重庆大学高数(工学下)期末试题三(含答案)
重庆大学高数(工学下)期末试题一(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 向量a b ⨯与,a b 的位置关系是().(A) 共面 (B) 垂直 (C) 共线 (D) 斜交知识点：向量间的位置关系,难度等级：1. 答案:(B).分析:,a b 的向量积a b ⨯是一个向量,其方向垂直,a b 所确定的平面.2. 微分方程633xy dye e y x y dx=+- 的一个解为().(A)6y = (B)6y x =- (C)y x =- (D)y x =知识点：微分方程的解,难度等级：1. 答案: (D).分析:将(A),(B),(C),(D)所给函数代入所给方程,易知只有y x =满足方程,故应选(D).3. 累次积分⎰⎰=-2022x y dy e dx ().(A))1(212--e (B))1(314--e (C))1(214--e (D))1(312--e 知识点：二重积分交换次序并计算,难度等级：2. 答案:(C).分析: 直接无法计算,交换积分限,可计算得)1(214--e ,只能选(C). 4．设曲线积分⎰--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关,其中)(x f 具有一阶连续偏导数,且(0)0,f =则=)(x f ().(A)2x x e e -- (B)2xx e e --(C) 12-+-x x e e (D)21xx e e +-- 知识点：积分与路径无关的条件,微分方程,求解,难度等级：3.答案:(B).分析: 由积分与路径无关条件,有[()]cos ()cos x f x e y f x y '-=-命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密()().x f x f x e '⇒-=-由结构看,C,D 不满足方程,代入,B 满足,A 不满足,选B.5. 设直线方程为1111220,0A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩且111122,,,,,0,A B C D B D ≠则直线().(A) 过原点 (B) 平行于z 轴 (C) 垂直于x 轴 (D) 垂直于y 轴 知识点：直线与坐标轴的位置关系,难度等级：1. 答案:(D).分析:方程2220,0B y D D +=≠表示垂直于y 轴且不过原点的平面,11112200A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩表示的直线位于垂直于y 轴且不过原点的平面上,不平行于z 轴,不垂直于x 轴.6. 设∑为球面2224(0)x y z z ++=≥的外侧,则2yzdzdx dxdy∑+⎰⎰().=(A)354(B)354π (C)12 (D)12π知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,难度等级：2. 答案:(D).分析: 添有向平面221:0(4)z x y ∑=+≤取下侧,则124,yzdzdx dxdy zdV π∑+∑Ω+==⎰⎰⎰⎰⎰1228.Dyzdzdx dxdy dxdy π∑+=-=-⎰⎰⎰⎰故有结果为D.二、填空题(每小题3分,共18分)7.121lim(1)sin x y x y →→⎛⎫- ⎪⎝⎭__________.= 知识点：二重极限,难度等级：1. 答案:0. 证明:1(1)sin01x x y--≤- 0,ε∴∀>取,δε=只要0,δ<必有1(1)sin0.x yε--<121lim(1)sin 0.x y x y →→⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ 8. 已知lim6,n n a →∞=则11()n n n a a ∞+=-=∑__________. 知识点：级数和,定义,难度等级：1. 答案:1 6.a - 分析: 部分和数列12231111()()() 6.n n n n s a a a a a a a a a ++=-+-++-=-→-9.2221___________,ds x y z Γ=++⎰其中Γ为曲线cos ,sin ,tttx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧.知识点：对弧长的曲线积分,难度等级：2. 答案21).e- 解:弧长的微分为tds dt ==,22222.tx y z e ++=于是2222011).ds x y z e Γ=-++⎰⎰10. 平面3x y z a ++=被球面2222x y z R ++=(0)R <所截得一个圆,则该圆的半径为__________.=知识点：平面,球面,半径,难度等级：1. 答案分析:该圆的中心在平面3x y z a ++=上,且三个坐标相等,中心坐标为(,,),a a a,11．设曲线积分 ,4 L 22⎰++-=yx xdyydx I 其中L 为椭圆,1422=+y x 并取正向,则__________.I =知识点：对坐标的曲线积分,难度等级：2. 答案:.π分析: 可取椭圆的参数方程计算.12. 设∑是球面222x y z R ++=在第一卦限部分,则2__________.x dS ∑=⎰⎰知识点：对面积的曲面积分,对称性,难度等级2. 答案:4.6R π分析:222x dS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()22213x y z dS ∑=++⎰⎰ 224114.386R R R ππ=⋅⋅=三、计算题(每小题6分,共24分) 13. 求微分方程()0y xxe d y x xdy -=+的通解. 知识点：齐次微分方程,通解,难度等级1. 分析：齐次微分方程,作变量代换yu x=化为可分离变量的微分方程.解: 方程两端同除以,x 得()0.y xye dx dy x+-=令,y vx =则.dy vdx xdv =+ 代入上式,得0,ve dx xdv -= 即 0.vdx e dv x--= 积分之,得ln .v x e C -+=故原方程的通解为ln .y xx e C -+=14. 计算2(2)(3),y L x y dx x ye dy -++⎰其中L 由从)0,2(A 到)1,0(B 的直线段22=+y x 及从)1,0(B 到)0,1(-C 的圆弧21y x --=所构成.知识点：对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级：2. 分析：补充线段构成闭曲线用格林公式.解 :如图,添加一段定向直线,CA 这样L 与CA 构成闭路.设所围的区域为,D 于是根据格林公式得:2211(2)(3)55(211)24y L CA Dx y dx x ye dy dxdy π+-++==⋅⋅+⋅⎰⎰⎰15(1).4π=+ 则L⎰=.L CACA→+-⎰⎰又2221(2)(3) 3.y CAx y dx x ye dy x dx --++==⎰⎰故25(2)(3)5(1)32.44y L x y dx x ye dy ππ-++=+-=+⎰ 15. 计算22(),x y dS ∑+⎰⎰其中∑为抛物面222z x y =--在xoy 面上方的部分.知识点：对面积的曲面积分,难度等级：2.分析：直接将曲面积分化为二重积分,用极坐标计算二重积分. 解:∑在xoy 的投影为22:2,xy D x y +≤且= 于是22()x y dS ∑+⎰⎰22(xyD x y =+⎰⎰20220112(14(14)84149.30d r r πθππ==⋅+-+=⎰ 16. 计算333,x dydz y dzdxz dxdy ∑++⎰⎰其中∑为球面2222x y z a ++=的外侧.知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,球面坐标,难度等级：2 分析:题设曲面为封闭曲面,高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.解:333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ 2223()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰222053sin 12.5ad d r r dra ππθϕϕπ=⋅=⎰⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．设(,)z f x u =具有连续的二阶偏导数，而,u xy =求22.zx∂∂难度等级：1；知识点：复合函数的偏导数.分析: 按复合函数的偏导数的求法两次对x 求偏导数，即可求出22.z x∂∂ 解:x x u z f y f '''=+ 22.xx xx xu uu z f yf y f ''''''''⇒=++18．利用斯托克斯公式计算222222()()(),y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰其中Γ是用平面23=++z y x 截立方体[]⨯1,0[]⨯1,0[]1,0的表面所得的截痕,若从z 轴正向看去,Γ取逆时针方向.知识点：对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,难度等级：3 分析: 通过斯托克斯公式将曲线积分转化为对面积的曲面积分,注意积分技巧:可将方程代入被积函数.解: 如图,我们将平面23=++z y x 的上侧被Γ所围的部分取为,∑于是∑的单位法向量.n e =由斯托克斯公式得:dS y x x z z y z y x I ⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=222222cos coscos γβα ().x y z dS ∑=++ 观察上述积分,由于在∑上有3,2x y z ++=根据第二型曲面积分的计算公式,故396(6)().42xyxyD D I dS S ∑=-=-=-=-=-其中xy D 是∑在xOy 坐标平面的投影区域,而xyD S 为xy D 的面积.五、 证明题(每小题6分,共12分)19．试证:,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y f x y x y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点(0,0)处偏导数存在,但是不可微.知识点：二元函数偏导数、可微,难度等级：1分析:先求出(0,0),(0,0)x y f f 然后说明(0,0)(0,0)x y z f x f y ∆-∆-∆不是比ρ更高阶的无穷小量就可以了.证明 : 0(,0)(0,0)lim 0(0,0);x x f x f f x∆→∆-==∆同理, (0,0)0.y f =则2200limlim.()()x x y y zx yx y ρρ→∆→∆→∆→∆→∆∆∆==∆+∆ 但是此极限不存在,故(,)f x y 在(0,0)处不可微.20. 证明:级数2(!)nn x y n ∞==∑满足方程0.xy y y '''+-= 知识点：幂级数,微分方程,难度等级：2. 分析：直接用幂数代入微分方程验证.证明: 因为20,(!)n n x y n ∞==∑所以122212(1),.(!)(!)n n n n nx n n x y y n n --∞∞==-'''==∑∑ 212222101122222111221(1)(!)(!)(!)(1)11(!)(!)(!)!(2)!!(1)!!!n n n n n n n nn n n n n nn n n n n x nx x xy y y x n n n n n x nx x n n n x x x n n n n n n --∞∞∞===--∞∞∞===--∞∞∞===''-'''+-=+--=++--=+---∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 21111(1)!(1)!(1)!!(!)(1)(1)(1)!!0n n nn n n nn x x x n n n n n n n xn n ∞∞∞===∞==+-+-++-+=+=∑∑∑∑∴方程0xy y y '''+-=成立.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 设球在动点(),,P x y z 处的密度与该点到球心距离成正比,求质量为m 的非均匀球体2222x y z R ++≤对于其直径的转动惯量． 知识点：立体的转动惯量,难度等级：2. 分析：利用转动惯量公式,球坐标计算三重积分.解:设球体方程为2222:,x y z R Ω++≤密度函数ρ=则球体的质量为:234(,,)sin Rm x y z dxdydz k k d d r dr k R ππρθϕϕπΩΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以,密度函数为ρ=计算该球体绕z 轴转动的转动惯量:22224235232240()(,,)(24sin sin 39Rm I x y x y z dxdydz xy R m d d r dr mR d mR R πππρπθϕϕϕϕπΩΩ=+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22．将质量为m 的物体垂直上抛,假设初始速度为0,v 空气阻力与速度成正比(比例系数为k ),试求在物体上升过程中速度与时间的函数关系.知识点：微分方程的初值问题,难度等级：1 分析: 只需将二阶导数表示出来就可证之.解: 根据条件,空气阻力为.kv 于是物体上升过程中受力为()kv mg -+(其中负号表示力与运动方向相反),而运动加速度为.dva dt=因而得微分方程 .dv m kv mg dt=-- 又知初始速度为0v ,故得初值问题0,(0).dv kv g dt mv v ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩ 因此000000(1.)()()ttkkkk k k dtdtt t t t tm m mm m mgm mg v egedt v ee v e v e k m k kg -----⎰⎰=-+=+-+=+⎰。
大学高数三期末复习题(答案)
