几种基本初等函数
初等函数、简单函数、复合函数、初等函数的概念及关系
初等函数、简单函数、复合函数、初等函数的概念及
关系
1.初等函数：
初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算（加、减、乘、除）与有限次复合形成的函数。
基本初等函数包括以下几种类型：-常数函数：如f（x）=C，C是常数。
-幂函数：如f（x）=x^n，n为实数。
-指数函数：如f（x）=a^x，a>0且a≠1.
-对数函数：如f（x）=log_a（x），a>0且a≠1.
-三角函数：sin（x），cos（x），tan（x），cot（x），sec（x），csc（x）及其逆函数（反三角函数）。
2.简单函数：
简单函数通常是指构成复杂函数的基本单元，它们相对独立且形式较为简单。
在解决具体问题时，简单函数可能指的就是上述基本初等函数，或者是通过基本初等函数进行一次或几次基本运算（如加法、乘法等）得到的函数。
3.复合函数：
复合函数是两个或多个函数通过变量的代换相互结合而成的新
函数。
如果存在两个函数f和g，那么可以定义一个复合函数h（x）=f（g（x）），其中g的值域需包含在f的定义域内。
例如，`h（x）
=sin（2x）`就是一个复合函数，其中`g（x）=2x`作为外层函数的“内层”被嵌套到`f（u）=sin（u）`中。
关系上：
-所有的基本初等函数都是简单函数。
-简单函数经过组合（包括复合和四则运算）可以形成更复杂的初等函数。
-复合函数是构造初等函数过程中的一种重要手段，它可以将几个简单函数联接起来构建新的、具有更丰富特性的函数表达式。
五大基本初等函数性质及其图像
基本初等函数及其性质和图形1.幂函数函数称为幂函数。
如，，，都是幂函数。
没有统一的定义域，定义域由值确定。
如,。
但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。
当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。
下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。
图1-1-2图1-1-32.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。
高等数学中常用的指数函数是时，即。
以与为例绘出图形，如图1-1-4。
图1-1-43.对数函数函数称为对数函数，其定义域，值域。
当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。
与互为反函数。
当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。
以为例绘出图形，如图1-1-5。
图1-1-54.三角函数有，它们都是周期函数。
对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。
它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。
图形为图1-1-6、图1-1-7。
图1-1-6正弦函数图形图1-1-7余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。
周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数，定义域，值域为，周期。
在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。
图1-1-9（４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。
图1-1-10（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。
图1-1-115.反三角函数反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，在其定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-12；图1-1-12反余弦函数，定义域为[-1，1]，值域为，为有界函数，在其定义域内为单调减少的非奇非偶函数，图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数，定义域，值域为，为有界函数，在定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-14；图1-1-14反余切函数，定义域为，值域，为有界函数，在其定义域内单调减少的非奇非偶函数。
基本初等函数的图像与性质
在数学的发展过程中，形成了最简单最常用的六类函数，即 常数函数 、 幂函数、 指数函数 、 对数函数 、 三角函数 与 反三角函数 ，这六类函数称为 基本初等函数。
一、常数函数y = c 或 f ( x ) = c , x ∈ R ,其中 c 是常数。
它的图像是通过点 （0，c），且平行 x轴的直线，如下图所示：常数函数的图像常数函数的性质：1、常数函数是有界函数，周期函数（没有最小的正周期）、偶函数；2、常数函数既是单调增加函数又是单调减少函数，特别的当 c = 0 时，它还是奇函数。
二、幂函数1、形如 y = x^a 的函数是幂函数，其中 a 是实数 。
幂函数图（1）2、常见幂函数的图像：幂函数图（2）注：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，在根据函数奇偶性完成整个图像。
3、幂函数的性质：① 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如图与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 。
② 所有幂函数在 （0，+∞）上都有定义，并且图像都经过点 （1,1）。
③ 若 a > 0 , 幂函数图像都经过点 （0,0）和（1,1），在第一象限内递增；若 a三、指数函数1、一般地，函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）叫做 指数函数 ，自变量 x 叫做 指数 ，a 叫做 底数 ，函数的定义域是 R 。
2、指数函数的图像：指数函数图象3、指数函数的性质：① 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的函数值恒大于零 ，定义域为 R ，值域为（0，+∞）；② 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的图像经过点 （0,1）；③ 指数函数 y = a^x （a > 1）在 R 上递增 ，指数函数 y = a^x （0四、对数函数1、对数及其运算：一般地，如果 a （a > 0 , a ≠ 1）的 b 次幂等于 N ，即 a^b = N，那么 b 叫做以 a 为底N 的 对数 ；记作： log aN = b , 其中 a 叫做对数的 底数 ， N 叫做 真数 。
基本初等函数知识点总结
基本初等函数知识点总结基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
