第15章答案

习 题 十 五15—1 如图所示，通过回路的磁场与线圈平面垂直且指出纸里，磁通量按如下规律变化 ()()Wb t t 3210176-⨯++=Φ式中t 的单位为s 。

问s t 0.2=时，回路中感应电动势的大小是多少? R 上的电流方向如何?[解] ()310712-⨯+-=-=t dt d Φε ()()V .231013107212--⨯-=⨯+⨯-=根据右手螺旋定则，R 上的电流从左向右。

15—2 如图所示，设在铁棒上套两个线圈A 和B ，当线圈A 所通电流变化时，铁芯中的磁通量也变化，磁力线的方向如图所示。

副线圈B 有400匝，当铁芯中的磁通量在0.10s 内增加Wb 2100.2-⨯时，求线圈B 中平均感应电动势的大小，并判定它的方向。

若线圈的总电阻为20Ω，求感应电流的大小。

[解] 201010022...dt d =⨯=-Φ ()V .dtd N 8020400-=⨯-=-=Φε 左边电势低，右边电势高。

()H R I 42080-=-==感感ε 负号表示与A 中电流的方向相反。

15—3 如图所示，两个半径分别为R 和r 的同轴圆形线圈，相距x ，且，R >>r ，x >>R 。

若大线圈有电流I 而小线圈沿x 轴方向以速度v 运动。

试求x =NR 时(N >0)，小线圈中产生的感应电动势的大小。

[解] ∵R>>r 可将通过小线圈的B 视为相等，等于在轴线上的B()2322202x R IR B +=μ由于x >>R ，有3202x IR B μ=∴()dtdx x IS R dt d 42032--=-=μΦε当 x =NR 时，242023R N v r I πμ=ε15—4 一种用小线圈测量磁场的方法如下：做一个小线圈，匝数为N ，截面面积为S ，将它的两端与一测量电量的冲击电流计相连，它和电流计线路的总电阻为R 。

先把它放在待测磁场处，并使线圈平面与磁场垂直，然后将它迅速移到磁场外面，这时电流计给出通过电量为q 。

试用N 、S 、R 、q 表示待测磁感应强度的大小。

[解] 由dt d NΦ-=ε ， 得dtd R N R I Φ-==ε ()()BS RN BS R N R N d R N Idt q =-=-=-==021ΦΦΦ 所以NSqR B = 15—5 某喷气式飞机，机翼长47m ，如果此飞机在地磁场竖直分量为0.60410-⨯T 处水平飞行，速度为960h km ，问两机翼端点之间的感应电动势为多少?[解] vBl d ba =⋅⨯=⎰l B v 感ε ()V ..752047106036001096043=⨯⨯⨯⨯=-15—6 如图所示，半径为R 的导体圆盘，它的轴线与外磁场平行，并以角速度ω转动(称为法拉第发电机)。

求盘边缘与中心之间的电势差，何处电势高?当R ＝0.15m ，B =0.60T ，s rad 30=ω时，U 等于多大?[解] 圆盘可看成无数由中心向外的导线构成的，每个导线切割磁力线运动且并联，因此有2021BR rBdr d R L ωω==⋅⨯=⎰⎰l B v 感ε 因电动势大于零，且积分方向由圆心至边缘，所以边缘处电位高(或由右手定则判断) 代入数据得()V (2015060302)12=⨯⨯⨯=ε15—7 一长直导线载有电流强度I =5.0A 的直流电，在近旁有一与它共面的矩形线圈，线圈长l ＝20cm ，宽a =10cm ，共1000匝，如图所示。

线圈以v ＝2.0s m 的速率沿垂直于长导线的方向向右平动，问当线圈与导线的距离d ＝10cm 时线圈中的感应电动势是多少?[解] 长直导线产生的磁感应强度为r I B πμ20= dr r Il N NBS d πμΦ20== 因此vt a vt ln Il N dr r Il N d a vt vt a vt vt +===⎰⎰++πμπμΦΦ2200 2020212vt a a vt vt Il N t r a a vt vt Il N dt d +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==πμπμΦ-ε 当vt =d 时，即vd t = ()d a d Ival N vd v a a d d Il N +=+=πμπμ220220ε ()()V (32)27102101010210102102051041000----⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=ππ15—8 如图所示。

导线OA 长为L ，以角速度ω绕轴O O '转动，磁场B 与O O '平行，导线OA 与磁场方向的夹角为θ。

求导线 OA 上的动生电动势OA ε，O 、A 两点哪点电势高?[解] 由动生电动势公式有⎰⋅⨯=AO OA d l B v ε ⎰=AO dl sin rB θω ⎰=AO dl sin B sin l θθω θω2221sin Bl = OA ε>0，故A 点电势高(或用右手定则判断)15—9 在通有电流I =5.0A 的长直导线近旁有一导线ab ，长l =20cm ，ab 垂直于长直导线，到长直导线的距离d =10cm ，如图所示，当ab 沿平行于长直导线的方向以速率v =10s m 平移时，导线ab 中的电动势为多大?a 、b 哪端电势高?[解] 长直导线产生的磁感应强度为rI B πμ20= dr vt rI d ⋅⋅=πμΦ20∴d l d ln Ivt dr vt r I d l d d +=⋅⋅==⎰⎰+πμπμΦΦ2200 因此d l d ln Iv dt d U ba +-=-==πμΦ20ε ()V .ln57101121030105104⨯-=⨯⨯⨯⨯-=-ππa U >b U15—10 一圆形均匀刚性线圈，其总电阻为R ，半径为r ，在均匀磁场B 中以角速ω绕其轴O O '转动，如图所示。

