完全平方公式和平方差公式的应用
平方差公式和完全平方公式
平方差公式和完全平方公式一、平方差公式：设有两个数a和b，平方差公式可以表示为：(a+b)*(a-b)=a^2-b^2例如，对于任意两个实数a和b，有(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab这个公式的应用十分广泛，对于二次方程的因式分解、求根等问题有很大的帮助。
通过平方差公式，可以将一个二次方程因式分解为两个一次方程的乘积，从而简化计算过程。
举个例子，假设有一个二次方程x^2+5x+6=0，我们可以将其因式分解为(x+2)(x+3)=0，然后求解得到x=-2或x=-3通过平方差公式，我们可以简化计算过程，直接得到因式分解的结果。
二、完全平方公式：完全平方公式是指一个二次三项式可以表示为一个完全平方的形式。
设有一个二次三项式x^2 + bx + c，完全平方公式可以表示为：x^2 + bx + c = (x + m)^2 + n其中m和n是常数。
通过完全平方公式，我们可以将一个二次三项式转化为一个完全平方的形式，从而进行进一步的求解。
举个例子，假设有一个二次三项式x^2+6x+9，根据完全平方公式可以将其表示为(x+3)^2通过完全平方公式，我们可以快速得到该二次三项式的解为x=-3与平方差公式类似，完全平方公式也是简化计算的重要工具。
通过完全平方公式，我们可以将一个二次三项式转化为一个完全平方，从而更方便地进行求解。
总结：平方差公式和完全平方公式是数学中常用的两个公式，用于求解一元二次方程。
平方差公式使我们能够将一个二次方程进行因式分解，简化计算过程。
完全平方公式用于将一个二次三项式转化为一个完全平方，进一步求解。
这两个公式在数学的教学和实际应用中有着重要的作用，帮助我们更方便地求解问题，提高计算的效率。
平方差公式和完全平方公式因式分解
平方差公式和完全平方公式因式分解平方差公式和完全平方公式是数学中常用的因式分解方法，它们在解题过程中起到了十分重要的作用。
本文将为大家详细介绍这两个公式，帮助大家理解其原理和应用。
首先，我们来了解一下平方差公式。
平方差公式的表达形式为a² - b² = (a + b)(a - b)。
简言之，它告诉我们两个平方数相减的结果可以因式分解为两个因数的乘积：一个因数是两个平方数的和，另一个因数是两个平方数的差。
这个公式可以极大地简化计算，特别是在解方程或因式分解的题目中，往往能起到事半功倍的效果。
那么，我们来看一个应用平方差公式的例子。
假设我们需要将x² - 4x + 4进行因式分解。
我们可以使用平方差公式进行分解，将x² - 4x + 4看作是(a - b)²的形式，其中a为x，b为2。
根据平方差公式，我们可以得到(x - 2)²，也就是x² - 4x + 4的因式分解形式。
通过应用平方差公式，我们可以将一个多项式快速分解为一对平方数的差的乘积。
接下来，我们将介绍完全平方公式。
完全平方公式的表达形式为a² + 2ab + b² = (a + b)²。
它告诉我们一个二次多项式可以因式分解为两个相同的因数的平方。
与平方差公式类似，完全平方公式也可以在解题过程中提供方便。
我们来看一个应用完全平方公式的例子。
假设我们需要将x² + 6x + 9进行因式分解。
根据完全平方公式，我们可以将x² + 6x + 9看作是(a + b)²的形式，其中a为x，b为3。
带入完全平方公式，我们可以得到(x + 3)²，也就是x² + 6x + 9的因式分解形式。
通过应用完全平方公式，我们可以迅速将二次多项式转化为平方的形式。
在实际应用中，平方差公式和完全平方公式可以帮助我们进行因式分解，并简化问题的求解过程。
完全平方公式和平方差公式的应用
完全平方公式和平方差公式的应用公式：语言叙述：两数的。
公式结构特点：左边：右边：熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。
(5+6x)(5-6x)中是公式中的a，是公式中的b(5+6x)(-5+6x)中是公式中的a，是公式中的b(x-2y)(x+2y)填空：1、(2x-1)( )=4x2-12、(-4x+ )( -4x)=16x2-49y2第一种情况：直接运用公式1.（a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)第二种情况：运用公式使计算简便1、1998×20022、498×5023、999×10014、1.01×0.995、30.8×29.26、（100-13）×（99-23）7、（20-19）×（19-89）第三种情况：两次运用平方差公式1、（a+b）(a-b)(a2+b2)2、(a+2)(a-2)(a2+4)3、(x-12)(x2+14)(x+12)第四种情况：需要先变形再用平方差公式1、（-2x-y）(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1) 5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a) 7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况：每个多项式含三项1.（a+2b+c ）(a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3.x-y+z)(x+y-z)4.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式公式：语言叙述：两数的 . 。
公式结构特点：左边： 右边：熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。
公式变形1、a 2+b 2=(a+b)2 =(a-b)22、（a-b ）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)23、(a+b)2 +（a-b ）2=4、(a+b)2 --（a-b ）2= 一、计算下列各题： 1、2)(y x + 2、2)23(y x - 3、2)21(b a + 4、2)12(--t5、2)313(c ab +-6、2)2332(y x +7、2)121(-x 8、(0.02x+0.1y)2二、利用完全平方公式计算： （1）1022 （2）1972三、计算： （1）22)3(x x -+ （2）22)(y x y +-（3）()()2()x y x y x y --+-四、计算：（1）)4)(1()3)(3(+---+a a a a （2）22)1()1(--+xy xy（3）)4)(12(3)32(2+--+a a a五、计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x（3）)3)(3(+---b a b a （4）()()2323x y z x y z +-++六、拓展延伸 巩固提高 1、若22)2(4+=++x k x x，求k 值。
完全平方公式与平方差公式教案
完全平方公式与平方差公式教案章节一：完全平方公式的探究与理解1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式的概念，例如求(x + 2)²的值。
2. 探究：引导学生通过具体例子，如(x + 2)²= x²+ 4x + 4，发现完全平方公式的规律。
4. 练习：布置一些简单的练习题，让学生运用完全平方公式进行计算。
章节二：平方差公式的探究与理解1. 导入：通过实际问题引入平方差公式的概念，例如求(x 2)²的值。
2. 探究：引导学生通过具体例子，如(x 2)²= x²4x + 4，发现平方差公式的规律。
4. 练习：布置一些简单的练习题，让学生运用平方差公式进行计算。
