结构力学课件第03章习题课

xA
3-6
二、分段叠加法作弯矩图
1、叠加原理 由各力分别产生的效果(内力、应力、变形、位移等)的 总和等于各力共同作用时所产生的效果。 应用条件：材料服从“虎克定律”，并且是小变形。 理论依据：“力的独立作用原理”。 梁的弯矩图的一般作法：
(1) 选定控制截面(集中力、集中力偶的作用点，分布荷 载的起止点)，并求出其弯矩值。
6m
6m
题3-5（a）
6.08
6.75
先 计 算 EF ， 求 出 E 点 的 反 力 ，
将其作为外荷载反向作用在CE上。
然后再计算CE，求出C点的反力，
将其作为外荷载反向作用在AC。
最后计算AC。
RF = 4.5kN ()
RD
= 10 4 9
kN
()
RB
=
15
5 72
kN
()
RA
=
8
71 72
② 求支座反力
先计算FG和HI，求出F、G、 H点的反力，将它们作为外荷载反 向作用在DF和GH上。然后再计算 DF和GH。
RD = 4.5kN ()
RE = 0.75kN ()
RB
=
25 32
kN
()
RC
=
67 kN 32
()
RI = 3.125kN ()
③ 作M 图和Q 图（如右图）
4 kN
静定多跨梁是由简支梁、悬臂梁、伸臂梁组合而成的。 1、两种基本形式简图(组成形式) (1)单悬臂式 (2)双悬臂式
3-8
静定多跨梁从构造上来讲，可分为基本部分和附属部 分。
基本部分：能独立维持其几何不变性的部分。
附属部分：依赖其它部分才能维持其几何不变性的部 分。2、计算原则
(1) 分析结构组成次序，作出层次图。
3-10
2、计算程序
(1) 先计算支座反力； (2) 在支反力和外荷载的作用下，分别求出各杆端的内 力(截面法)，作出各杆的内力图，合起来即得到整个刚架的 内力图；
(3) 最后校核。
3、内力图的作法
第一种作法：分别求出各控制截面的内力M、Q、N， 按绘图规则作出各内力图。
第二种作法：计算各控制截面的弯矩M，作M图；截取 杆件，考虑杆端弯矩M和杆件上的外荷载，利用杆件平衡 求出剪力Q，作Q图；截取结点，考虑杆端剪力Q和结点荷 载，利用结点平衡求出轴力N，作N图。
P
P
2
2
2
N图
3-28
支座反力： X左
=
4 3
qa(),
X右
=
2 3
qa(),Y左
=
2 3
qa(),Y右
=
2 3
qa()
a
q
2 qa2 3
2 qa2 3
1 qa2 2
2 qa2 3
2 qa2 3
a
a
a
（c）
2 qa 3
2 qa 3
2 qa 3
M图
2 qa
2 qa 3
2 qa 3
3
4 qa 3
N图
3-30
3-9 求图示门式刚架的弯矩图，并作a 刚架的Q 图和N 图。
Q=1.3kN/m 2.49m 6.6m
25.5 25.5
25.5 25.5
Q图
N图
3-29
支座反力：X左 = 2.81q(), X右 = 2.81q(),Y左 = 7.5q(),Y右 = 7.5q()
q
10m
12.5q 12.5q
3.1q
3.1q
9.3q
9.3q
2.5 6m 6m 2.5
（d）
5q 2.5q
2.5q 0.9q
5q 0.9q
Q图
M图
2.81q 7.96q 7.96q
a
（b）
qa2 qa 2
2
M图
a
a
（c）
Pa Pa
2Pa
M图
3-17
q
q
h
（d）
l
qh2 2
qh2 2
M图
q （e） h
l
qh2
2
qh2
M图
（f） h
l
ql 2 8
M图
q
a
a 1.5a a
（g）
qa2
qa2
2
2
M 图 3qa2
2
3-18
a
1
1
1
1
a
a
a
（h）
a
a 2a a
a
a
m
m
（i）
a
a
a
Pl 4
M图
3kN/ m
A 2m
B
2m C
D 2m
D1 A1
B1 8.0 10.7 10 6
M 图(kNm)先求支反力
3-14
（g） A 1m B
3kN / m
C
2m
2m
E D
1m
（h）
1kN
A 2m
3kN / m
B 2m
C 2m D
A1 B1 6
E1
10
6
D1
6 D1
A1
B1 2
30
12 6
M 图(kNm) 先求支反力
M 图(kNm)
3-2 判断内力图正确与否，将错误改正。
（a） q
M （b）
M图
M图
或
Q图
Q图
或
3-15
（c） M图 Q图
（e）
或 或
或
（d） M图 Q图
或 M图 Q图
M图 Q图 或 M图 Q图
3-16
