例举关于正方形的中考试题

合集下载

2020年中考数学必考高分考点：正方形(学生版)

专题22 正方形1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2．正方形的性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；（2）正方形的四个角都是直角,四条边都相等；（3）正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角；（4）正方形是轴对称图形,有4条对称轴；（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3．正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种：先证它是矩形,再证有一组邻边相等。

即有一组邻边相等的矩形是正方形先证它是菱形,再证有一个角是直角。

即有一个角是直角的菱形是正方形。

4．正方形的面积：设正方形边长为a,对角线长为b ,S正方形=222ba【例题1】（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A＝90°,BD＝4,CF＝6,则正方形ADOF的边长是（）A．√2B．2C．√3D．4专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题2】（2019•四川省凉山州）如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OC上一点,连接E B．过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．一、选择题1．（2019内蒙古包头）如图,在正方形ABCD中,AB＝1,点E,F分别在边BC和CD上,AE＝AF,∠EAF＝60°,则CF的长是（）A．B．C．﹣1D．2．（2019湖南张家界）如图,在平面直角坐标系中,将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019,那么点A2019的坐标是（）A．（,﹣）B．（1,0）C．（﹣,﹣）D．（0,﹣1）3.（2019•四川省广安市）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）专题典型训练题()A61()B31()C51()D414.（2019•贵州省铜仁市）如图,正方形ABCD中,AB＝6,E为AB的中点,将△ADE沿DE翻折得到△FDE,延长EF交BC于G,FH⊥BC,垂足为H,连接BF、DG．以下结论：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5\5．（2019黑龙江省绥化）如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线AC上的两个动点,P是正方形四边上的任意一点,且AB＝4,EF＝2,设AE＝x．当△PEF是等腰三角形时,下列关于P点个数的说法中,一定正确的是（）①当x＝0（即E、A两点重合）时,P点有6个②当0＜x＜42﹣2时,P点最多有9个③当P点有8个时,x＝22﹣2④当△PEF是等边三角形时,P点有4个A．①③B．①④C．②④D．②③二、填空题6．（2019湖南邵阳）公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”．如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是.127．（2019湖南张家界）如图：正方形ABCD的边长为1,点E,F分别为BC,CD边的中点,连接AE,BF交于点P,连接PD,则tan∠APD＝．8.（2019•湖北省随州市）如图,已知正方形ABCD的边长为a,E为CD边上一点（不与端点重合）,将△ADE 沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF．给出下列判断：①∠EAG=45°；②若DE=a,则AG∥CF；③若E为CD的中点,则△GFC的面积为a2；④若CF=FG,则DE=（-1）a；⑤BG•DE+AF•GE=a2．其中正确的是______．（写出所有正确判断的序号）9．（2019福建）如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）10.（2019•四川省凉山州）如图,正方形ABCD中,AB＝12,AE＝AB,点P在BC上运动（不与B、C重合）,过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为．11. （2019•广东广州）如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动（不与点A,B重合）,∠DAM＝45°,点F在射线AM上,且AF＝BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）12.（2019·广西贺州）如图,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,AF平分∠BAE交BC于点F,将△ADE 绕点A顺时针旋转90°得△ABG,则CF的长为．13．（2019•山东青岛）如图,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF．若AD＝4cm,则CF的长为cm．14.（2019江苏镇江）将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图）,使得点D 落在对角线CF 上,EF 与AD 相交于点H ,则HD＝．（结果保留根号）15．（2019辽宁抚顺）如图,在2×6的网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,网格中小正方形的顶点叫格点,点A ,B ,C 在格点上,连接AB ,BC ,则tan ∠ABC ＝．三、解答题16．（2019湖南湘西州）如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边CD ,AD 上,且AF ＝CE ．（1）求证：△ABF ≌△CBE ；（2）若AB ＝4,AF ＝1,求四边形BEDF 的面积．17. (2019海南)如图,在边长为1的正方形ABCD 中,E 是边CD 的中点,点P 是边AD 上一点(与点A,D 不重合),射线PE 与BC 的延长线交于点Q.第10题图HGFEDCBA(1)求证:△PDE≌△QCE;(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB＝PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.18．（2019湖南株洲）如图所示,已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点,连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD,正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG相交于点M,AM＝12,求正方形OEFG的边长．19.（2019•湖北省仙桃市）如图,E,F分别是正方形ABCD的边CB,DC延长线上的点,且BE＝CF,过点E作EG ∥BF,交正方形外角的平分线CG于点G,连接GF．求证：（1）AE⊥BF；（2）四边形BEGF是平行四边形．20．（2019•山东泰安）如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF＝90°,FG ⊥AD,垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗？若垂直,给出证明；若不垂直,说明理由．21．（2019湖北襄阳）（1）证明推断：如图（1）,在正方形ABCD中,点E,Q分别在边BC,AB上,DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边CD,AB上,GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为；（2）类比探究：如图（2）,在矩形ABCD中,＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠,使点A落在BC 边上的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系,并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下,连接CP,当k＝时,若tan∠CGP＝,GF＝2,求CP的长．。

初三正方形典型题

正方形的典型题目
题目：在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF = (1/4)CD。

求证：∠EAF = 45°。

证明：
第一步，由题目信息，可知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA，且∠B=∠C=∠D=90°。

第二步，连接AC，取AC的中点为O，连接EO和FO。

第三步，根据正方形的性质，可知AC⊥BD，且AC、BD互相平分。

所以，EO为三角形ABC 的中位线，FO为三角形ADC的中位线。

第四步，由三角形中位线的性质，有EO=1/2AB，FO=1/2AD。

而AB=AD，所以EO=FO。

第五步，因为EO=FO，且O为AC的中点，所以∠EOF=90°。

又因为∠BAC=45°，所以∠EAF=∠EOF-∠BAC=45°。

综上，∠EAF = 45°。

这道题考察了正方形的性质、三角形中位线的性质以及角度的计算等知识点。

在解题过程中，我们巧妙地利用了正方形和三角形的性质来找到解题的突破口。

中考数学试题分类汇编：正方形(含解析)

考点：正方形一．选择题（共4小题）1．（2018•无锡）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）A．等于B．等于C．等于D．随点E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∴△AEH∽△ACD，∴==．设EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，∴tan∠AFE=tan∠FAG===．故选：A．2．（2018•宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG ⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）A．1 B．C．D．【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，∴S阴=S正方形ABCD=，故选：B．3．（2018•湘西州）下列说法中，正确个数有（）①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直的四边形为菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案．【解答】解：①对顶角相等，故①正确；②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，故选：B．4．（2018•张家界）下列说法中，正确的是（）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B．对角线相等的平行四边形是正方形C．相等的角是对顶角D．角平分线上的点到角两边的距离相等【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可．【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意；故选：D．二．填空题（共7小题）5．（2018•武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是30°或150°．【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．【解答】解：如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，∴∠AEB=∠CED=15°，则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°．如图2，∵△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∴DE=DC，∴∠CED=∠ECD，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∴∠CED=∠ECD=（180°﹣30°）=75°，∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°．故答案为：30°或150°．6．（2018•呼和浩特）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为①②③．【分析】先判定△MEH≌△DAH（SAS），即可得到△DHM是等腰直角三角形，进而得出DM=HM；依据当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，即可得到Rt△ADM中，DM=2AM，即可得到DM=2BE；依据点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，可得∠AHM＜∠BAC=45°，即可得出∠CHM＞135°．【解答】解：由题可得，AM=BE，∴AB=EM=AD，∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM=AH，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH，∴EH=AH，∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE=∠DHA，MH=DH，∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM=HM，故②正确；当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，∴∠ADM=45°﹣15°=30°，∴Rt△ADM中，DM=2AM，即DM=2BE，故①正确；∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC=45°，∴∠CHM＞135°，故③正确；故答案为：①②③．7．（2018•青岛）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，从而知GH=BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，在△ABE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE=∠DAF，∵∠ABE+∠BEA=90°，∴∠DAF+∠BEA=90°，∴∠AGE=∠BGF=90°，∵点H为BF的中点，∴GH=BF，∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3，∴BF==，∴GH=BF=，故答案为：．8．（2018•咸宁）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为（﹣1，5）．【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标．【解答】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线EG，垂足为G，连接GE、FO交于点O′．∵四边形OEFG是正方形，∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，在△OGM与△EOH中，∴△OGM≌△EOH（ASA）∴GM=OH=2，OM=EH=3，∴G（﹣3，2）．∴O′（﹣，）．∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为（﹣1，5）．故答案是：（﹣1，5）．9．（2018•江西）在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为2或2或﹣．【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6，∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC===6，∴OA=OB=OC=OD=3，有三种情况：①点P在AD上时，∵AD=6，PD=2AP，∴AP=2；②点P在AC上时，设AP=x，则DP=2x，在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2，（2x）2=（3）2+（3﹣x）2，解得：x=﹣（负数舍去），即AP=﹣；③点P在AB上时，设AP=y，则DP=2y，在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2，y2+62=（2y）2，解得：y=2（负数舍去），即AP=2；故答案为：2或2或﹣．10．（2018•潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为（﹣1，）．【分析】连接AM，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°，由DM=ADtan∠DAM可得答案．【解答】解：如图，连接AM，∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，∴∠B′AD=60°，在Rt△ADM和Rt△AB′M中，∵，∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，∴DM=ADtan∠DAM=1×=，∴点M的坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．11．（2018•台州）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为+3 ．【分析】根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为×9=6，∴空白部分的面积为9﹣6=3，由CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3=，设BG=a，CG=b，则ab=，又∵a2+b2=32，∴a2+2ab+b2=9+6=15，即（a+b）2=15，∴a+b=，即BG+CG=，∴△BCG的周长=+3，故答案为： +3．三．解答题（共6小题）12．（2018•盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；【解答】证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABE=∠ADF，在△ABE与△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）连接AC，四边形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF，∵OA=OC，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．13．（2018•吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．【分析】根据正方形的性质，利用SAS即可证明；【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF．14．（2018•白银）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，∴∠CFH=∠CBG，∵BF=CF，∴△BGF≌△FHC，（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EF⊥GH且EF=GH，∵在△BEC中，点，H分别是BE，CE的中点，∴GH=，且GH∥BC，∴EF⊥BC，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB=EF=GH=a，∴矩形ABCD的面积=．15．（2018•潍坊）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF ⊥AM于点F，连接BE．（1）求证：AE=BF；（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．【分析】（1）通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到•x•x+•x•2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，则EF=x﹣2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BA=AD，∠BAD=90°，∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，∴∠ABF=∠EAD，在△ABF和△DEA中，∴△ABF≌△DEA（AAS），∴BF=AE；（2）解：设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，∵四边形ABED的面积为24，∴•x•x+•x•2=24，解得x1=6，x2=﹣8（舍去），∴EF=x﹣2=4，在Rt△BEF中，BE==2，∴sin∠EBF===．16．（2018•湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数．【分析】（1）利用正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可得出结论；（2）利用（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠ADF+∠DAO=90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，在△DAF和△ABE中，，∴△DAF≌△ABE（SAS），（2）由（1）知，△DAF≌△ABE，∴∠ADF=∠BAE，∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．17．（2018•遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．【分析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2，由直角三角形性质知MN=OM．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM=ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH=HA=2，∵E为OM的中点，∴HM=4，则OM==2，∴MN=OM=2．。