章节三：完全平方公式与平方差公式的应用1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式与平方差公式的应用，例如求(x +1)(x 1) 的值。
2. 探究：引导学生运用完全平方公式与平方差公式，将(x + 1)(x 1) 进行展开和简化。
4. 练习：布置一些实际问题，让学生运用完全平方公式与平方差公式进行解决。
章节四：完全平方公式与平方差公式的巩固与拓展1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式与平方差公式的巩固与拓展，例如求(x + 2)(x 2) 的值。
2. 探究：引导学生运用完全平方公式与平方差公式，将(x + 2)(x 2) 进行展开和简化。
4. 练习：布置一些更复杂的实际问题，让学生运用完全平方公式与平方差公式进行解决。
1. 回顾：引导学生回顾本节课学习的完全平方公式与平方差公式。
3. 评价：对学生的学习情况进行评价，鼓励学生积极参与课堂讨论和练习。
4. 布置作业：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
章节六：完全平方公式与平方差公式的综合应用1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式与平方差公式的综合应用，例如求(x + y)²(x y)²的值。
2. 探究：引导学生运用完全平方公式与平方差公式，将(x + y)²(x y)²进行展开和简化。
完全平方公式和平方差公式有哪些
完全平方公式和平方差公式有哪些完全平方公式和平方差公式是数学中常用的公式，它们在解决一些与平方数相关的问题时发挥着重要的作用。
下面将详细介绍完全平方公式和平方差公式的定义和应用。
一、完全平方公式完全平方公式是指将一个二次多项式转化为一个完全平方式表示的公式。
二次多项式可以写成\[a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\]其中，a和b可以是任意实数。
完全平方公式通过将二次多项式写成一个完全平方式的形式，可以方便地进行运算和化简。
完全平方公式的应用十分广泛，特别是在因式分解与整式运算、解二次方程、求函数的最值等方面，其作用不可忽视。
二、平方差公式平方差公式是指将两个数的平方差表示为一个因式的形式的公式。
平方差公式有两种常见形式：1. \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)其中，a和b可以是任意实数。
平方差公式可以应用于因式分解、整式运算等问题的解答。
2. \(a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi)\)其中，a和b表示实数，i为虚数单位。
当b不为0时，该公式可以应用于复数运算，如复数的乘法和除法。
当b为0时，该公式可以用于判定一个实数是否为一个复数的平方。
平方差公式的广泛应用使得解决与平方数相关的问题变得更加简便。
总结：完全平方公式和平方差公式是数学中常用的公式，它们在解决与平方数相关的问题时发挥着重要作用。
完全平方公式将二次多项式转化为完全平方式，便于运算和化简；平方差公式通过将平方差表示为因式的形式，方便因式分解、整式运算和复数运算等问题的解答。
这些公式的应用广泛，对于学习和应用数学都至关重要。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的公式来解决与平方数相关的问题。
熟练掌握完全平方公式和平方差公式的定义、应用和证明，将会极大地提高我们在数学领域的能力和解题技巧。
通过不断的练习和实践，我们可以更好地理解和运用这些公式，为解决更复杂的数学问题打下坚实的基础。
平方差公式和完全平方公式
平方差公式与完全平方公式（a+b ）2 = a 2+2ab+b 2（a －b ）2=a 2－2ab+b2（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2应用1、平方差公式的应用：例1、利用平方差公式进行计算： （1）（5+6x ）（5－6x ） （2）（x ＋2y ）（x －2y ） （3）（－m ＋n ）（－m －n ） 解：例2、计算：（1）（y x 41--）（y x 41+-） （2）（－m －n ）（m －n ）（3）（m ＋n ）（n －m ）+3m 2（4）（x+y ）（x －y ）（x 2－y 2）解：例3、计算：（1）103×97 （2）118×122 （3）32203119⨯ 解：应用2、完全平方公式的应用： 例4、计算：（1）（2x －3）2（2）（4x+5y ）2（3）（y x 21-）2 （4）（－x －2y ）2（5）（－x+y 21）2解：例5、利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972 （3）199992－19998×20002解：试一试：计算：123456789×123456787－1234567882=_______________应用3、乘法公式的综合应用： 例6、计算：（1）（x+5）2－（x+2）（x －2）（2）（a+b+3）（a+b －3） （3）（a －b+1）（b －a+1）（4）（a+b －c ）2解： 例7、（1）若4ax x 412++是完全平方式，则：a=________________（2）若4x 2+1加上一个单项式M 使它成为一个完全平方式，则M=_______________ 例8、（1）已知：3a1a =+，则：__________a1a 22=+（2）已知：5a 1a =-，则：__________a 1a 22=+（3）已知：a+b=5，ab=6，则：a 2+b 2=_______（4）已知：（a+b ）2=7，（a －b ）2=3，则：a 2+b 2= ，ab=例9、计算：（1）)1011()411)(311)(211(2222---- （2）)12()12)(12)(12)(12(32842+++++解：例10、证明：x 2+y 2+2x －2y+3的值总是正的。
平方差公式与完全平方公式的应用技巧
（D）1 xn ．
分析：解答时，把握好两点，一是准确的进行计算；二是准确的寻找式子的特点，结果
的特点，明确变化中，哪些量是保持不变，哪些量一直在不断变化，变化的规律是什么，问
题就顺利破解．
解：(1+x)(1-x)=1- x 2 ， (1 x)(1 x x2 ) =1- x3 ，…，规律为结果的第一项是数字 1，
（2）写出你猜想的第 n 个等式（用含 n 的式子表示），并验证其正确性． 分析： 由①②③三个等式可得，被减数是从 3 开始连续奇数的平方，减数是从 1 开始连续 自然数的平方的 4 倍，计算的结果是被减数的底数的 2 倍减 1，由此规律得出答案即可． 解：
（1）因为 32 - 4? 12 =5 ①， 52 - 4? 22 =9 ②， 72 - 4? 32 =13 ③…
解：设大正方形的边长为 x1 ，小正方形的边长为 x2 ，由图①和②列出方程组得，
ìïïíïïî
x1 x1
+ -
2x2 2x2
= =
a b
，解得，x1
=
a
+ 2
b
，x2
=
a
4
b
，所以大正方形中未被小正方形覆盖部分
的面积=( a + b )2 - ( a - b )2 ×4=ab．所以应该填 ab．
2
所以 92 ﹣4×- 2 = = 92 ﹣4× 42 =17；
（2）第 n 个等式为：(2n + 1)2 - 4n2 =2（2n+1）﹣1；
证明：因为左边
=(2n + 1)2 - 4n2 =(2n + 1)2 - (2n)2 = (2n + 1+ 2n)(2n + 1- 2n) = 4n + 1
平方差公式与完全平方公式
