二次函数及其图像
二次函数的图像及性质
与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向
二次函数图像与性质ppt课件
D．f(1)＞25
答案：A
三基能力强化
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足 f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 答案：C
三基能力强化
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区
间[0，m]上有最大值3，最小值2，则
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)待定系数法．(2) 二次函数的单调性．
【解】 (1)依题意，方程f(x)＝ax2 ＋bx＝x有等根，
则有Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1. 2分 又f(－x＋5)＝f(x－3)， 故f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴－2ba＝1，解得 a＝－12，
∴f(x)＝－21x2＋x. 5 分
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
基础知识梳理
基础知识梳理
基础知识梳理
二次函数可以为奇函数吗？ 【思考·提示】 不会为奇 函数．
三基能力强化
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在
区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的
范围是( )
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤2＋2＝(x＋a)2＋2 －a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5，或－a≥5， 解得a≤－5，或a≥5. 10分
规律方法总结
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a ＞0)在区间[m，n]上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式
二次函数
对于顶点式： ①y=a(x-h)^2+k与y=a(x+h)^2+k两图像关于y轴 对称，即顶点（h,k）和（－h,k）关于y轴对称，横坐 标相反、纵坐标相同。 ②y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2-k两图像关于x轴 对称，即顶点（h,k）和（h,－k）关于y轴对称，横坐 标相同、纵坐标相反。 ③y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2+k关于顶点对称， 即顶点（h,k）和（h,k）相同，开口方向相反。 ④y=a(x-h)^2+k与y=-a(x+h)^2-k关于原点对称， 即顶点（h,k）和（－h,－k）关于原点对称，横坐标、 纵坐标都相反。 （其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情 况）
②y=a(x-h)2+k[顶点式] 此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a ③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0） 对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2 时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2） /2时Y随X 的增大而减小 此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、 Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连 用）。 交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点 和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。
一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)， 顶点坐标为 [-b/2a,(4ac-b^2)/4a] 把三个点代入函数解析式得出一个三元 一次方程组，就能解出a、b、c的值。
人教版九年级上册数学 讲义 二次函数的图像与性质
C． D．
【例2】已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的大致图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图
象不经过( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＜0；③a－b＋c＜0；④a＋c＞0，其中正确结论的个数为（）．
3、抛物线 （ ）的顶点坐标公式：（ ， ）；对称轴是直线： ；当 时，函数有最值： 。
