材料力学经典公式汇集

材料力学重点及其公式

材料力学的任务（1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。 变形固体的基本假设（1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。 外力分类：表面力、体积力；静载荷、动载荷。

内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。

应力：dA dP

A P p A =

∆∆=→∆lim 0正应力、切应力。变形与应变：线应变、切应变。 杆件变形的基本形式（1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。

静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷。 动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因：脆性材料在其强度极限

b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为极限应力理想情形。塑性材

料、脆性材料的许用应力分别为：

[]3n s σσ=，

[]b

b

n σ

σ=，强度条件：

[]σσ≤⎪⎭⎫

⎝⎛=max max A N ，等截面杆 []σ≤A N max

轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=∆1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：l

l

∆=ε，A

P A N ==

σ。横向应变为：b b b b b -=∆=1'ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-='

。 胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即εσE =，这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：EA

Nl l =

∆ 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φργρ=。物理关系——胡克定律dx

d G G φργτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G

dA T A

A

A

⎰⎰⎰

===

2

2ρφφρρτρ圆轴扭转时的应力：t p W T R I T ==max

τ；圆轴扭转的强度条件： ][max ττ≤=

t

W T

，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷。 圆轴扭转时的变形：⎰⎰==

l p

l p dx GI T dx GI T ϕ；等直杆：p

GI Tl =ϕ 圆轴扭转时的刚度条件： p GI T dx d ==

'ϕϕ，][max max

ϕϕ'≤='p

GI T

弯曲内力与分布载荷q 之间的微分关系)()

(x q dx x dQ =；()()x Q dx

x dM =；()()()x q dx x dQ dx x M d ==2

2 Q 、M 图与外力间的关系

a ）梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。

b ）梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。

c ）在梁的某一截面。

()()0==x Q dx

x dM ，剪力等于零，弯矩有一最大值或最小值。 d ）由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力Q 有一突然变化，弯矩图的斜率也发生突然变化形成一个转折点。 梁的正应力和剪应力强度条件[]σσ≤=

W

M max

max ，[]ττ≤max 提高弯曲强度的措施：梁的合理受力(降低最大弯矩m ax M ，合理放置支座，合理布置载荷，合理设计截面形状 塑性材料：[][]c t σσ=，上、下对称，抗弯更好，抗扭差。脆性材料：[][]c t σσ<， 采用T 字型或上下不对称的工字型截面。

等强度梁：截面沿杆长变化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样的变截面梁称为等强度梁。

用叠加法求弯曲变形：当梁上有几个载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形，然后进行叠加，即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形。 简单超静定梁求解步骤：（1）判断静不定度；（2）建立基本系统（解除静不定结构的内部和外部多余约束后所得到的静定结构）；（3）建立相当系统（作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统）；（4）求解静不定问题。 二向应力状态分析—解析法 （1）任意斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 2

2

xy y

x y

x --+

+=

；ατασστα2cos 2sin 2

xy y

x +-=

（2）极值应力正应力：y

x xy

tg σστα--

=220，

22min max )2

(2xy y x y

x τσσσσσσ+-±+=⎭⎬

⎫ 切应力：xy

y x tg τσσα221-=， 2

2min max )2(

xy y x τσσττ+-±=⎭⎬⎫ （3）主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系

α与1α之间的关系为：4

,2

220101π

ααπ

αα+

=+

=，即：最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为45°

扭转与弯曲的组合（1）外力向杆件截面形心简化（2）画内力图确定危险截面（3）确定危险点并建立强度条件 按第三强度理论，强度条件为：[]σσσ≤-31 或

[]στσ≤+224， 对于圆轴，W W t 2=，其强度条件为：

][2

2σ≤+W

T M 。按第四强度理论，强度条件为：()()()[]

[]σσσσσσσ≤-+-+-21323222121 ，经化简得出：[]στσ≤+223，对于圆轴，其强度条件为：

][75.02

2σ≤+W

T M 。

欧拉公式适用范围（1）大柔度压杆（欧拉公式）：即当1λλ≥，其中P

E

σπλ21=时，22λπσE cr =（2）中等柔度压杆（

经验公式）：即当12λλλ≤≤，其中b

a s

σλ-=

2时，λσb a cr -=（3）小柔度压杆（强度计算公式）：即当2λλ<时，s cr A

F

σσ≤=

。