(1) 103 X 97(2) 118X 122(3) 19- 203 3(a+b ) ( a — b ) =a 2 — b 2应用1、平方差公式的应用： 例1、利用平方差公式进行计算：(1) ( 5+6x )( 5 — 6x )( 2)(x + 2y ) (x — 2y )(3) (— mi + n ) (— m- n ) 解：21) ( 2x — 3)1(3 ) (— x y )21(5 ) ( — x+ y )22 ) ( 4x+5y 4 ) ( — x — 2y例2、计算：1 1(1) ( x y ) ( x y )4 4(2) ( — m — n ) ( m — n )2(3) ( m + n ) ( n — m ) +3m2 2(4) ( x+y ) ( x — y ) ( x — y ) 解：例5、利用完全平方公式计算： 2 2 2(1) 102(2 ) 197 (3) 19999 — 19998 X 20002解:a+b ) a- b )2+2ab+b 2=a 2— 2ab+b 解:应用2、 完全平方公式的应用:例4、计算:平方差公式与完全平方公式例3、计算:试一试：计算：9 X 7—82= _____________应用3、乘法公式的综合应用：例6、计算：2(1)(x+5) —( x+2) (x —2)(2)(a+b+3) (a+b—3)(3)(a —b+1) (b—a+1)2(4)(a+b—c)解：1111、(1) (1-2)(1 2 )(1 2 )(1 —2)23410(2) (21)(221)(241)(281) (232 1)解：例10、证明：x2+y2+2x —2y+3的值总是正的。
1 2例7、( 1)若一x ax 4是完全平方式，则：4a= _______________(2 )若4X2+1加上一个单项式M使它成为一个完全平方式，则M= _______________例18、( 1 ) 已知：a 3 , 则：a21a 2 -a_(2) 已知：a15，则：a 2a a(3) 已知：a+b=5, ab=6，则:a2+b2=(4 ) 已知 : 2 2(a+b ) =7 , ( a —b ) =3 , 则：2 2a +b=,ab=例9、计算:【模拟试题】一、耐心填一填1、计算：(2+3x) (—2+3x) = _____________ ; (—a —b) 2= _____________ .*2、一个多项式除以a2—6b2得5a2+b2,那么这个多项式是 __________________ .23、若ax +bx+c= ( 2x—1) (x —2),则a= _______ , b= ______ , c= ________ .2 24、已知(x—ay) (x + ay ) = x —16y ,那么a = _____________ .5、多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 .(填上一个你认为正确的即可)6、计算：(a—1) (a+1) (a2—1) = _________ .7、已知x —y=3, x —y =6,贝U x+y= _____ .8、若x+y=5, xy=6，贝V x +y = ________ .9、利用乘法公式计算：1012= __________ ; 1232—124X 122= __________ .10、若A= (2—1) (2+ 1) (22+ 1) (24+ 1 )……(232+ 1) +1，贝U A的个位数字是二、精心选一选(每小题3分，共30分)1、计算结果是2x2—x —3的是( )A. (2x —3) (x+1)B. (2x —1)(x —3)C. (2x+3) (x—1)D. (2x—1) (x+3)2、下列各式的计算中，正确的是( )2 2A. (a+5) (a—5) =a —5B. (3x+2) (3x —2) =3x —42 2 2C. ( a+2) (a—3) =a —6D. (3xy+1) ( 3xy —1) =9x y—13、计算(—a+2b) 2,结果是, ( )2 2 2 2A. —a +4ab+bB. a—4ab+4b2 2C. —a —4ab+bD. a 2 2—2ab+2b4、设x+y=6, x —y=5,则x2—y2等于( )A. 11B. 15C. 30D. 605、如果(y+a) 2=y2—8y+b,那么a、b的值分别为()A. a=4 , b=16B. a= —4, b=—16C. a=4 , b= —16D. a= —4, b=166、若(x —2y) 2= (x+2y) 2+m,则m等于( )A. 4xyB. —4xyC. 8xyD.—8xy7、下列式子中，可用平方差公式计算的式子是()a b2、对于任意有理数a、b、c、d,我们规定=adc d(x y) 2x—be,求的值。
平方差和完全平方公式应用举例
平方差和完全平方公式应用举例一、平方差公式平方差公式描述了两个数(或代数式)的乘积与它们的差之间的关系：(a+b)(a-b)=a²-b²这个公式的应用在代数运算中非常常见，下面我们通过几个具体的例子来说明它的应用。
例子1：计算(7+2)(7-2)根据平方差公式，我们有：(7+2)(7-2)=7²-2²=49-4=45所以，(7+2)(7-2)=45例子2：计算(x+1)(x-1)根据平方差公式，我们有：(x+1)(x-1)=x²-1²=x²-1所以，(x+1)(x-1)=x²-1二、完全平方公式完全平方公式描述了一个一次多项式的平方的表达式：(a + b)² = a² + 2ab + b²这个公式的应用也非常广泛，下面我们通过几个具体的例子来说明它的应用。
例子3：展开(x+2)²根据完全平方公式，我们有：(x+2)²=x²+2(x)(2)+2²=x²+4x+4所以，(x+2)²=x²+4x+4例子4：展开(3+2x)²根据完全平方公式，我们有：(3+2x)²=3²+2(3)(2x)+(2x)²=9+12x+4x²所以，(3+2x)²=4x²+12x+9这些例子展示了平方差和完全平方公式在解题中的应用。
它们可以用来简化计算过程，化简表达式和方程。
例如，当我们需要计算两个数的乘积或平方时，我们可以利用平方差公式，将计算过程转化为相加或相减的操作，从而简化计算。
另外，完全平方公式可用于展开一个一次多项式的平方，从而获取更多的信息。
这在求解方程和证明等问题中经常会遇到。
总结起来，平方差和完全平方公式是代数中常用的公式，它们的应用在代数运算、化简表达式、求解方程和证明等问题中都具有重要的作用。
平方差公式与完全平方公式
Word 文档平差公式与完全平公式（a+b ）2 = a 2+2ab+b 2（a －b ）2=a 2－2ab+b2（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2应用1、平差公式的应用：例1、利用平差公式进行计算： （1）（5+6x ）（5－6x ） （2）（x ＋2y ）（x －2y ） （3）（－m ＋n ）（－m －n ） 解：例2、计算：（1）（y x 41--）（y x 41+-） （2）（－m －n ）（m －n ）（3）（m ＋n ）（n －m ）+3m 2（4）（x+y ）（x －y ）（x 2－y 2）解：例3、计算：（1）103×97 （2）118×122 （3）32203119⨯ 解：应用2、完全平公式的应用： 例4、计算：（1）（2x －3）2（2）（4x+5y ）2（3）（y x 21-）2 （4）（－x －2y ）2（5）（－x+y 21）2解：例5、利用完全平公式计算：（1）1022 （2）1972 （3）199992－19998×20002解：试一试：计算：123456789×123456787－1234567882=_______________Word 文档应用3、乘法公式的综合应用： 例6、计算：（1）（x+5）2－（x+2）（x －2）（2）（a+b+3）（a+b －3） （3）（a －b+1）（b －a+1）（4）（a+b －c ）2解： 例7、（1）若4ax x 412++是完全平式，则：a=________________（2）若4x 2+1加上一个单项式M 使它成为一个完全平式，则M=_______________ 例8、（1）已知：3a1a =+，则：__________a1a 22=+（2）已知：5a 1a =-，则：__________a 1a 22=+（3）已知：a+b=5，ab=6，则：a 2+b 2=_______（4）已知：（a+b ）2=7，（a －b ）2=3，则：a 2+b 2= ，ab=例9、计算：（1）)1011()411)(311)(211(2222----ΛΛ （2）)12()12)(12)(12)(12(32842+++++ΛΛ解：例10、证明：x 2+y 2+2x －2y+3的值总是正的。
