逻辑代数初步

二进制及其转换

目标导航：

1．理解二进制计数法，了解数位和基数的概念，会进行二进制数与十进制数间的换算．2．理解二进制数加法和乘法的运算规则，会进行简单的二进制数加法和乘法运算．

学习重点：

二进制的概念、二进制数与十进制数的相互换算．

学习难点：

二进制数与十进制数的相互换算

过程探究：

人们最常用、最熟悉的进位制是十进制. 十进制是用“0，1，2，3，4，5，6，7，8，9”十个数码符号（或叫数码）放到相应的位置来表示数，如3135．

数码符号在数中的位置叫做数位.计数制中,每个数位上可以使用的数码符号的个数叫做这个计数制的基数．十进制的每一个数位都可以使用十个数码符号（或叫数码），因此，十进制的基数为10．

每个数位所代表的数叫做位权数．十进制数的进位规则为“逢10进位1”．位权数如表11-1所示．

表11-1

十进制数的意义是各个数位的数码与其位权数乘积之和．例如

3210

=⨯+⨯+⨯+⨯．

3135310110310510

学时诊断：

将361200用各个数位的数码与其位权数乘积之和表示

在电路中，电子元件与电路都具有两种对立的状态．如电灯的“亮”与“不亮”，电路的“通”与“断”，信号的“有”和“无”．采用数码0和1表示相互对立的两种状态十分方便，因此，在数字电路中普遍采用二进制．

二进制的基数为2，每个数位只有两个不同的数码符号0和1．进位规则为“逢2进1”．各数位的位权数如表11-2所示．

表

11-2

例如，二进制数1100100

的意义是

654321012120202120202⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯．

将这些数字计算出来，就把二进制数换算成了十进制数．

654321012120202120202⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=100．

为区别不同进位制的数,通常用下标指明基数．如(100)2表示二进制中的数，(100)10表示十进制中的数．

由上面的计算知（1100100）2=（100）10． 【注意】

二进制数100与十进制数100表示的不是同一个数．

例1 将二进制数101换算为十进制数． 解 ()2102101120212=⨯+⨯+⨯140211=⨯+⨯+⨯()104015=++=

.

学时诊断：

将下列二进制数转换成十进制数：

（1）2)10010011( （2）2)11100110011(

将十进制数换算为二进制数，其实质是把十进制数化成2的各次幂之和的形式，并且各次幂的系数只能取0和1．通常采用“除2取余法”．

具体方法是：不断用2去除要换算的十进制数，余数为1，则相应数位的数码为1；余数为0，则相应数位的数码为0．一直除到商数为零为止．然后按照从高位到低位的顺序写出换算的结果．

例2 将十进制数（97）10换算为二进制数．

01232971224802240212026 → → 2 → 2 → 2 L L L L L L L L 解 余位 余位 余位 余位 4

560231212 → 2 → 1 → L L L L L L 余位 余位余位

所以（97）10=6

5

4

3

2

1

1012120202020212⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ （）=（1100001）2.

例3 将十进制数（84）10换算为二进制数．

01232840224202211210025 → → 2 → 2 → 2 L L L L L L L L 解 余位 余位 余位 余位 4

561220212 → 2 → 1 → L L L L L L 余位 余位余位

所以（84）10=（1010100）2. 学时诊断：

将下列十进制数转换成二进制数：

（1）10)45( （2）10)89( （3）10)123( 精炼：

课时作业

11．2命题逻辑与条件判断

目标导航：

1． 理解命题逻辑的基本概念，能判断一些简单命题的真假 2． 理解几个常用的联结词的意义，并能判断一些条件的真假 学习重点：

几个常用联结词的意义及条件判断 学习难点：

几个常用联结词的意义 过程探究：

在日常生活中，我们经常听到这样一些话，例如，“现在的房价比十年前高”“今天是晴天”等等具有判断性的话，你还能举一些例子吗？数学中的命题逻辑就是研究判断的，我们首先从命题入手

问题1：什么是命题？

读 数 方

向

读

数

方

向

能够判断真假的语句叫做命题。

正确的命题称为真命题，并记它的值为“真”。

错误的命题称为假命题，并记它的值为“假”。

问题2：

下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它是真命题还是假命题。

（1）2>5。

（2）x+y=1。

（3）如果一个三角形的两个内角相等，那么这个三角形是等腰三角形。

（4）你吃过午饭了吗？

（5）火星上有生物。

（6）禁止吸烟！

（7）平行四边形的两组对边平行且相等。

（8）今天天气真好啊！

（9）在同一平面内的两条直线，或者平行，或者垂直。

解决：

（1）（3）（5）（7）（9）是命题，其中（3）（7）是真命题，（1）（9）是假命题，（5）到目前为止还无法确定真假，但就命题本身而言是有真有假的，之所以无法真假，是因为人类的认识水平还不够，（2）（4）（6）（8）是假命题。

我们通常用小写字母p,q,r等来表示命题。?

p：2>5?

q:如果一个三角形的两个内角相等，那么这个三角形是等腰三角形。

学时诊断：

问题3：上述两个命题，它们的值分别是真是假？

解决：命题p是假命题，命题q是真命题。

注：将一些简单命题要联结词联结，就构成复合命题

“非”

——设p是一个命题，则p的非（又称为否定）是一个新的命题。记作?p

你能说出命题p与?p的真假值关系吗？

表11-3

例1：写出下列命题的非命题，并判断其真假

（1）p：2+3=6。

（2）q：雪是白的。

（3）r：不存在最大的整数。

（4）p：2>3

解：（1）

p

⌝

：6

3

2≠

+，它是一个假命题

（2）:q⌝

雪不是白的，它是一个假命题

（3）

p

⌝

：存在最大的整数，它是一个假命题

“且”