中考数学总复习《正方形》专项测试卷带答案

中考数学总复习《正方形》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【A层·基础过关】1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.对边相等B.对角线相等C.对角相等D.对角线互相平分2.如图,正方形ABCD中,点F为AB上一点,CF与BD交于点E,连接AE,若∠BCF=20°,则∠AEF的度数为( )A.35°B.40°C.45°D.50°3.(2024·邯郸模拟)如图,在正方形木框ABCD中,AB=10 cm,将其变形,使∠A=60°,则点D,B间的距离为( )A.10√2cmB.10√3cmC.10 cmD.20 cm4.如图,点E是正方形对角线AC上一点,过E作EF∥AD交CD于点F,连接BE,若BE=7,DF=6,则AC的长为( )A.9√2B.6√2+√22C.6√2+2√6D.6√2+√265.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠BED的度数是.6.小红在一张菱形纸片中剪掉一个正方形,做成班刊刊头(如图所示).若菱形ABCD的面积为120 cm2,正方形AECF的面积为50 cm2,则这张菱形纸片的边长为cm.7.如图,四边形ABCD为正方形,点E是BC的中点,将正方形ABCD沿AE折叠,得到点B的对应点为点F,延长EF交线段DC于点P,若AB=6,则DP的长度为.8.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AD,BC边上,且BE∥DF.求证:△ABE≌△CDF.【B层·能力提升】9.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具,某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图),由5个等腰直角三角形,1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为.10.(1)如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别是边BC,CD上的点,BE=CF,AF,DE 交于点G,求证:AF⊥DE且AF=DE;(2)如图②,点E,F分别在边CB,DC的延长线上,且BE=CF,(1)中结论是否也成立?如果成立,请写出证明;如果不成立,请写出理由;【C层·素养挑战】11.如图,在边长为3的正方形ABCD的外侧,作等腰三角形ADE,EA=ED=5.2(1)△ADE的面积为;(2)若F为BE的中点,连接AF并延长,与CD相交于点G,则AG的长为√13.12.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,AB上的点,连接CE,EF,CF.(1)若正方形ABCD的边长为2,E是AD的中点.①如图1,当∠FEC=90°时,求证:△AEF∽△DCE;时,求AF的长;②如图2,当tan∠FCE=23时,求证:AE=AF.(2)如图3,延长CF,DA交于点G,当GE=DE,sin ∠FCE=13参考答案【A层·基础过关】1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是(B)A.对边相等B.对角线相等C.对角相等D.对角线互相平分2.如图,正方形ABCD中,点F为AB上一点,CF与BD交于点E,连接AE,若∠BCF=20°,则∠AEF的度数为(D)A.35°B.40°C.45°D.50°3.(2024·邯郸模拟)如图,在正方形木框ABCD中,AB=10 cm,将其变形,使∠A=60°,则点D,B间的距离为(C)A.10√2cmB.10√3cmC.10 cmD.20 cm4.如图,点E是正方形对角线AC上一点,过E作EF∥AD交CD于点F,连接BE,若BE=7,DF=6,则AC的长为(D)A.9√2B.6√2+√22C.6√2+2√6D.6√2+√265.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠BED的度数是45°.6.小红在一张菱形纸片中剪掉一个正方形,做成班刊刊头(如图所示).若菱形ABCD的面积为120 cm2,正方形AECF的面积为50 cm2,则这张菱形纸片的边长为13cm.7.如图,四边形ABCD为正方形,点E是BC的中点,将正方形ABCD沿AE折叠,得到点B的对应点为点F,延长EF交线段DC于点P,若AB=6,则DP的长度为2.8.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AD,BC边上,且BE∥DF.求证:△ABE≌△CDF.【证明】∵四边形ABCD是正方形∴AB=CD,AD∥BC∵BE∥DF∴四边形BEDF是平行四边形∴BE=DF在Rt△ABE和Rt△CDF中{AB=CDBE=DF∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL).【B层·能力提升】9.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具,某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图),由5个等腰直角三角形,1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为2dm2.10.(1)如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别是边BC,CD上的点,BE=CF,AF,DE 交于点G,求证:AF⊥DE且AF=DE;【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形∴AD=DC=BC,∠ADC=∠DCB=90°.∵BC=DC,BE=CF,∴CE=DF∴△ADF≌△DCE(SAS).∴AF=DE,∠FAD=∠EDC∵∠ADC=90°∴∠ADG+∠EDC=90°∴∠ADG+∠FAD=90°∴∠AGD=90°,即AF⊥DE.(2)如图②,点E,F分别在边CB,DC的延长线上,且BE=CF,(1)中结论是否也成立?如果成立,请写出证明;如果不成立,请写出理由;【解析】(2)(1)中结论仍然成立,证明如下:∵四边形ABCD是正方形∴AD=DC=BC,∠ADC=∠DCB=90°.∵BC=DC,BE=CF∴CE=DF∴△ADF≌△DCE(SAS).∴AF=DE,∠FAD=∠EDC.∵∠ADC=90°,∴∠ADG+∠EDC=90°∴∠ADG+∠FAD=90°.∴∠AGD=90°,即AF⊥DE.【C层·素养挑战】.11.如图,在边长为3的正方形ABCD的外侧,作等腰三角形ADE,EA=ED=52(1)△ADE的面积为3;(2)若F为BE的中点,连接AF并延长,与CD相交于点G,则AG的长为√13.12.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,AB上的点,连接CE,EF,CF.(1)若正方形ABCD的边长为2,E是AD的中点.①如图1,当∠FEC=90°时,求证:△AEF∽△DCE;②如图2,当tan∠FCE=23时,求AF的长;【解析】(1)①∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠D=90°∵∠CEF=90°∴∠AEF+∠CED=90°,∠ECD+∠CED=90°∴∠AEF=∠ECD,∴△AEF∽△DCE;②如图2中,延长DA交CF的延长线于点G,过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H.∵∠H=∠D=90°,∠GEH=∠CED∴△GEH∽△CED∴GHCD =EH DE∵CD=2,AE=ED=1,∴GH=2HE设EH=m,GH=2m.∵CE=√DE2+CD2=√12+22=√5∴CH =m +√5 ∵tan ∠ECF =GH CH =23,∴m+√5=23∴m =√52,∴EH =√52,GH =√5∴EG =√GH 2+EH 2=√(√5)2+(√52)2=52∴AG =EG -AE =52-1=32DG =EG +DE =52+1=72∵AF ∥CD ,∴AF CD =AGGD∴AF 2=3272,∴AF =67; (2)如图3,延长CF ,DA 交于点G ,当GE =DE ,sin ∠FCE =13时,求证:AE =AF .【解析】(2)如图3中,过点G 作GH ⊥CE 交CE 的延长线于点H.设AD =CD =a ,GE =DE =t ,EH =x ,GH =y ,CE =n ∵∠H =∠D =90°,∠GEH =∠CED ∴△GEH ∽△CED ,∴GH CD =EH ED =EG EC∴y a =x t =tn,∴x =t 2n,y =atn在Rt △CGH 中,sin ∠ECF =13=GH CG∴CG =3GH ,CH =2√2GH ∴y x+n =2√2,∴2√2y =x +n ,∴2√2×at n=t 2n+n ,∴2√2at =t 2+n 2在Rt △CDE 中,n 2=t 2+a 2第 11 页共 11 页 ∴2√2at =2t 2+a 2,∴a =√2t ∵AF ∥CD ,∴AF CD =AG DG ,∴AF a =2t -a 2t ∴AF =a (2t -a )2t =a -a 22t =a -t ∵AE =a -t ,∴AE =AF .。

杭州数学正方形中考题(2013-2021)

杭州正方形中考题（2013-2021）1、（2013）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，对称中心为点P ，点F 为BC 边上一个动点，点E 在AB 边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC 成轴对称，设它们的面积和为S 1。

（1）求证：∠APE=∠CFP ；（2）设四边形CMPF 的面积为S 2，CF=，。

①求关于的函数解析式和自变量的取值范围，并求出的最大值； ②当图中两块阴影部分图形关于点P 成中心对称时，求的值。

2、(2016)如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DE 上，点A ,D ,G 在同一直线上，且AD =3，DE =1，连接AC ，CG ,AE ，并延长AE 交CG 于点H .(1) 求sin EAC ∠的值.(2)求线段AH 的长.x 21S S y =y x x y y H G F E D C BA3、（2017）如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG 。

（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长。

4、（2018）如图，在正方形ABCD 中，点G 在边BC 上（不与点B 、C 重合），连接AG ，作DE ⊥AG,于点E ，BF ⊥AG 于点F ，设k BC BG = （1）求证：AE=BF（2）连接BE ，设βα=∠=∠EBF EDF ,，求证：βαtan tan k =（3）设线段AG 与对角线BD 交于点H ， AHD ∆和四边形CDHG 的面积分别为 21S S 和，求12S S 的最大值.5、（2019）如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形CEFG 的面积为S 1，点E 在DC 边上，点G 在BC 的延长线上，设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为S 2，且S 1=S 2(1)求线段CE 的长(2)若点H 为BC 边的中点，连接HD ，求证:HD =HG6、（2020）如图，在正方形ABCD 中.点E 在BC 边上，连接AE ，∠DAE 的平分线AC 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F.设λ=EBCE （λ＞0）. （1）若AB ＝2，λ＝1，求线段CF 的长.（2）连接EG ，若EG ⊥AF ，①求证：点G 为CD 边的中点.②求λ的值。

中考数学压轴题练习正方形问题含解析含答案

正方形问题1 如图，在边长为6的正方形ABCD的两侧作正方形BEFG和正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，连接MF交线段AD于点P，连接NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y．（1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）当△NPF的面积为32时，求x的值；（3）以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切？如果能，请求出x的值，如果不能，请说明理由．解析：（1）∵正方形BEFG、正方形DMNK、正方形ABCD∴∠E＝∠F＝90O，AE∥MC，MC∥NK∴AE∥NK，∴∠KNA＝∠EAF∴△KNA∽△EAF，∴NKEA＝KAEF，即yx＋6＝y－6x∴y＝x＋6（0＜x≤6）（2）由（1）知NK＝AE，∴AN＝AF∵正方形DMNK，∴AP∥NM，∴FPPM＝AFAN＝1∴FP＝PM，∴S△MNP ＝S△NPF ＝32∴S正方形DMNK ＝2S△MNP ＝64∴y＝8，∴x＝2（3）连接PG，延长FG交AD于点H，则GH⊥AD易知：AP＝y2，AH＝x，PH＝y2－x，HG＝6；PG＝AP＋GF＝y2＋x①当两圆外切时在Rt△GHP中，PH2＋HG2＝PG2，即(y2－x)2＋62＝(y2＋x)2解得：x＝－3－33（舍去）或x＝－3＋3 3 ②当两圆内切时在Rt△GHP中，PH2＋HG2＝PG2，即(y2－x)2＋62＝(y2－x)2方程无解所以，当x＝33－3时，两圆相切N KGCEDFA BPM2 已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，∠EAF ＝45°，连接EF．（1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（2）设BE＝x，DF＝y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动．试判断以E为圆心，以BE 为半径的⊙E和以F为圆心，以FD为半径的⊙F之间的位置关系；（4）如图2，当点E在BC的延长线上时，设AE与CD交于点G．问：△EGF与△EFA能否相似？若能相似，求出BE的长，若不可能相似，请说明理由．解析：（1）猜想：EF＝BE＋DF证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABF′，易知点F′、B、E在同一直线上（如.图1）∵AF′＝AF∠F′AE＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°－45°＝45°＝∠EAF又AE＝AE，∴△AF′E≌△AFE∴EF＝F′E＝BE＋BF＝BE＋DF（2）在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2∵EC＝1－x，FC＝1－y，EF＝x＋y∴(1－x)2＋(1－y)2＝(x＋y)2∴y＝1－x1＋x（0＜x＜1）A BDCEF图1ABDC EFG图2ABDCEF图1F′12（3）①当点E 在点B 、C 之间时，由（1）知EF ＝BE ＋DF ，故此时⊙E 与⊙F 外切； ②当点E 在点C 时，DF ＝0，⊙F 不存在.③当点E 在BC 延长线上时，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，得△ABF′（如图2）则AF′＝AF ，∠1＝∠2，B F′＝DF ，∠F ′AF ＝90° ∴∠F ′AE ＝∠EAF ＝45° 又AE ＝AE ，∴△AF ′E ≌△AFE ∴EF ＝EF′＝BE －B F′＝BE －DF ∴此时⊙E 与⊙F 内切综上所述，当点E 在线段BC 上时，⊙E 与⊙F 外切；当点E 在BC 延长线上时，⊙E 与⊙F 内切（4）△EGF 与△EFA 能够相似，只要当∠EFG ＝∠EAF ＝45° 即可此时CE ＝CF设BE ＝x ，DF ＝y ，由（3）知EF ＝x －y 在Rt △CFE 中，CE 2＋CF 2＝EF 2∴( x －1 )2＋( 1＋y )2＝( x －y )2∴y ＝ x －1x ＋1 （x ＞1）由CE ＝CF ，得x －1＝1＋y ，即x －1＝1＋ x －1x ＋1化简得x 2－2x －1＝0，解得x 1＝1－ 2（舍去），x 2＝1＋ 2 ∴△EGF 与△EFA 能够相似，此时BE 的长为1＋ 23 已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝2，BC ＝6，AB ＝3．E 为BC 边上一点，以BE 为边作正方形BEFG ，使正方形BEFG 和梯形ABCD 在BC 的同侧．（1）当正方形的顶点F 恰好落在对角线AC 上时，求BE 的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG 沿BC 向右平移，记平移中的正方形BEFG 为正方形B′EFG ，当点E 与点C 重合时停止平移．设平移的距离为t ，正方形B′EFG 的边EF 与AC 交于点M ，连接B′D ，B′M ，DM ．是否存在这样的t ，使△B′DM 是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG 与△ADC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围．A D A DABD CEF G图2F ′12解析：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x 则BE＝FG＝BG＝x∵AB＝3，BC＝6，∴AG＝AB－BG＝3－x∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC∴AGAB＝GFBC，即3－x3＝x6解得x＝2，即BE＝2（2）存在满足条件的t，理由如下：如图②，过D作DH⊥BC于点H则BH＝AD＝2，DH＝AB＝3由题意得：BB′＝HE＝t，HB′＝|t－2|，EC＝4－t在Rt△B′ME中，B′M2＝B′E2＋ME2＝22＋(2－12t)2＝14t2－2t＋8∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC∴MEAB＝ECBC，即ME3＝4－t6，∴ME＝2－12t在Rt△DHB′中，B′D2＝DH2＋B′H2＝32＋(t－2)2＝t2－4t＋13 过M作MN⊥DH于点N则MN＝HE＝t，NH＝ME＝2－12t∴DN＝DH－NH＝3－(2－12t)＝12t＋1在Rt△DMN中，DM2＝DN2＋MN2＝54t2＋t＋1（ⅰ）若∠DB′M＝90°，则DM2＝B′M2＋B′D2即54t2＋t＋1＝(14t2－2t＋8)＋(t2－4t＋13)，解得t＝207（ⅱ）若∠B′MD＝90°，则B′D2＝B′M2＋DM2即t2－4t＋13＝(14t2－2t＋8)＋(54t2＋t＋1)，解得t1＝－3＋17，t2＝－3－17∵0≤t≤4，∴t＝－3＋17BACD图①EFGBACD图②EFGH B′MN（ⅲ）若∠B′DM＝90°，则B′M2＝B′D2＋DM2即14t2－2t＋8＝(t2－4t＋13)＋(54t2＋t＋1)，此方程无解综上所述，当t＝207或－3＋17时，△B′DM是直角三角形（3）当0≤t≤43时，S＝14t2当43≤t≤2时，S＝－18t2＋t－23当2≤t≤103时，S＝－38t2＋2t－53当103≤t≤4时，S＝－12t＋52提示：当点F落在CD上时，如图③FE＝2，EC＝4－t，DH＝3，HC＝4由△FEC∽△DHC，得FEEC＝DHHC即24－t＝34，∴t＝43当点G落在AC上时，点G也在DH上（即DH与AC的交点）t＝2当点G落在CD上时，如图④GB′＝2，B′C＝6－t由△GB′C∽△DHC，得G′BB′C＝DHHC即26－t＝34，∴t＝103当点E与点C重合时，t＝4①当0≤t≤43时，如图⑤∵MF＝t，FN＝12t∴S＝S△FMN＝12·t·12t＝14t2②当43≤t≤2时，如图⑥∵PF＝t－43，FQ＝34PF＝34t－1BC图⑤EBC图⑥EBACD图③EFGB′HBACD图④EFGB′H∴S△FPQ＝12(t－43)(34t－1)＝38t2－t＋23∴S＝S△FMN－S△FPQ＝14t2－(38t2－t＋23)＝－18t2＋t－23③当2≤t≤103时，如图⑦∵B′M＝12B′C＝12(6－t)＝3－12t∴GM＝2－(3－12t)＝12t－1∴S梯形GMNF＝12(12t－1＋12t)×2＝t－1∴S＝S梯形GMNF－S△FPQ＝(t－1)－(38t2－t＋23)＝－38t2＋2t－53④当103≤t≤4时，如图⑧∵P B′＝34B′C＝34(6－t)＝92－34t∴GP＝2－(92－34t)＝34t－52∴S梯形GPQF＝12(34t－52＋34t－1)×2＝32t－72∴S＝S梯形GMNF－S梯形GPQF＝(t－1)－(32t－72)＝－12t＋52BC图⑦EB C图⑧EB。