10级高数（3）期末复习题(答案)一、单项选择题：1、若lim 0n n u →∞=，则级数∑∞=1n nu（ D ）A 、条件收敛B 、收敛C 、发散D 、可能收敛也可能发散2、 lim 0n n u →∞=是级数∑∞=1n nu收敛的（ B ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要3、下面曲面为柱面的是（ C ）A 、22z x y =+ B 、 22214z x y +-= C 、222x y -= D 、2222x y z r ++=4、在空间直角坐标系下，方程()()22212(3)1x y z -+-+-=表示的图形是（ B ）A 、圆B 、球面C 、平面D 、柱面 5、下列级数中条件收敛的是（B ）A 、1(1)nn ∞=-∑ B 、1(1)nn ∞=-∑ C 、 211(1)nn n ∞=-∑ D 、1(1)(1)n n n q q ∞=->∑ 6、下列级数中绝对收敛的是（D ）A 、21cosn n π∞=∑ B 、1(1)nn ∞=-∑ C 、11(1)sin n n n π∞-=-∑ D 、1(1)(1)nn n q q∞=->∑7、下列级数中收敛的是（B ）A、n ∞= B 、 121(1)ln n n n∞-=-∑C 、 05()3n n ∞=-∑ D、n ∞=8、微分方程0)(43='-''y y y x 的阶数是( B )A 、1B 、2C 、3D 、49、 =+⋅+∞→∞→22223sin)(lim yx y x y x （ B ） A 、0 B 、3 C 、31D 、∞10、 微分方程xey -=''的通解是( C )A 、xCe y -= B 、xCe y =C 、21C x C ey x++=- D 、21C x C e y x ++-=-11、下列方程中（ C ）是线性微分方程微分方程 A、y '= B 、(ln ln )dy yy x dx x=- C 、tan sec dyy x x dx-= D 、(76)()0x y dx x y dy -++= 12、下列方程中（ A ）是可分离变量的微分方程A 、tan 0dy y x dx -= B 、 (ln ln )dy y y x dx x =- C 、tan sec dy y x x dx-= D 、(76)()0x y dx x y dy -++=二、填空题：1、 幂级数∑∞=+122n n nx n 的收敛半径R = ，收敛域为 2、幂级数21(2)n n x n ∞=-∑的收敛半径R = ，收敛域为 3、幂级数2121n n x n ∞=-∑的收敛域为 4、改变二次积分1(,)y eeI dy f x y dx =⎰⎰的积分次序，则I =；21)21,21[-1]1,1[-)1,1(-⎰⎰e xdyy x f dx 1ln 0),(5、改变二次积分11(,)xI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序，则I = ；6、设f是连续函数，D 是由22, 0x y x y +≤≥确定的区域，则在极坐标系下，二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰先r 后θ的二次积分是 7、设f是连续函数，D 由曲线222 ,x y y +=围成则在极坐标下，化二重积分D f d σ⎰⎰为先r 后θ的二次积分是 ； 8、11(1)n n n ∞=+∑＝ ，1123n n -∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑＝9、设级数111p n n∞-=∑，则当p 时级数收敛，当p 时级数发散；10、设 ln(ln ),z x y =+则(1,)e dz ＝11、xoy 平面上的双曲线22236x y -=绕y 轴旋转所得曲面方程是____________________12用某种材料做一个开口的长方体容器，其外形长5m ，宽3m ，高为8m,厚20cm ，则所需材料的近似值为 __________________三、计算题：1、方程222238x y z ++=确定函数(,)z z x y =，求,z z x y∂∂∂∂， ⎰⎰100),(ydxy x f dy ⎰⎰2cos 0)sin ,cos (πθθθθrdrr r f d 112>2≤63)(2222=-+y z x ]2.08,4.05,4.03:[6.28||6.28)2.0(53)4.0(83)4.0(852.0,4.0,4.0,8,5,3,:(3---=∆=∆∴-=-**+-**+-**=∆+∆+∆=≈∆-=∆-=∆-=∆====内高为内长为内宽为注外高外长外宽设解m u V z xy y xz x yz du u z y z y x xyz u ⎰⎰πθθ0sin 20)(rdr r f d dy e dx 2121+36.28mzyz y F F y z z x z x F F x z zF yF x F z y x z y x F ：z y z x z y x 3264,362642832),,(222-=-=-=∂∂-=-=-=∂∂===∴-++=则设解2、设z =z x ∂∂和zy∂∂， 2322'2122232222221222222)(])([)(2)(21y x xy y x x yzy x y yx xy x x y x xz y x xz ：y +-=+=∂∂∴+=+⋅+-+=∂∂∴+=--已知解3、设2yz x ye =，求2z x y ∂∂∂和22zy ∂∂)2()1()1()1(222,22222222222y e x e x y e x yz y e x ye x e x yz y xe xye xe yx z xye x z ye x z ：yy y yy y y y y y y+=++=∂∂+=+=∂∂+=+=∂∂∂=∂∂∴=已知解 4、设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1),(1,0,1),(2,0,1)xx xy xxz f f f -2)1,0,2(2),,(0)1,0,1(2),,(2)1,0,0(2),,(2),,(),,(2222=∴==-∴==∴=+=++=xxz xxz xy xy xx xx x f z y x f f y z y x f f z z y x f xz y z y x f zx yz xy z y x f ：已知解5、 设 22(,)z f x y xy =+，f 为可微函数，求,z z x y∂∂∂∂212122222222),(,),(),(xf yf x f y f yv v f y u u f y z yf xf y f x f x vv f x u u f x z xyy x v y x y x u ，xy y x f z ：v u v u +=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∴+=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∴=+=+=设已知解 6、 设22,3,42,vz u x y v x y u==+=+求y z x z ∂∂∂∂,22222222222222222222222222)3()43(2)3()24(2)3(222'')3()33(4)3()24(6)3(464''24,3y x y xy x y x y x y y x u yv u u v u u v y z y x xy x y y x y x x y x u xv u u v u u v x z yx v y x u ，uvz ：y y x x +--=++-+=-=-=∂∂∴+--=++-+=-=-=∂∂∴+=+==设已知解 7、求2Dx ydxdy ⎰⎰，D 为抛物线22y x =和直线12x =所围成的区域 0)243(]3[0]2[:0]22[,),(0),(,),(),(:7111211311122222102221022222102222222212222222=-=======∴=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--------dy yy dy yx ydx x dy dx yx ydy x dx ydxdy x ydy x dx ydxdy x ydy x ，x ，y y x ydy x dx dxdy y x f dxdyy x f D y x f ，x D ，y y x y x f y y x xDxxDx x x x Dx xD或解二则由定积分性质可知轴对称的区间时为关于的奇函为关于由于本题必有上连续时在则当轴对称关于若积分区域的奇函数关于解一8、 求2(),Dx y dxdy +⎰⎰ 其中D 是由曲线1y x=和直线 ,2y x y ==围成的区域。
高数下册期末考试和答案
高数下册期末考试和答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数f(x)=x^3-3x+2，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. x^2-3xC. 3x^2-3xD. x^3-3x^2答案：A2. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B3. 已知函数f(x)=e^x，求f'(x)的值。
A. e^xB. -e^xC. 0D. 1答案：A4. 求定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A5. 已知函数f(x)=ln(x)，求f'(x)的值。
A. 1/xC. xD. -x答案：A6. 求定积分∫(0,1) e^x dx的值。
A. e-1B. eC. 1D. 0答案：A7. 已知函数f(x)=x^2，求f''(x)的值。
A. 2xB. 2C. 0答案：B8. 求极限lim(x→∞) (1/x)的值。
A. 0B. 1C. ∞D. -∞答案：A9. 已知函数f(x)=x^3，求f'(x)的值。
A. 3x^2B. 3xC. x^2D. x^3答案：A10. 求定积分∫(0,1) 1/x dx的值。
A. ln(1)-ln(0)B. ln(1)-ln(1)C. ln(2)-ln(1)D. ln(1)-ln(2)答案：C二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f'(x)的值。
______答案：2x-412. 求极限lim(x→0) (1-cos(x))/x的值。
______答案：013. 已知函数f(x)=x^4-6x^2+8，求f'(x)的值。
______答案：4x^3-12x14. 求定积分∫(0,1) x^3 dx的值。
______答案：1/415. 已知函数f(x)=e^(-x)，求f'(x)的值。
重庆大学高数(下)期末试题四(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设,,a b c 满足条件,a c b c ⋅=⋅则().(A) a c = (B) a b c =- (C) b c = (D) ()a b c ⊥- 知识点:向量的运算.难度等级:1. 答案:(D)分析:由a b a c ⋅=⋅得()0a b c ⋅-=,,,a b c 都非零,所以()a b c ⊥-. 2. 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12,x x y C e C e -=+其中12,C C 为独立的任意常数.则该方程为().(A)xy y e ''-= (B) 20y y ''-=(C)0y y ''+= (D)0y y ''-= 知识点:微分方程通解,微分方程,难度等级:1. 答案: (D)分析:由通解中的两个独立解,x x e e -知.方程对应的特征方程的特征根为121, 1.λλ==-因此对应的特征方程是2(1)(1)10.λλλ-+=-= 于是对应的微分方程应是0.y y ''-=故应选(D).3. 设222: (1)1,x y z Ω++-≤则2[23]x xyz dV Ω+-⎰⎰⎰().=(A)0 (B)3π (C)3π- (D)4π- 知识点:三重积分,对称性,难度等级:2. 答案:(D)分析: 积分区域关于yoz 面对称.22x xyz +为关于x 的奇函数.积分值为0,余下为3-倍体积.球体体积为4/3,π故选D. 4．设有曲线积分22,4Lydx xdyI x y -+=+⎰其中L 为不过原点的光滑闭曲线,并取正向,则I 的值为().命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密(A)0 (B)2π (C)2π- (D)π 知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:2. 答案:(D)分析: 由于内部含有不连续点.不能直接用格林公式.设曲线L 到原点最小距离为2,a 取曲线222:4C x y a +=的顺时针方向.与曲线L 构成闭区域.在该闭区域上使用格林公式.结果为0.故22222222cos sin 22.4C a a ydx xdy I d x y aπθθθπ-+-+===+⎰⎰选D.5. 经过两平面4310,x y z -+-=520x y z +-+=的交线作平面,π并使π与y 轴平行的方程为(). (A) 142130x y --= (B) 211430x z -+= (C) 211430x z +-= (D) 211430x z ++= 知识点:平面方程,平面束.难度等级:2. 答案:(C)分析:设平面π的方程为52(431)x y z x y z λ+-++-+-=即(14)(5)(31)20.x y z λλλλ++-+-+-=当5λ=时211430x z +-=与y 轴平行.6. 设()f u 具有连续导数.∑是曲面22z x y +=与228z x y --=所围成立体表面之外侧.则zdxdy dzdx yxf x dydz yx f y++⎰⎰)(1)(1=().(A) 16π (B) 16π- (C) 8π- (D)因()f u 未知.故无法确定.知识点:对坐标的曲面积分,高斯公式.难度等级:2. 答案:(A)分析: 利用高斯公式可得积分为所围成立体体积.48416,yyD D V dy dxdz dy dxdz π=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰选A.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 设函数10()0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨<≤⎩在[],ππ-上的傅立叶级数的和函数为(),s x 则(4)s π=__________.知识点:傅里叶级数,和.难度等级:1. 答案:1.2分析:傅立叶级数的和函数为()s x 是以2π为周期的周期函数.(00)(00)1(4)(0).22f f s s π-++=== 8. 设∑为平面1x y z -+=在第四卦限的上侧.(,,)f x y z 为连续函数.则[(,,)]d d [2(,,)]d d [(,,)]d d ______.f x y z x y z f x y z y z x f x y z z x y ∑+++++=⎰⎰知识点:对坐标的曲面积分,难度等级:3. 答案:1.2分析:原积分{}}[(,,)],[2(,,)],[(,,)]1,1,1f x y z x f x y z y f x y z z dS ∑=+++-⎰⎰)1.2xyD x y z dS dxdy ∑=-+==⎰⎰9. 曲线z xyy ==⎧⎨⎩1在点(2,1,2)处的切线与x 轴正向所成的倾角为__________.知识点:曲线的切线,夹角.难度等级:2. 答案:.4π分析:曲线z xyy ==⎧⎨⎩1在点(2,1,2)处的切线与x 轴正向所成的倾角θ的正切为z xy =在点(2,1处关于x 的偏导数的值.即(2,1)(2,1)tan 1,z y x θ∂===∂所以.4πθ=10. 设L 是从点() 0, ,ππe e A -沿曲线cos , sin , t tt x e t y e t z e ===到点()1 , 0 , 1B 的弧段, 则第一类曲线积分()222 LI x y z ds =++⎰的值为__________.知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1. 答案:()31.3e π- 分析: ()22222 0 (t t t L I x y z ds e e dtπ=++=+⎰⎰)31.e π=- 11. 由曲线2,2y x y x ==+所围成的平面薄片其上各点的面密度为21,x μ=+则此薄片的质量M 为__________. 知识点:薄片的质量,难度等级:2. 答案:153.20分析:密度函数为被积函数.积分区域为曲线所围.故222221153(1)(1).20x Dx M x dxdy dx x dy +-=+=+=⎰⎰⎰⎰ 12. 设积分曲面∑是球面222:2,x y z az ++=则曲面积分222()_____.x y z d S ∑++=⎰⎰ 知识点:对面积的曲面积分,难度等级:2. 答案:48.a π分析:由于投影面有重叠.