைடு நூலகம்
q
A
l
+
+
MB
1/8qL2
1/8qL2
MA BA
l
+
MA
MB B
MB
区段叠加法——用叠加法作某一段梁弯矩图的方法 原理
任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁 的弯矩图
梁分一段： A端截面弯矩：M=MA B端截面弯矩：M=MB
各控制面弯矩分别为：
MA=-12KN MD=8KN MB=-4KN
6KN q=2KN/m
叠加法绘制弯矩图
确定梁的剪力方程
绘制剪力图
确定剪力图的比例 尺
标注剪力图的坐标 轴和单位
确定梁的截面尺寸和材料属性 计算梁的支反力 根据支反力计算弯矩 根据弯矩计算截面的应力
绘制剪力图
将剪力图叠加到弯矩图上
添加标题
添加标题
绘制弯矩图
添加标题
添加标题
调整线条粗细和颜色以区分不同受 力情况
剪力正负规定：顺时针 为正，逆时针为负
弯矩正负规定：上侧受 压为正，下侧受拉为负
剪力正负规定：顺时针为正，逆时针为负 弯矩正负规定：使梁段发生下凹变形为正，反之为负
剪力和弯矩的叠加原则是绘制弯矩图的基础，必须严格遵守。 在叠加过程中，需要注意剪力和弯矩的方向和大小，确保正确地表示结构的受力情况。 在实际应用中，需要注意剪力和弯矩的叠加原则在不同情况下的适用性，避免出现错误。 掌握剪力和弯矩的叠加原则对于正确绘制弯矩图至关重要，需要认真学习和实践。
确定各段梁的跨度、截面尺寸和材料属性 计算各段梁的弯矩值 根据弯矩值绘制各段梁的弯矩图 将各段梁的弯矩图叠加在一起形成整体弯矩图
确定梁的支座反力 是叠加法绘制弯矩 图的第一步
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
支座反力的大小和 方向可以通过平衡 方程求解
支座反力在弯矩图 上表现为直线段的 起点和终点
确定支座反力是绘 制弯矩图的关键步 骤之一
叠加法适用于各 种类型的梁，包 括简支梁、连续 梁和悬臂梁等。
弯矩图是表示梁的截面弯矩沿轴线的变化规律的图形。 弯矩图是结构分析中常用的一种工具，通过弯矩图可以直观地了解结构的受力情况。 弯矩图可以用来分析结构的稳定性、刚度和承载能力等，为结构设计提供重要的参考依据。 弯矩图可以通过叠加法、剪力法等方法进行绘制，其中叠加法是最常用的一种方法。
工程力学叠加原理作剪力图和弯矩图
(a)
(1) 在小变形情况下求梁的约束力、剪力和弯矩时，我们都是按梁未变形时 的原始尺寸进行计算的，例如对于图a所示悬臂梁，其剪力方程和弯矩方程分别为
FSx F qx, 0 x l M x Fx qx2 , 0 x l
(2) 叠加原理 ： 当所求参数(约束力、内力、应力或位移)与梁上(或结构 上)荷载成线性关系时，由几种荷载共同作用所引起的某一参数之值，就等于每 种荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。
A
MA A
MB MA
B
注意:
是竖标相加,不是 图B形的简单拼合.