中考数学总复习《正方形》专项提升训练(带答案)

中考数学总复习《正方形》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O .第1题图(1)若四边形ABCD是平行四边形，请添加条件__________，使四边形ABCD是正方形；【判定依据】__________________________；(2)若四边形ABCD是矩形，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形；【判定依据】__________________________；(3)若四边形ABCD是菱形，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形；【判定依据】__________________________．2. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.(1)∠ABC＝________，∠BAC＝________，∠COD＝________；(2)若AB＝3，则BC＝________，CD＝________；(3)若OA＝2，则AC＝________，BD＝________，AD＝________；(4)若OA＝4，则正方形ABCD 的面积是________，周长是________．第2题图知识逐点过考点1 正方形的性质及面积边四条边都相等，对边平行角四个角都是直角1.对角线相等且互相①________；对角线2．每一条对角线平分一组对角对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形，有4条对称轴，对称中心是两条②________的交点面积公式S＝a2＝12l2【温馨提示】正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形考点2 正方形的判定边1.有一组邻边相等，并且有一个角是③________的平行四边形是正方形(定义)；2．有一组邻边④________的矩形是正方形角有一个角是⑤________的菱形是正方形对角线1.对角线⑥________的矩形是正方形；2．对角线⑦________的菱形是正方形；3．对角线互相⑧__________的四边形是正方形考点3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系从边、角的角度看从对角线的角度看考点4 中点四边形概念依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形原图形任意四边形矩形菱形正方形对角线相等的四边形对角线垂直的四边形对角线垂直且相等的四边形中点四边形形状平行四边形菱形矩形正方形菱形矩形正方形【温馨提示】连接特殊四边形中点的四边形面积是原图形的一半教材原题到重难考法与正方形有关的证明与计算例如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF，DF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明．例题图变式题1. 结合角度求线段长如图，正方形ABCD的边长为4，点F为对角线AC上一点，连接BF，当∠CBF＝22.5°时求AF的长．第1题图2. 过点F作AB边的垂线如图，在正方形ABCD中，F是对角线AC上一点，作EF⊥AB于点E，连接DF，若BC＝6，BE＝2，求DF的长．第2题图3. 过点F分别作AB，BC边的垂线如图，F是正方形ABCD对角线AC上一点，过点F分别作FE⊥AB，FG⊥BC，垂足分别为点E，G，连接DF，EG.(1)求证：EG＝DF；(2)若正方形的边长为3＋3，∠BGE＝30°，求DF的长．第3题图真题演练命题点正方形性质的相关计算1. 如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至点E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N，K .则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN∶S△ADM ＝1∶4.其中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第1题图2. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为________．第2题图基础过关1. 正方形具有而菱形不具有的性质是()A. 对角线平分一组对角B. 对角线相等C. 对角线互相垂直平分D. 四条边相等2. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是()A. 互相平分B. 互相垂直C. 互相平分且相等D. 互相垂直且相等3.如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是()A. (3，－3)B. (－3，3)C. (3，3)D. (－3，－3)第3题图4. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于()A. 2αB. 90°－2αC. 45°－αD. 90°－α第4题图5.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件_________________________ 使得矩形ABCD为正方形．6. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC，则图中阴影部分的面积是__________．第6题图7. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板，如图所示，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为__________dm2.第7题图8. 如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为__________．第8题图9. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，点F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为__________．第9题图10. 如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD.(1)求证：△ABE≌△FMN；(2)若AB＝8，AE＝6，求ON的长．第10题图综合提升11. 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.若AF＝2，FB＝1，则MG＝()A. 23B. 352 C. 5＋1 D. 10第11题图12. 如图，在正方形ABCD 中，点E 为BD 上一点，DE ＝3BE ，连接AE ，过点E 作AE 的垂线，交CD 于点F ，连接AF 交BD 于点G .下列结论：①sin ∠BAE ＝13 ；②∠EAF ＝45°；③点F 为CD 的中点；④BE ＋DG ＝GE .其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第12题图13. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形(△DAE ，△ABF ，△BCG ，△CDH )和中间一个小正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD 中，∠ABF >∠BAF ，连接BE .设∠BAF ＝α，∠BEF ＝β，若正方形EFGH 与正方形ABCD 的面积之比为1∶n ，tan α＝tan 2β，则n ＝( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2第13题图参考答案1. (1)AC ＝BD ，且AC ⊥BD (答案不唯一)；【判定依据】对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形(答案不唯一)； (2)AC ⊥BD (答案不唯一)；【判定依据】对角线互相垂直的矩形是正方形； (3)∠ABC ＝90°(答案不唯一)【判定依据】有一个角是直角的菱形是正方形．2. (1)90°，45°，90°；(2)3，3；(3)4，4，22 ；(4)32，162 . 教材原题到重难考法例解：△ABC ≌△ADC ，△ABF ≌△ADF ，△CDF ≌△CBF ，理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ，∠DAC ＝∠BAC ＝∠DCA ＝∠BCA ＝45° 在△ABC 和△ADC 中 ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAC ＝∠DAC AC ＝AC∴△ABC ≌△ADC (SAS) 在△ABF 和△ADF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAF ＝∠DAF AF ＝AF∴△ABF ≌△ADF (SAS) 在△DCF 和△BCF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝BC ∠DCF ＝∠BCF CF ＝CF∴△DCF ≌△BCF (SAS).(选择其中任意一对证明即可) 1. 解：在正方形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ∴∠BAC ＝∠BCA ＝45° ∵∠CBF ＝22.5°∴∠ABF ＝∠ABC －∠CBF ＝90°－22.5°＝67.5°∴∠AFB ＝180°－∠BAC －∠ABF ＝180°－45°－67.5°＝67.5° ∴∠ABF ＝∠AFB ∴AF ＝AB ＝4.2. 解：如解图，连接BF第2题解图∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC＝6，∠EAF＝45°∵EF⊥AB∴EF＝AE＝AB－BE＝6－2＝4∴BF＝BE2＋EF2＝25∵正方形ABCD关于AC对称∴DF＝BF＝25.3. (1)证明：如解图，连接FB.∵四边形ABCD为正方形∴DA＝AB，∠DAC＝∠BAC∵AF＝AF∴△DAF≌△BAF∴DF＝BF∵四边形ABCD为正方形∴∠ABC＝90°∵FG⊥BC，FE⊥AB∴∠FGB＝∠FEB＝90°∴∠FGB＝∠FEB＝∠ABC＝90°∴四边形FEBG是矩形∴EG＝FB∴EG＝DF；(2)解：∵正方形的边长为3＋3，∠BGE＝30°∴BC＝3＋3∴BG＝BC－CG＝3＋3－CG∵∠BGE＝30°∴BG＝3BE∵AC为正方形ABCD的对角线∴∠DCF＝∠BCF＝45°∵FG⊥BC∴∠FGC＝∠FGB＝90°∴∠CFG＝45°∴FG＝CG∵四边形FEBG是矩形∴EB＝FG∴FG＝CG＝EB设FG＝CG＝EB＝x∴GE＝2x∴BG＝3BE＝3x∵BG＝BC－CG＝3＋3－x∴3＋3－x＝3x∴x＝3∴GE＝2x＝23∴DF＝BF＝GE＝23.第3题解图知识逐点过①垂直平分②对角线③直角④相等⑤直角⑥互相垂直⑦相等⑧垂直平分且相等真题演练1. C 【解析】∵四边形EFGB 是正方形，EB ＝2，∴FG ＝BE ＝2，∠FGB ＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，H 为AD 的中点，∴AD ＝4，AH ＝2，∠BAD ＝90°，∴∠HAN ＝∠FGN ，AH ＝FG ，∵∠ANH ＝∠GNF ，∴△ANH ≌△GNF (AAS)，故①正确；∴∠AHN ＝∠HFG ，∵AG ＝FG ＝2＝AH ，∴AF ＝2 FG ＝2 AH ，∴∠AFH ≠∠AHF ，∵AD ∥FG ，∴∠AHF ＝∠HFG ，∴∠AFN ≠∠HFG ，故②错误；∵△ANH ≌△GNF ，∴AN ＝12 AG ＝1，∵GM＝BC ＝4，∴AH AN ＝GM AG＝2，∵∠HAN ＝∠AGM ＝90°，∴△AHN ∽△GMA ，∴∠AHN ＝∠AMG ，∠MAG ＝∠HNA ，∴AK ＝NK ，∵AD ∥GM ，∴∠HAK ＝∠AMG ，∴∠AHK ＝∠HAK ，∴AK ＝HK ，∴AK ＝HK ＝NK ，∵FN ＝HN ，∴FN ＝2NK ；故③正确；∵延长FG 交DC 于M ，∴四边形ADMG 是矩形，∴DM ＝AG ＝2，∵S △AFN ＝12 AN ·FG ＝12 ×2×1＝1，S △ADM＝12 AD ·DM ＝12×4×2＝4，∴S △AFN ∶S △ADM ＝1∶4，故④正确． 2. 15 【解析】如解图，∵四边形ABCD ，ECGF ，IGHK 均为正方形，∴CD ＝AD ＝10，CE ＝FG ＝CG ＝EF ＝6，∠CEF ＝∠F ＝90°，GH ＝IK ＝4，∴CH ＝CG ＋GH ＝10，∴CH ＝AD ，∵∠D ＝∠DCH ＝90°，∠AJD ＝∠HJC ，∴△ADJ ≌△HCJ (AAS)，∴CJ ＝DJ ＝5，∴EJ ＝1，∵GL ∥CJ ，∴△HGL ∽△HCJ ，∴GL CJ ＝GH CH ＝25，∴GL ＝2，∴FL ＝4，∴S阴影＝S梯形EJLF＝12 (EJ ＋FL )·EF ＝12(1＋4)×6＝15.第2题解图基础过关1. B2. D 【解析】如解图，点E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则EH ∥DB ∥GF ，HG ∥AC ∥EF ，EF ＝12 AC ，FG ＝12 BD ，∴四边形EFGH 为平行四边形．要使其为正方形，即EF ⊥FG ，FE ＝FG ，则AC ⊥BD ，AC ＝BD ，即对角线一定互相垂直且相等．第2题解图3. C 【解析】 ∵边长为3的正方形OBCD 两边与坐标轴正半轴重合，∴OB ＝BC ＝3，∴C (3，3).4. A 【解析】如解图，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，则AF ＝AG ，∠DAF ＝∠BAG .∵∠EAF ＝45°，∴∠BAE ＋∠DAF ＝45°，∴∠GAE ＝∠EAF ＝45°.在△GAE 和△F AE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AF ∠GAE ＝∠F AE AE ＝AE ，∴△GAE ≌△F AE (SAS)，∴∠AEF ＝∠AEG .∵∠BAE ＝α，∴∠AEB ＝90°－α，∴∠AEF ＝∠AEB ＝90°－α，∴∠FEC ＝180°－∠AEF －∠AEB ＝180°－2(90°－α)＝2α.第4题解图5. AB ＝BC (答案不唯一，符合条件即可，如：AC ⊥BD ) 【解析】∵邻边相等的矩形是正方形，∴可添加条件AB ＝BC ；∵对角线互相垂直的矩形是正方形，∴还可以添加条件AC ⊥BD .6. 2 【解析】如解图，过点E 作EF ⊥BC 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝2，AD ∥BC ，∴EF ＝AB ＝2，∴S △BCE ＝12 BC ·EF ＝12×2×2＝2.∵S 正方形ABCD ＝BC 2＝22＝4，∴S阴影＝S 正方形ABCD －S △BCE ＝4－2＝2.第6题解图7. 2 【解析】如解图，依题意得OD ＝22 AD ＝22 ，OE ＝12OD ＝2 ，∴图中阴影部分的面积为OE 2＝(2 )2＝2(dm 2).第7题解图8. 3 【解析】如解图，过点P 作PF ⊥AB 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠DAC ＝∠BAC .∵PE ⊥AD ，PF ⊥AB ，∴PE ＝PF .∵PE ＝3，∴点P 到直线AB 的距离为PF ＝3.第8题解图9.172【解析】∵CE ＝7，△CEF 的周长为32，∴CF ＋EF ＝32－7＝25.∵点F 为DE 的中点，∴DF ＝EF .∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BCD ＝90°，BC ＝CD ，∴CF ＝EF ＝DF ＝252，∴DE ＝25，∴在Rt △DCE 中，CD ＝DE 2－CE 2 ＝24，∴BC ＝CD ＝24.∵点O 为BD 的中点，∴OF 是△BDE 的中位线，∴OF ＝12 (BC －CE )＝12 (24－7)＝172 .10. (1)证明：∵四边形ABCD 为正方形 ∴AB ＝AD ，∠A ＝∠D ＝90°. ∵MF ∥AD ∴∠DFM ＝90° ∴四边形ADFM 为矩形 ∴MF ＝AD ＝AB . ∵MN 垂直平分BE ∴∠BOM ＝90° ∴∠ABE ＋∠BMO ＝90°. ∵∠FMN ＋∠BMO ＝90° ∴∠ABE ＝∠FMN . 在△ABE 和△FMN 中⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠MFN AB ＝FM ∠ABE ＝∠FMN∴△ABE ≌△FMN (ASA)； (2)解：如解图，连接ME . ∵MN 垂直平分BE ∴ME ＝BM .设BM ＝x ，则AM ＝8－x ，ME ＝x .在Rt △AME 中，由勾股定理得ME 2＝AE 2＋AM 2，即x 2＝62＋(8－x )2. 解得x ＝254 ，即BM ＝254.在Rt △ABE 中，由勾股定理得BE ＝62＋82 ＝10. ∵∠MBO ＝∠EBA ，∠MOB ＝∠A ∴△BOM ∽△BAE ∴OM AE ＝BMBE∴OM ＝AE ·BM BE ＝6×25410 ＝154 .由(1)知△ABE ≌△FMN ∴MN ＝BE ＝10∴ON ＝MN －OM ＝10－154 ＝254.第10题解图11. B 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ⊥AB ，CD ∥AB ，CD ＝AB .∵EF ⊥AB ，∴EF ∥BC ，∴AE EC ＝AF FB .∵AF ＝2，FB ＝1，∴AE EC ＝21 .∵CD ∥AB ，∴CD ∥AG ，∴∠DCE＝∠GAE ，∠CDE ＝∠AGE ，∴△DCE ∽△GAE ，∴AG CD ＝AE CE ＝21，∴AG ＝2CD ，∴CD ＝AB ＝BG .∵∠DCM ＝∠GBM ＝90°，∠DMC ＝∠GMB ，∴△DCM ≌△GBM (AAS)，∴DM＝GM ＝12 DG .∵AF ＝2，FB ＝1，∴AB ＝3.∵AD ＝AB ＝3，∴AG ＝6，∴在Rt △DAG 中，DG ＝32＋62 ＝35 ，∴MG ＝352.12. B 【解析】如解图，延长AE 交BC 于点H .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ，AD ∥BC ，∴△ADE ∽△HBE ，∴AD HB ＝DEBE ，∵DE ＝3BE ，∴AD ＝3HB ，∴AB ＝3HB ，在Rt △ABH 中，由勾股定理得AH ＝AB 2＋HB 2 ＝10 HB ，∴sin ∠BAE ＝HB AH ＝1010 ，①错误；如解图，过点E 分别作AB ，CD 的垂线，交AB ，CD 于点M ，N ，∴∠AME ＝∠ENF ＝90°，∴∠AEM ＋∠MAE ＝90°，∵∠AEF ＝90°，∴∠AEM ＋∠NEF ＝90°，∴∠MAE ＝∠NEF ，∵∠MBE ＝45°，∴MB ＝ME ，∵AB ＝MN ，∴AM ＝EN ，∴△AME ≌△ENF ，∴AE ＝EF ，∵∠AEF ＝90°，∴∠EAF ＝45°，②正确；∵△AME ≌△ENF ，∴ME ＝NF ＝MB ，∵BE ＝2 ME ，∴CF ＝2ME ＝2 BE ，∵DE ＝3BE ，∴BD ＝4BE ，∴CD ＝22BD ＝22 BE ，∴CD ＝2CF ，∴点F 为CD 的中点，③正确；∵点F 为CD 的中点，∴DF ＝12 CD ＝12 AB ，∵AB ∥CD ，∴△FDG ∽△ABG ，∴DG BG ＝DF AB ＝12 ，∴DG ＝13 BD ，GB ＝23 BD ，设BE ＝x ，则DE ＝3x ，BD ＝4x ，∴DG ＝43 x ，GB ＝83 x ，∴GE ＝GB －BE ＝53 x ，∴BE ＋DG ＝73 x ≠GE ，④错误．第12题解图13. C 【解析】设BF ＝a ，AF ＝b ，则AB ＝a 2＋b 2 ，EF ＝b －a ，∴tan α＝tan ∠BAF ＝BFAF＝a b ，tan β＝tan ∠BEF ＝BF EF ＝a b －a .∵正方形EFGH ∽正方形ABCD ，∴S 正方形EFGH S 正方形ABCD ＝(EFAB )2＝EF 2AB 2 ＝（b －a ）2a 2＋b 2 ＝1n .∵tan α＝tan 2β，∴a b ＝a 2（b －a ）2 .∴(b －a )2＝ab ，b 2＋a 2－2ab ＝ab ，∴a 2＋b 2＝3ab ，∴n ＝a 2＋b 2（b －a ）2＝a 2＋b 2ab ＝3abab ＝3.。