需将球面分为上下两个半球面计算.12,∑=∑+∑1:∑z a =2:z a ∑=在曲面上被积函数等于2,az 计算合并化简得二重积分2222448.x y a a a π+≤=⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 求初值问题00430,6,10x x y y y y y ==''''-+===的解.知识点:二阶线性常系数微分方程的初值问题,难度等级:1. 分析:求特征根,写出通解,再求特解.解: 特征方程为2430,λλ-+=其根121,3,λλ==故通解为123.x x y C e e C =+代入初值条件可解得124, 2.C C ==从而特解为342.x x y e e =+14. 求幂级数2211(!)(2)!n n n xn +∞=∑的收敛域.知识点:幂级数的收敛域,难度等级:2 分析:比值法.并讨论端点的敛散性.解: 2232221((1)!)(22)!lim lim 1(!)4(2)!n n n n n x x n n x n ++→∞→∞++=< 2.x ⇒<当2x =时,221221111(!)(!)2(2)!!2(2)!(2)!(21)!!n n n n n n x n n n n n ++∞∞∞=====-∑∑∑通项极限不为0故发散.幂级数2211(!)(2)!n n n x n +∞=∑的收敛域为 2.x <15.过两平面0134=-+-z y x 和025=+-+z y x 的交线作一平面π过点(1,1,1), 求该平面方程.难度等级：2；知识点：空间解析几何. 分析： 写出过已知直线的平面束方程. 解： 设所求的平面方程为 431(52)x y z x y z λ-+-++-+= (1) 将点)1,1,1(代入(1)得57λ=-.将57λ=-代入(1)得 所求的平面方程为233226170x y z -+-=.16. 计算2(),I z x dydz zdxdy ∑=+-⎰⎰其中∑是抛物面)(2122y x z +=介于0=z 及2=z 之间的部分的下侧.知识点:对坐标的曲面积分. 难度等级:3分析:直接计算,化曲面积分为 二重积分.解 : 首先,计算2(),z x dydz ∑+⎰⎰其中12,∑=∑+∑1:x ∑=前侧;2:x ∑=后侧.2()zx dydz ∑+⎰⎰2z =(-y12()z x dydz ∑=++⎰⎰⎰⎰∑+2)(2dydz x z ⎰⎰⎰⎰---+-+=yzyzD D dydz y z z dydz y z z))(2()2(222222222224.yz D y dyπ-===⎰⎰⎰⎰其次,2222211()()4.22xyD zdxdy x y dxdy d rrdr πθπ∑-=-+-=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是,8.I π=四、解答题(每小题6分,共12分)17．设曲线积分[]⎰-+L dy x x xf dx x yf 2)(2)(在右半平面)0(>x 内与路径无关,其中(),(1)1,().f x f f x =可导且求知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,微分方程. 难度等级:2分析: 利用积分与路径无关的条件得微分方程. 解:由积分与路径无关的条件知:[]2()2(),yf x xf x x y x∂∂⎡⎤=-⎣⎦∂∂ 即有1()() 1.2f x f x x'+=解上面的微分方程得()f x C =+将1)(=x f 代入上式得1.3C =所以1()2).3f x x =+18．设为不自交的光滑闭曲线.求[]sin().grad x y z dr Γ++⋅⎰知识点:梯度,曲线积分向量表示.难度等级:2分析: 斯托克斯公式解: .记是以为边界的任意光滑曲面,其正侧与的正向按右手法则确定.应用斯托克斯公式.可得.五、证明题(每小题6分,共12分)19．设函数z f x y =(,)在P x y 000(,)处有连续的偏导数.证明它在P 0处沿等值线的切线方向的方向导数为零. 知识点:等值线,方向导数,难度等级:2分析:等值线(,)f x y C =上一点000(,)P x y 处的法向量为(,),x y f f 所以切向量为(,).y x f f -由方向导数的计算公式0z z a a∂=∇⋅∂即可得到结Γ[sin()]cos()()grad x y z x y z i j k ++=++++∑ΓΓ[sin()]cos()()grad x y z dr x y z dx dy dz ΓΓ++⋅=++++⎰⎰0000dydz dzdx dxdy ∑=++=⎰⎰论.证明:函数z f x y =(,)的等值线(,)f x y C =上一点P x y 000(,)处的法向量为(,),x y f f 所以切向量为(,).y x a f f =-z f x y =(,)沿此方向的方向导数为(,)(,)0.y x x y f f z z a f f a a a∂=∇⋅=⋅-=∂ 20. 设)(x f 在点0=x 的某一邻域内具有二阶连续导数.且0()lim 0.x f x x →=证明级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛11n n f 绝对收敛. 知识点:极限,泰勒中值定理,比较判别法.难度等级:3 分析:由已知0()lim0x f x x→=可得(0),(0)f f ',利用泰勒中值定理建立函数()f x 与零点间的关系.证明:1. 0()lim0x f x x→= 0()(0)lim ()lim0.x x f x f f x x x→→⇒==⋅= 00()(0)()(0)limlim 0.x x f x f f x f x x∆→→∆-'⇒===∆ ⇒由泰勒中值定理.存在1(0,),nξ∈使得2111()(0)(0)().2f f f f n n nξ'''=++ 211()().2f f n nξ''⇒≤2.又)(x f 在点0=x 的某一邻域内具有二阶连续导数.故存在0,M >使得().f x M ''≤2211().22Mf M n n n ⇒≤=⇒级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛.六、应用题(每小题8分,共16分)21. 在均匀的半径为R 的半圆形薄片的直径上, 要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上, 问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？知识点:质心,难度等级:2分析:根据已知条件建立恰当坐标系.要求可得一方程.解方程可得结果解:设所求矩形另一边的长度为,H 建立坐标系, 使半圆的直径在x 轴上, 圆心在原点. 不妨设密度为31/.g cm ρ=由对称性及已知条件可知0,x y ==即0.Dydxdy =⎰⎰从而0.RRHdx ydy --=⎰即3221[()]0,2RR R x H dx ---=⎰亦即32210.3R R RH --=从而.H =因此,. 22．求原点到曲线221x y zx y z ⎧+=⎨++=⎩的最长和最短距离.知识点:条件极值.难度等级:3分析: 先写出目标函数.即曲线上的点(,,)x y z 到原点的距离.然后用拉格朗日乘数法可得条件极值点.解:原点到曲线上点(,,)x y z 的距离d =需要求出222x y z ++在221x y zx y z ⎧+=⎨++=⎩下的极值.令L =22222()(1),x y z x y z x y z λμ++++-+++-则由拉格朗日乘数法得2222022020.010x y z L x x L y y L z L x y z L x y z λμλμλμλμ⎧=++=⎪=++=⎪⎪=-+=⎨⎪=+-=⎪⎪=++-=⎩解方程组得驻点12x y ==-此时2z =d及驻点12x y ==-此时2z =.d。
重庆大学高数工学下期末试题五含答案
-- -XX 大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 — 20 学年第学期开课学院:数统学院课程号:考试日期:考试方式：开卷闭卷 其他考试时间: 120 分钟一、选择题(每小题3分,共18分)1. 如果,a b 为共线的单位向量,则它们的数量积().a b ⋅=(A)1 (B) 0 (C) 2- (D) cos(,)a b知识点:向量的数量积,难度等级:1. 答案:D分析:||||a b a b ⋅=cos(,)a b =cos(,).a b 2.微分方程21x y '=的通解是().(A) 1y C x =+(B) 1y C x=+ (C)1C y x =-+ (D) 1y xC =-+知识点:微分方程,难度等级:1. 答案:D分析:将方程改写为21,dy dx x =并积分,得通解1,y C x=-+故应选(D).3.设空间区域2222,x y z R Ω++≤：则().Ω=(A) 4R π(B)443R π;(C)4 32 R π(D)42 R π 知识点:三重积分计算,难度等级:2. 答案:A4．若L 是上半椭圆cos sin x a ty b t=⎧⎨=⎩取顺时针方向,则L ydx xdy -⎰的值为().(A)0 (B)2ab π(C)ab π (D)ab π-知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案: C分析:题中半椭圆面积为,2ab π要用格林公式,添有向线段1:0(:).L y x a a =-→112,0.DL L L dxdy ab π-+===⎰⎰⎰⎰故选C.命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 X X 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密5.设函数(),0f x x >连续,并对0x >的任意闭曲线,L 有34()0,Lx ydx xf x dy +=⎰且(1)2,f =则()f x =().(A)242412423-+-x x x (B)324122424x x x -+- (C)31x +(D)xx 13+知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,微分方程.难度等级:3.答案:D分析:由条件知,积分与路径无关,有3(4)(()).x y xf x y x ∂∂=∂∂即34()().x f x xf x '=+A,B 选项显然不满足方程,而C 含常数,也不能满足方程,故选D.验证D 满足,或用一阶线性微分方程求出为D. 6.曲面z =包含在柱面222x y x +=内部那部分面积().=(A) π(C)知识点:曲面面积,难度等级:2. 答案:B分析:在xOy 投影区域22:2,D x y x +≤化为二重积分为D,选B.二、填空题(每小题3分,共18分)7.级数12(2)!nn n n ∞=∑的和为__________.知识点:级数的和.难度等级:2. 答案:e分析:11121.(2)!!(1)!n n n n n n e n n n ∞∞∞======-∑∑∑8. 222()__________,c x y z ds ++=⎰其中c 为螺线cos ,sin ,(02).x a t y a t t a bt π=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩的一段.知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1. 答案：2222(343a b ππ+ 解:弧长的微分为,ds =于是222222222202()()(343cx y z ds a b t dt a b πππ++=+=+⎰9. 过已知点A )1,2,1(-和B )7,2,5(-作一平面,使该平面与x 轴平行,则该平面方程为__________.知识点:平面方程,难度等级:2.答案:20.y -=分析:平面的法向量n AB ⊥,且n i ⊥,取606(0,6,0),100i j kn AB i =⨯=-=过点A (1,2,1),-平面方程为0(1)6(2)0(0)0,x y z ⋅-+⋅-+⋅-=即20.y -= 10. 函数zy u x =在点(1,2,1)-处沿(1,2,2)a =-方向的方向导数为______.知识点:函数的方向导数.难度等级:1 答案：1.6解:(1,2,2)a =-⇒122cos ,cos ,cos .333αβγ-===1(1,2,1)(1,2,1)1(1,2,1)(1,2,1)1;2ln 0;z z z y y z uy x x ux x zy y ------∂=⋅=∂∂=⋅=∂(1,2,1)(1,2,1)ln ln 0.zy z u x x y y z --∂=⋅=∂111.236u a ∂⇒=⨯=∂ 11.设∑为平面326x y ++=在第一卦限的部分的上侧,将⎰⎰∑++Qdzdx Pdydz Rdxdy 化为对面积的曲面积分的结果为__________.知识点:两种曲面积分之间的转换.难度等级:2. 答案:32().555P Q R dS ∑++⎰⎰ 分析:第二型曲面化为第一型曲面积分,只需求出有向曲面侧的单位法向量,与被积向量函数作内积即可,平面法向量为{,长度为5故得结果.12.设∑是圆锥面z =被圆柱面ax y x 222=+所截的下部分,则()xy yz zx dS ∑++⎰⎰__________.=知识:对面积的曲面积分,对称性.难度等级:3. 答案4. 分析:曲面关于x 轴对称,xy yz +为关于y 的奇函数,故只需算zx的积分值,2cos 3422cos .xya D zxdS d dr θππθθ-∑===⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 计算积分(2),c a y dx xdy -+⎰其中c 为摆线(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤的一拱.知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:2分析:已知了积分路径的参数方程,直接代入计算积分. 解:由题设(1cos ),sin .dx a t dt dy a tdt =-=于是{}20(2)[(2(1cos )](1cos )(sin )sin ca y dx xdy a a t a t a t t a t dt π-+=---+-⎰⎰[]2202202sin cos sin 2.a t tdt a t t t a πππ==--=-⎰14. 求32sin (2cos cos )0x d x x dx θθθθ+-+=的通解.知识点:微分方程,变量代换,一阶线性微分方程.难度等级:2 分析:sin cos d d θθθ=,若令cos z θ=,原方程可化为一阶线性方程.解:将原方程改写为2sin cos 2cos .x d dx dx xdx x θθθθ+-+= 令cos ,y xθ=则2sin cos .x d dxdy xθθθ+=-于是方程化为 2.dyxy x dx+= 这是一阶线性非齐次方程.由通解公式2221().2x x x y e xe dx C Ce --=+=+⎰ 故21cos .2x x Cxe θ-=+15. 计算,2222⎰⎰∑+++z y x dxdy z xdydz 其中∑是由曲面222R y x =+及平面,(0)z R z R R ==->所围成立体表面外侧.知识点:对坐标的曲面积分,高斯公式.难度等级:3 分析:利用高斯公式并注意对称性.解:利用高斯公式,并注意对称性,知22222222222()0.()z dxdy z x y dV x y z x y z ∑Ω+==++++⎰⎰⎰⎰⎰ 又dydz z R y R dydz z R y R z y x xdydz⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+--++-=++212222222222222212yzD RR RdzR z --==+⎰⎰⎰⎰2212[arctan ]2.2R R z R R R R ππ-=⋅=22222.2xdydz z dxdy R x y z π∑+⇒=++⎰⎰ 16. 