4、二次函数图像的平移：只要抛物线解析式中的a相同，它们之间可以相互平移得到，平移规律：左加右减，上加下减。
二、典型例题：
考点一：二次函数的定义
【例1】下列函数中，关于 的二次函数是（ ）。
A、 B、 C、 D、
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【例2】已知二次函数 ，若自变量 分别取 ， ， ，且 ，则对应的函数值 的大小关系正确的是（）
A. B. C. D.
三、强化训练：
【夯实基ห้องสมุดไป่ตู้】
1、二次函数 的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）
【例2】已知函数 （ 为常数）。
（1） 为何值时，这个函数为二次函数？
（2） 为何值时，这个函数为一次函数？
考点二：二次函数的顶点、对称轴、最值
【例1】写出下列抛物线的对称轴方程、顶点坐标及最大或最小值；
（1） （2） （3）
考点三：抛物线的平移（上加下减，左加右减）
【例1】把抛物线 向左平移2个单位，再向下平移2个单位，则所得的抛物线的表达式是；
A、4个B、3个C、2个D、1个
考点五：直线与抛物线的位置关系
初中代数二次函数公式定理
初中代数二次函数公式定理1.二次函数及其图像1.二次函数我们把函数y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,且a不等于0)叫做二次函数2.函数y=ax²(a不等于0)的图像和性质用表里各组对应值作为点的坐标,进行描点,然后用光滑的曲线把它们顺次联结起来,就得到函数y=x²的图象这个图象叫做抛物线函数y=x²的图像,以后简称为抛物线y=x²这条抛物线是关于y轴成对称的我们把y轴叫做抛物线y=x²的对称轴对称轴和抛物线的焦点,叫做抛物线的顶点3.函数y=ax²+bx+c(a不等于0)的图像和性质抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标是(-b/2a,4ac-b²/4a),对称轴方程是x=-b/2a,当a〉0时,抛物线的开口向上,并且向上无限延伸;当a〈0时,抛物线的开口向下,并且向下无限延伸当a〉0时,二次函数y=ax²+bx+c在x〈-b/2a时是递减的,在x〉-b/2a时是递增的;在x=-b/2a 处取得y最小=4ac-b²/4a当a〈0时,二次函数y=ax²+bx+c在x〈-b/2a时是递减的;在x=-不/2a 处取得y最大=4ac-b²/4a2.根据已知条件求二次函数1.根据已知条件确定二次函数2.二次函数的最大值或最小值3.一元二次方程的图像解法直角三角形概述定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。
性质：直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R＝C/2）。
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5：在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
二次函数及其图象
函数的图像以y轴为对称轴。
与x轴的交点
当c=0时，函数与x轴无交点；当c>0时，函数与x轴有两 个交点；当c<0时，函数与x轴有一个交点。
CHAPTER 03
二次函数图象特征
开口方向
开口向上
当二次项系数a大于0时，函数图 像开口向上，顶点为最低点。
开口向下
当二次项系数a小于0时，函数图 像开口向下，顶点为最高点。
科技领域
图像处理
01
在计算机视觉和图像处理中，二次函数常被用于图像的缩放、
旋转和变形等操作中。
声音处理
02
在音频处理中，二次函数被用于声音的频谱分析和合成，以及
音频信号的滤波等。
航天技术
03
在航天学中，二次函数被用于描述火箭和卫星的运动轨迹，以
及太空探测器的路径规划等。
CHAPTER 06
二次函数与数学文化
CHAPTER 04
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
01
二次函数是一元二次方程的图形 表示，一元二次方程是二次函数 的解析形式。
02
二次函数描述了一个抛物线的形 状，而一元二次方程则描述了该 抛物线与x轴的交点位置。
一元二次方程解法
公式法
使用求根公式计算一元二次方程 的解。
因式分解法
期货与期权定价
二次函数常被用于金融衍生品如 期货、期权等的定价模型中，通 过调整参数来估算未来资产价格
的不确定性。
物理领域
弹性力学
在研究材料的弹性和塑性问题时，经常使用二次函数来描述应变 和应力之间的关系。
波动方程
在物理学中，二次函数经常被用来描述波动现象，如弦的振动、电 磁波等。
第12节 二次函数的图象和性质
27＋10a a＜－5.
练习：若函数 f（x）解：=x函2+数afx（+xb）在=x2区+ax间+b[的0图，象1是]上开的口朝最上大且值以直是线Mx=，﹣最为小对值称是轴的m抛，物则线，
解：函数 y=x2+（1﹣a）x+2 的对称轴 x= 又函数在区间（﹣∞，4]上是减函 数，可得 ≥4，，得 a≥9． 故选 A．
典例分析：
（3）如果函数 f（x）=ax2+2x﹣3 在区间（﹣∞，4）上是单调递增的，则实数 a
的取值范围是（ ）
A.（- 1，+） 4
B.[- 1 ，+） 4
C.[- 1 ，0） 4
典例分析：