完全平方公式和平方差公式的应用讲课讲稿
完全平方公式和平方差公式的应用完全平方公式和平方差公式的应用 公式：语言叙述：两数的 ______________________________________________________________ 。
公式结构特点：左边： __________________________________ 右边：熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。
(5+6x)(5-6x) 中 ______ 是公式中的a ， ______是公式中的b (5+6x)(-5+6x) 中 _____ 是公式中的a ， ______是公式中的b (x-2y)(x+2y) 填空： 1、 (2x-1)( )=4x 2-12、 (-4x+ )(-4x)=16x2-49y 2第一种情况：直接运用公式 1. ( a+3) (a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)第二种情况：运用公式使计算简便 1、1998X 2002 2 、 498X 502 3、 999X 1001 4、 1.01 X 0.995、 30.8 X 29.26、1(100-) X 2 (99- -33187(20-) X (19- -)99第三种情况：两次运用平方差公式 1、( a+b )(a-b)(a 2+b 2)第四种情况：需要先变形再用平方差公式5.(b+2a)(2a-b)6.(a+b)(-b+a)7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况：每个多项式含三项2、(a+2)(a-2)(a2+4) 3(x- - )(x 2+ - )(x+ -)2 4 21、( -2x-y ) (2x-y) 2 、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y)4.(4a-1)(-4a-1)1. (a+2b+c) (a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3. x-y+z)(x+y-z)4.(m_n+p)(m_n_p)完全平方公式公式：语言叙述：两数的___________ . __________________________________________________ 。
平方差完全平方公式
平方差完全平方公式平方差是数学中常见的一种特殊形式的差的运算形式。
平方差经常出现在代数中的各种公式中。
在本文中，我们将通过介绍平方差公式和完全平方公式来解释这两个概念。
首先，让我们来了解平方差公式。
平方差公式是一种用来计算两个数的平方差的公式，可以表述为(a+b)(a-b)=a²-b²。
这个公式可以展开成a²-b²的形式，其中a代表一个数，b代表另一个数。
平方差公式的重要性在于它允许我们在不展开式子的情况下直接计算出结果。
举例来说，我们可以通过使用平方差公式来计算36²-25²，这个计算可以简化为(36+25)(36-25)=61*11=671接下来，让我们来介绍完全平方公式。
完全平方公式是一种特殊的平方差公式，可以用来表示一个完全平方数的平方根。
一个完全平方数是一个整数的平方，例如4、9、16等。
完全平方公式的形式为(a + b)² = a² + 2ab + b²。
其中a和b代表任意两个数。
这个公式可以被展开成(a + b)(a + b)的形式，然后简化为a² + 2ab + b²的形式。
在使用完全平方公式时，我们可以将一个数分解成两个数的平方之和，从而找到这个数的平方根。
举一个例子来说明完全平方公式的应用。
我们可以使用完全平方公式来计算25的平方根。
我们将25分解成一个平方数和另一个数的形式，即25=5²。
然后我们将完全平方公式应用于这个分解形式，得到25=(5+b)²=5²+2*5*b+b²。
为了找到b的值，我们可以将等式中的其他项化简，并使其等于0，即25-5²=10b+b²。
这可以简化为0=b²+10b-25、我们可以通过求解这个二次方程来找到b的值，得到b=-5或b=5、因此，25的平方根可以是5或-5在本文的最后，让我们来总结一下平方差公式和完全平方公式的应用。
平方差公式和完全平方公式
平方差公式和完全平方公式在数学中，平方差公式和完全平方公式是两个重要的公式，它们在代数中的运用频繁，能够帮助我们简化计算和解决问题。
本文将介绍这两个公式的定义、应用以及推导过程。
一、平方差公式平方差公式是指两个数的平方差等于它们的积与和的差。
具体表达如下：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)其中，a、b为任意实数。
平方差公式的应用可以帮助我们快速计算平方差，以及解决一些与平方差相关的问题。
例如，考虑以下例子：例1：计算 16^2 - 9^2 的值。
根据平方差公式，我们可以将该式转化为 (16 + 9)(16 - 9)。
进一步计算可得= 25 × 7= 175因此，16^2 - 9^2 的值为 175。
平方差公式也可以用于因式分解和方程求解等问题。
通过将平方差公式进行变形，可以将复杂的表达式进行简化。
二、完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式能够被写成两个平方项的和的形式。
具体表达如下：(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2其中，a、b为任意实数。
完全平方公式的应用范围广泛，涉及到二次函数、方程、因式分解等等。
以下是一些例子：例2：将 x^2 - 6x + 9 表示为完全平方形式。
我们可以观察到该式可以写成 (x - 3)^2 的形式，其中 a = x，b = -3。
这样，我们就可以利用完全平方公式进行简化和计算。
例3：解方程 x^2 + 6x + 9 = 0同样地，我们可以将该方程改写为 (x + 3)^2 = 0 的形式。
根据完全平方公式，这意味着 x + 3 = 0 或 x = -3。
因此，方程的解为 x = -3。
总结：平方差公式和完全平方公式在代数中起到了重要的作用，能够帮助我们简化计算和解决问题。
我们可以通过灵活运用这两个公式来化简表达式、因式分解、解方程等。
熟练掌握平方差公式和完全平方公式，对理解和应用代数知识都有很大帮助。
平方差公式与完全平方公式的组合运算(一)
平方差公式与完全平方公式的组合运算(一)平方差公式与完全平方公式是初中阶段学习中十分重要的数学知识，而它们的组合运算也是十分常见的。
本文将介绍平方差公式与完全平方公式，探讨它们的组合运算，以及为什么能够达到预期效果。
一、平方差公式平方差公式是指：$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$。
它的形式可能比较简单，但是应用起来却十分广泛。
例如，当我们需要求出两个数的平方和与平方差时，便可以通过平方差公式来解决。