正方形中考拓展专题

1.如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b,正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论:①BE=DG；②BE_LDG；®DE2+BG2=2a2+2b2,其中正确结论有（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上的一点，BE=1,F为AB的中点，P为AC上一个动点,3.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边上，BE=4,过点E作EF//BC,分别交CD 于G,F两点.若N分别是OG,CE的中点，则"的长为（）4.如图，正方形ABCD的边长为3,点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，己知BE=1,则EF的长为（）359A.2B.2C.4D.35.如图，正方形ABCD中，AB=6,点E在边CD上，且CE=2DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF,下列结论：©AABG^AAFG；②BG=GC；③ZEAG=45°；④AG〃CF；⑤S aecg：S a aeg=2：5,其中正确结论的个数A.2B.3C.4D.56.如图，正方形ABCD中，AB=1,M,N分别是AD,BC边的中点，沿BQ将△BCQ折叠，若点C恰好落在MN上的点P处，则PQ的长为（）1^1A.2B.3C.3D.B7.如图，在正方形ABCD对角线BD上截取BE=BC,连接CE并延长交AD于点F,连接AE,过B作BG±AE 于点G,交AD于点H,则下列结论错误的是（）A.AH=DFB.S四边形EFHG=S a DC f+S a aghC.ZAEF=45°D.△ABH^ADCF8.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点。

在CG上，BC=L,CE=3,H是AF的中点，那么CH的长是（）.9.如图，在A AB C中，ZC=90°,AC=BC=4,Q是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点、E 不与点A、。

中考数学专题复习——正方形(详细答案)

中考数学专题复习——正方形(详细答案) 中考数学复专题——正方形一．选择题（共4小题）1.如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）。

A。

等于B。

等于1C。

等于3/4D。

随点E位置的变化而变化2.如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）。

A。

1/8B。

1/4C。

1/2D。

3/43.下列说法中，正确个数有（）①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直的四边形为菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．A。

1个B。

2个C。

3个D。

4个4.下列说法中，正确的是（）A。

两条直线被第三条直线所截，内错角相等B。

对角线相等的平行四边形是矩形C。

相等的角是对顶角D。

角平分线上的点到角两边的距离相等二．填空题（共7小题）5.以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是60°。

6.如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△___由△DAM平移得到。

若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°。

其中正确结论的序号为①和②。

7.如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为9.8.如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为（3，-2）。

9.在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为2.1.如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上。

有关正方形的初三综合练习题

有关正方形的初三综合练习题正方形是初中数学中的重要概念之一，下面是一些关于正方形的初三综合练习题，希望能帮助你对这个概念有更深入的理解。

1. 若一个正方形的边长为8 cm，求其周长和面积。

解答：由正方形的定义可知，它的四条边长度相等。

因此，该正方形的周长为8 cm × 4 = 32 cm。

面积的计算公式为边长的平方，所以面积为8 cm × 8 cm = 64 cm²。

2. 若一个正方形的面积为25 m²，求其边长和周长。

解答：设该正方形的边长为x m，则面积x² = 25 m²。

解这个方程可以得到x = 5 m。

因此，该正方形的边长为5 m，周长为5 m × 4 = 20 m。

3. 若一个正方形的周长为36 cm，求其边长和面积。

解答：设该正方形的边长为x cm，则周长4x = 36 cm。

解这个方程可以得到x = 9 cm。

因此，该正方形的边长为9 cm，面积为9 cm × 9cm = 81 cm²。

4. 若一个正方形的面积是一个整数，并且该正方形的边长小于10 cm，找出所有可能的边长。

解答：由于正方形的面积等于边长的平方，所以我们需要找出所有小于10的完全平方数。

这些数为1, 4, 9。

因此，可能的边长为1 cm, 2 cm 和 3 cm。

5. 从一个边长为10 cm的正方形中，剪去一个边长为4 cm 的小正方形，剩下的部分是什么形状？求其面积。

解答：剪去一个边长为4 cm的小正方形后，剩下的部分是一个L 形，由一个长方形和一个小正方形组成。

长方形的边长为10 cm - 4 cm = 6 cm，小正方形的面积为4 cm × 4 cm = 16 cm²。

所以剩下的部分的面积为长方形的面积减去小正方形的面积，即6 cm × 10 cm - 16 cm² = 60 cm² - 16 cm² = 44 cm²。

中考中的正方形

中考中的正方形解答题(共10小题，满分100分)1.(6分)如图，在正方形ABCD中，E,F分别为AD,CD边上的点，BE,AF交于点O,S.AE=DF.(1)求证：△ABE#/\DAF；(2)若BO=4,OE=2,求正方形ABCD的面积.2.(8分)已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE,过点C作垂足为M,交AB于点N.(1)求证：△ABE丝△BCM(2)若N为AB的中点，求tanZABE.3.(8分)如图，四边形ABCD是正方形，点E,F分别在AD,QC上，且AE=DF.求证：BE=AF.4.(8分)如图，在矩形ABCD中，AD=5,CD=4,点E是BC边上的点，BE=3,连接AE,DMAE交于点F.(1)求证：△ABE金△DFA；（2）连接CF,求sinZDCF的值；（3）连接AC交QF于点G,求鲤■的值.GC5.（10分）如图，正方形ABCD中，AB=2岳。

是3C边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2,连接DE,将线段DE绕点。

逆时针旋转90°得DF,连接AE,CF.（备用图）（1）求证：AE=CF；（2）若A,E,。

三点共线，连接OF,求线段OF的长.（3）求线段OF长的最小值.6.（10分）在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点。

、£）重合），连结BE.图①图②图③【感知】如图①，过点A作AFLBE交BC于点F.易证△A BF竺△BCE.（不需要证明）【探究】如图②，取BE的中点过点M作FG±BE交BC于点F,交AZ）于点G.（1）求证：BE=FG.（2）连结CM,若CM=l,则FG的长为.【应用】如图③，取BE的中点连结CM.过点C作CG±BE交AQ于点G,连结EG、MG.若CM=3,则四边形GMCE的面积为.7.（12分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边A3、CQ上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点3的对应点肱始终落在边AQ上(点M不与点A、D 重合)，点。

中考数学压轴题练习正方形问题(含解析)