例 4：（1）已知函数 f（x）=mx2﹣mx﹣1，对一切实数 x，f（x）＜0 恒成立，则
m 的范围为（ ）
A．（﹣4，0）
解：当 m=0 时，代B．入（得﹣f（4x），=0﹣]1＜0 恒成立；
当 m≠0 时，由 f（x）＜0 恒成立，
C．（﹣∞，﹣4）∪得（到0m，＜+0，∞且）△=D（．﹣（m﹣）2∞﹣4，×m﹣（4﹣）1）∪=[m02+，4m+＜∞0，）
∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，
D．﹣
即 a2﹣a﹣1＜x2﹣x．
令 t=x2﹣x，只要 a2﹣a﹣1＜tmin．
t=x2﹣x=
，当 x∈R，t≥﹣ ．
∴a2﹣a﹣1＜﹣ ，即 4a2﹣4a﹣3＜0，
解得：﹣
．
故选：C．
练习：若函数 f（x）=x2﹣4x+a 对于一切 x∈[0，1]时，恒有 f（x）≥0 成立， 则实数 a 的取值范围是（ ） A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，3）
二次函数二次函数及其图象二次函数ppt
二次函数及其图象
目 录
• 引言 • 二次函数的定义和性质 • 二次函数图像的作图方法和步骤 • 案例分析 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01
引言
课程背景
函数是数学中最重要的概念之一，它描述了两 个变量之间的关系。
二次函数是指形如$y = ax^2 + bx + c$的函 数，其中$a$、$b$、$c$为常数，$a \neq 0$。
当$a < 0$时，二次函数图像开口向下，图像有最高点（ 顶点），且当$x$趋向无穷大时，$y$趋向无穷小。
03
二次函数图像的作图方法和步骤
描点法
定义：将函数图像上的关键点在坐标系中标出，通过 连接各个关键点形成图像。
其次确定函数图像与y轴的交点，将交点纵坐标代入函 数解析式计算横坐标；
步骤：- 首先确定函数图像与x轴的交点，将交点横坐 标代入函数解析式计算纵坐标；
案例三：二次函数的优化问题
总结词：优化问题
01
进行优 化的问题。
列表1：优化问题的定义与分类
03
04
列表2：二次函数优化问题的求解方法
列表3：二次函数优化问题的实际应用
05
06
列表4：二次函数优化问题的局限性与展望
05
练习与巩固
基础练习
总结词
了解、掌握二次函数的基础知识。
最后描出关键点并连接，形成完整的二次函数图像。
零点法
定义：通过解方程得到图像上的关键点，再描点作图 。
其次解方程$f'(x)=0$得到图像与x轴交点的横坐标（ 可能有两个解）；
步骤：- 首先解方程$f(x)=0$得到图像与x轴交点的横 坐标；
最后描出关键点并连接，形成完整的二次函数图像。
二次函数的图像与性质
弹簧振动：描述弹 簧振动的规律
波动：描述波动现 象，如声波、水波 等
电路：在交流电路 中，二次函数用于 描述电流与电压的 关系
与一次函数的比较
表达式不同：二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，一次函数的一般形式为y=kx+b 图像不同：二次函数的图像是抛物线，一次函数的图像是直线 开口方向不同：二次函数的开口方向由a的符号决定，一次函数没有开口方向 顶点不同：二次函数有顶点，一次函数没有顶点
程
对称轴的证明
证明方法：利用 二次函数的对称 性，通过代入法 证明对称轴的存 在
证明过程：通过 计算二次函数在 x轴上的交点， 推导出对称轴的 方程
证明结论：二次 函数的图像关于 对称轴对称，且 对称轴的方程为 x=-b/2a
证明意义：理解 二次函数图像的 对称性质，有助 于解决与二次函 数相关的数学问 题
与坐标轴交点坐标的证明
证明方法：通过令二次函数等于0，解出x的值，得到与y轴交点的坐标
证明过程：将二次函数的一般形式代入x=0，得到y的值，即为与y轴的交点坐标
证明结果：当x=0时，y的值即为与y轴的交点坐标 证明结论：通过以上步骤，可以证明二次函数与y轴的交点坐标为(0,c)
汇报人：XX
与反比例函数的比较
函数形式：二次 函数的一般形式
为 y=ax^2+bx+c，
反比例函数的一 般形式为y=k/x，
其中k为常数且 k≠0
添加标题
图像：二次函数的 图像是一个抛物线， 反比例函数的图像 是两条渐近线，当 k>0时，图像在第
一、三象限；当 k<0时，图像在第
二、四象限
添加标题
性质：二次函数有 最小值或最大值， 而反比例函数没有 最小值和最大值， 当k>0时，函数在 x>0时单调递减， 在x<0时也单调递 减；当k<0时，函 数在x>0时单调递 增，在x<0时也单
二次函数定义
二次函数定义二次函数及其图像一般地，我们把形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
x为自变量，y为因变量。
等号右边自变量的最高次数是2。
注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。
二次函数的几种表达式一般式y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [-b/2a,(4ac-b2)/4a] 把三个点代入式子得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k），对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
