八年级数学上册第十三章全等三角形专题练习四利用“三线合一”解题课件华东师大版

2 ． 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， ∠ A ＝ 36° ， BD 平 分 ∠ ABC ， DE⊥AB于点E.若CD＝4，且△BDC的周长为24，求AE的长．
解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝12 ×(180°－∠A)＝72 °.∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝12 ∠ABC＝36°.∴∠A＝∠ABD，∠BDC ＝∠A＋∠ABD＝72°.∴AD＝BD，∠C＝∠BDC，∴BC＝BD.∴△BCD 周长 ＝BD＋CD＋BC＝2BD＋4＝24，∴BD＝10，∴AD＝10，AC＝AD＋CD＝14. 又∵DE⊥AB，∴AE＝12 AB＝12 AC＝7
第来自百度文库三章 全等三角形
专题练习四 利用“三线合一”解题
类型之一 计算线段的长度或角的度数 1．如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC于点D，屋 檐AB＝AC.求顶架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数． 解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C＝(180°－100°)÷2＝ 40°.又∵AD⊥BC，由三线合一，得∠BAD＝∠CAD＝50°
类型之三 证明两线垂直 5．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且BD＝BC， DE⊥AB交AC于点E. 求证：CD⊥BE. 证明：∵DE⊥AB，∴∠BCE＝∠BDE＝90°， 在 Rt△BCE 和 Rt△BDE 中 ， ∵ BE ＝ BE ， BC ＝ BD ， ∴Rt△BCE≌Rt△BDE，∴∠CBE＝∠DBE.又∵BD＝BC，∴CD⊥BE(三 线合一)
类型之六 证明一个角是直角 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求证：∠A＝90°.
证明：作 CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DE⊥BC 交 BC 于点 E， 则∠ACD＝∠BCD＝12 ∠ACB，∠DEC＝90°，
∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝12 ∠ACB＝∠BCD，即 DB＝DC.又∵DE⊥BC， ∴DE 是 BC 边上的中线，即 E 是 BC 的中点，∴BC＝2EC，又∵BC＝2AC， ∴AC＝ EC，又∵CD＝CD，
6．如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，CF＝DF.求证：AF⊥CD. 证明：如图，连结AC，AD.在△ABC和△AED中，∵AB＝AE，∠B＝ ∠E，BC＝ED，∴△ABC≌△AED，∴AC＝AD.又∵CF＝DF，∴AF是等 腰三角形ACD底边CD的中线，∴AF也是CD边上的高，即AF⊥CD
∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠DEC＝90°
4．如图，在等腰三角形ABC中，CH是底边上的高线，P是线段CH上不 与端点重合的任意一点，连结AP并延长交BC于点E，连结BP并延长交AC 于点F.
求证：(1)∠CAE＝∠CBF； (2)AE＝BF. 证明：(1)∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线，∴AC＝BC， ∠ACP＝∠BCP，又∵CP＝CP，∴△ACP≌△BCP，∴∠CAP＝∠CBP， 即∠CAE＝∠CBF (2)在△ACE和△BCF中， ∵∠ACE＝∠BCF，AC＝BC，∠CAE＝∠CBF，∴△ACE≌△BCF， ∴AE＝BF
类型之四 证明角的倍半关系 7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 交 AC 于点 D.求证：∠
DBC＝12 ∠BAC. 证明：作∠BAC 的平分线 AE，分别交 BD，BC 于 F，E 两点．在△ABC
中，∵AB＝AC，由等腰三角形“三线合一”的性质可知 AE⊥BC，∴∠AEB ＝90°，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，而∠BFE＝∠AFD，∴∠DBC＝∠CAE，
类型之五 证明线段的倍半关系 9．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分 ∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证：BF＝2CD.
证明 如图，延长线段BA，CD交于点E.∵BF平分∠ABC，CD⊥BD，∴BC ＝BE，DE＝DC.又∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF ＝∠DCF，又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE，∴△ABF≌△ACE，∴BF＝ CE，∴BF＝2CD
类型之二 证明线段或角相等 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且BD＝CE.求证： AD＝AE. 证明：如图，过点A作AF⊥BC于点F.∵AB＝AC，∴BF＝CF(三线合一). 又∵BD＝CE，∴DF＝EF.又∵AF⊥BC，∴∠AFD＝∠AFE＝90°.又∵AF ＝AF，∴△AFD≌△AFE， ∴AD＝AE
∴∠DBC＝12 ∠BAC
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，EF⊥BC交BC于点F，交 AB于点G，交CA的延长线于点E，且AE＝AG.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADC＝∠EFC＝90°，∴AD∥EF， ∴ ∠ AGE ＝ ∠ DAB ， ∠ E ＝ ∠ DAC. 又 ∵ AE ＝ AG ， ∴ ∠ E ＝ ∠ AGE ， ∴∠DAB＝∠DAC，即AD平分∠BAC