计算第二类曲线积分222,Ly dx z dy x dz ++⎰其中L 为球面2222R z y x =++与柱面对)0,0(22>≥=+R z Rx y x 的交线,其方向是面对着正x 轴看去是反时针的.知识点:对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,对称性.难度等级:3 分析:利用斯托克斯公式,合一投影,并注意对称性的使用.解:222222L dydz dzdx dxdy y dx z dy x dz x y z y z x ∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰dxdyy yx R xy x ydxdyxdzdx zdydz xyD ⎰⎰⎰⎰+--+-=++-=∑)(222222xyD xdxdy =-⎰⎰(∵xy D 关于x 轴对称,(,)f x y y 是关于y 的奇函数)⎰⎰--=22cos 02cos 2ππθθθR dr r d342034cos 3.4R d R πθθπ=-=-⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．判断级数111(1)nn e n∞=--∑的敛散性.知识点:级数敛散性的判断.难度等级:2 分析:取211n n ∞=∑用比较判别法的极限形式. 解: 1200211111limlim lim .122nx xn x x e e x e n x x n →∞→→-----===由于211n n∞=∑收敛,故级数111(1)n n e n ∞=--∑收敛.18．求函数2232z x y x =+-在闭域22(,)|194x y D x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭上的最大值和最小值.知识点:二元函数在闭区域上的最值.难度等级:2分析:先求函数的驻点,得到在区域内部可能的最值点,然后求边界上可能的最值点.解:由22060x yz x z y =-=⎧⎨==⎩得D 内驻点(1,0),且(1,0) 1.z =-在边界22194x y +=上()21121233.3z x x x =--+-≤≤1220.3z x '=--< 11(3)15(3) 3.z z -==比较后可知函数z 在点(1,0)取最小值(1,0)1z =-在点(3,0)-取最大值(3,0)15.z -=五、 证明题(每小题6分,共12分)19．设函数(,,)F x y z 具有一阶连续偏导数,且对任意实数t 有(,,)(,,)(k F tx ty tz t F x y z k=是自然数),试证曲面(,,)0F x y z =上任一点的切平面都通过一定点(设在任一点处,有2220.x y z F F F ++≠).知识点:齐次函数,切平面.难度等级:2 分析:曲面(,,)0F x y z =在一点000(,,)x y z 的切平面方程为000()()()0,x y z F x x F y y F z z ⋅-+⋅-+⋅-=求出此方程,可以发现坐标原点(0,0,0)满足方程.证明:由已知条件可得.x y z xF yF zF kF ++=曲面上点000(,,)x y z 处的切平面方程为000()()()0.x y z F x x F y y F z z ⋅-+⋅-+⋅-=即000000(,,)0.x y z x y z xF yF zF x F y F z F kF x y z ++=++==易知0,0,0x y z ===满足上述平面方程,所以曲面的任意切平面都通过定点()000,,.20. 设0,n P >n P 单调增,且11n nP ∞=∑收敛.证明:(1)12n nn u P P P =+++单调减.(2)21n n u ∞=∑收敛.知识点:级数敛散性的判断.难度等级:2证:(1)1121121n n n nn nu u P P P P P P +++-=-++++++1212112121(1)()()()()n n n n n P P P n P P P P P P P P P ++++++-+++=++++++121121210()()n n n n P P P nP P P P P P P +++++-=<++++++12n nnu P P P ∴=+++单调减.(2)2122222,n n n n n n u P P P nP P =≤=+++而11n nP ∞=∑收敛,由比较判别法,21n n u ∞=∑收敛.六、 应用题(每小题8分,共16分)21. 设在xoy 面上有一质量为M 的匀质半圆形薄片,占有平面闭域222,,0{()|},D x y x y R y =+≤≥过圆心O 垂直于薄片的直线上有一质量为m 的质点,P .OP a =求半圆形薄片对质点P 的引力.知识点:平面薄片对质点的引力,难度等级:3 分析:由引力公式,建立二重积分计算 解:设P 点的坐标为(0,0,.)a 薄片的面密度为222.12M MRR μππ== 设所求引力为,,().x y z F F F F =由于薄片关于y 轴对称,所以引力在x 轴上的分量0,x F =而2223/2()y Dm yF G d x y a μσ=++⎰⎰2223/2sin ()Rm G d d a πρθμθρρ=+⎰⎰2223/22223/2sin ()2()RRm G d d a m G d a πρμθθρρρμρρ=+=+⎰⎰⎰24(ln GmM R R a π= 2223/2()z Dm aF G d x y a μσ=-++⎰⎰2223/2()Rm Ga d d a πρμθρρ=-+⎰⎰2223/22()2(1Rm Ga d a GmM R ρπμρρ=-+=-⎰22．一质量为m 的船以速度0v 沿直线航行,在0t =时,推进器停止工作(动力关闭). 假设水的阻力正比于,n v 其中n 为一常数,v 为瞬时速度,求速度与滑行距离的函数关系.知识点:微分方程模型.难度等级:2分析:据牛顿第二定律建立微分方程.解:船所受的力=向前推力-水的阻力=0,n kv -加速度为.dvdtα=于是,由题设有 00,|.n t dvmkv v v dt==-= 设距离为()x x t =,则上述方程化为.n dv dv dx dvmm mv kv dt dx dt dx=⋅=⋅=- 故有1.n mv dv kdx -=-当2n ≠时,两边积分得,22.2nmv kx c n-=-+- 代入000|,|0,t t v v x ====得20.2n mv c n-=-故220.(2)n n k n v x v m---=-+ 当2n =时,同理可解得0.k x mv v e-=。
高数下册 期末试题及答案
高数下册期末试题及答案第一题：已知函数 f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 1，求 f(x) 的导函数。
解析：要求 f(x) 的导函数，即求 f'(x)。
根据求导法则，对于多项式函数 f(x) = ax^n：1. 当 n 不等于 0 时，f'(x) = anx^(n-1)。
2. 当 n 等于 0 时，f'(x) = 0（常数项的导数为 0）。
所以，对于 f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 1：f'(x) = d/dx (2x^3 - 4x^2 + 3x + 1)= 6x^2 - 8x + 3。
答案：f'(x) = 6x^2 - 8x + 3。
第二题：已知函数 f(x) = e^x * ln(x)，求其不定积分。
解析：要求函数 f(x) 的不定积分，即求∫ f(x) dx。
根据积分法则，对于函数 f(x) = e^x * ln(x)：1. 对于∫ e^x dx，由指数函数的积分法则得知∫ e^x dx = e^x + C1（其中 C1 为常数）。
2. 对于∫ ln(x) dx，由对数函数的积分法则得知∫ ln(x) d x = x * ln(x) - x + C2（其中 C2 为常数）。
所以，对于 f(x) = e^x * ln(x)：∫ f(x) dx = ∫ (e^x * ln(x)) dx= ∫ e^x dx * ∫ ln(x) dx= (e^x + C1) * (x * ln(x) - x + C2)= xe^x * ln(x) - xe^x + e^x * ln(x) - e^x + C(x)（其中 C(x) 为常数）。
答案：∫ f(x) d x = xe^x * ln(x) - xe^x + e^x * ln(x) - e^x + C(x)。
第三题：已知函数 f(x) = sin^2(x) + cos^2(x)，证明 f'(x) = 0。
高数期末下册考试题及答案
高数期末下册考试题及答案序章数学是一门科学，也是一门工具学科，对于不少学子而言，高等数学一直是一门令人头疼的学科，尤其是对于高数期末考试而言，更是充满了挑战。
本文将提供高数期末下册考试题及答案，以帮助读者更好地准备并且顺利通过这一考试。
第一章：导数与微分题目一：计算以下函数的导数并求出导函数1. $f(x)=3x^2+2x+1$2. $g(x)=\sin(x)-\cos(x)$3. $h(x)=e^x\cdot\ln(x)$题目二：应用题一天中，某商品的销售量随时间变化的规律如下：$Q(t) = 100e^{-0.02t}$，其中时间$t$以小时为单位。
求在第3小时以内的销售量的平均增长速度。
第二章：积分学题目三：求下列不定积分1. $\int (2x^2+3x-1)dx$2. $\int \frac{1}{x}dx$3. $\int \frac{2x+3}{x^2+3x+2}dx$题目四：计算定积分已知函数$f(x)=x^2-3x+2$，计算$\int_0^3 f(x)dx$的值。
第三章：微分方程题目五：求解下列微分方程1. $\frac{dy}{dx}=2x+1$2. $\frac{d^2y}{dx^2}+4\frac{dy}{dx}+4y=0$3. $\frac{d^2y}{dx^2}+9y=\sin(x)$题目六：应用题一个满足空气阻力的物体由高空自由落下，求解物体落地时的速度和位移。
第四章：无穷级数题目七：判断级数是否收敛1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}$2. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2+1}$3. $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$题目八：计算级数的和计算级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}$的和。
结语通过以上的考题，相信读者们对于高数期末下册考试的复习有了更明确的目标和方向。
高数下册期末考试题及答案
高数下册期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) 的导数是：A. \( 2x/(x^2 + 1) \)B. \( 2x/x^2 + 1 \)C. \( 2x/(x^2 - 1) \)D. \( 2x/(x^2 + 1)^2 \)答案：A2. 已知 \( e^x \) 的泰勒展开式为 \( 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \cdots \)，那么 \( e^{-x} \) 的泰勒展开式是：A. \( 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + \cdots \)B. \( 1 + x - x^2/2! + x^3/3! - \cdots \)C. \( 1 - x - x^2/2! + x^3/3! - \cdots \)D. \( 1 + x + x^2/2! - x^3/3! + \cdots \)答案：A3. 若 \( \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则 \( \int_0^1 x^3 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{5} \)C. \( \frac{1}{6} \)D. \( \frac{1}{7} \)答案：A4. 曲线 \( y = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 2 \) 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B5. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \) 等于：A. 1B. 2C. 4D. 8答案：B二、填空题（每题3分，共15分）6. 若 \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \)，则 \( f'(x) = \) ________。
重庆大学高数(下)期末试题11(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号:考试日期:考试方式：开卷闭卷 其他考试时间: 120 分一、 选择题(每小题3分,共18分)1. 设,yu xy x =+则22u x ∂=∂__________.答案:32.y x难度等级：1；知识点：偏导数.2. 已知级数1nn n a x ∞=∑满足11lim ,3n n na a +→∞=且lim 2,n n n ab →∞=则级数1n n n b x ∞=∑的收敛半径为__________.答案:3.难度等级：2；知识点：幂级数分析:1111111limlim 2, 3.233n n n n n n n n n n b b a a R b a a b +++→∞→∞+==⨯⨯== 3. 若曲线上任一点(,)x y 处的切线斜率等于(1),yx-+且过点(2,1),则该曲线方程是__________.答案:14.2y x x =-+难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程4. 设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)__________.Lxy y dx x x dy -+-=⎰答案:18.π-难度等级：2；知识点：格林公式分析:利用格林公式可化为被积函数为2-的二重积分,而积分区域面积为9,π故得.5. 设()f t 具有连续导数, (0)0,(0)1,f f '=={}2222(,,)|,x y z x y z t Ω=++≤则1lim40I f d t t V π==⎰⎰⎰+Ω→__________. 答案:1.命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密难度等级：2；知识点：三重积分6. 求以向量23a m n =+和4b m n =-为边的平行四边形的面积为 ，其中,m n 是互相垂直的单位向量. 答案：11.难度等级：2；知识点：向量代数.分析：为了便于计算,令,m i n j ==,则23a i j =+,4b i j =-,230(0,0,11),140i j ka b ⨯==--平行四边形的面积为20011a b ⨯=+=二、填空题(每小题3分,共18分)7. 设非零向量,,a b c 满足条件0a b c ++=,则a b ⨯().=(A) c b ⨯ (B) b c ⨯ (C) a c ⨯ (D) b a ⨯ 答案:(B).难度等级：1；知识点：向量代数分析:在0a b c ++=的两边左乘以b得到()0,b a b c b ⨯++=⨯0,b a b b b c ⨯+⨯+⨯=即0.a b b c -⨯+⨯=于是.a b b c ⨯=⨯8. 