[1]例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)2+2，把（3，10）代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x，0）和B （x，0）的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵X1+ X2=-b/a X1·X2=c/a∴y=ax2+bx+c=a（x2+b/ax+c/a）=a[x2-( X1+ X2)x+ X1·X2]=a(X2- X1)( X1- X2)重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。
二次函数知识要点
一、研究函数的图象和性质：二次函数的图象是抛物线。
（1）研究抛物线的图象特点主要包括：开口方向、顶点坐标、对称轴.（2）研究抛物线的图象性质主要包括：增减性以及最大（小) 值．1、二次函数y=ax²的图象及性质：2、二次函数y=ax²+k的图象及性质：抛物线y=ax²+k是由顶点在原点的抛物线y=ax²向上（下）平移个单位得到的.3、二次函数y=a（x-h）²的图象及性质：抛物线y=a(x—h)2是由顶点在原点的抛物线y=ax²向右(左)平移个单位得到的.4、二次函数y=a（x-h）²+k 的图象及性质：抛物线y=a(x—h)2+k是由顶点在原点的抛物线y=ax²先向上（下）平移个单位.再向右(左)平移个单位得到的.当k>0时,向平移；当k<0时,向平移.当h>0时,二次函数知识点归纳5.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象及性质：条件图象特点性质开口对称轴顶点增减性最大(小)值a＞0a＜0二、配方法的步骤：（1）提取a（每一项除以a）；（2）在提取a后的括号内加上一次项系数绝对值一半的平方再减去它；（3）配方；（4）整理形式y=a（x-h）²+k.三、有关抛物线与坐标轴交点的问题：1.求抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点：把x＝0代入求y，得（0，c）；2.求抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点：把y＝0代入求x.交点个数由一元二次方程ax²+bx+c=0的根决定,而方程ax²+bx+c=0的根由△(即b²-4ac )决定.分三种情况:①当△＞0时，方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数解x1,x2，此时抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0），②当△=0时，方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数解x1=x2，此时抛物线y=ax²+bx+c与x轴只有一个交点（即顶点在x轴上）；③当△＜0时，方程ax²+bx+c=0没有实数解，此时抛物线y=ax²+bx+c与x轴无交点。
二次函数的图像与性质
06
二次函数与一元二次方程的关 系
一元二次方程的基本概念
1 2
一元二次方程的标准形式
ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是系数，且a≠0 。
判别式
Δ = b² - 4ac，用于判断一元二次方程的实数根 的个数。
3
根的求解
通过配方或公式法求解，若Δ > 0，方程有两个 实数根，若Δ = 0，方程有一个实数根，若Δ < 0 ，方程没有实数根。
顶点式
表达式
$y = a(x - h)^{2} + k$
描述
顶点式表示二次函数的顶点坐标，其中$(h, k)$是顶点坐标，$a$是二次项系数。
焦点式
表达式
$y = a\sqrt{x^{2} + 2ax + b}$
描述
焦点式主要用于描述二次函数的 焦点位置和形状，其中$a$和$b$ 分别是二次项和一次项的系数。
05
二次函数的应用
求最值问题
定义
设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c是常数， a≠0)，当a>0时，函数f(x)的图像是 一个开口向上的抛物线；当a<0时， 函数f(x)的图像是一个开口向下的抛物 线。
顶点
极值点
当a>0时，二次函数f(x)的图像在x=b/2a处取得最小值f(-b/2a)；当a<0 时，二次函数f(x)的图像在x=-b/2a处 取得最大值f(-b/2a)。
对称
二次函数图像的对称主要改变函数的单调性。如果一个二次函数图像关于y轴对 称，那么它的单调性将发生改变；如果一个二次函数图像关于x轴对称，那么它 的单调性不变。
04
二次函数的解析式
二次函数的性质及其图象
象经过一、三、四象限，反比例函数 y
c x
经过二、四象限.故选择B.
经典考题
【例2】（2016年达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴
交于点A（-1,0），与y轴的交点B在（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这两点），
对称轴为直线x=1，下列结论：
（ D）
①abc＞0
（2）c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上.
（3）c=0时，抛物线过原点.