3-3 速画M图。
a
P
（a）
Pa
Pa
Pa
M图
q
qa 2
P
P
(2) 先计算附属部分，将附属部分上的约束力作为外荷 载反向作用到基本部分上；
(3) 计算基本部分的各约束力； (4) 作出单跨梁(构造单元)的内力图，然后连在一起即 得静定多跨梁的内力图；
(5) 内力图的绘制规定同前。
3-9
3、力学特性 (1) 具有超静定结构、静定结构两者的优点，截面弯矩 小，抗弯刚度好；
3-4
(3) 隔离体上平衡力系的组成。 (4) 计算时，假设未知力的方向按规定的正方向画出。 (5) 结果分析。
3、荷载与内力之间的关系
(1) 微分关系
dN dx
=
-
qx
dQ dx
=
-
qy
dM = Q dx
d 2M dx2
=-
qy
不同的荷载作用区段的内力图的特点：
均布荷载作用下Q图为斜直线，M图为二次抛物线；无 荷载区段， Q图为水平线， M图为斜直线等。
8
2
解得
x1
=
24
2l
x2
=
2+ 4
2l
不合题意，舍去
xl x
题3-6 图
q
l
l
q(l - 2x) 2
x
3-23
3-7 作图示刚架的内力图。
q
qa
a
a
a/2
（a）
1 qa 2
5 qa
qa
8
13 qa 8
Q图
qa2
qa 2
8
qa 2
qa 2 8
M图
5 qa 8
N图
3-24
2kN / m
2kN / m
(2) 当控制截面间无荷载时，连接控制截面弯矩的纵坐 标顶点，即可作出直线弯矩图；当控制截面间有荷载作用时， 此直线为叠加基线，再叠加该段按简支梁求得的弯矩图。
3-7
注意：弯矩图的叠加，是指纵坐标(竖距)的叠加，而不 是指图形的简单拼合。
三、静定多跨梁
定义：由若干根梁用铰连接而成用来跨越几个相连跨 度的静定梁称为静定多跨梁。
解：中间一跨的跨中弯矩为
q
M中
=
q(l
- 2x)2 8
中间一跨的支座反力均为
l
q(l - 2x) 2
()
则对左边一跨有如右图所示的等效图。
右边支座处的弯矩为
M右
=
-[ q(l
- 2x) 2
x+
qx2 2
]
=
-
q(lx 2
x2 )
若 ，则有 M中 = M右
q(l - 2x)2 = - q(lx - x2 )
第三章
一、本章主要内容回顾 二、习题解答
3-1
本章要求：
1、能够灵活运用“隔离体”的平衡建立平衡方程； 2、掌握作梁的内力图的方法及其简便作法，尤其是要 熟练掌握利用分段叠加法作弯矩图； 3、逐步提高由梁到刚架作复杂内力图的能力； 4、从构造分析入手，学会将静定多跨梁拆成单跨梁， 将静定复杂刚架拆成简单单元的分析方法。
3-2
一、梁的内力回顾
1、截面的内力分量及其正负号规定 (1) 内力分量： 在平面杆件的任一截面上，一般有三个内力分量：轴 力N、剪力Q和弯矩M。 (2) 符号规定 N——离开截面以拉力为正； Q——使截面所在段顺时针转动(左上右下)为正； M——以使水平杆下部纤维受拉(左顺右逆)为正。
3-3
qa2 8
5 qa2 8
5 qa2 8
qa 2 2
M图
5 qa2 8 5 qa2 8
qa
qa
2
2
qa
N图
3-26
3-8 作图示三铰刚架的内力图。
支座反力： X左
=
25 12
kN(),
X右
=
25 12
kN(),Y左
=
2.5kN(),Y右
=
7.5kN()
2kN / m
6m
12.5 12.5
12.5
3kN / m
4.5m
3kN / m 3m
3kN / m 3m
（b）
6
6
9
6.75
6.75
9 Q 图（kN ）
9 9
9 9
1.13
1.13
12.38
M 图（kNm）
源自文库
6
6
6.75
N 图（kN ）
3-25
qq
q
q
a
qa
（c）
qa 2
qa 2
qa
2
qa
qa
qa 2
Q图
qa2 8 qa2 8
qa2 8
D
E 2 kN m
A
FG B
1m 2m 2m 1m1m1m1m 4m
1 kN / m
C
H
I
1m 4m 1m
题3-5（b）
11
15
8
1
2
9 2
9 4
7 4
1
M 图 (kN m)
15 8
7
1
32
Q 图 (kN)
7 4
1
17 8
3-22
3-6 选择铰的位置x，使中间一跨的跨中弯矩与支座弯矩绝 对值相等。
a 2a a
M图
mm
M图
mm
（j）
m
m
m
M图
3-19
（k） p a
a aa
pa pa
pa pa
M图
M = 3Pa a
P
（l ） a
a
a