如果要求$(a+b)^2+(a-b)^2$，那么我们可以先算出$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$，再把这个结果带入到$(a+b)^2+(a-b)^2$中，得到$(a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2$。
同理，如果要求$(a+b)^2-(a-b)^2$，我们可以先算出$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$，再把这个结果带入到$(a+b)^2-(a-b)^2$中，得到 $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$。
二、完全平方公式完全平方公式是指：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。
这个公式相信大家都非常熟悉，因为在代数式的展开中，非常经常会用到这个公式。
例如，如果要展开$(x+3)^2$，那么我们就可以利用完全平方公式，得到$(x+3)^2=x^2+6x+9$。
三、平方差公式和完全平方公式的组合运算平方差公式和完全平方公式在实际运用中往往也会相互组合，来求解一些更加复杂的数学问题。
例如，如果我们要求$(a+b+c)^2$，那么我们就可以先算出$(a+b)^2$和$c^2$，再通过平方差公式来得到$$(a+b+c)^2=(a+b)^2+c^2+2(a+b)\timesc$$$$=a^2+2ab+b^2+c^2+2ac+2bc$$同样地，如果我们要求$(a-b)^2-(c-d)^2$，那么我们可以先用完全平方公式算出$(a-b)^2$和$(c-d)^2$，再用平方差公式来得到$$(a-b)^2-(c-d)^2=(a-b+c-d)\times(a-b-c+d)$$$$=(a+c-b-d)\times(a-b-c+d)$$$$=(a^2-2ab+b^2-c^2+2cd-d^2)$$综上所述，平方差公式与完全平方公式的组合运算非常灵活，而且可以帮助我们解决许多数学问题。
平方差完全平方公式的应用
平方差完全平方公式的应用平方差和完全平方公式是数学中常用的两个重要公式。
在解决代数问题和简化计算过程中，它们具有非常重要的应用。
首先，我们来谈谈平方差公式。
平方差公式是用来将两个数的平方差表示为两个数的乘积的公式。
具体来说，平方差公式可以表达为：\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)。
这个公式的应用非常广泛。
例如，如果我们需要计算数\(a\)和数\(b\)的平方差，我们可以使用平方差公式，将这个表达式转化为\((a+b)(a-b)\)的形式，然后再进行计算。
这样可以简化计算过程，使我们更容易得到结果。
接下来，让我们来谈谈完全平方公式。
完全平方公式是指一个二次多项式可以被写成一个平方的形式。
具体来说，完全平方公式可以表达为：\( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \)。
完全平方公式的应用非常广泛，特别是在因式分解方程和简化代数表达式时。
例如，如果我们需要因式分解一个二次方程，我们可以应用完全平方公式来简化等式。
一个具体的例子是\(x^2+6x+9\)。
我们可以使用完全平方公式将其转化为\((x+3)^2\)的形式。
在这个例子中，我们可以得到的结果是\((x+3)^2\)。
完全平方公式还可以用来简化代数表达式，使其更易于计算。
例如，如果我们需要计算\((a+3)^2\)和\((a-3)^2\)之间的差异，我们可以应用完全平方公式，将其转化为\(a^2+6a+9\)和\(a^2-6a+9\)的形式。
然后我们可以简化计算过程，更容易得到结果。
总结起来，平方差公式和完全平方公式是数学中常用的两个重要公式。
它们在解题过程中起着非常重要的作用，可以帮助我们简化计算过程，得到更准确的结果。
在实际应用中，我们应该熟练掌握这两个公式，以便在解决代数问题时能够灵活运用。
83完全平方公式与平方差公式
83完全平方公式与平方差公式完全平方公式和平方差公式是数学中常用的公式，这些公式广泛应用于代数和几何中。
下面将详细介绍这些公式。
一、完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式可以表示为一个完全平方加上或减去一个常数。
完全平方公式具体表示如下：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²这里，a和b都是实数，可以是任意实数。
利用完全平方公式，我们可以将一个二次多项式转化为一个完全平方。
例如，对于多项式x²+6x+9，我们可以看到其中的前两项x²和6x分别是完全平方公式的两个完全平方项，而最后一项9是一个常数。
因此，我们可以将该多项式表示为(x+3)²。
完全平方公式的应用非常广泛。
在代数中，我们经常需要将一个二次多项式写成一个完全平方的形式，这样可以更方便地进行计算和分析。
在几何中，完全平方公式可以用来推导出平方和的展开式，从而研究图形的性质。
平方差公式是指一个二次多项式可以表示为两个完全平方的差。
平方差公式具体表示如下：a²-b²=(a+b)(a-b)这里，a和b都是实数，可以是任意实数。
平方差公式表示了一个平方数与另一个平方数的差的关系。
利用平方差公式，我们可以将一个二次多项式转化为两个完全平方的乘积。
例如，对于多项式x²-9，我们可以将其表示为(x+3)(x-3)。
平方差公式的应用也非常广泛。
在代数中，平方差公式可以帮助我们简化和分解二次多项式，从而更方便地进行计算和分析。
在几何中，平方差公式可以用来推导出平方差和的展开式，从而研究图形的性质。
总结：完全平方公式和平方差公式都是数学中常用的公式。
完全平方公式将一个二次多项式表示为一个完全平方加上或减去一个常数，而平方差公式将一个二次多项式表示为两个完全平方的差。
利用这些公式，在代数和几何中可以更方便地计算和分析各种问题，推导出各种展开式，研究各种图形的性质。
平方差公式和完全平方公式的变形
平方差公式和完全平方公式的变形平方差公式和完全平方公式是数学中两个重要的式子，它们在多项式中有着重要的作用。
本文将介绍平方差公式和完全平方公式的变形，以及它们的应用。
一、平方差公式平方差公式是指在多项式中，一个多项式的平方可以由另外一个多项式的平方加上两个多项式的乘积来表示。
它的一般形式可以表示为：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2从上面的公式可以看出，平方差公式的基本形式就是一个多项式的平方等于另外一个多项式的平方加上两个多项式的乘积。
二、完全平方公式完全平方公式是指一个多项式可以由一个多项式的平方加上两个多项式的乘积表示。
它的一般形式可以表示为：a^2-2ab+b^2=(a-b)^2从上面的公式可以看出，完全平方公式的基本形式就是一个多项式可以由另外一个多项式的平方减去两个多项式的乘积来表示。
三、平方差公式和完全平方公式的变形1. 平方差公式的变形：(a-b)^2=a^2-2ab+b^2从上面的公式可以看出，平方差公式也可以表示为一个多项式的平方等于另外一个多项式的平方减去两个多项式的乘积。
2. 完全平方公式的变形：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2从上面的公式可以看出，完全平方公式也可以由一个多项式的平方加上两个多项式的乘积来表示。
四、平方差公式和完全平方公式的应用1. 平方差公式的应用：a. 平方差公式可以用来解决二次方程。
b. 平方差公式可以用来求解三角形的面积。
c. 平方差公式可以用来计算圆的面积。
2. 完全平方公式的应用：a. 完全平方公式可以用来解决二次方程。
b. 完全平方公式可以用来求解三角形的面积。
c. 完全平方公式可以用来计算圆的面积。