3.4.5 二次函数图象的平移
y=ax2
平移 |h|个 左 单 位 加 向右 右 (h 减 0)、 左 （h 0） y=a(x-h)2
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
平移|k|个单位
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
经典考题
得
4a 2b 4 36a 6b 0
，解得
a
1 2
；
b 3
（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2,0）,
连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E、
F.则：S△OAD
1 2
OD
AD
1 2
2
4
4.
S△ACD
1 2
AD
CE
1 2
4x
2
2x
4.
S△BCD
1 2
BD
CF
1 2
3.4.2 二次函数的图象及性质
要点梳理
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象是抛物线.
1.当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x= b .当x= b 时， y有最小
值为4ac b2 .在对称轴左边（即x＜
二次函数的图象与方程
交点性质：当a>0时，一个交点在原点，另一个在x轴正半轴；当a<0时， 一个交点在原点，另一个在x轴负半轴
单击此处添加标题
交点坐标：当a>0时，交点坐标为(0,0)和(√(-b/a),0)；当a<0时，交点坐 标为(0,0)和(-√(-b/a),0)
单击此处添加标题
交点与方程的关系：二次函数与x轴的交点即为方程的根
二次函数与三角 形、四边形等几 何知识的关系： 通过二次函数的 图象，可以研究 三角形、四边形 等几何图形的性
质和特点。
THANK YOU
汇报人：XX
二次方程的解法
二次方程的解的概念
二次方程的标准 形式：ax^2 + bx + c = 0
判别式：Δ = b^2 - 4ac
根的性质：当Δ > 0时，方程有 两个不相等的实 根；当Δ = 0时， 方程有两个相等 的实根；当Δ < 0时，方程无实 根。
解的公式：当Δ ≥ 0时，解为x = [-b ± sqrt(Δ)] / (2a)
二次函数的表达式
二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c， 其中a、b、c为常数 且a≠0
a的符号决定了抛物 线的开口方向，当 a>0时，抛物线开 口向上；当a<0时， 抛物线开口向下
b和c决定了抛物线 的位置，b和c的值 越大，抛物线越偏离 y轴和x轴
二次函数的顶点坐标 为(-b/2a, cb^2/4a)
二次函数的图象与方程
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二次函数的基本概念
二次函数的图象与性质
举 例
解 对称轴是直线x=-1，顶点坐标为(-1，-3).
x
-1
0
1
2
3
…
-3
-2.5
-1
1.5
5
…
列表：自变量x从顶点的横坐标-1开始取值.
例4 画二次函数 的图象.
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分. 这样我们得到了函数 的图象.
二次函数的图象与性质
1.2
本节内容
我们已经学习过用描点法画一次函数、反比例函数的图象，如何画一个二次函数
的图象呢？
探究
列表：由于自变量x可以取任意实数，因此让x取 和一些互为相反数的数，并且算出相应 的函数值，列成下表：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
9
4
1
0
1
4
9
…
描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标， 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点. 如 下图所示.
解
由于点（-2，1）是该抛物线的顶点，可设这个 抛物线所表示的二次函数的表达式为 y=a(x+2)2+1.
因此，所求的二次函数的表达式为
解得
练习
1. 说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向：
答：对称轴为直线x=9，顶点(9，7)，开口向上.
答：对称轴为直线x=-18，顶点(-18，-13)，开口向下.
壹
一般地，当a＞0时，y=ax2的图象都具有上述性质.
贰
于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以 先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.
二次函数图像与性质(共44张PPT)
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
图象是轴对称图形
对称轴是平行于
y轴的直线:x=1.
二次项系数相同
a>0,开口都向上.
顶点坐标
是点(1,0).
想一想,在同一坐标系中作二次函数
y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?
(4)x取哪些值时,函数y=3(x1)2的值随x值的增大而增大 ?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而减少？
2 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的1 值如何变化？当x>0呢？
(5)当x取-4什么-值3时,-y2的值最-1小?最0 小值1是什么2？你是3如何4知道的x ？ -2
y x2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
二次函数的图象有什么关系?
你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2的形 式吗?
