上海交大基础电路理论2015_8_2

cos( ) cos cos sin sin
p(t) UI cos UI cos cos 2t UI sin sin 2t
pR (t )
pX (t )
p
p
pR(t)=
UIcos
p
(1-
cos2t)0，瞬时功率的这部分分量是电路
等效阻抗的电阻部分吸收的瞬时pR功率，称之为有功分量。其
Uk Ik 0
Uˆ k Ik 0
Uk Iˆk 0
• 最大功率传输（只含共轭匹配，模匹配见书本）
Rs
在直流情况下，当负载电阻等于电源内
阻时，负载电阻能从电源获得最大功率 +
2
P

I 2 RL


Us RL
Rs

RL
RLU
2 s
RL Rs 2
U_s
I
性负载，负载的功率P=20千瓦，功率因 U
数为0.6，试求图示电路中的电流。
电路中的电流
I2
I1

P
U cos1

20 103 380 0.6

87.7A
cos1=0.6→1=53.1º
1 I
I1
R
I2
C
L 374μF
U
并任联意电一容个后无，源总二电端流网络I可等I1效为I2R和jX的串联
C
在功率变化的一周期内,有半个周期p>0,
电源将能量输入电容（电感）,另半个周
期p<0,电容（电感）将能量送回电源
i(t)
• 若无源网络可用一个纯电感替换， =90º，
即电压超前电流90º， pL(t)=-UIcos(2 t+90º) u(t)
L
p(t) UI cos UI cos2t
I
US
(RS R)2 ( X S X )2
负载阻抗吸收的平均功率为
P

RI 2

( RS

RU
2 S
R)2 ( XS

X
)2
=0
I ZS
US
Z
即 X X S 时功 率为局部最大
Pm

RU
2 S
(RS R)2
dPm dR

( RS

R)2
U
2 S

2( RS
(RS R)4
i(t)
+ u_(t)
无源 网络
UI cos UI csions2t 90
p
p
u,i, p
电路等效阻抗的阻常抗数角(电=压Z、)，电-流90同º时为Z正90或º负时，
u
功率为正(p>0)，能量从电源
UI cos 送往电路，当电压、电流的
0
t 符号相反，功率为负(p<0), 能
U
3800
3800
UI1 U L
I2平均 j功XC率

jP UI c1os
2 50 374
106

44.690 A
j85

UR
I
IPI1UIIc2os87.7U co5s3.1I 44.U6R I90 I 25R8.5 25.8
阻电路的功率因数（cos=1）
因 I Pav ，故在相同电压作用下，为使负载获得相同
U cos
功率，功率因数越低，所需电流越大，加 重了电源电流的负担，电力系统中增大了传输损耗。
如能减小阻抗角(→0)，即提高功率因数，就能减小电流。
一般用电设备是感性的，故常并联电容来减小阻抗角
例：在50Hz、380V的电路中，原接有感
QC Q2 Q1
Q2 P tan2
C

P
U 2
tan 2

tan1
在实际生产中,并不要求功率因数提高到1，因为大电容将 增加设备投资，所以要在较经济的情况下来提高功率因数
• 复功率

S UI
I 的共轭复数
设任意单口电路的电流、 电压为

I Ie ji
i(t) Im sin(t i ) 2I sin(t i ) u(t) Um sin(t u ) 2U sin(t u )
LI 2

2XL
I2
LI 2
2

2WL
储能平均值
QC
UI sin90 UI

CU
2
X2C I2
CU 2
2

2WC
电感瞬时能量
wL(t)
1 2
Li2 (t )

1 2
LI
2 m
sin2 (t )
LI 2 2
1 cos 2t
• 视在(表观)功率 S UI
RL
dP dRL

( RS

RL
)2
U
2 S

2( RS

RL
)RLU
2 S
(RS RL )4
0
即 RL Rs 时负 载获得最大功率
ZS=RS+jXS
Z=R+jX
I US
US
ZS Z (RS R) j( X S X )
I ZS
US
Z
电流有效值为 I
US
(RS R)2 ( X S X )2
• 无功功率
I1 wg
I1
电路瞬时功率无功分量的极大值
Q UI sin
无此功值功越率大表，示则电瞬路时与功电率源无间功往分返量交波换形能的量正的负最半大周规与模横。轴单间位构：成
乏的(面Va积r)、越千大乏，(表K明Va电r) 路与电源之间往返交换的能量也越多。
QL
UI sin 90 UI
Y2
1 Z2