正方形问题1 如图，在边长为6的正方形ABCD 的两侧作正方形BEFG 和正方形DMNK ，恰好使得N 、A 、F 三点在一直线上，连接MF 交线段AD 于点P ,连接NP ，设正方形BEFG 的边长为x ，正方形DMNK 的边长为y ．(1）求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）当△NPF 的面积为32时,求x 的值;（3）以P 为圆心，AP 为半径的圆能否与以G 为圆心，GF 为半径的圆相切？如果能，请求出x 的值，如果不能，请说明理由．解析:(1）∵正方形BEFG 、正方形DMNK 、正方形ABCD ∴∠E ＝∠F ＝90O,AE ∥MC ，MC ∥NK ∴AE ∥NK ，∴∠KNA ＝∠EAF∴△KNA ∽△EAF ，∴错误! ＝错误! ，即错误! ＝错误! ∴y ＝x ＋6（0＜x ≤6）（2）由(1)知NK ＝AE ，∴AN ＝AF∵正方形DMNK ，∴AP ∥NM ，∴错误! ＝错误! ＝1 ∴FP ＝PM ，∴S △MNP ＝S △NPF ＝32 ∴S 正方形DMNK ＝2S △MNP ＝64 ∴y ＝8，∴x ＝2（3）连接PG ,延长FG 交AD 于点H ,则GH ⊥AD易知：AP ＝错误! ，AH ＝x ，PH ＝错误! －x ，HG ＝6;PG ＝AP ＋GF ＝错误! ＋x ①当两圆外切时在Rt △GHP 中，PH 2＋HG 2＝PG 2，即( 错误! －x )2＋6 2＝( 错误! ＋x ）2NK GCE DFAB P M解得:x ＝－3－3 错误!(舍去）或x ＝－3＋3 错误! ②当两圆内切时在Rt △GHP 中,PH 2＋HG 2＝PG 2，即（错误! －x ）2＋6 2＝（错误! －x ）2方程无解所以，当x ＝3 错误!－3时，两圆相切2 已知：正方形ABCD 的边长为1，射线AE 与射线BC 交于点E ，射线AF 与射线CD 交于点F ，∠EAF ＝45°，连接EF ．(1）如图1,当点E 在线段BC 上时，试猜想线段EF 、BE 、DF 有怎样的数量关系？并证明你的猜想；(2）设BE ＝x ,DF ＝y ，当点E 在线段BC 上运动时（不包括点B 、C ）,求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）当点E 在射线BC 上运动时（不含端点B ），点F 在射线CD 上运动．试判断以E 为圆心，以BE 为半径的⊙E 和以F 为圆心,以FD 为半径的⊙F 之间的位置关系;(4）如图2,当点E 在BC 的延长线上时，设AE 与CD 交于点G ．问:△EGF 与△EFA 能否相似？若能相似，求出BE 的长，若不可能相似，请说明理由．解析：AB DCEF图1ABD CEFG图2AB DCEF图1F ′12（1）猜想：EF＝BE＋DF证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°,得△ABF′,易知点F′、B、E在同一直线上（如。

2024年九年级中考数学专题复习：正方形

2024年九年级中考数学专题复习：正方形一、选择题（本大题共10道小题）1. (2023•安徽模拟)如图,点E,F 分别为正方形ABCD 的边AB,BC 的中点,AF,BE 相交于G,则GF AG 的值为( ) A.32B.53C.22D.45 2. (2023·贵州黔东南)如图,在边长为4的正方形ABCD 中,点E,F 分别在CD,AC 上,BF ⊥EF,CE=1,则AF 的长是( )A.22B.322C.423D.5243. (2023绵阳)如图,在边长为3的正方形ABCD 中,∠CDE ＝30°,DE ⊥CF,则BF 的长是( )A.1B. 2C. 3D.24. (2023•河池)如图,在边长为4的正方形ABCD 中,点E,F 分别在CD,AC 上,BF ⊥EF,CE ＝1,则AF 的长是( )A. B. C. D.5. (2023·贵州黔东南)如图,正方形ABCD 的边长为4,点E 、F 分别为BC 、CD 的中点,点P 是对角线BD 上的动点,则四边形PECF 周长的最小值为( )A.4B.422+C.8D.442+6. (2023·湖南常德)如图,已知点F,E 分别是正方形ABCD 的边AB 与BC 的中点,AE 与DF 交于点P.则下列结论成立的是( )A.BE ＝12AEB.PC ＝PDC.∠EAF ＋∠AFD ＝90°D.PE ＝EC 7. (2023·广西玉林)一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:a.两组对边分别相等b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等d.一个角是直角顺次添加的条件:①a →c →d;②b →d →c;③a →b →c 则正确的是( )A.仅①B.仅③C.①②D.②③8. (2023·安徽·无为三中一模)如图,在正方形ABCD 中,△BPC 是等边三角形,BP 、CP 的延长线分别交AD 于点EF,连接BD 、DP,BD 与CF 相交于点H.给出下列结论:①AE ＝12FC;②∠PDE ＝15°;③12DHCBHC S S △△;④DE 2＝PF •FC.其中正确的为( )A.①②③B.①③C.②③④D.①②④9. (2023•港南区四模)如图,正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合,展开后折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G,连接GF,下列结论:①∠ADG ＝22.5°;②S △AGD ＝S △OGD ;③四边形AEFG 是菱形;④BE ＝2OG;⑤若S △OGF ＝1,则正方形ABCD 的面积是6+42.正确的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个10. (2023八上·无为)如图,有两个正方形纸板A,B,纸板A 与B 的面积之和为34.现将纸板B 按甲方式放在纸板A 的内部,阴影部分的面积为4.若将纸板A,B 按乙方式并列放置后,构造新的正方形,则阴影部分的面积为( )A.30B.32C.34D.36二、填空题（本大题共8道小题）11. (2023春•西城区校级期中)正方形ABCD的顶点B,C都在平面直角坐标系的x轴上,若点A的坐标是(1,3),则点C的坐标为.12. [2023·天津]如图,正方形ABCD的边长为4,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在BC,CD的延长线上,且CE=2,DF=1,G为EF的中点,连接OE交CD于点H,连接GH,则GH的长为.13. (2023·贵州铜仁)如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点,满足AE=BF,连接CE、DF,相交于点G,连接AG,若正方形的边长为2.则线段AG的最小值为________.14. (2023•威海)如图,在正方形ABCD中,AB＝2,E为边AB上一点,F为边BC上一点.连接DE 和AF交于点G,连接BG.若AE＝BF,则BG的最小值为.15. (2023•攀枝花)如图,在正方形ABCD中,点M、N分别为边CD、BC上的点,且DM＝CN,AM 与DN交于点P,连接AN,点Q为AN的中点,连接PQ,BQ,若AB＝8,DM＝2,给出以下结论:①AM ⊥DN;②∠MAN＝∠BAN;③△PQN≌△BQN;④PQ＝5.其中正确的结论有(填上所有正确结论的序号)16. (2023•鞍山)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,F是线段OD上的动点(点F不与点O,D重合),连接CF,过点F作FG⊥CF分别交AC,AB于点H,G,连接CG交BD于点M,作OE∥CD交CG于点E,EF交AC于点N.有下列结论:①当BG＝BM时,AG＝BG;②＝;③当GM＝HF时,CF2＝CN•BC;④CN2＝BM2+DF2.其中正确的是(填序号即可).17. 如图,在正方形ABCD外取一点E,连接DE,AE,CE,过点D作DE的垂线交AE于点P,若DE ＝DP＝1,PC＝ 6.下列结论:①△APD≌△CED;②AE⊥CE;③点C到直线DE的距离为3;④S正方形ABCD＝5＋2 2.其中正确结论的序号为________.18. [2023·广元]如图,在正方形ABCD中,点O是对角线BD的中点,点P在线段OD上,连接AP并延长交CD于点E,过点P作PF⊥AP交BC于点F,连接AF,EF,AF交BD于G.现有以下结论:①AP=PF;②DE+BF=EF;③PB-PD=BF;④S△AEF为定值;⑤S四边形PEFG=S△APG.以上结论正确的有(填入正确的序号即可).三、解答题（本大题共6道小题）19. (2023·贵州贵阳)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,点F在DC上,且MF//AD.(1)求证:△ABE≌△FMN;(2)若AB=8,AE=6,求ON的长.20. (2023·湖南衡阳)如图,点E为正方形ABCD外一点,∠AEB＝90°,将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF,DF的延长线交BE于点H.(1)试判定四边形AFHE的形状,并说明理由;(2)已知BH＝7,BC＝13,求DH的长.21. (2023·福建中考)如图,在正方形ABCD中,E,F为边AB上的两个三等分点,点A关于DE 的对称点为A′,AA′的延长线交BC于点G.(1)求证:DE∥A′F;(2)求∠GA′B的大小;(3)求证:A′C＝2A′B.22. (2023八上·通州)如图为4×4方格,每个小正方形的边长都为1.(1)图1中阴影正方形的面积为,边长为;(2)请在图2中画出一个与图1中阴影部分面积不相等的正方形,并求出所画正方形的边长.要求所画正方形满足以下条件:①正方形的边长为无理数②正方形的四个顶点均在网格格点处.23. (2023•朝阳区二模)在正方形ABCD中,将线段DA绕点D旋转得到线段DP(不与BC平行),直线DP与直线BC相交于点E,直线AP与直线DC相交于点F.(1)如图1,当点P在正方形内部,且∠ADP＝60°时,求证:DE+CE＝DF;(2)当线段DP运动到图2位置时,依题意补全图2,用等式表示线段DE,CE,DF之间的数量关系,并证明.24. (2023春•西城区校级期中)已知正方形ABCD,点E是直线BC上一点(不与B,C重合),∠AEF＝90°,EF交正方形外角的平分线CF所在的直线于点F.(1)如图1,当点E在线段BC上时,①请补全图形,并直接写出AE,EF满足的数量关系;②用等式表示CD,CE,CF满足的数量关系,并证明.(2)当点E在直线BC上,用等式表示线段CD,CE,CF之间的数量关系(直接写出即可).。