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数 y=3(x-1)2的图象．
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
想一想
比较函数y 3x2与y 3x1的2 图象
右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
y
在同一坐标系中作出函数 y=x2和y=-x2的图象
y=x2
y=x2和y=-x2是y=ax2当a=±1
二次函数
二次函数一基本定义编辑一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数（quadratic二次函数及其图像function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
x为自变量，y为因变量。
等号右边自变量的最高次数是2。
二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线[1]，顶点坐标，交点式为（仅限于与x轴有交点和的抛物线），与x轴的交点坐标是和。
注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。
[2-3]2函数性质编辑1.二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。
开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。
抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形。
对称轴为直线。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）。
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P。
当时，P在y轴上；当时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0, c6.抛物线与x轴交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点。
时，抛物线与x轴有1个交点。
当时，抛物线与x轴没有交点。
当时，函数在处取得最小值；在上是减函数，在上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是。
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二次函数y=ax2的图象
一、教学目的
1．使学生初步理解二次函数的概念。
2．使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象。
3．使学生结合y=ax2的图象初步理解抛物线及其有关的概念。
二、教学重点、难点
重点：对二次函数概念的初步理解。
难点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象。
三、教学过程
复习提问
1．在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1）y=x/4；（2）y=4/x；（3）y=2x-5；（4）y=x2 - 2。
2．什么是一无二次方程？
3．怎样用找点法画函数的图象？
新课
1．由具体问题引出二次函数的定义。
（1）已知圆的面积是Scm2，圆的半径是Rcm，写出空上圆的面积S与半径R之间的函数关系式。
（2）已知一个矩形的周长是60m，一边长是Lm，写出这个矩形的面积S（m2）与这个矩形的一边长L之间的函数关系式。
（3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？
解：（1）函数解析式是S=πR2；
（2）函数析式是S=30L—L2；
（3）函数解析式是y=50（1+x）2，即
y=50x2+100x+50。
由以上三例启发学生归纳出：
（1）函数解析式均为整式；
（2）处变量的最高次数是2。
我们说三个式子都表示的是二次函数。
一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c没有限制而a≠0），那么y叫做x的二次函数，请注意这里b，c没有限制，而a≠0。
2．画二次函数y=x2的图象。
按照描点法分三步画图：
（1）列表∵x可取任意实数，∴以0为中心选取x值，以1为间距取值，且取整数值，便于计算，又x取相反数时，相应的y值相同；
（2）描点按照表中所列出的函数对应值，在平面直角坐标系中描出相应的7个点；（3）边线用平滑曲线顺次连接各点，即得所求y=x2的图象。
注意两点：
（1）由于我们只描出了7个点，但自矿业量取值范围是实数，故我们只画出了实际图象的一部分，即画出了在原点附近、自变量在-3到3这个区间的一部分。
而图象在x>3或x<-3的区间是无限延伸的。
（2）所画的图象是近似的。
3．在原点附近较精确地研究二次函数y=x2的图象形状到底如何？——我们–1与1之间每隔0.2的间距取x值表和图13-14。
按课本P118内容讲解。
4．引入抛物线的概念。
关于抛物线的顶点应从两方面分析：一是从图象上看，y=x2的图象的顶点是最低点；一是从解析式y=x2看，当x=0时，y=x2取得最小值0，故抛物线y=x2的顶点是（0，0）。
小结
1．二次函数的定义。
（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）函数自变量的最高次数是2。
2．二次函数y=x2的图象。
（1）其图象叫抛物线；（2）抛物线y=x2的对称轴是y轴，开口向上，顶点是原点。
补充例题
下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a，b，c？
（1）y=2-3x2；（2）y=x (x-4)；
（3）y=1/2x2-3x-1；（4）y=1/4x2+3x-8；
（5）y=7x（1-x）+4x2；（6）y=（x-6）（6+x）。
作业：P122中A组1，2，3。
四、教学注意问题
1．注意渗透局部和全体、有限和无限、近似和精确等矛盾对立统一的观点。
2．注意培养学生观察分析问题的能力。
比如，结合所画二次函数y=x2的图象，要求学生思考：
（1）y=x2的图象的图象有什么特点。
（答：具有对称性。
）
（2）如何判断y=x2的图象有上面所说的特点？（答：由观察图象看出来；或由列表求值得出来；或由解析式y=x2看出来。
）。