1 j20

1 4

1 n22 (
j5)
1 1 1

4

j
5n22

20

*
Z1 n12 Z2 Zs 100
Z2

1 Y2

4

5n22 20 =0 n2 2
n1 5
Pmax

U
2 s
4 100

0.04
W
b
Pk jQk 0
k 1
b
Pk 0
k 1
b
Qk 0
k 1
——平均功率守恒 ——无功功率守恒
正弦稳态电路中，各支路电压电流分别满足KCL、 KVL，取一致参考方向下，特勒根定理依然成立
ukik 0
uˆkik 0
ukiˆk 0
正弦稳态电路中，用相量表示电压、电流，则
已知R1=10Ω，R2=15Ω，正弦电流源有效值Is=1A，无损网络N
的传输参数矩阵为
A B 0.5 j25
T C
D


j0.02
1

负载阻抗ZL为多少时将获得最大功率？求此最大功率。
解 Zi R1 R2 时 负载获得最大功率
网络N的传输参数方程
R1
R1is + _
功率，简称功率，单位：瓦(W) 、千瓦(KW)
1
Pav T
T
1
p(t)dt
0
T
T
0 [ pR (t) pX (t)]dt UI cos
功率因数
称功率因数角。也就是网络的阻抗角，完全由电路参
数和拓扑结构所决定。
电感、电容在电路中并不消耗能量，但会在电路中与电 源出现能量往返交换现象，使电路的功率因数低于纯电
阻抗模三角形
Z X
R
电压三角形
UZ UX

UR
为了将已知感性负载的功率因数从cosφ1 提高到cosφ2 ，需要并联多大的电容？
I
I1
R
I2
V
C
L
P UI cos S cos
Q UI sin S sin
Q P tan
并联电容前后无功功率分别为
Q1 P tan1
I Ie ji
U Ue ju

S U I UIe j(u i ) UIe j UI cos jUI sin P jQ
P j2 WL WC I 2R jI 2 X I 2R jI 2 XL XC
复功率可以统一表示有功功率、无功功率、视在功率和功率 因数角
i
v
量由电路释放送回电源。
p0 p0
p0
p0
• 若无源网络是纯电阻网络，网络阻抗角 =0,
i(t)
即电压、电流同相，pR(t)=UI(1-cos2 t )0
u(t)
R
电阻总是耗能的，不存在能量交换
• 若无源网络可用一个纯电容替换, =-90º，
i(t)
即电流超前电压90º，pC(t)=-UIcos(2t-90º) u(t)
每个用电设备或用电器件都有在一定条件下的安全运行限额， 即额定电压U和额定电流I，(UI 均为有效值)。视在功率的单位： 伏安(VA)、千伏安(KVA)。
P UI cos S cos
Q UI sin S sin
S P2 Q2
cos P
S
功率三角形
S Q
P
P Re S Q Im S S S
S S
复功率守恒

AIIbb 00
Ub AUn


U
b
Ib

U
n
A
I
b

0
b

Uk Ik 0
k 1
b
Sk 0 ——复功率守恒定理
k 1
处于正弦稳态下的线性非时变网络中，所有独立 电源送出的复功率恒等于其他支路吸收的复功率
R2 i1
+
R1
u1
_
N
i2
+ u_2 ZL
U1 AU2 B( I2 ) ( AZL B)I2
Zi
I1 CU2 D( I2 ) (CZL来自百度文库 D)I2
所以 Zi 最大功率
U1 I1

AZL B CZL D

R1
R2 Pmax
时，即 ZL 50 ，负载获得
§8.6 正弦稳态电路的功率
• 瞬时功率 p(t) u(t)i(t)
正弦稳态电路中电压和电流是同频率的正弦量，设
i(t) Im sint 2I sint u(t) Um sin(t ) 2U sin(t ) p(t) u(t)i(t) 2UI sin(t )sint
(R1Is )2 1 W
4Zi
图示电路中，n1、n2各为多少时，4Ω电阻才能获得最大功率？
求此功率。
100Ω
+ Us 4V _
4Ω j20Ω
n22
( j5)
-j5Ω
Z1
n1:1 Z2
n2:1
*
解：根据最大功率传输定理，当 Zs Z1 时，Z1获得最大功率，
即4Ω电阻获得最大功率
平均值即为电路瞬时功率平均值，称为有功功率或平均功率
抗pX部(t)分= 与UI电sin源之s0in间2往t返，t1交这换部p的Xt分2 瞬t功3 时率功分t4率量，为称电之路为等无效VI功阻cos分抗t 量的。电
将这一分量的振幅定义为该电路的无功功率。
• 平均功率 电路瞬时功率有功分量的平均值，故又称有功

R)RU
2 S
0
R=RS
因此，当Z=R+jX=RS-jXS (即共轭匹配)时，负载吸收的功率最大
Pmax

U
2 S
4RS
——最大功率传输定理
最大功率匹配
在共轭匹配情况下，负载阻抗获最大功率，但功率传输的 效率只是50%。因为电力传输中的主要问题是提高传输效 率，因此共轭匹配在电力传输中是决不允许的。
并联电容后电路的功率因数 cos =cos25.8º=0.9
• 并联电容后，功率因数从0.6→0.9， I2
负载本身的电流和功率因数没有改
变，但电路总电流从87.7减少到58.5
电路中的无功分量减小了，使整 个电路的功率因数得以提高，同
I1 yg
1
I I1 wg I2
V
时减小了整个电路的电流。