五、总结从上面的介绍可以看出，平方差公式和完全平方公式是数学中重要的式子，它们可以用来解决二次方程、求解三角形的面积以及计算圆的面积。
此外，平方差公式和完全平方公式也可以变形，以求得更多的应用。
完全平方公式和平方差公式综合应用
完全平方公式和平方差公式综合应用对于任意实数a和b，有(a+b)² = a² + 2ab + b²。
平方差公式如下：对于任意实数a和b，有(a-b)² = a² - 2ab + b²。
一、应用问题1：求解方程2x²+8x+8=0。
解析：我们可以将方程进行变形，以便使用完全平方公式。
首先，将方程两边同时减去8，得到：2x²+8x=-8再将方程两边同时除以2，得到：x²+4x=-4观察到该方程中，系数b等于4，我们可以看到b的两倍是4*2=8、因此，我们可以使用完全平方公式。
根据完全平方公式，我们知道这个方程可以写成：(x+2)²=-4+4=0由此可得x+2=±√0x=-2±√0由于根号0等于0，所以x=-2为方程的唯一实数解。
二、应用问题2：求证正整数(n+1)³-n³-1是一个完全平方数。
解析：我们需要证明的是(n+1)³-n³-1是一个完全平方数，即证明存在一个整数x，使得：(n+1)³-n³-1=x²通过平方差公式，我们可以简化上式为：(n+1)³-n³-1=(3n²+3n+1)=(n+1)²因此，我们可以看出，(3n²+3n+1)是一个完全平方数。
三、应用问题3：Rectangle1的长是Square1的边长的2倍，它们的面积相差180平方米。
如果将Square1的边长减少2米，而Rectangle1的长增加5米，则两个图形的面积相等。
求Rectangle1和Square1的边长。
解析：设Square1的边长为x，则Rectangle1的长为2x。
根据题意，可列方程：(2x)^2-x^2=180（相差180平方米）(2x-2)^2=(x+5)^2（面积相等）通过求解上述方程组，我们可以得到Square1的边长为10米，Rectangle1的长为20米。
平方差和完全平方公式应用举例
平方差公式、完全平方公式应用例说例1 计算（1）)1)(1(+-ab ab ；（2）)32)(32(---x x ；（3）1022；（4）992.【点拨】（1）符合平方差公式的特征，只要将ab 看成是a ，1看成是b 来计算.（2）利用加法交换律将原式变形为)23)(23(x x --+-,然后运用平方差公式计算.（3）可将1022改写为2)2100(+,利用两数和的平方公式进行简便运算.（4）可将992改写为2)1100(-，利用两数差的平方公式进行简便运算. 解：（1）)1)(1(+-ab ab =11)(222-=-b a ab ；（2）)32)(32(---x x = )23)(23(x x --+-=22249)2()3(x x -=--；（3）1022= 2)2100(+=1040444001000022100210022=++=+⨯⨯+；（4）992=2)1100(-=98011200100001110021002=+-=+⨯⨯-. 例2 计算 （1）)1)(1(-+++b a b a ；（2）2)2(p n m +-.【点拨】（1）两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式计算，本题可将)(b a +看作是一项.（2）先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算.解：（1）)1)(1(-+++b a b a =121)(]1)][(1)[(222-++=-+=-+++b ab a b a b a b a ；（2）2)2(p n m +-=222)2(2)2(])2[(p p n m n m p n m +⋅-⋅+-=+- =2224244p np mp n mn m +-++-.【点评】1.在运用平方差公式时,应分清两个因式中是不是有一项完全相同,有一项互为相反数,这样才可以用平方差公式，否则不能用；2.完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍，在计算时不要发生：222)(b a b a +=+或222)(b a b a -=-这样的错误；3.当因式中含有三项或三项以上时,要适当的分组,看成是两项,用平方差公式或完全平方公式.例3 一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加392cm ,这个正方形的边长是多少?【点拨】如果设原正方形的边长为xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解. 解：设原正方形的边长为xcm,则39)3(22+=+x x即399622+=++x x x ，解得 x=5.答:这个正方形的边长是5cm .例4 当2)2()23)(23(1,1b a b a b a b a ---+=-=时，求的值.【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将a 、b 的值代入计算出结果. 解：)44(49)2()23)(23(22222b ab a b a b a b a b a +---=---+=2222228484449b ab a b ab a b a -+=-+--；当时，1,1=-=b a222848)2()23)(23(b ab a b a b a b a -+=---+=8（-1）81)1(42-⨯-+=-4.例5 求证：当n 为整数时，两个连续奇数的平方差22)12()12(--+n n 是8的倍数.【点拨】运用完全平方公式将22)12()12(--+n n 化简，看所得的结果是否是8整数倍.证明:22)12()12(--+n n =)144(14422+--++n n n n=n n n n n 814414422=-+-++，又∵n 为整数,∴8n 也为整数且是8的倍数.例6 解不等式 2)2(9)43)(43(->-+x x x .【点拨】将乘法公式与解不等式相联系，用乘法公式将不等式两边化简、整理，转化成一元一次不等式的一般形式.解：去括号，得 3636916922+->-x x x ，移项、合并，得 913>x . 例7 2005年12月1日是星期四，请问：再过20052天的后一天是星期几?【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过20052天的后一天是星期几，可以想办法先求出20052是7的多少倍数还余几天.解：20052=93)2867(2)2867()32867(22+⨯⨯⨯+⨯=+⨯=277)2866()2867(2++⨯⨯+⨯.显然2005年12月1日是星期四，再过20052天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日.例8 观察下列等式：10122=-，31222=-，52322=-，73422=-，……请用含自然数n 的等式表示这种规律为：________________.【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律.同学们相互研讨交流一下.答案为:n n n n n 且1(12)1(22≥-=--为整数).例9 已知2294y Mxy x +-是一个完全平方式,求M 的值.【点拨】已知条件是一个二次三项式,且是一个完全平方式,22y x 与项的系数分别为4和9,所以这个完全平方式应该是2)32(y x ±,由完全平方公式就可以求出M.解：根据2)32(y x ±=229124y xy x +±得: 12±=-M .∴12±=M答:M 的值是±12.例10 计算 1584221)211)(211)(211)(211(+++++. 【点拨】若按常规思路从左到右逐个相乘，比较麻烦；如果乘或除以一个数或一个整式，将本来复杂的问题转化成我们已知的、熟悉的，从而找到问题的捷径.解:1584221)211)(211)(211)(211(+++++ =158422121)211)(211)(211)(211)(211(+÷++++- =1584222121)211)(211)(211)(211(+÷+++- =158442121)211)(211)(211(+÷++- =15882121)211)(211(+÷+- =15162121)211(+÷-=2-15152121+=2. 例11(泰州市)如下图是由边长为a 和b 的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算下图中阴影部分的面积，可以验证的一个公式是 ．【点拨】本题考查借助图形的面积直观认识平方差公式,使学生学习数形结合的思想方法.答案为:22))((b a b a b a -=-+或 22b a -= ))((b a b a -+.。