设函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处沿任何方向有方向导数,则z f x y =(,)在点(,)x y 00处().(A)偏导数存在(B)可微 (C)偏导数不一定存在 (D)偏导数连续 答案:(C).难度等级：2；知识点：偏导数与方向导数分析:函数z =(0,0)处沿任何方向的方向导数均为1,但偏导数不存在,所以应选(C).9. 微分方程22x y y '''=的通解是().(A)1221ln(1)C x y x C C -=--+ (B) 1211ln(1)C x x y C C C -=--+ (C)12211ln(1)C x x y C C C -=-+ (D) 12211ln(1)C x x y C C C -=--+ 答案: (D).难度等级：2；知识点：可降阶微分方程分析:方程为二阶非线性方程.令,u y '=则方程降为一阶方程22,x u u '=这是变量可分离方程.分离变量得22,du dxu x=积分得111.C u x =+将u y '=代入并积分可得12211,ln(1)C x x y C C C -=--+故应选(D).10.曲线2,x t y z t ===在点(4,8,16)处的法平面方程为().(A) 8132x y z --=- (B) 8140x y z ++= (C)x-y+8z=124 (D) 8116x y z +-=答案:(B).难度等级：1；知识点：多元微分学在几何上的应用 分析:法平面的法向量就是曲线的切向量,为(1,1,8),n =所以法平面方程为:(4)(8)8(16)0.x y z -+-+-=即 8140.x y z ++= 与(A)、(B)、(C)、(D)比较后知,应选B).11. 设有一分布非均匀的曲面,∑其面密度为(,,),x y z ρ则曲面∑对x 轴的转动惯量为().(A)xdS ∑⎰⎰ (B)(,,)x x y z dS ρ∑⎰⎰(C)2x dS ∑⎰⎰ (D)22()(,,)y z x y z dS ρ∑+⎰⎰答案:(D).难度等级：1；知识点：曲面积分的应用分析:A,C 明显不对,B 被积函数不对,D 是转动惯量. 12. 设流速场{0,0,1},v =则流过球面2222x y z R ++=的流量值为().(A)0 (B)24R π (C)334R π (D)1 答案:(A).难度等级：2；知识点：第二型曲面积分的应用.分析:通量00.dxdy dV ∑ΩΦ===⎰⎰⎰⎰⎰三、 计算题(每小题6分,共24分)13. 求微分方程3dy y dx x y =+的通解. 难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程.分析 方程为一阶非线性方程，需变形为一阶线性方程求解.解 方程改写为21dx x y dy y-=, 这是关于()x x y =的一阶线性非齐次方程，故通解为2()dydyyyx ey edy C -⎰⎰=+⎰ 21()2y y C =+即32y x Cy =+.14. 设(,)z z x y =由方程(,)0f y x yz -=所确定，其中f 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂.难度等级：2；知识点：隐函数的高阶偏导数. 分析 由方程(,,)0F x y z =所确定的隐函数的偏导数xzFz x F ∂=-∂，求出zx∂∂后再对x 求偏导数即可得22z x ∂∂.解11221f f z x yf y f -∂=-=∂ 21112221221222()()1z zf yf f f yf f z x x x y f ∂∂-+--+∂∂∂=⋅∂ 211121221232222f f f f fyf yf yf=-+-15.将函数()ln(f x x =+展成关于x 的幂级数. 难度等级：2；知识点：函数展开成幂级数分析:有对数,反三角函数需要求导后展开,然后逐项积分解:()f x '====0(21)!!(1).(2)!!n nn n x n ∞=-=-∑20(21)!!(),.(2)!!n n n f x x x R n ∞=-'⇒==∈∑ 21(21)!!()(1),.(2)!!21n knn n x f x dx x R n n +∞=-'⇒=-∈+∑⎰21(21)!!()(1),.(21)(2)!!nn n n f x x x R n n ∞+=-⇒=-∈+∑16. 计算2232(()(2),xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰其中∑为上半球体0z ≤≤表面的外侧.难度等级：2；知识点：高斯公式分析:题设曲面为封闭曲面,利用高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.解: 2232(()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰222()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰222205sin 2.5ad d r r dra ππθϕϕπ=⋅=⎰⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17. 设),(y x z z =是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数,求函数),(y x z z =的极值点和极值.难度等级：3；知识点：多元函数极值解:方程0182106222=+--+-z yz y xy x 两边分别对,x y 求偏导数得到26220,(1)6202220.(2)x x y y x y yz zz x y z yz zz ---=⎧⎪⎨-+---=⎪⎩令00x yz z =⎧⎪⎨=⎪⎩得260,62020x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩即3.x yz y =⎧⎨=⎩ 代入方程0182106222=+--+-z yz y xy x 得 3.y =±因此有两个驻点(9,3),(9,3).--相应的函数值为3, 3.-方程(1),(2)两边再次分别对,x y 求偏导数得到22222()20(3)622220(4)20422()20.(5)xx x xxx xy y x xy y yy y yy yz z zz z yz z z zz z yz z zz ⎧---=⎪⎪-----=⎨⎪----=⎪⎩将9,3,3,0,0x y x y z z z =====代入(3),(4),(5)得到21150,,,0.623xx xy yy A z B z C z AC B ==>==-==->故点(9,3)是(,)z z x y =的极小值点,极小值(9,3) 3.z = 同样将9,3,3,0,0x y x y z z z =-=-=-==代入(3),(4),(5)得到 21150,,,0.623xx xy yy A z B z C z AC B ==-<====--> 故点(9,3)--是(,)z z x y =的极大值点,极大值(9,3) 3.z --=-18. 计算23,ydx xzdy yz dz Γ-+⎰其中Γ为圆周222, 2.x y z z +==若从z 轴的正向看去,这圆周是取逆时针方向.难度等级:2,知识点:斯托克斯公式,曲面积分的概念,二重积分的性质分析:曲线的参数方程不易写出,积分路径为闭,用斯托克斯公式化为对面积的曲面积分.解:取∑为平面2z =被Γ所围成的部分的上侧,∑的法线向量为(0,0,1),n =其方向余弦为(cos ,cos ,cos )(0,0,1).αβγ=于是23ydx xzdy yz dz Γ-+⎰2cos cos cos 3(3)dS x y z yxzyzz dSαβγ∑∑∂∂∂=∂∂∂-=--⎰⎰⎰⎰ 2245520.x y dSdxdy π∑+≤=-=-=-⎰⎰⎰⎰五、证明题(每小题6分,共12分)19. 证明下列第二类曲线积分的估计式: .L xdx ydy LM +≤⎰其中L 为积分路径L 的弧长,M 为函数22y x +在L 上最大值.难度等级：3；知识点：第二类曲线积分分析:将题设积分转化为对弧长的积分,再进行估值,并注意将被积函数表成向量的点积.证明:设路径L 上的单位切向量为(cos ,sin ).αα利用两类曲线积分的联系可得(cos sin )LL xdx ydyx y dsαα+=+⎰⎰cos sin {,}{cos ,sin }LLx y ds x y dsαααα≤+=⋅⎰⎰.LMdsML =≤=⎰⎰20. 设函数)(0x f 在),(+∞-∞内连续,10()(),1,2,.xn n f x f t dt n -==⎰证明:(1)1001()()(),1,2,;(1)!xn n f x f t x t dt n n -=-=-⎰ (2)对于区间),(+∞-∞内的任意固定的,x 级数()∑∞=1n n x f 绝对收敛.难度等级：3；知识点：无穷级数 证明:(1)由函数)(0x f 在),(+∞-∞内连续,1011000()(),1,2,()();(0)lim ()0,,(0)0(2).xn n nn xk x f x f t dt n f x f x f f t dt f k --→=='=⎧⎪⇒⎨===≥⎪⎩⎰⎰11()()(1)!xn f t x t dt n -⇒--⎰ 1101()()(1)!xn x t df t n -=--⎰ 1110102101(()()()())(1)!1()()(2)!xn x n xn x t f t f t d x t n f t x t dt n ---=----=--⎰⎰().n f x ==(2) 函数0()f t 在t x ≤上连续,⇒存在0()0,,()().M x t x f t M x >∀≤≤由(1),1001001()()()(1)!1()()()(1)!xn n xn n f x f t x t dt n f x f t x t dt n --=--⇒=--⎰⎰10()()()().(1)!!n xn n M x x M x f x x t dt n n -⇒≤-=-⎰ 由于0()!nn M x x n ∞=∑收敛,故级数()∑∞=1n n x f 绝对收敛.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 设均匀柱体密度为,ρ占有闭区域222,,{()|,0,}x y z x y R z h Ω=+≤≤≤ 求它对于位于点00,0(),)(M a a h >处单位质量的质点的引力. 分析:由空间物体引力公式和对称性,利用直角坐标计算即可 解:由柱体的对称性可知, 沿x 轴与y 轴方向的分力互相抵消, 故0,x y F F ==而 2223/2[()]z z aF G dv x y z a ρΩ-=++-⎰⎰⎰2222223/20()[()]hx y R dxdyG z a dzx y z a ρ+≤=-++-⎰⎰⎰ 2223/2000()[()]hRrdrG z a dz d r z a πρθ=-+-⎰⎰⎰012()[hG z a dz a z πρ=--⎰2[G h πρ=-22. 按P.F.Verhulst 人口增长规律:当人口数充分大时,大致按有机增长规律随时间成正比例增长(设比例系数为a ).如考虑到疾病和其它原因,有一个与人口数的平方成反比的的负增长率(设比例系数为b ).已知0t =时,人口数为0,x 求在时刻t 时的人口数(),x t 并问当t →∞时人口数如何？难度等级:3;知识点:常微分方程模型,可分离变量的微分方程的初值问题.分析:只需将二阶导数表示出来就可证之. 解:据题意可得如下初始值问题200.t dx ax bxdtx x =⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 将方程分离变量,积分得020,xt x dxdt ax bx =-⎰⎰ 即有 00()1ln.()x a bx t ax a bx -=-解出x 得000.atatax e x a bx bx e=-+ 而且,当t →∞时,.a x b→。
重庆大学高等数学(工学类)课程试卷
2.若2lim ()x x a x x a xe dx x a
+∞-→+∞-=+⎰，求a 的值。
3、设函数()y y x =由方程322
2221y y xy x -+-=所确定，试求()y y x =的驻点，并判断它是否是极值点。
4. 计算
22(tan 1)x e x dx +⎰。
5. 设12
01()()1x f x xe f x dx x =-+⎰，求(),()f x f x '。
6. 已知1(2),(2)02
f f '==及20()1f x dx =⎰，求120(2)x f x dx ''⎰。
四、证明题（每小题9分，本题共18分）
1、证明方程0ln x x e π=
-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同的实根。
2、设()f x 在[0,]π上连续，在(0,)π内可微，且0()sin 0f x xdx π
=⎰，0()cos 0f x xdx π
=⎰。
证明：在(0,)π内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=。
五、应用题（本题共10分）用自重200N 的抓斗将井深30米内开始时重2000N 的污泥提升到井口，已知铁链每米重50N ，提升速度为每秒3米，提升过程中污泥以每秒20N 的速度从抓斗的漏孔中漏掉，问克服重力作功多少焦耳？。
高数期末考试题及答案下册
高数期末考试题及答案下册一、选择题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处连续，则下列说法正确的是：A. f(a)存在B. 左极限lim(x→a-) f(x)存在C. 右极限lim(x→a+) f(x)存在D. 所有选项都正确答案：D2. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上是：A. 单调递增函数B. 单调递减函数C. 有增有减函数D. 常数函数答案：C3. 若f(x)=sin(x)，则f'(x)是：A. cos(x)B. -sin(x)C. x*cos(x)D. x*sin(x)答案：A4. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D5. 曲线y=x^2与直线y=4x在第一象限的交点坐标为：A. (1,1)B. (2,8)C. (4,16)D. (0,0)答案：B6. 若∫(0,1) f(x)dx = 2，则∫(0,1) x*f(x)dx的值为：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定答案：B7. 函数f(x)=ln(x)的泰勒展开式在x=0处的前两项为：A. 1-xB. x-x^2/2C. -x^2/2D. -1-x答案：D8. 若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在该区间内是：A. 单调递减函数B. 单调递增函数C. 有增有减函数D. 常数函数答案：B9. 函数f(x)=e^x的无穷级数展开式为：A. 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...B. 1-x+x^2-x^3+...C. 1+x-x^2+x^3-...D. 1-x-x^2+x^3-...答案：A10. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则∫(a,b) f(x)dx：A. 一定存在B. 可能不存在C. 等于0D. 等于f(a)-f(b)答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示______。
重庆大学高数(工学下)期末试题七(含答案)
答案:
分析:设动点的坐标为 根据题意得到 两边平方化简得到
9．设 交换积分次序后,
知识点:交换积分顺序；难度等级:2。.