3-4 检查M图的正误，并加以改正。
2Pa
Pa Pa Pa
M图
（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
（f）
（g）
（h）
（i）
3-20
3-5 求支座反力，并作梁的内力图。
(3)内力图作法规定 N、Q 图可画在杆件的任一侧，必须标明正负。 M图必须画在杆件的受拉侧，不标正负。
2、截面法 截面法：是指将指定截面切开，取左边部分(或右边部 分)为隔离体，利用隔离体的平衡条件，确定此截面的三个 内力分量。 需要注意的问题： (1) 隔离体的取法。隔离体与其周围的约束要全部切断， 而以相应的约束力代替。 (2) 隔离体上约束力的性质。
有尖角(尖 角方向与集 中力指向相 同)
有 极 值
有突变 (突
变值等于该 集中力偶 值)
等于该 力偶值
为 零
(2)增量关系
DN = -Px DQ = -Py DM = m
(3)积分关系
NB = N A -
xB xA
q
x
dx
QB = QA -
xB xA
q
y
dx
M B = M A +
xBQdx
3-5
不同荷载下弯矩图与剪力图的形状特征表
荷 无荷 均布荷 载 区段 载区段
集中力 作用点
集中力
铰处和自由端
偶作用点 有力偶 无力偶
剪水 力平 图线
斜 直 线
Q 为 零 处
有突变(突 变值等于该 集中力的 值)
如 变 号
无变化
无变化 无变化
弯 矩 图
斜 直 线
抛物线 (凸向 与q指向
相同)
有 极 值
3-11
4、内力图的符号规定及有关说明 (1) 在刚架中Q、N都必须标明正负号，但是弯矩M不规 定正负号，在弯矩图弯矩画在受拉侧。 (2) 结点处有不同的杆端截面。用杆件两端标号标明内 力。
(3) 正确的选取隔离体，在截面处正确的标出三个未知 内力，M的方向可任意画出，Q、N的方向规定同梁。
5、刚架的几种形式
（a）① 分析体系的几何组成 次序，确定基本部分和附属部分。
该体系的组成次序为先固定 AC ， 再 固 定 CE ， 最 后 固 定 EF 。 因此基本部分为AC，附属部分为 CE和EF。
② 求支座反力
20 kN
10kN 2kN / m
A
BC
D
E
F
3m 3m 1.5 2m 2.5m1.5 4.5m
6m
(2) 避开了超静定结构的缺点，不受温度变化、支座移 动(沉陷)的影响；
(3) 要保证较好的力学特性，关键是中间铰的设置。
四、静定刚架
1、刚架的特点 (1) 由直杆组成的结构(一般梁与柱刚结而成)； (2) 结点全部或部分为刚结点； (3) 刚结点承受和传递弯矩，结点处各杆无相对转动； (4) 弯矩是刚架的主要内力。
1.5
12.5
5m
5m
（a）
2.50
7.50
2.08
2.08
Q 图(kN)
M 图(kNm)
2.08
2.50
7.50
N 图(kN)
3-27
支座反力：X左
=
1 2
P(),
X右
=
1 2
P(),Y左
=
1 2
P(),Y右
=
1 2
P()
P
6m
6m
6m
（b）
3P 3P
3P 3P
M图
P
P
P
2
2
2
Q图
P
kN
()
③ 作M 图和Q 图（如右图）
26.96 8.99
8.11
5.06
M 图(kN m )
4.06
4.50
11.01
5.94
Q 图(kN)
4.50
3-21
（b）解：① 分析体系的几何 组成次序，确定基本部分和附属 部分。
该体系的组成次序为先固定
DF和GH，再固定FG和HI。因此 基本部分为DF和GH，附属部分为 FG和HI。
M图
ql 2
B8 B1
ql 2 8
3-13
（c） A
Pl
4
l
2
p
B
Pl
C
l
4
2
A1
Pl 4
（e）
2kN m
A 2m
Pl
Pl
2
4
M图
B1
Pl 4
3kN / m
C
B
D
2m
2m
6.0 B1 1.5 2.0
A1
26
D1
M 图(kNm)
（d）
Pl
4
Al
2
p
Cl
2
Pl
B4
B1
Pl 4
A1
Pl 4
（f ）
(1) 悬臂式刚架 (2) 简支式刚架 (3) 三铰刚架 (4) 组合式刚架
3-12
五、习题解答
3-1 用分段叠加法作下列梁的M图。
（a）
q
（b）
ql 2 8
A
l
2
C
l
B
ql 2
ql 2
8
8
2
A
l 2
q
C
l
2
A1
ql 2
8
ql 2
ql 2
4
8
M图
B1
ql 2 8
A1
ql 2 8
ql 2
极值点 8