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完全平方公式和平方差公式的应用(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--完全平方公式和平方差公式的应用公式：语言叙述：两数的。
公式结构特点：左边：右边：熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。
(5+6x)(5-6x)中是公式中的a，是公式中的b(5+6x)(-5+6x)中是公式中的a，是公式中的b(x-2y)(x+2y)填空：1、(2x-1)( )=4x2-12、(-4x+ )( -4x)=16x2-49y2第一种情况：直接运用公式1.（a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)第二种情况：运用公式使计算简便1、1998×20022、498×5023、999×10014、×5、×6、（100-13）×（99-23）7、（20-19）×（19-89）第三种情况：两次运用平方差公式1、（a+b）(a-b)(a2+b2)2、(a+2)(a-2)(a2+4)3、(x- 12)(x2+14)(x+12)第四种情况：需要先变形再用平方差公式1、（-2x-y）(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1) 5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a) 7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况：每个多项式含三项1.（a+2b+c ）(a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)+z)(x+y-z) 4.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式公式：语言叙述：两数的 . 。
公式结构特点：左边： 右边：熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。
公式变形1、a 2+b 2=(a+b)2=(a-b)22、（a-b ）2=(a+b)2; (a+b)2=(a-b)23、(a+b)2+（a-b ）2= 4、(a+b)2 --（a-b ）2= 一、计算下列各题： 1、2)(y x + 2、2)23(y x - 3、2)21(b a + 4、2)12(--t5、2)313(c ab +-6、2)2332(y x + 7、2)121(-x 8、+2二、利用完全平方公式计算： （1）1022（2）1972三、计算： （1）22)3(x x -+ （2）22)(y x y +-（3）()()2()x y x y x y --+-四、计算：（1）)4)(1()3)(3(+---+a a a a （2）22)1()1(--+xy xy（3）)4)(12(3)32(2+--+a a a五、计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x（3）)3)(3(+---b a b a （4）()()2323x y z x y z +-++六、拓展延伸 巩固提高 1、若22)2(4+=++x k x x，求k 值。
2、 若k x x++22是完全平方式，求k 值。
3、已知13a a +=，求221a a+的值巧用平方差公式解题 平方差公式 22))((b a b a b a -=-+ 用语言可叙述为：两数之和与两数之差的积等于这两数的平方差。
在解题过程中，若能灵活运用平方差公式，可使问题化繁为简，化难为易，复杂问题迎刃而解，现举例解析如下参考：例1、计算：22)111049()11150(- 解析：若先算平方，再求差，则复杂繁琐，而将a 看作11150，将b 看作111049，逆用平方差公式，则问题化繁为简，事半功倍22)111049()11150(-=11200112100)11104911150)(11104911150(=⨯=-+ 例2、计算：1.1009.991002⨯-解析：先算平方和积，再求差，比较麻烦，而将1.1009.99⨯变形为)1.0100)(1.0100(+-，再运用平方差公式，则问题迅速获解1.1009.991002⨯-=01.0)1.0100(100)1.0100)(1.0100(1002222=--=+--例3、计算：2200720052006222-+解析：直接计算，数值较大，可先将分母22007200522-+变形为)12007()12005(22-+-，再逆用平方差公式，则问题迅捷可解原式=)12007)(12007()12005)(12005(2006)12007()12005(20062222-++-+=-+-212006200622006)20082004(2006200620082006200420062006222=⨯⨯=+⨯=⨯+⨯例4、计算：)1011()411)(311)(211(2222----解析：这道题项数较多，数值较大，各个括号逐一计算，比较麻烦，令人望而生畏 而逆用平方差公式，将各括号展开交错约分可使问题巧妙获解原式=)1011)(1011()411)(411)(311)(311)(211)(211(+-+-+-+-=20111011211011109454334322321=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯例5、试确定1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(2643216842++++++++的未位数解析：这个问题看起来比较复杂，项数多，数值大，根据算式的结构特征，将2变形为（3-1）再连续运用平方差公式，可使问题柳暗花明，迎刃而解。
原式=1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(643216842++++++++-=1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(6432168422+++++++-=1)13)(13)(13)(13)(13)(13(643216844++++++-=1)13)(13(6464++-= =3232412812881)3(3113===+- 因为未位数是1的任何次幂的未位数还是1所以1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(2643216842++++++++未位数是1计算：（1）、1.109.9⨯ （2）、2007200520062⨯- （3）、229.91.10-（4）、试确定1)12)(12)(12)(12)(12)(12)(12(643216842++++++++的未位数完全平方公式的变形和应用一、 完全平方公式常见的变式 （1）ab b a b a 4)()(22+-=+（2）ab b a b a2)(222±=+（3）)(2)()(2222b a b a b a +=-++（4）)()(2222b a b a ab +-+=（5）2)1(1222-+=+a a a a二、完全平方公式变形的应用 例1 已知216,8c ab ba +==+，求2008)(cb a +-的值。
