天津市河北区2021届新高考第二次质量检测数学试题含解析

天津市河北区2021届新高考第二次质量检测数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ）

A ．21,2n n n ∀>>

B ．21,2n n n ∃≤≤

C ．21,2n n n ∀>≤

D ．21,2n n n ∃>≤

【答案】C

【解析】

根据命题的否定，可以写出p ⌝：21,2n n n ∀>≤，所以选C. 2．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起至A BE 'V ，记二面角A BE D '--的平面角为α，直线A E '与平面BCDE 所成的角为β，A E '与BC 所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A '的位置，αβπ+≤；②对满足题意的任意的A '的位置，αγπ+≤，则( )

A ．命题①和命题②都成立

B ．命题①和命题②都不成立

C ．命题①成立，命题②不成立

D ．命题①不成立，命题②成立

【答案】A

【解析】

【分析】 作出二面角α的补角、线面角β、线线角γ的补角，由此判断出两个命题的正确性.

【详解】

①如图所示，过'A 作'AO ⊥平面BCDE ，垂足为O ，连接OE ，作OM BE ⊥，连接'A M .

由图可知'A MO πα∠=-，''A EO A MO βπα∠=≤∠=-，所以αβπ+≤，所以①正确.

②由于//BC DE ，所以'A E 与BC 所成角''A ED A MO γππα=-∠≤∠=-，所以αγπ+≤，所以②正确.

综上所述，①②都正确.

故选：A

【点睛】

本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u v u u u v u u u v ，．点P 为BC 边上的动点，则()

PC PA PB PC ⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v 的最小值为（ ）

A ．2

B ．34-

C ．2-

D ．2512

- 【答案】D

【解析】

【分析】 以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，

，，，设()()0P a A x y ，，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值．

【详解】

以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，

可得()()1010B C -，

，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r

， 可得()()120222x y x +⋅=+=-，

，，即20x y =-≠，， 则()

()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r ，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--

21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝

⎭， 当16a =时，()

PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-． 故选D ．

【点睛】

本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．

4．已知椭圆22y a +2

2x b

=1(a>b>0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F(0，-c)，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）

A

B

．C

D

【答案】A

【解析】

【分析】

联立直线与椭圆方程求出交点A ，B 两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式，解方程求解即可.

【详解】 联立方程22

22

11y x a b y x a b

⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解方程可得0x y a =⎧⎨=⎩或0x b y =-⎧⎨=⎩， 不妨设A(0，a)，B(-b ，0)，由题意可知，BA u u u r ·BF u u u r

=0， 因为(),BA b a =u u u r ，(),BF b c =-u u u r ，

由平面向量垂直的坐标表示可得，0b b ac ⋅-=，

因为222b a c =-，所以a 2-c 2=ac ，

两边同时除以2a 可得，210e e +-=，

解得

e =，

故选：A

【点睛】

本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.

5．已知函数()()222ln 25f x a x ax =+++.设1a <-，若对任意不相等的正数1x ，2x ，恒有()()128f x f x -≥，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．()3,1--

B ．()2,1--

C ．(],3-∞-

D ．(],2-∞-

【答案】D

【解析】

【分析】 求解()f x 的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数12,x x ，构造新函数，讨论其单调性即可求解.

【详解】

()f x 的定义域为()0,∞+，()()2221224ax a a f x ax x x

+++'=+=， 当1a <-时，()0f x '<，故()f x 在()0,∞+单调递减；

不妨设12x x <，而1a <-，知()f x 在()0,∞+单调递减，

从而对任意1x 、()20,x ∈+∞，恒有

()()12128f x f x x x -≥-， 即()()12128f x f x x x -≥-，

()()()12218f x f x x x -≥-，()()112288f x x f x x ≥++，

令()()8g x f x x =+，则()2248a g x ax x

+'=++，原不等式等价于()g x 在()0,∞+单调递减，即1240a ax x +++≤， 从而()222214122121

x x a x x ---≤=-++，因为()22212221x x --≥-+， 所以实数a 的取值范围是(],2-∞-

故选：D.

【点睛】

此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.

6．已知(1)2i ai bi -=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则ab 等于（ ）

A ．2

B ．-2

C ．12

D ．12

- 【答案】A

【解析】