角平分线 优秀课 公开课教案

1．4 角平分线 第1课时 角平分线

1．复习角平分线的相关知识，探究归

纳角平分线的性质和判定定理；(重点)

2．能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．(难点)

一、情境导入

问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路．

问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？

二、合作探究

探究点一：角平分线的性质定理

【类型一】 应用角平分线的性质定理证明线段相等

如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，

AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB

.

解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即

CD ＝DE .再根据Rt △CDF ≌Rt △EBD ，得CF

＝EB ；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行证明．

证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .在Rt △DCF

和Rt △DEB 中，∵?

????BD ＝DF ，

DC ＝DE ，∴Rt △CDF

≌Rt △EBD (HL)．∴CF ＝EB ；

(2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE .在△ADC 与△ADE

中，∵?

???

?CD ＝DE ，AD ＝AD ，

∴△ADC ≌△ADE (HL)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .

方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．

【类型二】 角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用

如图，AD 是△ABC 的角平分线，

DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝12×4×2＋1

2×AC ×2＝7，解

得AC ＝3.故选D.

方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．

【类型三】角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用

如图所示，D是△ABC外角

∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF

⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF

.

解析：由角平分线上的性质可得DE＝

DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△CDF

全等，根据全等三角形对应边相等证明即

可．

证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE

⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE

和Rt△CDF中，∵

??

?

??CD＝CD，

DE＝DF，

∴Rt△CDE

≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.

方法总结：全等三角形的判定离不开

边，而角平分线的性质是判定线段相等的主

要依据，可作为判定三角形全等的条件．

探究点二：角平分线的判定定理

【类型一】角平分线的判定

如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长

线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，

求证：AD是∠BAC的平分线．

解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全

等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可

知AD是∠BAC的平分线．

证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF

⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE

与△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt

△CDF中，∵

??

?

??BE＝CF，

BD＝CD，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝

DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC

的平分线．

方法总结：证明一条射线是角平分线的

方法有两种：一是利用三角形全等证明两角

相等；二是角的内部到角两边距离相等的点

在角平分线上．

【类型二】角平分线的性质和判定的

综合

如图所示，△ABC中，AB＝AC，

AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

垂足分别是E、F.下面给出四个结论，①AD

平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、

C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等

的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确

的结论有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，

DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得

△ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即

①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；

中垂线上的点到两端点的距离相等，故③正

确；∵④到AE、AF距离相等的点，在∠BAC

的角平分线AD上，到DE、DF的距离相等

的点在∠EDF的平分线DA上，两者同一条

直线上，所以到DE、DF的距离也相等正确，

故④正确；①②③④都正确．故选D.

方法总结：运用角平分线的性质或判定

时，可以省去证明三角形全等的过程，可以

直接得到线段或角相等．

【类型三】添加辅助线解决角平分线

的问题

如图，△ABC的∠ABC和∠ACB

的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC

的平分线．

解析：分别过点D作DE、DF、DG垂

直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明．

证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G.∵BD 平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．

方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．【类型四】线段垂直平分线与角平分线的综合运用

如图，在四边形ADBC中，AB与

CD互相垂直平分，垂足为点O

.

(1)找出图中相等的线段；

(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边

的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．

解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相

等的线段；(2)由条件可证明

△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根

据角平分线的性质可得OE＝OF.

解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC

＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；

(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和

△AOD中，∵

??

?

??

AC＝AD，

OC＝OD，

AO＝AO，

∴△AOC≌△

AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又

∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.

方法总结：本题是线段垂直平分线的性

质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适

用条件和表示方法是解题的关键．

三、板书设计

1．角平分线的性质定理

角平分线上的点到这个角的两边的距

离相等．

2．角平分线的判定定理

在一个角的内部，到角的两边距离相等

的点在这个角的平分线上．

本节课由于采用了动手操作

以及讨论交流等教学方法，

从而有效地增强了学生对角

以及角平分线的性质的感性

认识，提高了学生对新知识

的理解与感悟，因而本节课

的教学效果较好，学生对所

学的新知识掌握较好，达到

了教学的目的．不足之处是

少数学生在性质的运用上还

存在问题，需要在今后的教

学与作业中进一步的加强巩

固和训练.第2课时平行四

边形的判定定理3与两平行

线间的距离

1．复习并巩固平行四边形的判定定理

1、2；

2．学习并掌握平行四边形的判定定理

3，能够熟练运用平行四边形的判定定理解

决问题；(重点)

3．根据平行四边形的性质总结出求两

条平行线之间的距离的方法，能够综合平行四边形的性质和判定定理解决问题．(重点，难点)

一、情境导入

小明的父亲的手中有一些木条，他想通

过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形

框架，你能帮他想出一些办法来吗？你能想

出几种办法？

二、合作探究

探究点一：对角线互相平分的四边形是

平行四边形

【类型一】利用平行四边形的判定定

理(3)判定平行四边形

已知，如图，AB、CD相交于点O，

AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD

中点．

求证：(1)△AOC≌△BOD；

(2)四边形AFBE是平行四边形．

解析：(1)利用已知条件和全等三角形的

判定方法即可证明△AOC≌△BOD；

(2)此题已知AO＝BO，要证四边形

AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只

需证OE＝OF就可以了．

证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在

△AOC和△BOD中，∵

??

?

??

AO

＝OB，

∠AOC＝∠BOD，

∠C＝∠D，

∴△AOC≌△BOD(AAS)；

(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝

DO.

∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF

＝

1

2OD，OE＝

1

2OC，∴EO＝FO，又∵AO

＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．

方法总结：在应用判定定理判定平行四

边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细

选择适合于题目的判定方法进行解答，避免

混用判定方法．熟练掌握平行四边形的判定

定理是解决问题的关键．

【类型二】利用平行四边形的判定定

理(3)证明线段或角相等

如图，在平行四边形ABCD中，

AC交BD于点O，点E，F分别是OA，OC

的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和

数量关系，并说明你的结论．

解析：根据平行四边形的对角线互相平

分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意

义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判

定定理“对角线互相平分的四边形是平行

四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得

出BE＝DF，BE∥DF.

解：BE＝DF，BE∥DF.因为四边形

ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB

＝OD.因为E，F分别是OA，OC的中点，

所以OE＝OF，所以四边形BFDE是平行四

边形，所以BE＝DF，BE∥DF.

方法总结：平行四边形的性质也是证明

线段相等或平行的重要方法．

探究点二：平行线间的距离

如图，已知l1∥l2，点E，F在l1

上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO

的面积相等．

解析：结合平行线间的距离相等和三角

形的面积公式即可证明．

证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的

距离都相等，设为h.∴S△EGH＝

1

2GH·h，S△

FGH

＝

1

2GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－

S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴S△EGO＝S△FHO.

方法总结：解题的关键是明确三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分，同底等高的两个三角形的面积相等．探究点三：平行四边形判定和性质的综合

如图，在直角梯形ABCD中，AD

∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，

点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、

FG

.

(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；

(2)如果点G是BC的中点，且BC＝12，

DC＝10，求四边形AGCD的面积．

解析：(1)求出平行四边形AGCD，推出

CD＝AG，推出EG＝DF，EG∥DF，根据

平行四边形的判定推出即可；(2)由点G是

BC的中点，BC＝12，得到BG＝CG＝

1

2BC

＝6，根据四边形AGCD是平行四边形可知

AG＝DC＝10，根据勾股定理得AB＝8，求

出四边形AGCD的面积为6×8＝48.

解：(1)∵AG∥DC，AD∥BC，∴四边

形AGCD是平行四边形，∴AG＝DC.∵E、

F分别为AG、DC的中点，∴GE＝

1

2AG，

DF＝

1

2DC，即GE＝DF，GE∥DF，∴四边

形DEGF是平行四边形；

(2)∵点G是BC的中点，BC＝12，∴

BG＝CG＝

1

2BC＝6.∵四边形AGCD是平行

四边形，DC＝10，AG＝DC＝10，在Rt△

ABG中，根据勾股定理得AB＝8，∴四边形

AGCD的面积为6×8＝48.

方法总结：本题考查了平行四边形的判

定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，

掌握定理是解题的关键．

三、板书设计

1．平行四边形的判定定理3：对角线互

相平分的四边形是平行四边形；

2．平行线的距离；如果两条直线互相

平行，则其中一条直线上任意一点到另一条

直线的距离都相等，这个距离称为平行线之

间的距离．

3．平行四边形判定和性质的综合．

本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究

以及合作交流等方式来进行，在探究两条平

行线间的距离时，要让学生进行合作交

流．在解决有关平行四边形的问题时，要根

据其判定和性质综合考虑，培养学生的逻辑

思维能力.

六、词语点将（据意写词）。

1．看望；访问。（）

2．互相商量解决彼此间相关的问

题。（）

3．竭力保持庄重。（）

4．洗澡，洗浴，比喻受润泽。（）

5．弯弯曲曲地延伸的样子。（）

七、对号入座（选词填空）。

冷静寂静幽静恬静安

静

１．蒙娜丽莎脸上流露出（）的

微笑。

2．贝多芬在一条（）的小路上

散步。

3．同学们（）地坐在教室里。

4．四周一片（），听不到一点

声响。

5．越是在紧张时刻，越要保持头脑的（）。

八、句子工厂。

1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？（陈述句）

____________________________________ ____________________________________ ___

2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文化宝库中一颗璀璨的明珠。（缩写句子）

____________________________________ ____________________________________ ___

3．我在她面前只停留了短短的几分钟。她已经成了我灵魂的一部分。（用关联词连成一句话）

____________________________________ ____________________________________ ___ ____________________________________ ____________________________________ _____

4．她的光辉照耀着每一个有幸看到她的人。

“把”字句：

____________________________________ _____________________________

“被”字句：

____________________________________ _____________________________

九、要点梳理（课文回放）。

作者用细腻的笔触、传神的语言介绍了《蒙娜丽莎》画像，具体介绍了__________，__________，特别详细描写了蒙娜丽莎的__________和

__________，以及她__________、

__________和__________；最后用精炼而饱含激情的语言告诉大家，蒙娜丽莎给人带来了心灵的震撼，留下了永不磨灭的印象。

综合能力日日新

十、理解感悟。

（一）

蒙娜丽莎那微抿的双唇，微挑（）的嘴角，好像有话要跟你说。在那极富个性的嘴角和眼神里，悄然流露出恬静、淡雅的微笑。那微笑，有时让人觉得舒畅温柔，有时让人觉得略含哀伤，有时让人觉得十分亲切，有时又让人觉得有几分矜（）持。蒙娜丽莎那“神秘的微笑”是那样耐人寻味，难以捉摸。达·芬奇凭着他的天才想象为和他那神奇的画笔，使蒙娜丽莎转瞬即逝的面部表情，成了永恒的美的象征。