中考数学试题分类汇总《正方形》练习题

中考数学试题分类汇总《正方形》练习题（含答案）正方形的性质1．如图，正方形ABCD的边长为1，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF．有下列结论：①AE＝EF；②CF＝BE；③∠DAF ＝∠CEF；④△CEF面积的最大值为．其中正确的是①②（把正确结论的序号都填上）【分析】在AB上取点H，使AH＝EC，连接EH，然后证明△AGE和△ECF全等，再利用全等三角形的性质即可得出答案．【解答】解：在AB上取点H，使AH＝EC，连接EH，∵∠HAE+∠AEB＝90°，∠CEF+∠AEB＝90°，∴∠HAE＝∠CEF，又∵AH＝CE，∴BH＝BE，∴∠AHE＝135°，∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF＝135°，∴∠AHE＝∠ECF，在△AHE和△ECF中，，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF，EH＝CF，故①正确；∵BE＝BH，∴EH＝BE，∴CF＝BE，故②正确；∵∠AHE＝135°，∴∠HAE+∠AEH＝45°，又∵AE＝EF，∴∠EAF＝45°，∴∠HAE+∠DAF＝45°，∴∠AEH＝∠DAF，∵∠AEH＝∠EFC，∴∠DAF＝∠EFC，而∠FEC不一定等于∠EFC，∴∠DAF不一定等于∠FEC，故③错误；∵△AHE≌△ECF，∴S△AHE＝S△CEF，设AH＝x，则S△AHE＝x•（1﹣x）＝﹣x2+x，当x＝时，S△AHE取最大值为，∴△CEF面积的最大值为，故④错误，2．如图，E、F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF＝2，则四边形AECF的周长等于（）A．20B．20C．30D．4【解答】解：如图，连接AC交BD于点O．∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC＝OD＝OB，AC⊥BD，∵BD＝10，DE＝BF＝2，∴OE＝OF＝3，OA＝OC＝5，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形，∴AE＝EC＝CF＝AF＝，∴菱形的周长为4，3．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC于E、F两点，则阴影部分的面积是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠EDB＝∠OBF，DO＝BO，在△EDO和△FBO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴S△DEO＝S△BFO，阴影面积＝三角形BOC面积＝×2×2＝1．正方形的综合4．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM．（1）求证：矩形DEFM是正方形；（2）求CE+CM的值．【分析】（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H，根据正方形的性质得到∠ACB＝∠ACD．求得EG＝EH，根据矩形的性质得到∠GEH＝90°．∠DEF＝90°．根据全等三角形的性质得到ED＝EF．根据正方形的判定定理即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°．根据全等三角形的性质得到AE ＝CM．根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠ACD．∵EG⊥CD，EH⊥BC，∴EG＝EH，∵∠EGC＝∠EHC＝∠BCD＝90°，∴四边形EGCH是矩形，∴∠GEH＝90°．∵四边形DEFM是矩形，∴∠DEF＝90°．∴∠DEG＝∠FEH．∵∠EGD＝∠EHF＝90°，∴△EGD≌△EHF（ASA），∴ED＝EF．∴矩形DEFM是正方形；（2）∵四边形DEFM是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°．∴∠ADE＝∠CDM．∴△ADE≌△CDM（SAS），∴AE＝CM．∴CE+CM＝CE+AE＝AC＝＝＝6．5．如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N（1）求证：MN＝MC；（2）若DM：DB＝2：5，求证：AN＝4BN；（3）如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NG•CG的值．【解答】解：（1）如图①，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，则四边形BEMF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°，∴ME＝BE，∴平行四边形BEMF是正方形，∴ME＝MF，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∵∠FME＝90°，∴∠CME＝∠FMN，∴△MFN≌△MEC（ASA），∴MN＝MC；（2）由（1）得FM∥AD，EM∥CD，∴＝＝＝，∴AF＝2.4，CE＝2.4，∵△MFN≌△MEC，∴FN＝EC＝2.4，∴AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，∴AN＝4BN；（3）如图②，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH，∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，∵MC＝MN，MC⊥MN，∴△MNC是等腰直角三角形，∴∠MNC＝45°，∴∠NCH＝45°，∴△MCG≌△HCG（SAS），∴MG＝HG，∵BG：MG＝3：5，设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a，∵正方形ABCD的边长为6，∴BD＝6，∴DM+MG+BG＝12a＝6，∴a＝，∴BG＝，MG＝，∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，∴△MGN∽△CGB，∴＝，∴CG•NG＝BG•MG＝．6．如图，在正方形ABCD中，点M、N分别为边CD、BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN的中点，连接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，给出以下结论：①AM⊥DN；②∠MAN ＝∠BAN；③△PQN≌△BQN；④PQ＝5．其中正确的结论有①④（填上所有正确结论的序号）【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADM＝∠DCN＝90°，在△ADM和△DCN，，∴△ADM≌△DCN（SAS），∴∠DAM＝∠CDN，∵∠CDN+∠ADP＝90°，∴∠ADP+∠DAM＝90°，∴∠APD＝90°，∴AM⊥DN，故①正确，不妨假设∠MAN＝∠BAN，在△APN和△ABN中，，∴△P AN≌△ABN（AAS），∴AB＝AP，∵这个与AP＜AD，AB＝AD，矛盾，∴假设不成立，故②错误，不妨假设△PQN≌△BQN，则∠ANP＝∠ANB，同法可证△APN≌△ABN，∴AP＝AB，∵这个与AP＜AD，AB＝AD，矛盾，∴假设不成立，故③错误，∵DM＝CN＝2，AB＝BC＝8，∴BN＝6，∵∠ABN＝90°，∴AN＝＝＝10，∵∠APN＝90°，AQ＝QN，∴PQ＝AN＝5．故④正确，7．如图，在正方形ABCD中，，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N．连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，则NG·CG的值为15．【解答】解：如图，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH，∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，∵∠CMN＝∠CBN＝90°，∴M、N、B、C四点共圆，∴∠MCN＝45°，∴∠NCH＝45°，∴△MCG≌△HCG（SAS），∴MG＝HG，∵BG：MG＝3：5，设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a，∵正方形ABCD的边长为，∴BD＝12，∴DM+MG+BG＝12a＝12，∴a＝1，∴BG＝3，MG＝5，∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，∴△MGN∽△CGB，∴，∴CG•NG＝BG•MG＝15．8．如图，MN是正方形ABCD的对称轴，沿折痕DF，DE折叠，使顶点A，C落在MN上的点G．给出4个结论：①∠BFE＝30°；②△FGM∽△DEG；③tan∠FDC＝2+；④S△DCE＝（2+）S△DAF．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【解答】解：设∠ADF＝α，∠CDE＝β，根据折叠的性质得，∠FDG＝α，∠GDE＝α，∵四边形ABCD是正方形，则∠ADC＝2α+2β＝90°，∴α+β＝45°，设正方形的边长为4α，则AD＝DG＝DC＝4α，∵MN是正方形ABCD的对称轴，∴DN＝2α，∴sin∠DGN＝＝，∴∠DGN＝30°，∵∠FGD＝∠A＝90°，∴∠FGM＝60°，∴∠BFE＝30°，故①正确；∴∠AFD＝∠GFD＝（180°﹣∠BFE）＝75°，∴α＝15°，β＝30°，∵∠MFG＝∠BFE＝30°＝β＝∠GDE，∠B＝∠DGE＝∠C＝90°，∴△FGM∽△DEG；故②正确；设FG＝AF＝x，则FM＝2α﹣x，在△GFM中，cos∠MFG＝＝cos30°＝，∴＝，解得x＝4（2﹣）α，即AF＝4（2﹣）α，∵∠FDC＝α+2β＝75°＝∠AFD，tan∠FDC＝tan∠AFD＝＝＝2+≠2+，故③不正确；∵∠EDC﹣30°，∴EC＝DC•tan30°＝4α•＝α，∴S△DCE＝×4α×α＝8α2，∵AF＝4（2﹣）α，AD＝4α，∴（2+）S△DAF＝（2+）××AD×AF＝（2+）×4α×4（2﹣）α＝8α2，∴S△DCE＝（2+）S△DAF，故④正确，故①②④正确，。

中考数学一轮复习正方形试题

正方形知识考点：理解正方形的性质和断定，并能利用它进展有关的证明和计算。

精典例题：【例1】如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且EF ∥AC ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG ＝AD ，EG 与DF 相交于点H 。

求证：AH ＝AD 。

分析：因为A 是DG 的中点，故在△DGH 中，假设AH ＝AD ，当且仅当△DGH 为直角三角形，所以只须证明△DGH 为直角三角形〔证明略〕。

评注：正方形除了具备平行四边形的一般性质外，还特别注意其直角的条件。

本例中直角三角形的中线性质使此题证明简单。

例1图例2图【例2】如图，在正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，假设∠PAQ ＝450，求证：PB ＋DQ ＝PQ 。

分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明。

变式：假设条件改为PQ ＝PB ＋DQ ，那么∠PAQ ＝？你还能得到哪些结论？探究与创新：【问题一】如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过A 作AG ⊥EB 于G ，AG 交BD 于点F ，那么OE ＝OF ，对上述命题，假设点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，交EB 的延长线于点G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，那么结论“OE ＝OF 〞还成立吗？假如成立，请给出证明；假如不成立，说明理由。

问题一图1 O F G EDC BA问题一图2分析：对于图1通过全等三角形证明OE ＝OF ，这种证法是否能应用到图2的情境中去，从而作出正确的判断。

结论：〔2〕的结论“OE ＝OF 〞仍然成立。

提示：只须证明△AOF ≌△BOE 即可。

评注：此题以正方形为背景，打破了单纯的计算与证明，着重考察了学生观察、分析、判断等多种才能。

【问题二】操作，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑行，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q 。

中考数学复习《正方形》专项提升训练(附答案)

中考数学复习《正方形》专项提升训练(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.如图，平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可用如图表示，则图中阴影部分所表示的图形是( )A.矩形B.菱形C.矩形或菱形D.正方形2.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是( )A.22.5°B.25°C.23°D.20°3.如图，已知菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )A.16B.12C.24D.184.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE＝AC，则∠E＝( )A.90°B.45°C.30°D.22.5°5.将一正方形纸片按图中⑴、⑵的方式依次对折后，再沿⑶中的虚线裁剪，最后将⑷中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的( )6.如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC 和DEF 沿直线l 滑动，下列说法错误的是( )A.四边形ACDF 是平行四边形B.当点E 为BC 中点时，四边形ACDF 是矩形C.当点B 与点E 重合时，四边形ACDF 是菱形D.四边形ACDF 不可能是正方形 7.下列叙述，错误的是( )A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线相等的四边形是矩形8.已知一个无盖长方体的底面是边长为1的正方形，侧面是长为2的长方形，现展开铺平.如图，依次连结点A ，B ，C ，D 得到一个正方形，将周围的四个长方形沿虚线剪去一个直角三角形，则所剪得的直角三角形较短直角边与较长直角边的比是( )A.12B.13C.23D.459.如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点O 又是正方形A 1B 1C 1O 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形A 1B 1C 1O 绕点O 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的( )A.12B.13C.14D.1510.如图,点O(0,0)，A(0,1)是正方形OAA 1B 的两个顶点，以OA 1对角线为边作正方形OA 1A 2B 1，再以正方形的对角线OA 2作正方形OA 1A 2B 1，…，依此规律，则点A 2027的坐标是( )A.(0，21013)B.(21013，21013)C.(21014，0)D.(21014，﹣21014) 二、填空题11.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ，则∠BED 的度数是 .12.如图．将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE 、BF ，则∠EBF 的大小为．13.如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图2中Ⅱ部分的面积是．14.若正方形的面积是9，则它的对角线长是 .15.如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q.若PQ＝AE，则AP等于_______cm.16.如图，线段AC＝n＋1(其中n为正整数)，点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME.当AB＝1时，△AME的面积记为S1；当AB＝2时，△AME的面积记为S2；当AB＝3时，△AME的面积记为S3；则S3﹣S2＝.三、解答题17.如图，已知点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE．求证：(1)EF＝FP＝PQ＝QE；(2)四边形EFPQ是正方形．18.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别延长OA、OC到点E、F，使AE＝CF，依次连接B、F、D、E各点.(1)求证：△BAE≌△BCF；(2)若∠ABC＝50°，则当∠EBA＝________°时，四边形BFDE是正方形.19.如图，已知在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．(1)求证：AP＝BQ；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．20.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD边上的点，BE，AF交于点O，且AE＝DF．(1)求证：△ABE≌△DAF；(2)若BO＝4，DE＝2，求正方形ABCD的面积．21.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE 于点F，交CD于点G．(1)证明：△ADG≌△DCE；(2)连接BF，证明：AB＝FB．22.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于点Q.(1)如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；(2)如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想.23.在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线(如，连接两点，过某点作垂线，作延长线，作平行线等等)把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的.(1)(探究发现)如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF.通过探究，可发现BE，EF，DF之间的数量关系为________(直接写出结果).(2)(验证猜想)同学们讨论得出下列三种证明思路(如图1)：思路一：过点A作AG⊥AE，交CD的延长线于点G.思路二：过点A作AG⊥AE，并截取AG＝AE，连接DG.思路三：延长CD至点G，使DG＝BE，连接AG.请选择一种思路证明(探究发现)中的结论.(3)(应用)如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且BC＝3BE，∠EAF ＝45°，设BE＝t，试用含t的代数式表示DF的长.参考答案1.D.2.A3.A.4.D5.B.6.B.7.D.8.C.9.C.10.B11.答案为：45°.12.答案为：45°．13.答案为：100.14.答案为：3 2.15.答案为：1或2.16.答案为：52 .17.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD ∵AF＝BP＝CQ＝DE∴DF＝CE＝BQ＝AP在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS)∴EF＝FP＝PQ＝QE；(2)∵EF＝FP＝PQ＝QE∴四边形EFPQ是菱形∵△APF≌△BQP∴∠AFP＝∠BPQ∵∠AFP＋∠APF＝90°∴∠APF＋∠BPQ＝90°∴∠FPQ＝90°∴四边形EFPQ是正方形．18.证明：(1)在菱形ABCD中，BA＝BC∴∠BAC＝∠BCA∴∠BAE＝∠BCF.在△BAE与△BCF中BA＝BC，∠BAE＝∠BCF，AE＝CF∴△BAE≌△BCF(SAS).(2)20.19.证明：(1)∵正方形ABCD∴AD＝BA，∠BAD＝90°，即∠BAQ＋∠DAP＝90°∵DP⊥AQ∴∠ADP＋∠DAP＝90°∴∠BAQ＝∠ADP∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P∴∠AQB＝∠DPA＝90°∴△AQB≌△DPA(AAS)∴AP＝BQ(2)①AQ﹣AP＝PQ②AQ﹣BQ＝PQ③DP﹣AP＝PQ④DP﹣BQ＝PQ20.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°又AE＝DF∴△ABE≌△DAF；(2)∵△ABE≌△DAF∴∠FAD＝∠ABE又∠FAD＋∠BAO＝90°∴∠ABO＋∠BAO＝90°∴△ABO∽△EAB∴AB：BE＝BO：AB，即AB：6＝4：AB∴AB2＝24所以正方形ABCD面积是24．21.解：(1)∵四边形ABCD是正方形∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC又∵AG⊥DE∴∠DAG＋∠ADF＝90°＝∠CDE＋∠ADF∴∠DAG＝∠CDE∴△ADG≌△DCE(ASA)；(2)如图所示，延长DE交AB的延长线于H∵E是BC的中点∴BE＝CE又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB∴△DCE≌△HBE(ASA)∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点又∵∠AFH＝90°∴Rt△AFH中BF＝12AH＝AB．22.解：(1)PB＝PQ.证明：连接PD ∵四边形ABCD是正方形∴∠ACB＝∠ACD，∠BCD＝90°，BC＝CD又∵PC＝PC∴△DCP≌△BCP(SAS)∴PD＝PB，∠PBC＝∠PDC∵∠PBC＋∠PQC＝180°，∠PQD＋∠PQC＝180°∴∠PBC＝∠PQD∴∠PDC＝∠PQD∴PQ＝PD∴PB＝PQ(2)PB＝PQ.证明：连接PD同(1)可证△DCP≌△BCP∴PD＝PB，∠PBC＝∠PDC∵∠PBC＝∠Q∴∠PDC＝∠Q∴PD＝PQ∴PB＝PQ.23.解：(1)EF＝BE＋DF.(2)思路三：延长CD至点G，使DG＝BE，连接AG. ∵正方形ABCD∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°∵BE＝DG∴△ABE≌△ADG(SAS)∴AE＝AG,∠BAE＝∠DAG∵∠EAF＝45°∴∠BAE＋∠DAF＝45°∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝45°∴∠GAF＝∠EAF∴AF＝AF∴△EAF≌△GAF(SAS)∴EF＝GF＝BE＋DF.(3)由题意可知，CE＝2t，设DF＝x，则CF＝3t-x，EF＝2t＋x ∴在RtCEF中，EF2＝CE2＋CF2∴(x＋t)2＝(3t-x)2＋(2t)2∴x＝32t.即DF＝32t.。

