量子力学复习提纲

1. 粒子的双缝实验的结论是什么？

答：粒子具有波动性

2. 在量子力学中，波函数的波动方程是什么？它是定态薛定谔方程吗？

答：量子力学中波函数的波动方程是),()](2[),(2

2t r r V m

t r t i →→→+∇-

=∂∂ψψ ，它不是定态薛定谔方程，定态薛定谔方程是假设势能V 不显含时间t ，其形式是：

)()](2[)(2

2→→→

+∇-=r r V m

r E ψψ

3. 波函数除了归一化要求之外的三个标准条件是什么？

答：单值、连续、有限。

4. 写出一维无限深方势阱的能量本征函数及能量本征值。

答：

5. 写出一维线性谐振子的能量本征函数及能量本征值。

答：

6. 什么叫做粒子的共振穿透？请举例说明。

答：当粒子射入势阱时，将发生反射和折射，当粒子的能量满足一定的条件时会使透

2222

2

0,

0(),

ˆ,()()2()sin(),1,2,3,,1,2,3ˆ(2,

2ˆ)n n n n n

x x a U x x others H x E x n x

x n a a

n E n P U x a H ψψπψπμμ<<⎧=⎨

∞∈⎩=⎧⎫⎪

⎪

==⎨⎬⎪⎪⎩⎭

==+={}

2

2

22222

21

()2ˆ,()()()(),0,1,2,

ˆ11

(),0,1,2,2

ˆ22

n n n

x n

n n n x U x x H x E x x P H

x N H x e

n E n n α

μωψμωψψ

ωμα-=

====+

==+

射系数T=1，这种现象就叫做共振穿透。如上图所示，粒子在有限深势阱中，我们设

22222

1

)

(2,2 o V E k E k -==μμ则透射系数l k k k k k k k T 22

2222122212

221sin )(44-+= 当πn L k =2即02

2)(2V L

n E n +=

πμ 时，1=T ，产生共振穿透。 7. 什么叫做粒子的遂穿效应？请举例说明。

答：粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为隧道效应。金属电子冷发射和ɑ衰变等现象等都是隧道效应产生的，还有基于两字隧道效应的扫描隧道显微镜。

8. 粒子的共振穿透与粒子的遂穿效应有何区别？

答：共振穿透的物理意义是，入射粒子进入势阱后，碰到两侧阱壁时将发生反射和透

射，如粒子能量合适，使它在阱内波长'λ满足a n 2'

=λ（a 为阱的宽度），则经过各次反射而透射出去的波的相位相同，因而彼此相干叠加，使透射波波幅大增，从而出现共振透射。而遂穿效应其实是粒子具有波动性的表现。 9. 什么叫做厄米算符？它有什么性质？

答：如果算符∧F 满足ˆˆ()F dv F dv ψϕψϕ*

*=⎰⎰，则称算符∧

F 为厄米算符。厄米算符

有三点性质，一是体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数；二是厄米算符

的本征值必为实数；三是厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。 10. 量子力学中两个基本力学量是什么？在坐标表象中，用什么算符表示？

答： 量子力学中两个基本力学量是坐标→r 和动量→p ，在坐标表象中，坐标→r 用坐标算符∧

r

表示，动量用动量算符∇-=∧

2

p 表示。

11. 动量算符的本征函数和本征值是什么？其本征函数如何归一？

答：动量算符的本征函数是：)ex p(

)

2(1)(2

3r p i

r p ⋅=

πψ ，其本征值为p 。其只能归以为函数δ函数，即

)()()('*'

p p d r r p

p -=⎰∞

δτϕϕ。 12. 在三维直角坐标系中，角动量算符的表示式是什么？动量（矢量）算符的本征函数和

本征值是什么？

答：ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆx

z y y

x z z

y x L yp zp i y z z y L zp xp i z x x

z L xp yp i x y y x ⎛⎫

∂∂=-=-- ⎪∂∂⎝⎭∂∂⎛

⎫=-=-- ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫

∂∂=-=-- ⎪

∂∂⎝⎭

动量算符的本征函数和本征值如上。

13.在球坐标系中，角动量平方算符的表示式又是什么？它的本征函数和本征值是什么？

其中什么是轨道角动量量子数（角量子数）？取值范围是哪些数值？

答

2

2

2

2

2

1

sin

ˆ

sin

D

θ

θ

θ

θ

⎛∂

-+

∂

⎝

⎡∂

-⎢

∂

⎣

∂⎛

∂∂

⎝

2

,))(,)

(,)

lm

lm

Y

m Y

θϕθϕ

θϕ

=

l表征轨道角动量的大小，称为轨道角动量角量子数，l＝０，１，２，……

m则称为轨道角动量的磁量子数，对应于一个l的值，m可取(2l+1)个值，m=l,l-1,l-2,…,1,0,-1,-2,…,-l

14.在球坐标系中，角动量在极轴上的投影算符如何表达？其本征函数和本征值是什么？

其中什么是轨道角动量磁量子数（磁量子数）？取值范围是哪些数值？

答：答案如上

15.量子力学中关于波函数与力学量的两个假设，告诉你什么结论，试用你自己的语言归

纳出5条结论。

答：量子力学基本假设Ⅰ

描写物理系统的态函数的总体，构成一个希尔伯特空间。系统的每一个动力学变量，由对这些态函数施加作用的一个厄米算符描写。

量子力学基本假设Ⅱ

当系统处于状态ϕ时，对与算符ˆF对应的动力学变量进行足够多次的测量，得到的测量结果的算术平均值ˆF为：