三重积分的计算方法与例题

三重积分的计算方法：

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：

如果先做定积分⎰2

1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰D

d y x F σ),(，就是“投

影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D

z z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

=2

1]),,([),,(

如果先做二重积分⎰⎰z

D d z y x f σ),,(再做定积分⎰2

1

)(c c dz z F ，就是“截面

法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分⎰⎰z

D d z y x f σ),,(，完成

了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰2

1

)(c c dz z F ，完成“后

一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z

]),,([),,(2

1σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

=

当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)

（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲

面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）

（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22x

y

f y x f +时，

可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）

（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，

可选择球面坐标系计算

以上是一般常见的三重积分的计算方法。对Ω向其它坐标面投影或Ω不易作出的情形不赘述。

三重积分的计算方法小结：

1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域Ω及被积函数f(x,y ,z)

的情况选取。

一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；

截面法（先二后一）： z D 是Ω在z 处的截面，其边界曲线方

程易写错，故较难一些。

特殊地，对z D 积分时，f(x,y ,z)与x,y 无关，可直接计算z D S 。因而Ω

中只要],[b a z ∈, 且f(x,y ,z)仅含z 时，选取“截面法”更佳。

2.对坐标系的选取，当Ω为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它

曲面所围成的形体；被积函数为仅含z 或)(22y x zf +时，可考虑用柱面坐标计算。

三重积分的计算方法例题：

补例1：计算三重积分⎰⎰⎰Ω

=zdxdydz I ，其中Ω为平面1=++z y x 与三个坐标面

0,0,0===z y x 围成的闭区域。

解1“投影法” 1.画出Ω及在xoy 面投影域D. 2. “穿线”y x z --≤≤10

X 型 D ：

x

y x -≤≤≤≤101

∴Ω：y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤10101

3.计算

⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰⎰-----Ω

+---=--===1

0103221

10

10

1

10

2]3

1)1()1[(21)1(21dx y y x y x dy y x dx zdz dy

dx zdxdydz I x x

y

x x

241

]4123[61)1(6110

41

0323=-+-=-=⎰x x x x dx x

解2“截面法”1.画出Ω。2. ]1,0[∈z 过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D 。

z D 是两直角边为x,y 的直角三角形，z y z x -=-=1,1

3.计算

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰====Ω

1

1

1

0][][z

z z

D D D dz zS dz dxdy z dz zdxdy zdxdydz I

⎰⎰⎰=+-=--==1

321010241

)2(21)1)(1(21)21(dz z z z dz z z z dz xy z

补例2：计算⎰⎰⎰+dv y x 22，其中Ω是222z y x =+和z=1围成的闭区域。 解1“投影法”

1.画出Ω及在xoy 面投影域D. 由⎩⎨

⎧=+=122

2z y x z 消去z ，

得122=+y x 即D ：122≤+y x

2. “穿线”122≤≤+z y x ，

X 型 D ：⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≤≤-2

2111

1x

y x x

∴ ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧≤≤+-≤≤--≤≤-Ω11111:2

222z y x x y x x

3.计算

⎰⎰⎰

⎰

⎰⎰⎰

⎰Ω

---+-----=

+-+=+=+x

x y x x x dy y x y x dx

dz y x dy

dx

dv y x 111

1

1

112222221

1

222

2

22

2

6

)1(π

注：可用柱坐标计算。

解2“截面法”

1.画出Ω。

2. ]1,0[∈z 过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D ：222z y x ≤+

z D ：

⎩

⎨

⎧≤≤≤≤z r 020π

θ 用柱坐标计算 ⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω10020:z z

r π

θ

3.计算

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰Ω

=

===+=+1

01020010

1

03032

2

2

2

2632]31[2][][z

D z z dz z dz r dz dr r d dz dxdy y x dv y x ππ

ππθ

补例3：化三重积分⎰⎰⎰Ω

=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分，其中Ω：

222x 2z 2-=+=及y x z 所围成的闭区域。

解：1.画出Ω及在xoy 面上的投影域D.

由 ⎪⎩

⎪⎨⎧-=+=2

2

222x z y x z 消去z ，得122=+y x 即D ： 122≤+y x 2.“穿线” 22222x z y x -≤≤+