答案:
10.设 则
知识点:一阶偏微分计算；难度等级:1。答案:
11.设 为取正向的圆周 则曲线积分
知识点:曲线对坐标的积分计算，格林公式；难度等级:1.答案:
分析:先求出对应的齐次线性方程的通解,再定出相应的特解形式.
解:对应的齐次方程的特征方程为: 故可得特征根为
原方程右端的函数 其中
方程 的一个特解为
方程 的一个特解为
利用叠加原理,得原方程的特解
故方程的通解为
15.计算曲面积分 其中 为曲面 的上侧.
知识点:对坐标曲面积分计算，高斯公式；难度等级:2.
(A)
(B)
(C)
(D)
知识点:对坐标曲面积分计算,高斯公式；难度等级:1。答案:B
分析:A中右边被积函数错误,B正确,C符号错误,D被积函数错误.
二、填空题(每小题3分,共18分)
7.微分方程 的通解为
知识点:齐次微分方程；难度等级:1。答案:
8.平面 与一动点的距离等于动点与原点间的距离,动点的轨迹表达式为
证明:令
显然 在正方形域 上连续,且
由连续函数的介值定理知 在 上至少有一个零点,即方程 在 上至少有一组解.
20.设曲面 证明:
知识点:对面积的曲面积分,对称性,轮换性；难度等级:3。
分析:据题目的特点,注意对称性的使用
证明: 关于 面对称, 为连续的奇函数,故
由轮换性对称性知 于是
在八个卦限中都是以边长为 的等边三角形,其面积为 故
高数下学期期末试题(含答案)3套
高等数学期末考试试卷1一、单项选择题（6×3分）1、设直线，平面，那么与之间的夹角为( )A.0B.C.D.2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（）A.充分条件B.充分必要条件C.必要条件D.既非充分又非必要条件3、设函数，则等于（）A. B.C． D.4、二次积分交换次序后为（）A. B.C. D.5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 C.不能确定其敛散性6、设是方程的一个解，若，则在处（）A.某邻域内单调减少B.取极小值C.某邻域内单调增加D.取极大值二、填空题（7×3分）1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝2、设，，那么3、D 为，时，4、设是球面，则＝5、函数展开为的幂级数为6、＝7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分)1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。
2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。
3、计算二重积分，其中4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。
25、求级数的和。
四、综合题(10分)曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。
五、证明题 (6分)设收敛，证明级数绝对收敛。
一、单项选择题（6×3分）1、 A2、 C3、 C4、 B5、 A6、 D二、填空题（7×3分）1、22、3、 4 、5、6、0 7、三、计算题(5×9分)1、解：令则，故2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为：3、解：＝＝＝4、解：令，则当，即在x 轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则＝＝＝5、解：令则，即令，则有＝四、综合题(10分)4解：设曲线上任一点为，则过的切线方程为：在轴上的截距为过的法线方程为：在轴上的截距为依题意有由的任意性，即，得到这是一阶齐次微分方程，变形为： (1)令则，代入（1）得：分离变量得：解得：即为所求的曲线方程。
高等数学下期末试题(七套附答案)
高等数学（下）试卷一一、 填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为 （2）已知函数arctany z x =，则zx ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交（2）设是由方程xyz =(1,0,1)-处的dz =（ ）A.dx dy +B.dx ++D.dx （3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D. 22520d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数，则其收敛半径（ ）A. 2B. 1C. 12D.（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（ ）A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分）1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z+-==的平面方程 2、 已知22(,)z f xy x y =，求zx ∂∂， z y ∂∂3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()yL xy x dx x e dy ++-⎰， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 xxy y xe '+=满足 11x y ==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑由圆锥面z =与上半球面z =所围成的立体表面的外侧 (10)' 2、（1）判别级数111(1)3n n n n∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为 ； （2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（3）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝ ；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则=⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（ ）；A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z -D. 2xy z xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（ ）；A.2()x ax b e +B.2()x ax b xe +C.2()x ax b ce ++D.2()xax b cxe ++ （4）已知Ω是由球面2222x y z a++=所围成的闭区域, 将dv Ω⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（ ）； A222sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.20ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（ ）.B. 1C. 12 D.三．计算题（每题8分，共48分）5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ .7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)xx Ley y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1nn x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧高等数学（下）模拟试卷三一． 填空题（每空3分，共15分）1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃 （C ）无穷 （D ）振荡2、积分1⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。
高数三期末考试题及答案
高数三期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^3-3D. x^3+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B3. 判断下列级数是否收敛。
∑(1, 2, 3, 4, ...)A. 收敛B. 发散答案：B4. 求解微分方程dy/dx+y=x的通解。
A. y = e^(-x)∫x dx + CB. y = e^(x)∫x dx + CC. y = e^(-x)∫e^x dx + CD. y = e^(x)∫e^(-x) dx + C答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=sinx的二阶导数是______。
答案：-cosx2. 求极限lim(x→0) (sinx/x)。
答案：13. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，求其顶点坐标。
答案：(2, 0)4. 计算二重积分∬D xy dA，其中D为x^2+y^2≤1的闭区域。
答案：π/2三、解答题（每题10分，共30分）1. 求函数y=x^3-6x^2+9x+1的极值点。
解：首先求导数y'=3x^2-12x+9，令y'=0，解得x=1或x=3。
然后检查二阶导数y''=6x-12，发现x=1时y''<0，x=3时y''>0，因此x=1为极大值点，x=3为极小值点。
2. 计算定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx。
解：首先进行积分运算，得到∫(x^2-4x+4) dx = (1/3)x^3-2x^2+4x。
然后将积分上限2和下限0代入，计算得到(1/3)(2)^3-2(2)^2+4(2)- [(1/3)(0)^3-2(0)^2+4(0)] = 8/3 - 8 + 8 = 8/3。
3. 求解微分方程dy/dx-2y=e^(2x)。
重大高数期末试题及答案
重大高数期末试题及答案第一章：微分学1. 求函数$f(x)=3x^2-2x+5$的导数。
解答：对于函数$f(x)=3x^2-2x+5$，利用导数的定义可以求得其导数为$f'(x)=6x-2$。
2. 计算曲线$y=e^x$在点$(0,1)$处的切线方程。
解答：首先求得曲线$y=e^x$的导数为$y'=e^x$。
然后通过点斜式切线方程的公式$y-y_1=y'(x-x_1)$，代入点$(0,1)$和导数$y'=e^x$，可得切线方程为$y-1=e^x(x-0)$。
第二章：积分学1. 计算定积分$\int_0^1 (2x^3-3x^2+4x-1)dx$。
解答：对于多项式函数$2x^3-3x^2+4x-1$，我们可以按照幂次递减的顺序进行积分。
首先对$x^3$进行积分可得$\frac{1}{4}x^4$，对$x^2$进行积分可得$\frac{1}{3}x^3$，对$x$进行积分可得$2x$，对常数$-1$进行积分可得$-x$。
将这些结果依次代入积分的上下限进行计算，最终得到定积分的结果为$\int_0^1 (2x^3-3x^2+4x-1)dx=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+2-1=\frac{5}{12}$。
2. 求解微分方程$\frac{dy}{dx}=2x$，其中$y(0)=3$。
解答：对于微分方程$\frac{dy}{dx}=2x$，我们可以通过直接积分的方法求解。
对方程两边同时进行积分可得$y=x^2+C$，其中$C$为常数。
由于已知$y(0)=3$，代入初始条件可得$3=0^2+C$，解得$C=3$。
于是原微分方程的解为$y=x^2+3$。
第三章：级数1. 判断级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$的收敛性。
解答：对于级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$，我们可以利用比较判别法来判断其收敛性。
重庆高数期末真题答案解析
重庆高数期末真题答案解析1. 引言高等数学是大多数理工科专业学生的必修课，对于学生来说，期末考试是一个重要的评判学习成绩的机会。
而本文将为您解析重庆地区某高校的高等数学期末试卷答案，希望能够帮助广大学生更好地理解和掌握相关知识。
2. 解析第一题第一题是一道极限题，考察学生对极限概念的理解和运用能力。
题目要求求极限lim（n->∞）(sqrt(n^2+3n)-n)。
解答过程中，可以先对根式内进行化简，得到sqrt(n^2(1+3/n)-n)。
然后利用极限的性质进行进一步的运算，即sqrt(n^2(1+3/n)-n)=sqrt(n^2(1+3/n))-sqrt(n)=n(sqrt(1+3/n))-sqrt(n)。
由于n趋向于无穷大，所以sqrt(1+3/n)趋向于1，故极限值为lim（n->∞）(n-sqrt(n))=0。
3. 解析第二题第二题是一道求解方程的题目，考察学生对方程的处理和解法的掌握。
题目要求解方程sec^2x+2tanx=0。
解答过程中，可以首先化简方程，得到1+tan^2x+2tanx=0。
然后利用tanx=t/sqrt(1-t^2)的关系进行替换，得到1+(t/sqrt(1-t^2))^2+2(t/sqrt(1-t^2))=0。
接着整理方程并化简，得到1+t^2+2t=0。
求解该二次方程，可得t=-1或t=-2。
再利用tanx=t/sqrt(1-t^2)的关系，求出对应的角度值。
最终，得到方程的解为x=arctan(-1)和x=arctan(-2)。
4. 解析第三题第三题是一道求曲线长度的题目，考察学生对曲线长度的计算方法的理解和运用能力。
题目给出曲线y=e^(-x)在x=0到x=1之间的一段弧，要求求出该曲线段的长度。
解答过程中，可以利用曲线长度公式进行计算，即L=∫(0->1)sqrt(1+(dy/dx)^2)dx。
首先求出dy/dx，即dy/dx=-e^(-x)。
重庆高等数学试题及答案
重庆高等数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)的最小值是（）。
A. 0B. 1C. 3D. 42. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 23. 函数\( y = e^x \)的导数是（）。