转轴垂直于B ，设自感可以忽略，当线圈平面转至与B 平行时，试求(1)c a ε与b a ε(b 为c a 的中点，c a 等于41圆周长)。

(2)a 、c 两点哪点电势高? a 、b 两点哪点电势高?[解] (1)⎰⋅⨯=c a c a d l B v ε⎰'=dl sin B r θω ⎰⎰==2022πθθωθθθωBd sin r rd sin B sin rB r d cos Br 22024221ωπθθωπ=-=⎰ B r d sin B r b a 28022418ωπθθωπ⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰ ε (2) a U =c U a U >b U15—11 在半径为10cm 的圆柱形空间充满磁感应强度为B 的均匀磁场，如周所示。

B 的量值以s T 3100.3-⨯的恒定速率增加。

有一长为20cm 的金属棒放在图示位置，一半在磁场内部，另一半在磁场外部，求感生电动势AB ε。

[解法一] (用法拉第电磁感应定律求解)连接OA 、OB 、OC 与圆交于D ，则回路AOBCA 中的感应电动势为dtdB S dt d d L -=-=⋅=⎰Φl E 感ε ()V .dt dB R sin R 5221012621321-⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππ而AB BA AB A B B O O A L d d d d d εεε-==⋅=⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰l E l E l E l E l E 因此有()V .AB 51012-⨯==εε 方向由A 到B[解法二] (直接积分法)⎰⎰⎰⋅+⋅=⋅=BC CA BA BA d d d l E l E l E 感感感εAC 段与223页例4相同 t B AC h AC ∂∂=2ε CB 段 ⎰⋅=BC CB d l E 感ε⎰⎰∂∂=∂∂=362222ππθθrd tB r R cos dl t B r R BC 6222362πθππt B R d t B R ∂∂=∂∂=⎰15—12 在电子感应加速器中，电子沿半径为0.40m 的轨道作圆周运动。

如果每转一周它的动能增加160eV ，求：(1)轨道内磁感应强度的平均变化率；(2)欲使电子获得16 MeV 的能量，电子需转多少周?共走多少路程?[解] (1)由εe qU E ==∆ 得到()V eeV e E160160===∆ε 2R dtdB dt dB S dt d πΦ⋅-=-=-=ε 即 222102340160⨯=⨯==..R dt dB ππε (2) ()转56101601016=⨯=n ()m ..R n L 551052402102⨯=⨯⨯=⋅=ππ15—13 一个矩形回路边长分别为 a 和b ，如图所示。

回路与一无限长直导线共面，且有一边与长直导线平行。

导线中通有电流t cos I i ω0=，当回路以速度v 垂直地离开导线时，求任意时刻回路中的感应电动势(t ＝0时，左边与长直导线重合)。

[解] 取微元dx()adl l x i d d +==πμΦ20S B ∴()x b x ln ai adl l x i b +=+=⎰πμπμΦ22000∴⎪⎭ ⎝-=-=x ln i dt dt π20ε ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=t cos x b x bv x b x ln t sin a I ωωωπμ200 15—14 一无限长直导线通以电流t sin I i ω0=，和直导线在同一平面内有一矩形线框，其短边与直导线平行，b =3c ，如图所示。

(1)直导线与线框的互感系数；(2)线框中的互感电动势。

[解] (1)在长直导线中通以电流I ，则通过矩形线框的磁通量满足MI =Φ。

在矩形线框内任取一面元dS ，宽为dx ，距导线x ，则x I B πμ20=∴adx xI BdS d πμΦ20== ∴3222000ln aI c b ln Ia adx x I d b c πμπμπμΦΦ====⎰⎰ 320ln a I M πμΦ== (2)互感电动势 dtdi ln a dt dI M 320πμ-=-=ε ()t sin I dtd ln a ωπμ0032-= t xos I ln a ωωπμ0032-=15—15 一直角三角形线框ABC 与无限长直导线共面，其 AB 边与直导线平行，位置和尺寸如图所示，求二者之间的互感系数。

[解] 设导线为1，三角形线框为2，取微元dx()()dx tg x a b x a I d d θπμΦ--+==20S B ()()⎰---+=a b dx tg x a b x a I 002θπμΦ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=⎰⎰--a b a b dx x a x a dx xa b tg I 0002θπμ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=b a a b ln b tg I θπμ20∴⎪⎭⎝-+==b a a ln b tg I M θπ20 15—16 有大小两个圆形线圈同心共面放置，小线圈由50匝表面绝缘的细导线绕成，圆面积S =4.02cm ，大线圈由100匝表面绝缘的导线绕成，大圆半径R =20cm 。