初中正方形的判定专项练习30题

正方形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AEB=2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．2．已知：如图，CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，过点A作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？3．已知：如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，将△ADE绕点D旋转180°至△BDF．（1）小明发现四边形BCEF的形状是平行四边形，请你帮他把说理过程补齐．理由是：因为△BDF是由△ADE绕点D旋转180°得到的所以△ADE与△BDF全等且点A、D、B在同一条直线上点E、D、F也在同一条直线上．所以BF=AE，∠F=∠_________可得BF∥_________又因为E是AC的中点，所以EC=AE，所以BF= _________因此，四边形BCEF是平行四边形（根据_________ ）（2）小明还发现在原有的△ABC中添加一个条件后，就可以使四边形BFEC成为一种特殊的平行四边形．你也来试试．你认为添加条件_________ 后，四边形BFEC是_________ ．（友情提示：我们将根据你所提出问题的难易程度，给予不同的分值．）理由是：_________ ．4．如图，在矩形ABCD中，AF、BE、CE、DF分别是矩形的四个角的角平分线，E、M、F、N是其交点，求证：四边形EMFN是正方形．5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于点F．求证：（1）点F为AC中点；（2）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；（3）若四边形ADCE为正方形，△ABC应添加什么条件？并证明你的结论．6．求证：对角线相等的菱形是正方形．已知：四边形ABCD是菱形，且AC=BD （又：AC，BD互相平分）求证：四边形ABCD是正方形．7．在△ACD中，∠D=90°，∠D的平分线交AC于点E，EF⊥AD交AD于点F，EG⊥DC交DC于点G，请你说明四边形EFDG是正方形．8．已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F．（Ⅰ）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？试说明理由．（Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？9．如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（2）当∠A=90°时，求证：四边形AFDE是正方形．10．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG 与CD相交于点F．求证：四边形ABCD是正方形．11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．（1）求证：DE=DF；（2）若再添加一个条件，即可证得四边形AEDF为正方形，这个条件是_________ ．12．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CFDE是正方形．13．已知：如图，在△ABC是，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为EF，求证：四边形CFDE 是正方形．14．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（2）若∠A=90°，判断四边形AEDF的形状，并说明理由．15．如图△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠GCA的平分线于点F．（1）说明 EO=FO．（2）当点O运动到何处，四边形AECF是矩形？说明你的结论．（3）当点O运动到何处，AC与BC具有怎样的关系时，四边形AECF是正方形？为什么？16．如图，在△ABC中，AB=AC，P是边BC的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E（1）求证：PD=PE；（2）DE与BC平行吗？请说明理由；（3）请添加一个条件，使四边形ADPE为正方形，并加以证明．17．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠CAB、∠CBA的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，（1）求∠ADB的度数；（2）试说明四边形CEDF是什么形状的特殊四边形．18.证明：对角线相等的菱形是正方形．19．已知：如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形．21．如图所示，在Rt△ABC中，CF为直角的平分线，FD⊥CA于D，FE⊥BC于E，则四边形CDFE是怎样的四边形，为什么？22．如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB．求证：四边形BEDF是正方形．23．如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．求证：四边形EFGH是正方形．24．已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形CEDF是正方形．25．如图所示，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的．求证：四边形EFGH是正方形．26．如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点，当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由．27．已知四边形ABCD中，AB=CD，AC=BD，试添加适当的条件使四边形ABCD成为特殊的平行四边形，并说明理由．28．如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．29．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且DE∥AC，DF∥AB．（1）如果∠BAC=90°那么四边形AEDF是_________ 形；（2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是_________ 形；（3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是_________ 形，证明你的结论（仅需证明第3）题结论）30．如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．请回答下列问题：（1）说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？（第（2）（3）（4）（5）题不必说明理由）矩形的判定30题参考答案：1.（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．∵△ACE是等边三角形，∴AE=CE．∴BE⊥AC．∴四边形ABCD是菱形．（2）从上易得：△AOE是直角三角形，∴∠AEB+∠EAO=90°∵△ACE是等边三角形，∴∠EAO=60°，∴∠AEB=30°∵∠AEB=2∠EAB，∴∠EAB=15°，∴∠BAO=∠EAO﹣∠EAB=60°﹣15°=45°．又∵四边形ABCD是菱形．∴∠BAD=2∠BAO=90°∴四边形ABCD是正方形．2．（1）证明：∵CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，∴∠ACE+∠ACF=×180°=90°，∵AE⊥CE，AF⊥CF，∴∠AEC=∠AFC=90°，∴四边形AECF是矩形．（2）答：当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形，理由是：∵∠ACE=∠ACB=45°，∵∠AEC=90°，∴∠EAC=45°=∠ACE，∴AE=CE，∵四边形AECF是矩形，∴四边形AECF是正方形．3．（1）故答案为∠AED（1分）；BF∥AC（2分）；EC（3分）；一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．（2）A层次：（提出问题（1分），说理1分）添加条件∠C=90°后四边形BFEC为矩形．（5分）理由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形，又∠C=90°，即有一个角是直角的平行四边形是矩形．（6分）．B层次：（提出问题分，说理1分）添加条件AC=2BC后四边形BFEC为菱形．理由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形又知AC=2CE，AC=2BC，所以EC=BC，即一组邻边相等的平行四边形是菱形．C层次：（提出问题（3分），说理3分）添加条件∠C=90°且AC=2BC时四边形BFEC为正方形．（7分）理由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形，又∠C=90°，即有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此时四边形BFEC为矩形，又因为AC=2CE，AC=2BC，所以EC=BC，一组邻边相等的矩形是正方形，所以此时四边形BFEC为正方形．4．∵四边形ABCD是矩形，∴四个内角均为90°，∵AF，BE，CE，DF分别是四个内角的平分线，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴△EBC为等腰直角三角形，∴∠E=90°，同理∠F=∠EMF=∠ENF=90°，∴四边形MFNE为矩形，∵AD=BC，∠E=∠F=90°，∠DAF=∠EBC=45°，∴△DAF≌△CBE（AAS）∴AF=BE，∵AM=BM，∴AF﹣AM=BE﹣BM，即FM=EM，∴四边形MFNE是正方形．5．（1）∵四边形DBEC是平行四边形，∴DE∥BC，∵D为AB中点，∴DF为△ABC的中位线，即点F为AC的中点；（2）∵平行四边形BDEC，∴CE平行等于BD．∵D为AB中点，∴AD=BD，∴CE平行且等于AD，∴四边形ADCE为平行四边形，又∵AD=CD=BD，∴四边形ADCE为菱形；（3）应添加条件AC=BC．证明：∵AC=BC，D为AB中点，∴CD⊥AB（三线合一的性质），即∠ADC=90°．∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形，∴DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90°．∴四边形ADCE为正方形．（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形）6．∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD也是平行四边形，又∵AC=BD（且AC，BD互相平分），∴四边形ABCD也为矩形，又∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形．7．∵DE平分∠ADE，EF⊥AD，EF⊥AD，∴EF=EG，∵DE=DE，∴△DEF≌△DGE（HL），∴∠DEF=∠EDG，∠DEG=∠EDF，∴FE∥DG，GE∥DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∵∠EFD=90°，∴四边形EFDG是矩形，∵EF=EG，∴四边形EFDG是正方形．8．Ⅰ）法1：答：当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=DC，又∵AM=DM，∴△AMB≌△DMC（SAS）∴∠AMB=∠DMC∵四边形PEMF为矩形，∴∠BMC=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°∴AM=DM=DC，即AD=2DC．∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍；法2：∵四边形PEMF为矩形，∴∠M为直角，∴B、C、M三点共圆，BC为直径，又∵M为AD的中点，∴BC=2CD，∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．（Ⅱ）答：当点P运动到BC中点时，四边形PEMF变为正方形．∵△AMB≌△DMC，∴MB=MC．∵四边形PEMF为矩形，∴PE∥MB，PF∥MC又∵点P是BC中点，∴PE=PF=MC∴四边形PEMF为正方形．9．（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，在Rt△BDF和Rt△CDE 中，，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）；（2）答：四边形AFDE是正方形．证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE，∴四边形AFDE是正方形10．∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE，∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，∴∠CBE=∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD，∴∠CBE=∠ABE=45°，∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形，∴AB=AD=BC=CD，∴四边形ABCD是正方形．11．（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，又∵D是BC中点，AB=AC，∴BD=CD，在△BFD与△CED中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）解：当△ABC为等腰直角三角形时，则有AE=DE=DF=AF，四边形AEDF为菱形，又∵∠A=90°，∴菱形AEDF为正方形12．过点D作DG⊥AB，垂足为G，∵∠CFD=∠CED=∠C=90°，∴四边形CEDF是矩形．∵AD，BD分别是∠CAB，∠CBA的平分线，∴DF=DG，DG=DE．∴DF=DE．∴四边形CFDE是正方形．13．∵∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC，∴四边形CFDE是矩形．.又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE=DF．∴四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．14．（1）∵在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C．∵D为BC边的中点，∴BD=CD．在△BED与△CFD中，∵，∴△BED≌△CFD（AAS）；（2）四边形AEDF是正方形．理由如下：∵∠DEB=90°，∠A=90°，∴∠DEB=∠A，∴AF∥ED．同理，AE∥FD，∴四边形AEDF是矩形．又由（1）知，△BED≌△CFD，∴ED=FD，∴矩形AEDF是正方形15．（1）∵MN∥BC，∴∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∵CE，CF分别为∠BCA，∠GCA的角平分线，∴∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，∴∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，∴OC=OE，OC=OF，∴OE=OF，（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，理由：∵O点为AC的中点，∴OA=OC，∵OE=OF，OC=OE=OF，∴OA=OC=OE=OF，∴AC=EF，∴四边形AECF是矩形，（3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，理由：∵O点为AC的中点，∴OA=OC，∵OE=OF，OC=OE=OF，∴OA=OC=OE=OF，∴AC=EF，∵AC⊥BC，MN∥BC，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．16．1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠PDB=∠PEC=90°，∵P是BC的中点，∴BP=PC，即∠BDP=∠PEC=90°，∠B=∠C，PB=PC，∴△PDB≌△PEC，∴PD=PE．（2）答：DE∥BC，理由是：∵△PDB≌△PEC，∴BD=CE，∵AB=AC，∴=，∴DE∥BC．（3）答：当∠A=90°时，使四边形ADPE为正方形，证明：∵∠A=∠ADP=∠AEP=90°，∴四边形ADPE是矩形，∵AB=AC，BD=CE，∴AD=AE，∴矩形ADPE是正方形，即当∠A=90°时，使四边形ADPE为正方形．17．（1）∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴∠DAB+∠DBA=（∠CAB+∠CBA）=×90°=45°，∴∠ADB=180°﹣45°=135°；（2）四边形CEDF是正方形．过D作DG⊥AB于G，∵AD、BD是∠CAB、∠CBA的平分线，∴DF=DG，DE=DG，∴DF=DE，∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，DE⊥BC于E，DF⊥AC 于F，∴四边形CEDF是正方形．18．连接AC、BD相交于O∵菱形ABCD∴OA=OC=AC，OB=OD=BD∵AC=BD∴OA=OB∵OA⊥OB（菱形的对角线互相垂直）∴∠OAB=∠OBA=45°同理∠OBC=∠OCB=45°..∴∠OBA+∠OBC=90° ∴∠ABC=90°∴ABCD 是正方形．19．①∵DE ∥AC ，DF ∥AB ， ∴四边形AEDF 为平行四边形； ②∵四边形AEDF 为菱形， ∴AD 平分∠BAC ，则AD 平分∠BAC 时，四边形AEDF 为菱形； ③由四边形AEDF 为正方形，∴∠BAC=90°， ∴△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形即可 20．∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴∠AED=90°，∠AFD=90° ∵∠BAC=90° ∴∠EDF=90° ∴□AEDF 是矩形在△BDE 和△CDF 中 ∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴∠DEB=∠DFC 又∵D 是BC 的中点 ∴BD=DC∴△BDE ≌△CDF ∴DE=DF∴□AEDF 是正方形21．四边形CDFE 是正方形理由如下：∵FD ⊥AC ，FE ⊥BC ，AC ⊥BC ∴四边形CDFE 是矩形 ∵CF 平分∠ACB ∴∠FCD=45° ∴CD=DF∴四边形CDFE 是正方形22．∵∠ABC=90°，DE ⊥BC ，DF ⊥AB ， ∴∠BFD=∠BED=∠ABC=90°． ∴四边形BEDF 为矩形．又∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DF ⊥AB ， ∴DF=DE ．∴矩形BEDF 为正方形．23．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA ，∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG ，又∵BE=CF=DG=AH ， ∴CG=DH=AE=BF∴△AEH ≌△CGF ≌△DHG ，∴EF=FG=GH=HE ，∠EFB=∠HEA ， ∴四边形EFGH 为菱形，∵∠EFB+∠FEB=90°，∠EFB=∠HEA ， ∴∠FEB+∠HEA=90°，∴四边形EFGH 是正方形．24．∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ， ∴DE=DF ，∠DFC=90°，∠DEC=90°，又∵∠ACB=90°，∴四边形DECF 是矩形， ∵DE=DF ，∴矩形DECF 是正方形．25．∵矩形的ABCD 的外角都是直角，HE ，EF 都是外角平分线，∴∠BAE=∠ABE=45°． ∴∠E=90°．同理，∠F=∠G=90°． ∴四边形EFGH 为矩形．∵AD=BC ，∠HAD=∠HDA=∠FBC=∠FCB=45°， ∴△ADH ≌△BCF （AAS ）． ∴AH=BF ．又∵∠EAB=∠EBA ， ∴AE=BE ．∴AE+AH=EB+BF ，即EH=EF ． ∴矩形EFGH 是正方形．26．四边形ABCD 满足AC=BD ，AC ⊥BD 时，四边形EFGH 为正方形．理由如下：∵E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∴EF ∥AC ，且EF=AC ， EH ∥BD ，且EH=BD ，∵四边形EFGH 是正方形， ∴EF=EH ，EF ⊥EH ， ∴AC=BD ，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 满足对角线互相垂直且相等时，四边形EFGH 是正方形．..即四边形ABCD 满足AC=BD ，AC ⊥BD 时，四边形EFGH 为正方形．27．本题答案不唯一，以下是其中两种解法：（1）添加条件AB ∥DC ，可得出该四边形是矩形；理由：∵AB ∥DC ，AB=DC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形．（2）添加条件AC 垂直平分BD ，那么该四边形是正方形．理由：∵AC 垂直平分BD ， ∴AB=AD ，BC=CD ． ∵AB=DC ，∴AB=AD=BC=DC ．∴四边形ABCD 是菱形． ∵AC 垂直BD ，∴四边形ABCD 是正方形．28．（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO=CO=AC ，∵EA=EC ， ∴EO ⊥AC ，即BD ⊥AC ，∴平行四边形ABCD 是菱形；（2）∵∠1=∠EAD+∠AED ，∠DAC=∠EAD+∠AED ， ∴∠1=∠DAC ， ∴AO=DO ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC=2AO ，DB=2DO ， ∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是正方形．29．（1）∵DE ∥AC ，DF ∥AB ， ∴四边形AEDF 是平行四边形，又∵∠BAC=90°，∴四边形AEDF 是矩形；（2）∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴∠ADE=∠DAF ，四边形AEDF 是平行四边形，又∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠DAE=∠DAF ， ∴∠ADE=∠DAE ， ∴AE=DE ，∴▱AEDF 是菱形；（3）由（1）知四边形AEDF 是矩形，由（2）知四边形AEDF 是菱形，所以四边形AEDF 是正方形． 30．（1）四边形ADEF 是平行四边形． ∵等边三角形BCE 和等边三角形ABD ， ∴BE=BC ，BD=BA ．又∵∠DBE=60°﹣∠ABE ，∠ABC=60°﹣∠ABE ， ∴∠DBE=∠ABC ．在△BDE 和△BCA 中，∴△BDE ≌△BCA ．（2分） ∴DE=AC ．∵在等边三角形ACF 中，AC=AF ， ∴DE=AF ．同理DA=EF ．∴四边形ADEF 是平行四边形．（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF 是矩形．（5分）理由：∵∠DAF=360°﹣∠DAB ﹣∠BAC ﹣∠CAF=90°， ∴▱ADEF 是矩形．（3）当AB=AC ，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF 是菱形．（6分）理由：∵AB=AC ， ∴AD=AF ，∴▱ADEF 是菱形．（4）当∠BAC=150°且AB=AC ，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF 是正方形．（7分）（5）当∠BAC=60°时，以A ，D ，E ，F 为顶点的四边形不存在．（8分）。