A. \( e^x \)B. \( -e^x \)C. \( \ln e^x \)D. \( \frac{1}{e^x} \)4. 曲线\( y = x^3 - 3x^2 + 2 \)的拐点坐标是（）。
A. (0,2)B. (1,0)C. (2,-2)D. (3,6)5. 定积分\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值为（）。
A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{5} \)6. 微分方程\( y'' + 4y' + 4y = 0 \)的特征方程是（）。
A. \( r^2 + 4r + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4r + 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r - 4 = 0 \)D. \( r^2 - 4r - 4 = 0 \)7. 函数\( f(x) = \ln(x+1) \)的不定积分是（）。
A. \( x\ln(x+1) - x + C \)B. \( x\ln(x+1) + x + C \)C. \( x\ln(x+1) + \ln(x+1) + C \)D. \( x\ln(x+1) - \ln(x+1) + C \)8. 级数\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)的和是（）。
A. \( \frac{\pi^2}{6} \)B. \( \frac{\pi^2}{4} \)C. \( \frac{\pi^2}{3} \)D. \( \frac{\pi^2}{2} \)9. 矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)的行列式是（）。
重庆大学高数(下)期末试题十五(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号:考试日期:考试方式：开卷闭卷 其他考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 向量3124a i j k=-+r r r r在向量(2)(34)b i k i j k =-⨯+-r r r r r r上的投影为().(A) -67 (B) 76 (C) 67 (D) -67难度等级:2;知识点:向量代数 答案:(C).分析:102(6,2,3),134i j k b =-=-rr r r 6Prj .7||b a b a b ⋅==r r rr 2. 设()f u 具有连续导数,若L 为221,x y +=则必有().(A)22()()0L f x y xdx ydy ++=⎰Ñ (B)22()()0L f x y xdy ydx ++=⎰Ñ (C)22()()0L f x y dx ydy ++=⎰Ñ ()D 22()()0L f x y xdx dy ++=⎰Ñ难度等级:2;知识点:格林公式 答案: (B).分析:22221,()(1),x y f x y f +=+=积分值为0.积分与路径无关,只有B 满足.3. 若1(),y x ϕ=2()y x ϕ=是一阶非齐次线性微分方程的两个不同特解,则该方程的通解为().(A)12()()x x ϕϕ- (B)12()()x x ϕϕ+ (C)121(()())()C x x x ϕϕϕ-+ (D)12()()C x x ϕϕ+ 难度等级:1;知识点:微分方程答案: C.分析:由一阶非齐次线性微分方程通解的结构知,其通解应是对应的齐次方程的通解与原各的一个特解之和.而12ϕϕ-是齐次方程的解,因此齐次方程的通解应为12().y C ϕϕ=-因此非命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密齐次方程的通解应是121()y C ϕϕϕ=-+或122().y C ϕϕϕ=-+故应选(C).4. 设222: (1)1,x y z Ω++-≤则2(3)().x xyz dV Ω+-=⎰⎰⎰(A)0 (B)3π (C)3π- (D)4π- 难度等级:2;知识点:三重积分 答案:(D).分析:积分区域关于yoz 面对称,2x xyz +为关于x 的奇函数,积分值为0,余下为3-倍体积,球体体积为4/3,π故选D.5. 曲线x t y t z t ===,,42在点(,,)4816处的法平面方程为（ ）.(A) x y z --=-8132 (B) x y z ++=8140 (C)x -y +8z =124 (D) x y z +-=8116答：（B ）难度等级：1；知识点：曲线的法平面.分析 法平面的法向量就是曲线的切向量，为(1,1,8)n =r，所以法平面方程为：(4)(8)8(16)0x y z -+-+-= 即 x y z ++=8140 与(A)、(B)、（C)、（D)比较后知，应选（B).6. 设22()x f x x e =，则(16)(0)f =______(A)17!(B) 16! (C) 16!7! (D) 7!16!答案：(C)难度等级2; 知识点：幂级数分析：因为22220()!n x n x f x x e x n ∞===∑的16x 的系数为17!，即(16)(0)116!7!f =，故 (16)16!(0)7!f =二、填空题(每小题3分,共18分)7. 已知sin(21),xy u e x y =++则__________.du = 难度等级1; 知识点：全微分答案: ([sin(21)][2cos(21)].xy xy ye y dx xe x y dy +++++8. 已知幂级数1nn n a x ∞=∑的收敛半径为2,则213nn n n a x ∞=∑的收敛半径为__________.难度等级2; 知识点：幂级数 答案:R =分析:由1nn n a x ∞=∑的收敛半径为2,故 2.x <即223x x <⇒<9.设向量场()()(23)32,A z y i x z j y x k =-+-+-v v v v则旋度_______.v rotA =难度等级1; 知识点：旋度答案:234.vv v i j k ++10. 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12,y C C x =+其中12,C C 为独立的任意常数,则该方程为__________.答案:0.y ''=分析:由通解可得特征方程为20,λ=其对应的二阶线性常系数齐次微分方程0.y ''=11.设:0,D y x a ≤≤≤≤则__________.D=难度等级2; 知识点：二重积分答案:316a π分析:由几何意义知,该积分为顶为z =底为坐标面的四分之一园面曲顶柱体体积,即为一半径为a 的球体的八分之一,得结果. 12. 函数0()0x x f x x πππ-<≤⎧=⎨<≤⎩在[],ππ-上的傅立叶级数的系数__________.n b =答案:21(1).n n n-- 分析:1()sin n b f x nxdx πππ-=⎰ 00000021(sin sin )11(cos cos )111((1)1)cos cos 1(1)1((1)1)sin 21(1).n n nn nxdx x nxdx nx xd nx n n x nx nxdx n n n nx n n n n nππππππππππππππ-----=+=--=---+-=--++=--⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛？难度等级2; 知识点：级数的敛散性解:由11lim lim ln(1)lim ln(1)10,nn n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>知级数1n n u ∞=∑发散.--------3分又111||ln(1)ln(1)||,1n n u u n n +=+>+=+1lim ||lim ln(1)0.n n n u n→∞→∞=+=故所给级数收敛且条件收敛．---3分14. 方程组01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩确定隐函数(,),(,),u u x y v v x y ==求2,u x y ∂∂∂2.v x y ∂∂∂ 难度等级2; 知识点：隐函数的偏导数 分析:用,x y 解出,,u v 再求偏导数.解: 2222,;y xu v x y x y==++222222222,;()()u xy v y xx x y x x y ∂∂-=-=∂+∂+ 22222222232232(3)2(),.()()u x y x v y x y x x y x y x y ∂-∂-==∂+∂∂+ 15. 计算二重积分cos(),Dx x y d σ+⎰⎰其中D 是顶点分别为0,0,()(),0π和(),ππ的三角形闭区域难度等级2; 知识点：二重积分解 :积分区域可表示为:0,0.D x y x π≤≤≤≤ 于是cos()Dx x y d σ+⎰⎰00cos()xxdx x y dy π=+⎰⎰ []00sin()xx x y dx π=+⎰(sin 2sin )x x x dx π=-⎰01(cos 2cos )2xd x x π=--⎰1(cos 2cos )|2x x x π=--+01(cos 2cos )2x x dx π-⎰3.2π=- 16.计算222222()()(),y z dx z x dy x y dz Γ+++++⎰其中Γ是球面x z y x 4222=++与柱面x y x 422=+的交线,从Oz 轴正方向看进去为逆时针(0).z ≥难度等级2; 知识点：第二类曲线积分分析:用斯托克斯公式化为对坐标的曲面积分,并计算此曲面积分.解: 222222()()()L y z dx z x dy x y dz +++++⎰ 2()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑=-+-+-⎰⎰2()2xyxyD D x y dxdy xdxdy =-=⎰⎰⎰⎰4cos 22022cos d r dr πθπθθ-=⎰⎰342224cos 16.3d ππθθπ-⨯==⎰或解:22cos 2sin 020x ty tt z π=+⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩222222()()()y z dx z x dy x y dzΓ+++++⎰23208[sin (1cos )cos ]16t t t dt ππ=-++=⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17. 设函数()x ϕ为已知的一阶导数连续的函数，求微分方程()()()dy d x d x y x dx dx dxϕϕϕ+=的通解. 难度等级2; 知识点：一阶非齐次线性微分方程分析: 因为()x ϕ是已知函数,故方程为一阶非齐次线性微分方程. 解: 由通解公式可得()()(()())x x y e x x e dx C ϕϕϕϕ-'=+⎰()()(()())x x e x e d x C ϕϕϕϕ-=+⎰()()()(())x x x e x e e C ϕϕϕϕ-=-+即()()1.x y x Ce ϕϕ-=-+18. 函数z z x y =(,)由方程F x z yy z x(,)++=0所确定，其中F 有连续的一阶偏导数，计算: z z x yx y∂∂+∂∂难度等级：2，知识点：多元隐函数的偏导数、复合函数的偏导数.分析 由方程(,)zz F x y y x++=(,,)0G x y z =确定的隐函数z z x y =(,)的偏导数x zG zx G ∂=-∂，y zG zy G ∂=-∂，求出,,x y z G G G 后可得,z z x y ∂∂∂∂，代入z zx y x y∂∂+∂∂即可得到结论.解12212221()1yF zF yF zF zx xxF F x-++∂=-=∂112211F F zx y F F x -∂=-=-∂1212yF zF yF z z xy z x y F +-∂∂+==∂∂五、 证明题 (每小题6分,共12分)19. 设向量(1,1,1)a =-r,(3,4,5)b =-r ,x a b λ=+r r r ,λ为实数，试证：其模最小的向量x r垂直于向量b r .难度等级：2；知识点：向量代数.分析 先计算出x a b λ=+r r r ，再求出它的模x r ，何时x r达到最小值？证 设x a b λ=+r r r ，于是22222()x a b a b λλ=++⋅r r r r r ，将a b r r 、的坐标代入得，222633245050().2525x λλλ=++=++r当256-=λ时，模x r 最小，这时6715(1,1,1)()(3,4,5)(,,).25252525x ---=-+-=r且有0x b ⋅=rr .故结论正确.20. 验证曲线积分(2,3)(0,1)()()x y dx x y dy ++-⎰的被积表达式为某二元函数的全微分,并计算该曲线积分. 难度等级：2；知识点：第二类曲线积分.2分析:可利用曲线积分与路径无关找被积函数的原函数. 证:显然,()()x y dx x y dy ++- ()()xdx ydy ydx xdy =-++2222()2().2x y d d xy x y d xy -=+-=+是全微分.于是(2,3)22(2,3)(0,1)(0,1)()() 4.2x y x y dx x y dy xy ⎡⎤-++-=+=⎢⎥⎣⎦⎰六、应用题 (每小题8分,共16分)21.求抛物面224y x z ++=的切平面,π使得π与该抛物面间并介于柱面1)1(22=+-y x 内部的部分的体积为最小.难度等级3; 知识点：综合题，多元函数的几何应用、二重积分和多元函数的极值。
