初等函数的基本不等式(1)

初等函数的基本不等式

安徽省潜山二中

一. 初等函数的基本不等式

1. 三角、反三角型不等式 (1) 335111sin min{,},0;66120

x x x x x x x x -

≤≤-+≥ (2) 2

2

2

sin (0);2

4

1(1)x x x x x π

π

π

≥

≥

≤≤

+-

22sin (0);111163

x x x x x x x π≤

≤≤≤≤++ (3) 224

1111cos 1;2224

x x x x -≤≤-+ (4) 22

111-

cos ,0;221x x x x π≤≤≤≤+ (5)

2

32

23arctan ,32113

x

x x

x x x x x ≤≤≤≤+++0;x ≥

2

arctan ,01;41(1)x

x x x

π

≤

≤≤+-

.0,4

1arctan 2

2

≥+

≤

x x x x π

（5）的证明: .0,1arctan 3

2

≥+≤

x x

x

x

设=)(x f ,0,1arctan 3

2

≥+-

x x x

x 0.132>+=x m

则 2

2

-3

2

23

'24222321(1)113()(1)(2)/0,13(1)

x x x f x m m m x x +-+=-=--+≤++

,0)0()(=≤f x f 不等式得证！(其余部分证明类似, 此略)

2. 对数型不等式 (1) 23

5111ln (1)(1),0;1221511(1)26

x x x x x x x x x x x x x -

≤≤+≤≤≤+-≤≥++++ (2)

2111

(1)ln (1),0;1212112

x x x x x x x x x x x +-≤≤+≤≤-≤<+++

(3) 对数平均不等式11

3312

()()().2ln ln 63

x y x y xy x y xy x y +-<<++-

(4).2

ln 1ln ln }ln 1),max{ln(

y

x y x y y x x xy y x ++≤--≤++

或写成.2

)(1},max{1

y

x y x e xy e y x y x y x +≤≤+-

(4)中的

)ln(ln ln y x y

x y

y x x +≥-- 的证明：

不等式即,)(1

y y

x y

x y x x y x y x y x y x y

y x x

y x y x ⋅-+⋅-≥⇔+≥---由赫尔德不等式

（或加权算数 -几何平均不等式，...)得证. 显然利用它得到

,01

2)

1ln()1(ln ≥----x x x x x 由此可见函数)1ln()(ln )(x x x f -⋅=在

]21,0(上单调增，在)1,2

1

(上单调减.

后一结果，一般称为指数平均不等式. 3. 指数数型不等式

(1) 21...(1,0;0,);2!!

m

x

x x e x m x x m m ≥++++≥≥<或为奇数 (2) ).,0(!

...!212为偶数m x m x x x e m

x

≤++++≤ (3) 2

(1),0(0,1 ).x e ex x x x ≥+-≥=取等号 (3)可推广为1

2

[(1)()], 1.x

t e e e x t x t x t -≥-++-≥- 4. 幂不等式

贝努利不等式

(1) ;01,1,1)1(≤≥->+≥+αααα或x x x

(2) ;10,1,1)1(<<->+≤+αααx x x 赫尔德不等式

（3）1(1), ,0,01;x y x y x y ααααα-≤+->≤≤

(4) .01,)1(1<≥-+≥-ααααααor y x y x 事实上1()(1), x y x y αααα-≤≥+-也就是()()1(1),x x

y y

αα≤≥+- 可见贝努利不等式与赫尔德不等式是等价的.

二．应用举例

例1 (1) 2arctan (sin )(0);1212

x x x x π

≥

≤≤+ (2) ).0(1sin arctan 2

≥+≤

x x

x

x

证明：(1)先证

);2(0sin arctan 2

112π

≤≤≤+x x x x 设2()arctansin ,0.1212x f x x x x π

=-≤≤+ 则求导得到

2

'2

2211cos 2(),11sin (1)2x x f x x x -=-++利用21cos max{0,1},0sin ,2x x x x ≥-≤≤得到 .0)(f ,)2

1

1(1sin 1'2222≥+≤+≤+x x x x 于是,0)0()(=≥f x f

不等式)2(0sin arctan 2

112π

≤≤≤+x x x x 得证;

(2) 再来证明右边：).0(1sin arctan 2

≥+≤

x x

x x

事实上只需考虑2

0π

<

≤x 时成立2

1sin arctan x

x x +≤

即可.