matlab第2次课

(x4 y4) (x2 y2) (x3y3)
0
2
4
6 (x1 y1)
8
10 x
12
14
(25*x-85)/(x+3)'); x=[];y=[]; x(1)=5.5; y(1)=0;x(2)=x(1);y(2)=f(x(1)); for i=1:100 x(1+2*i)=y(2*i); x(2+2*i)=x(1+2*i); y(1+2*i)=x(1+2*i); y(2+2*i)=f(x(2+2*i)); end plot(x,y,'r'); hold on; syms x; ezplot(x,[0,20]); ezplot(f(x),[0,20]); axis([0,20,0,20]); hold off


用WHILE(vpa(xn,8)~=vpa(f(xn),8)) 输出前8位有效数字，fprintf(‘%.8g’,xn)
21
11
5. 认识混沌 迭代序列如果不收敛，会出现什么情况？ 1. 迭代次数充分大时，迭代序列出现周期性 重复 x0 , x1 ,, x N , x N 1 ,, x N k 1
-2+sin(3/2 x) 0 -0.5 -1
x N , x N 1 , , x N k 1
-1.5
实验四 函数的迭代、 混沌与分形
1
实验目的


理解迭代的基本含义 掌握迭代数列的系列图形表示方法 以一类特殊二次函数（Logistic函数）为例， 掌握二次函数迭代数列的收敛性分析方法 熟悉编写函数迭代的Matlab程序 了解二元函数迭代的方法及其图形特征
2
实验四 1、 定义
函数的迭代、混沌与分形
n
迭代序列 x 16.9884 16.9954 16.9981 16.9993 16.9997 16.9999 17. 17. 17. 17.
n
6
取其它的初值做试验
初值 -40000 -500 -20 0 4 4.9 5 5.1 6 20 100 1000 收敛性 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于5 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于17 得到收敛点的迭代次数 16 16 16 17 17 19 0
19
6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
作业说明






1、分段函数的定义 2x , 0<=x<=1/2, f(x)= 2(1-x), 1/2<x<=1; f=inline(‘2*x*(x>=0&x<=1/2)+2*(1x)*(x>1/2&x<=1)’); 但画蜘蛛网图时不能直接使用。 2、迭代时，xn+1与xn的前8位有效数字一致时终止 计算
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一个试验：首先取a的值为3，在(0，1)中随 机取一数x0作为初值进行迭代，共迭代300次 左右，丢弃起始的100次迭代的数据，在图 上绘出所有的点( a , xn )) (>100)．然后慢慢 地增加a值，每增加一次，都重复前面的步 骤，一直增加到a = 4为止，这样得到的图形， 称为Feigenbaum图．
-2
k称为该序列的周期
-2.5
-3
-3.5 -3.5
-3
-2.5
-2 x
-1.5
-1
-0.5
0
2. 序列没有规律、杂乱无章，称之为混沌． 随机运动、对初值敏感
-2+sin(5 x) 0 -0.5 -1 -1.5 -2
-2.5
-3
-3.5 -3.5
-3
-2.5
-2 x
-1.5
-1
-0.5
12 0
6.人口增长的Logistic模型
5
迭代次数 n 迭代序列 x n 1 6.17647 2 7.5641 3 9.85437 4 12.5529 5 14.7125 6 15.9668 7 16.5642 8 16.8218 9 16.9281 10 16.9711
迭代次数 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
15
logistic=inline('u*x*(1-x)'); x0=0.5; for u=3.0:0.01:4 for i=1:300 x0=logistic(u,x0); if i>100 plot(u,x0,'k','linewidth',1); hold on; end; end; end; hold off
称为一个二维迭代．
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例1 函数 f ( x, y) y sin x 与 g ( x, a) a x ， 取a =3.1、初值为(1.2,0) a=3.1;xn=1.2;yn=0; for n=1:100 xN=xn; yN=yn; xn=yN-sin(xN);yn=a-xN; plot(xn,yn,'k*'); axis([-5,7,-5,7]); hold on; pause(0.1); end; hold off
f ( x) L 1
则当初值 x0 (a, b) 时，由 f (x) 生成的迭代序 列收敛．
问题1：如果迭代序列收敛，收敛点会满足怎样 的条件？
4
3.分式线性函数的迭代 例：
f ( x) 25 x 85 x3
先取初值x0=5.5
f=inline('(25*x-85)/(x+3)');%先定义函数 x0=5.5; for i=1:1:20 x0=f(x0); fprintf('%g,%g\n',i,x0); end
19 17 12 14 14
7
结论：只要初值不取为5，迭代序列总收敛 于17。 易知，f(x)的不动点恰好是17与5。5称为排斥 点，17称为吸引点。 问题2 为何17是吸引点，5是排斥点？ 例1 用分式函数的迭代法近似计算
2
8
4.迭代的可视化（蜘蛛网图）
9
(25 x-85)/(x+3) 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
xn1 xn (1 xn )
f ( x) x(1 x) (0 x 1)
称为Logistic映射
13
7. Feigenbaum图
对于Logistic 映射，取a=2.5，我们通过离 散图形观察迭代的收敛情况。
syms x; f=inline('2.5*x*(1-x)'); x0=0.12; for i=1:1:10 ％i换成2.5会怎样？进一步的， 此句前加上“if i>50”,后加 plot(i,f(x0),'.'); 上“end;” x0=f(x0); hold on; end; hold off
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1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4
8.二维迭代与分形 由两个二元函数 f ( x, y )与 g ( x, y ) 取初值 ( x0 , y0 )构成的迭代
xn 1 f ( xn , yn ) yn 1 g ( xn , yn )
给定某个初值，反复作用以同一个函数的 过程称为迭代 ，一般形式为
x0 , x1 f ( x0 ), x 2 f ( x1 ), , x n f ( x n 1 ),
它生成了一个序列{ x n }，称为迭代序列．
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2、迭代序列的收敛性 设函数 f (x) 满足： (1)对任意 x (a, b), f ( x) (a, b) ； (2) f (x)在( a , b )内可导，且存在常数 L 使得