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重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设向量a 与三轴正向夹角依次为,,,αβγ则当cos 1β=时有().(A) a ⊥xoy 面 (B) a //xoz 面 (C) a ⊥yoz 面 (D) a xoz ⊥面 知识点:向量与坐标面的位置关系,难度等级:1. 答案: (D)分析:cos 1β=,0β=,a 与y 轴正向夹角等于零,a xoz ⊥面. 2. 方程22()0ydx x y x dy -++=的积分因子为().(A)21()x x μ=(B)21()y y μ= (C)221(,)x y x y μ=+ (D)1(,)x y x yμ=+ 知识点:微分方程,积分因子,难度等级:1. 答案: (C)分析:当微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=不是全微分方程时,若存在二元函数(,),x y μ使得(,)[(,)(,)]0x y M x y dx N x y dy μ+=是全微分方程,则称(,)x y μ为方程的积分因子.因此代入(A),(B),(D)所给函数均不满足条件,因此应选(C).3. 设积分区域D 由||1,x ≤||1y ≤确定,则=⎰⎰Dxy xydxdy xe sin cos ().(A)0 (B)e (C)2 (D)2-e知识点:二重积分对称性的使用,难度等级:1. 答案:(A)分析:积分区域关于y 轴对称,被积函数为关于y 的奇函数,积分值为0,选A .4．微分方程27(1)y y x '''-=-用待定系数法确定的特解(不求系数值)形式是().(A)2()y x Ax B =+ (B) 27()x y x Ax Bx C e =++ (C)27()x y Ax Bx C e =++ (D)2()y x Ax Bx C =++命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密知识点:微分方程特解形式,难度等级:1. 答案: (D)分析:原方程所对应的齐次方程为07,y y '''-=其特征方程为27(70,)λλλλ-=-=其特征根为120,7.λλ==而220(1)(1),x x x e ⋅-=-故方程的特解为2().y x Ax Bx C =++故应选(D).5. 下列各曲线中,绕y 轴旋转而成的椭球面2223231x y z ++=的曲线是(). (A) 222310x y y ⎧+=⎨=⎩(B)223210y z x ⎧+=⎨=⎩(C) 223210x y z ⎧+=⎨=⎩ (D)223310x z y ⎧+=⎨=⎩知识点:旋转曲面对应的曲线方程,难度等级:2.答案:(C)分析:222310x y y ⎧+=⎨=⎩可以写成221x y ⎧=⎨=⎩绕y轴旋转而成的旋转面为22221x z +=;223210y z x ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转而成的旋转面为2222321x y z ++=;223210x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转而成的旋转面为2223231x y z ++=;223310x z y ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转而成的不是旋转面,而是它本身22331.0x z y ⎧+=⎨=⎩. 6. 设∑为0z =(222R y x ≤+)的上侧,则22()x y dxdy ∑+=⎰⎰().(A)42222R dxdy RRy x π=⎰⎰≤+ (B)42222R dxdy RRy x π-=-⎰⎰≤+(C)242003R dr r d Rπθπ=⎰⎰ (D)0知识点:对坐标的曲面积分,难度等级:1. 答案:(C)分析:被积函数自变量在园面内取,故A,B 错误,C 与D 之一成立,上侧取正化为二重积分为C,计算结果不为0,不选D.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 已知级数31ln(1)tn n n ∞=+∑收敛,则参数t 的取值范围__________. 知识点:含参级数收敛,参数范围,难度等级:2. 答案: 1.t >分析:3ln(1)3ln ~,t t n nn n +在1t >时23ln tn n n ∞=∑收敛.故 1.t > 8. 两个平行平面0218419=++-z y x 和0428419=++-z y x 间的距离为__________.知识点:两平面间的距离,难度等级:3. 答案:1.分析:两个平行平面间的距离等于第一个平面内任一点000(,,)x y z 到第二个平面的距离,即000194842,21x y z d -++=其中0001948210.x y z -++=即000194821.x y z -+=-于是0001948422142 1.2121x y z d -++-+===9.222y xdx e dy -⎰⎰=__________.知识点:二重积分交换积分次序计算,难度等级:2. 答案:41(1).2e --分析: 直接计算不行,交换积分顺序,可得所求.10. 设L 是从点() 0, ,ππe e A -沿曲线cos , sin , t tt x e t y e t z e===到点()1 , 0 , 1B 的弧段,则第二类曲线积分 LI xdx ydy zdz =++⎰的值为__________.知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案:()21.I e π=--分析:2221(),2xdx ydy zdz d x y z ++=++()()()1 , 0 , 12222, 0, 1()1.2e e I x y z e πππ-⇒=++=- 11.21x y z ++=下的极小值等于__________.知识点:三元函数的条件极值,难度等级:3. 答案:6分析:令(,,)f x y z =由拉格朗日乘数法,在约束条件21x y z ++=下的极小值点满足方程组020.0λλλ⎧+=+=+=解此方程组得111,,.663x y z ===所以极小值等于= 12. ∑为柱面222a y x =+被平面1z =和4z =所截得的在第一卦限内的部分,则⎰⎰∑++ydzdx xdydz zdxdy =__________.知识点:对坐标的曲面积分,难度等级:3. 答案:23.2a π分析:曲面可视为4)y z =≤≤或4),x z =≤≤23.2yz zxD D zdxdy xdydz ydzdx a π∑++=+=⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 计算曲线积分,L xds ⎰L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界.知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1.分析:直接化为定积分计算. 解: 整个边界可分为两部分,分别为:21:(01);L y x x =≤≤ 2:(01).L y xx =≤≤故121Lxds x=++⎰⎰⎰3212011[(14)]1)1212x =++=+ 14. 解方程22ln .xy y x y x '+=知识点:微分方程,变量代换,难度等级:2 分析:注意(,)xy y xy ''=+从而作代换,u xy = 解 :令,u xy =则,u y xy ''=+代入方程可得2ln duu x dx = 这是变量分离方程,即2ln .du xdx u =⎰⎰解得1ln .x x x C u-=-+故原方程的解为1().(ln())y x x x C x x=-+-15. 将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-112)1(n n n 的和.知识点:函数的幂级数展开,常数项级数求和,难度等级:2 分析:求导再展开,幂级数逐项积分.解: 2214()(12)12112f x x x x -'=⋅+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭2214x -=+ 202(4)n n x ∞==--∑12120(1)2,n n n n x ∞++==-∑ 11,.22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()f x f x dx '⇒=⎰12120((1)2)n n n n x dx ∞++==-∑⎰12121(1)2.21n n n n x C n ++∞+=-=++∑⇒由4)0(π=f 知 .4C π=()f x ⇒=+4π121210(1)2,21n n n n x n ++∞+=-+∑ 11[,].22x ∈- ⇒令21=x 得:∑∞=+-112)1(n n n 1.4π=- 16. 计算333(cos cos cos ),x y z dS αβγ∑++⎰⎰其中∑为曲面222x y z +=夹在平面0z =及(0)z h h =>之间的部分,cos ,cos ,cos αβγ为此曲面的外法线的方向余弦.知识点:对面积的曲面积分,高斯公式,球坐标,难度等级:3分析:添加辅助面构成闭曲面,用高斯公式,据被积函数特点,用球面坐标计算三重积分.解: 添加辅助面1:z h ∑=,取上侧,则∑与1∑构成闭区域Ω,用高斯公式,用球面坐标计算三重积分:1333(cos cos cos )x y z dS αβγ∑+∑++⎰⎰2223()x y z dV Ω=++⎰⎰⎰244cos 053sin 9.10hd d r drh ππϕθϕϕπ==⎰⎰⎰而1333(cos cos cos )x y z dS αβγ∑++⎰⎰1333()x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰1335.xyD z dxdyh dxdy h π∑===⎰⎰⎰⎰于是33355591(cos cos cos ).1010x y z dS h h h αβγπππ∑++=-=-⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分) 17．判别级数()11211+--∞=∑n nn n 的收敛性. 知识点:交错级数敛散性,难度等级:1 解:因为n n n n u u n n 11)1(1||||221+⋅+++=+nn n n n n 2212323+++++=,1≤ 即||||1n n u u ≤+),2,1( =n 且1lim||lim 2+=∞→∞→n nu n n n .0=由交错级数审敛法,原级数收敛.另一方面,1||2+=n n u n 22n n n +≥,21n =而∑∞=121n n 发散.故∑∑∞=∞=+=1211||n n n n nu 发散. 于是级数∑∞=-+-1211)1(n n n n是条件收敛的. 18．在曲面22260x y z --+=上求一点,使该点处的切平面垂直于直线215,213x y z ++-==-并求该切平面. 知识点:曲面,直线,切平面.难度等级:2分析:形式上写出切点处的切平面的法向量,利用切平面与已知直线垂直且切点在切平面上得切点,进而写切平面方程.解: 曲面在点000(,,)x y z 处的法向量000(,,)n x y z =--平行于向量(2,1,3),-所以000.213x y z --==- 令000,213x y z t --===-得到0002,,3.x t y t z t ==-=代入22260x y z --+=得,1.t =±所求的点为(2,1,3)-和(2,1,3),--切平面为2(2)(1)3(3)0,x y z -++--=即2360;x y z +-+=和2(2)(1)3(3)0,x y z ++--+=即2360.x y z +--=五、 证明题(每小题6分,共12分)19．函数z z x y =(,)由方程F x z y y zx(,)++=0所确定,其中F 有连续的一阶偏导数,求证: .z zxy z x y∂∂+=∂∂ 知识点:隐函数的偏导数,难度等级:1分析:由方程(,)z zF x y yx++=(,,)0G x y z =确定的隐函数z z x y =(,)的偏导数,x z G z x G ∂=-∂,y zG zy G ∂=-∂求出,,x y z G G G 后可得,,z zx y∂∂∂∂代入z z xy x y∂∂+∂∂即可得到结论.证明:12212221();1yF zF yF zF z x xxF F x-++∂=-=∂11221;F F zx y F F x-∂=-=-∂1212.yF zF yF z z xy z x y F +-∂∂+==∂∂ 20. 设在上半平面{}(,)0D x y y =>内,函数(,)f x y 具有连续偏导数,且对任意的0t >都有2(,)(,).f tx ty t f x y -=证明:对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线,L 都有(,)(,)0.Lyf x y xf x y dy -=⎰知识点:对坐标的曲线积分,格林公式,齐次函数,难度等级:3 分 析: 利用格林公式化为二重积分,再利用已知条件. 证明:设L 为逆时针方向,L 所围的区域为0.D 由格林公式,0(,)(,)(,)(,)2(,).x y LD yf x y xf x y dy xf x y yf x y f x y dxdy ⎡⎤-=-++⎣⎦⎰⎰⎰ 对所给方程2(,)(,)f tx ty t f x y -=两边对t 求导,3(,)(,)2(,).x y xf tx ty yf tx ty t f x y -+=-令1t =得(,)(,)2(,)0.x y xf x y yf x y f x y ++=将该式代入第一式,有(,)(,)0.Lyf x y xf x y dy -=⎰六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 设平面薄片所占闭区域D 由曲线ln ,y x =直线0y =及x e =围成,面密度1,ρ=求它对直线x t =的转动惯量,并问当t 为何值时此转动惯量最小？知识点:平面区域关于直线的转动惯量,最值.难度等级:3 分析:积分区域是平面区域,由转动惯量公式建立关于变直线二重积分,利用结果为关于变量t 的函数求极值.解:()2()DI t x t d ρσ=-⎰⎰()12310()3y yeeee dy x t dxx t dyρ=--=⎰⎰⎰223(1)21299t e t e +=-++ ()21()21.2I t t e '⇒=-+ 令()0,I t '=有 ()211.4t e =+当()2114t e =+时,转动惯量最小.22．求向量场{}23,,A y xz yz =-沿闭曲线Γ的环流量,其中Γ为圆周222, 2.x y z z +==若从z 轴的正向看去,这圆周是取逆时针方向.知识点:向量场的环流量,斯托克斯公式,对称性,难度等级:3 分析:曲线的参数方程不易写出,积分路径为闭,用斯托克斯公式化为对面积的曲面积分.解: 取∑为平面2z =被Γ所围成的部分的上侧,∑的法线向量为(0,0,1),n =其方向余弦为(cos ,cos ,cos )(0,0,1).αβγ=于是23ydx xzdy yz dz Γ-+⎰2cos cos cos 3(3)dS x y z y xz yz z dSαβγ∑∑∂∂∂=∂∂∂-=--⎰⎰⎰⎰ 2245520.x y dSdxdy π∑+≤=-=-=-⎰⎰⎰⎰。