MB
MA
B
1 ql2 8
2
(a)
(b)
FSx F qx, 0 x l
M x Fx qx2 , 0 x l
(c)
2
这就是说，在小变形情况下，此梁横截面上的剪力和弯矩分别等于集中荷载 F和均布荷载q单独作用时(图b和图c)相应内力的代数和叠加。因此该梁的剪力图和 弯矩图也就可以利用叠加的方法作出。
MB 1 ql2 8
MB
跨中集中荷载的情况：
Pl/4
A Pl/4
P
B
C
A
l/2
l/2
Pl/4 B
Pl/8
P
0
A
B
P/2
0
Pl/4
P/4
P/2
Pl/4
Pl/4
Pl/8
A
B
M图
P/4
分段叠加法作弯矩图
分段叠加法作弯矩图
作弯矩图时，可采用叠加法，使绘制工作得到简化。
（1）叠加发作简支梁的弯矩图
应当注意，这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拼合。
图2－6d中的纵坐标M0，如图和M的纵坐标一样，也是垂直于杆轴AB，而不是垂直杆A’B’。
（2）结构中任意直杆段的弯矩图
结论：任意直杆段的弯矩图的特性和与其相应的（长度、承受荷载q和两端弯矩M A、M B均相同）简支梁的竖向力Y A、Y B（Y0A、Y0B）和弯矩图完全相同，因此，我们可以用前面所属的叠加法来绘制任意直杆段的弯矩图。
具体作法如下：先求出杆段两端截面的弯矩图M A、M B。
作直线的图，然后依此直线为基线，叠加相应简支梁在跨间荷载作用下的M0图（如d所示）
小结：梁弯矩图的一般作法
利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般作法归纳如下：
（1）选定外力的不连续点（如集中力、集中力偶的作用点，分布力的起点和终点等）为控制截面，求出任制裁面的弯矩值。
（2）分段画弯矩图。
当控制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直线图形。
当控制截面之间
有荷载时，用叠加法作该段的弯矩图。
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6KN q=2KN/m
C 2m
A 4m
RA
12
8KN q=2KN/m
D
E
2m 2m
BF 2m
RB
4
8
10
作图示梁的内力图
3kN 4.5kN m
2kN m
D
A
C
B
FA 10kN
1m 2m
2m
7
3
x 1.56 2
3
2
2.44 2
E FB 2kN 1m
kN
叠加法作弯矩图
F
q
F
q
A
BA
＋
B
A
B
l
l
l
1/2qL2+FL
1/2qL2
FL
F A
m 1 Fl
4A
F
C
B
B
l2 l2
1 Fl 4
-
+ 1 Fl 8
l2 l2
+
1 Fl 4
A C
m 1 Fl 4 C
l
1 Fl
-4
6kN
6kN 2kN m
AC
B
D
2m 2m 2m
4
+
-
6
+
4
2kN m
2m 2m 2m
40
kN
190 160
kNm
210 280
340
AX l
B
F
叠加法——用叠加原理绘制弯矩图的方法
叠加时，易先画直线形的弯矩图，再叠加曲线形或折线形 的弯矩图
由于剪力图比较好画，重点介绍用叠加法画弯矩图
步骤： 注意：
1. 荷载分解 2. 作分解荷载的弯矩图
3. 叠加作荷载共同作用下 的弯矩图
弯矩图的叠加， 不是两个图形的简单叠加， 而是对应点处纵坐标的相加。
1/8qL2
梁分两段：AB段和BD段。 AB段A端弯矩MAB=0， B端弯矩MBA=-4KN•m BD段B端弯矩MBD=-4KN•m D端弯矩MDB=0
6kN 2kN m
AC
B
D
2m 2m 2m
4 B 2
A
D
1
4
支座反力RA=15KN RB=11KN
梁分CA、AD、DB BF段。
各控制面弯矩分别为：
kNm
20kN
20kN
qP
2m2m2mq=50kN/m P=100kN
275kN
125kN
80kN m 160kN
C A
DE 130kN
1m 1m 2m
130
Fab 1601 2 107
L
3
30
ql2 40 16 80 KN m
8
8
130
40kN m
40kN
BF
310kN
4m
2m
120
优选叠加法绘制弯矩图
重点
1、叠加法绘制弯矩图 2、区段叠加法绘制弯矩图。
难点
区段叠加法绘制弯矩图
叠加原理：
几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独作用效果之和
“效果”——指载荷引起的反力、内力、应力或变形
“之和”——代数和
叠加原理成立的前提条件：小变形条件
q
M x Fx qx2
2
Mx M1x M2x
4
-
MA A
MA
q
MB
B
l
q
A
l
+
+
MB
1/8qL2
1/8qL2
MA BA
l
+
MA
MB B
MB
区段叠加法——用叠加法作某一段梁弯矩图的方法 原理
任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁 的弯矩图
梁分一段： A端截面弯矩：M=MA B端截面弯矩：M=MB
MA A
A
MA
q
MB
B
l
B
MB