中考利用正方形的性质探索线段的数量关系问题

中考利用正方形的性质探索线段的数量关系问题江苏刘顿我们知道，正方形是一种特殊的四边形，它里面隐含着许多的线段之间的关系，因而历年各地中考试卷总是会出现有关利用正方形的性质探索线段的数量关系问题，求解时只要我们能充分利用正方形的特性，结合图形大胆的探索、归纳、验证即可使问题获解.现以2006年中考试题为例说明如下：例1（南通市）已知：如图1，O 正方形ABCD 的中心，BE 平分∠DBC ，交DC 于点E ，延长BC 到点F ，使CF ＝CE ，连结DF ，交BE 的延长线于点G ，连结OG .（1）求证：△BCE ≌△DCF ；（2）OG 与BF 有什么数量关系？证明你的结论；（3）若GE ·GB ＝4－22，求正方形ABCD 的面积.分析（1）要证明△BCE ≌△DCF ，由正方形的特性和CF ＝CE ，利用“SAS ”即证；（2）由（1）可知∠CBE ＝∠CDF ，得∠DGE ＝∠BCE ＝90°，即BG ⊥DF ，而BE 平分∠DBC ，交DC 于点E ，所以由等腰三角形的“三线合一”定理知G 是DF 的中点，于是可知OG 是△DBF 的中位线，则有OG ＝12BF ；（3）要求正方形ABCD 的面积，只要求出其边长，若设BC ＝x ，则DC ＝x ，BD ＝2x ，CF ＝(2－1)x ，易知△DGE ∽△BGD ，即有GD 2＝GE ·GB ，再由条件GE ·GB ＝4－22，并结合勾股定理，可以求出x ，从而使问题获解.解（1）证明在正方形ABCD 中，因为BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ＝90°，而CF ＝CE ，所以△BCE ≌△DCF ；（2）由（1）可知∠CBE ＝∠CDF ，得∠DGE ＝∠BCE ＝90°，即BG ⊥DF ，又因为BE 平分∠DBC ，交DC 于点E ，所以由等腰三角形的“三线合一”定理知G 是DF 的中点，又点O 是正方形的中心，所以OG 是△DBF 的中位线，则有OG ＝12BF ；（3）设BC ＝x ，则DC ＝x ，BD ＝2x ，CF ＝(2－1)x ，由（1）和（2）易证△DGE ∽△BGD ，所以DG BG ＝EG DG，即GD 2＝GE ·GB ，又因为GE ·GB ＝4－22，所以GD 2＝GE ·GB ＝4－22，在Rt △DCF 中，由勾股定理，得DC 2+CF 2＝(2GD )2，即x 2+(2－1)2x 2＝4(4－22)，所以(4－22)x 2＝4(4－22)，即x 2＝4，所以正方形ABCD 的面积是4个平方单位. 说明正方形是有一个角是直角的菱形；正方形又是对角线相互垂直的矩形；正方形是中心对称对称图形，也是轴对称图形.正方形的对角线分其四个全等的等腰直角三角形.C 图1D GO EA B F例2（绵阳市）在正方形ABCD 中，点P 是CD 上一动点，连结P A ，分别过点B 、D 作BE ⊥P A 、DF ⊥P A ，•垂足为E 、F ，如图2－①.（1）请探究BE 、DF 、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系.若点P 在DC 的延长线上（如图2－②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P 在CD 的延长线上呢（如图2－③）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明.分析本题考查正方形的性质及全等三角形的判定及性质，找出图中全等的直角三角形，然后根据全等三角形的对应边相等来到处两线段的和等于某条线段.解（1）图2－①的结论是BE ＝EF +DF ；图2－②的结论是DF ＝BE +EF ；图－③的结论是EF ＝BE +DF .（2）证明图2－①，因为DF ⊥P A ，所以∠DAF +∠ADF ＝90°.因为∠DAF +∠BAE ＝90°，所以∠ADF ＝∠BAE .因为BE ⊥P A ，所以∠AEB ＝∠AFD ＝90°.在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，所以△ABE ≌△DAF ，所以BE ＝AF ，AE ＝DF .因为AF ＝AE +EF ，所以BE ＝DF +EF .说明求解本题中的问题一定要根据图形的特征，从中找到求解的最佳突破口.例3（河北省）如图3－①，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图3－②，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF 旋转到如图3－③所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.分析要探索线段BM ，FN 的数量关系，由正方形的图形特征，可以猜想BM ＝FN ，进而可以利用中心对称的知识或全等三角形的知识即可验证.A （G ）B （E ）CD （F ） O ③ N A G C D O M FE B ② ①F A B C D O EG M N 图3 图2解（1）BM ＝FN .证明如下：因为△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，所以∠ABD ＝∠F ＝45°，OB ＝OF .又∠BOM ＝∠FON ，所以△OBM 可以看成是由△OFN 绕点O 旋转180°面得到的，即BM ＝FN .（2）BM ＝FN 仍然成立.理由是：因为△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，所以∠DBA ＝∠GFE ＝45°，OB ＝OF .所以∠MBO ＝∠NFO ＝135°.又∠MOB ＝∠NOF ，所以△OBM 是由△OFN 绕点O 旋转180°面得到的，所以BM ＝FN .说明本题是一只等腰直角三角板的斜边中点与正方形的中心重合，并按规则旋转的操作问题，这两个规则的几何图形组合在一起，有许多隐含的已知条件，求解时一定要通过对问题进行大胆地猜想、归纳、验证.这种探索型的问题，求解时一定要认真阅读题目，以动制静，并进行大胆地猜想、归纳、验证，从而使问题获解.例4（锦州市）如图4，△ABC 是等腰直角三角形，其中CA ＝CB ，四边形CDEF 是正方形，连接AF 、BD .（1）观察图形，猜想AF 与BD 之间有怎样的关系，并说明你的猜想；（2）若将正方形CDEF 绕点C 按顺时针方向旋转，使正方形CDEF 的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.分析要想确定AF 与BD 之间有怎样的关系，由于△ABC 是等腰直角三角形，四边形CDEF 是正方形，且CA ＝CB ，这样利用旋转的知识即可知道△ACF 与△BCD 是全等的图形，所以即可得到第（1）小问的结论是AF ＝BD 且AF ⊥BD ；对于第（2）小问就可以仿照第（1）小问的方法求解了.解（1）猜想：AF ＝BD 且AF ⊥BD .理由是：设AF 与DC 交点为G .因为FC ＝DC ，AC ＝BC ，∠BCD ＝∠BCA +∠ACD ，∠ACF ＝∠DCF +∠ACD ，∠BCA ＝∠DCF ＝90°，∠BCD =∠ACF .所以△ACF 可以看成是绕点C 旋转一定的角度后与△BCD 重合，即△ACF 与△BCD 是全等的图形，所以AF ＝BD ，∠AFC ＝∠BDC .因为∠AFC +∠FGC ＝90°, ∠FGC ＝DGA ，所以∠BDC +∠DGA ＝90°.所以AF ⊥BD . 所以AF ＝BD 且AF ⊥BD .（2）结论：AF ＝BD 且AF ⊥BD .图形不惟一，只要符合要求即可.如：如图5，①CD 边在△ABC 的内部时；②CF 边在△ABC 的内部时.说明要说明两条线段的关系应分别从数量和位置两个方面去考虑，否则就有可能出现错误. G图 4 图 5。

九年级数学中考二轮专项训练——正方形的判定与性质

中考二轮专项训练——正方形的判定与性质一、单选题1．顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是正方形，则原四边形可能是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm3．如图，把一张矩形纸片ABCD按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为()A2B．212C．512D．434．如图①、图②，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求；乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．对于以上两种作法，可以做出的判定是（）A．甲正确，乙不正确B．甲、乙正确C．乙正确，甲不正确D．甲、乙均不正确5．如图，在□ABCD中，E为BC边上的点，满足BE= 5CE，若四边形AEDF为正方形，则tanB的值为（）A ．1B ．32C ．2D ．526．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B ，下列说法错误的是（）A ．圆形铁片的半径是4cmB ．四边形AOBC 为正方形 C ．弧AB 的长度为4πcmD ．扇形OAB 的面积是4πcm 27．如图，在ABC 中， 90A ∠=︒ ， 6AB = ， 8AC = ， ABC ∠ 与 ACB ∠ 的平分线交于点 O ，过点 O 作 OD AB ⊥ 于点 D ，若则 AD 的长为( )A 2B ．2C 3D ．48．如图，在等腰 Rt ABC 中， 90C ∠=︒ ， 42AB =， F 是 AB 边上的中点，点 D 、 E 分别在 AC 、 BC 边上运动，且保持 CD BE = ，连接 DE 、 EF 、 FD .在此运动变化过程中，下列结论：①DEF 是等腰直角三角形；②四边形 CDFE 不可能为正方形；③DE 长度的最小值为2；④四边形 CDFE 的面积保持不变；⑤CDE 面积的最大值为2.其中正确的结论是（）A ．①②③B ．①④⑤C ．①③④D ．③④⑤9．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC∠BD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，若AC ＝BD ＝2，则EF 的长是（）A ．2B 3C 6D 2二、填空题10．如图， 2AB CD DE === ， 90B BCD D ∠=∠=∠=︒ ，以 D 为圆心， DC 为半径画弧交 AE 与点 F ，设图中两块阴影部分面积分别为 1S ， 2S ，则 12S S -= .11．一副含30°和45°角的三角板ABC 和DEF 叠合在一起，边BC 与EF 重合，BC=EF=12cm （如图1），点G 为边BC （EF ）的中点，边FD 与AB 相交于点H ，此时线段BH 的长是．现将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转（如图2），在∠CGF 从0°到60°的变化过程中，点H 相应移动的路径长共为．（结果保留根号）12．如图，在四边形BCDE 中，BC∠CD ，DE∠CD ，AB∠AE ，垂足分别为C ，D ，A ，BC≠AC ，点M ，N ，F 分别为AB ，AE ，BE 的中点，连接MN ，MF ，NF 。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。