解：由变式（1）得： 222224)16(484)()(c c ab b a b a -=+-=-+=-所以04)(22=+-c b a 所以0,0==-c b a所以0)(2008=+-c b a例2 已知2222,3)(,7)(y x y x y x +=-=+求的值。
解：由变式（3）得：52372)()(2222=+=-++=+y x y x y x 例3 已知,2,122=+=+y x y x 求44y x +的值。
解：由变式（4）得：)()(2222y x y x xy +-+= 212-=1-=所以21-=xy 再由变式（2）得： 22222442)(y x y x y x-+=+22)21(22-⨯-=214-= 27=例4 已知0132=++x x ，求441xx +的值。
解：由题意知0≠x在0132=++x x 的两边都乘以x1得：31-=+xx 由变式（5）得：72)3(2)1(12222=--=-+=+x x xx47272)1(1222244=-=-+=+xx x x例1 若,x y 为有理数，且满足22312120x y y +-+=，求x y 的值．分析：欲求x y 的值，须求出,x y 的值．由题知，把已知式子进行配方，再利用非负数的性质便可达到解题目的．解：22312120xy y +-+=，223(44)0x y y +-+=， 223(2)0x y +-=，∵220,(2)0x y -≥≥，∴220,(2)0x y =-=，即0,2x y ==，∴x y =20=1．例2 已知2,5a b b c-=--=，求222a b c ab bc ac ++---的值．分析：显然，本题若按一般方法，即先求出,,a b c 的值，再代入多项式求值，将十分困难．而我们发现，将求值式乘以2，则会出现完全平方式，其中也恰恰含有条件式．因此，解决本题的关键是如何利用“配方法”将多项式进行变形，从而能够运用已知条件求解．解：∵ 2,5a b b c -=--=，∴3a c -=，∴222a b c ab bc ac ++---=2221(222222)2a b c ab bc ac ++---=()()()22212a b b c a c ⎡⎤-+-+-⎣⎦ =()22212532⎡⎤-++⎣⎦=19．例3 试说明不论,x y 为何值时,代数式224614x y x y ++-+的值总是正数.分析：本题实质就是证明2246140xy x y ++-+>.观察代数式不难发现，将14拆成4、9与1的和，则立即出现了两个完全平方式，然后再结合非负数的性质便可达到目的．解: 224614x y x y ++-+=2244691xx y y +++-++=22(2)(3)1x y ++-+∵2(2)x +≥0,2(3)y -≥0,∴22(2)(3)1x y ++-+>0.即代数式224614x y x y ++-+的值总是正数.平方差公式专项练习题A 卷：基础题一、选择题1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（）A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b）C．（13a+b）（b－13a） D．（a2－b）（b2+a）3．下列计算中，错误的有（）①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）A．5 B．6 C．－6 D．－5二、填空题5．（－2x+y）（－2x－y）=______．6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．三、计算题9．利用平方差公式计算：2023×2113．10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．B卷：提高题一、七彩题1．（多题－思路题）计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－401632．2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082．（1）一变：利用平方差公式计算：22007200720082006-⨯．（2）二变：利用平方差公式计算：22007 200820061⨯+．二、知识交叉题3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．三、实际应用题4．广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少 四、经典中考题5．下列运算正确的是（ ）A ．a 3+a 3=3a 6B ．（－a ）3·（－a ）5=－a 8C ．（－2a 2b ）·4a=－24a 6b 3D ．（－13a －4b ）（13a －4b ）=16b 2－19a 26．计算：（a+1）（a －1）=______．C 卷：课标新型题1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x ）（1－x ）=1－x 2，（1－x ）（1+x+x 2）=1－x 3，（1－x ）（•1+x+x 2+x 3）=1－x 4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x ）（1+x+x 2+…+x n）=______．（n 为正整数） （2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ②2+22+23+ (2)=______（n 为正整数）． ③（x －1）（x 99+x 98+x 97+…+x 2+x+1）=_______． （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①（a －b ）（a+b ）=_______． ②（a －b ）（a 2+ab+b 2）=______．③（a －b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=______．2．（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m ，n 和数字4．3.从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，•将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图1－7－1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1－7－2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式请将结果与同伴交流一下．完全平方公式变形的应用完全平方式常见的变形有:ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ab b a b a 4)(22=--+）（bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值 2、已知0136422=+-++y x y x，y x 、都是有理数，求y x 的值。