它们在数学和实际问题中具有广泛的应用，因此掌握基本初等函数的性质和特点对于学习和理解数学非常重要。
下面将对基本初等函数的知识点进行总结。
一、多项式函数多项式函数是由常数乘以各个整数幂的变量构成的函数。
它的一般形式为：$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x+a_0$$其中，$a_n, a_{n-1},\dots,a_1,a_0$为常数，$n$为正整数，$a_n \neq 0$。
多项式函数的特点包括：定义域为实数集，值域为实数集，可导且导函数为次数比原来次数低一的多项式函数。
二、指数函数指数函数的一般形式为：$$f(x) = a^x$$其中，$a$为正实数且不等于1。
指数函数的特点包括：定义域为实数集，值域为正实数集，可导且导函数为$a^x\ln a$。
三、对数函数对数函数的一般形式为：$$f(x) = \log_a x$$其中，$a$为正实数且不等于1，$x$为正实数。
对数函数的特点包括：定义域为正实数集，值域为实数集，可导且导函数为$\frac{1}{x\ln a}$。
四、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的一般形式为：$$\sin x, \cos x, \tan x$$其中，$x$为实数。
三角函数的特点包括：定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]，具有周期性，可导且导函数是相关三角函数的倍数。
五、反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
它们的一般形式为：$$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$$其中，$x$在相应的定义域内。
反三角函数的特点包括：定义域为闭区间[-1, 1]，值域为实数集，可导且导函数是相关函数的倒数。
基本初等函数的性质还包括：1. 奇偶性对于函数$f(x)$，如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$，则称函数为奇函数；如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=f(x)$，则称函数为偶函数。
基本初等函数的定义
基本初等函数的定义基础初等函数是指构成大多数数学模型的基本函数。
它们也被称为标准函数，因为必须具备某些特定的属性和构成，才能被认定为基础初等函数。
它们通常被用来描述或推断各种自然现象，比如流体运动、声学波动、光学表象。
二、基础初等函数的类型1、指数函数指数函数是由一个“基数”乘以一个“指数”组成的函数，经常用于描述指数增长的现象。
指数函数可以使用形如y = a x^b的方程来表示，其中a是基数，而b是指数。
2、对数函数对数函数是指将一个函数的指数变换成自变量的函数。
许多实际情况都以对数函数的形式表示，比如音量与频率的关系、气温与加热量的关系等。
常见的对数函数有以自然对数e为底，以10为底等。
3、幂函数幂函数是一类指数函数，它将自变量的指数变换成函数的指数。
常见的幂函数有平方函数、立方函数、开平方函数等。
此外，也可以将任意的指数变换成幂函数。
4、三角函数三角函数是一类函数，在计算机科学中使用得比较多。
它们可以使用三角形的角度和边长来求出自变量的值，或者将一个值映射到复平面的三角函数曲线上，通常也被称为极坐标函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
5、指数型函数指数型函数是一类特殊的指数函数，它们的结构比普通的指数函数更加复杂，可以呈现出更多的曲线形状。
指数型函数可以用来描述不同种类的物理运动模型，比如速度-距离关系、物体受重力运动的轨迹等。
6、微积分函数微积分函数是用来描述微分表达式的一类特殊的函数。
它们十分复杂，可以更准确的描述不同的现象，比如热力学图、普朗克振动等。
微积分函数可以用来描述连续函数，比如平滑函数、抛物函数等。
7、微分函数微分函数是对复杂函数求微分的一类特殊函数。
它们可以用来描述不断变化的现象，比如速度的变化、温度的变化等。
微分函数也可以用来求多元函数的驻点、极值等级。
三、基础初等函数的应用基础初等函数在许多学科领域都有着广泛的应用。
1、工程领域在工程领域，基础初等函数可以用来描述力学、振动学、热学等物理性质以及材料特性，以求得最佳的工程设计结果。
基本初等函数知识总结
基本初等函数知识总结含义:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数1.常数函数（y=C）（1）定义域: D（f）＝（-∞，+∞）（2）值域: Z(f)=C(3) 性质: 它的图像是一条平行于x轴并通过点(0，C)在y轴上截距为C的直线(4 )图像：(5)周期性：常值函数是一个周期函数. 因对于任何x∈(-∞,+∞)和实数T，f(x+T)=f(x)=T,但并无最小正周期【注】常值函数不含自变量且不存在反函数2.幂函数(1)定义：形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数.(2)性质：在(0，+∞)内总有意义①当α＞0时函数图像过点(0，0)和(1，1)，在(0，+∞)内单调增加且无界②当α＜0时函数图像过点(1，1)，在(0，+∞)内单调减少且无界(3)图像：3.指数函数y=a^x(a>0且a≠1)(1)定义域：x∈R(2)值域：(0，+∞)(3)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(-∞，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(-∞，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(4)图像：①由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
②由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
③指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低” 如图：(5)运算法则：①②③④4.对数函数y=logax（a>0 且a≠1）(1)定义：如果a^x=N（a>0，且a ≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数一般地，函数y=logax（a>0，且a ≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数(2)定义域：(0，+∞)，即x>0(3)值域：R(4)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(0，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(0，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(5)图像：【注】①负数和零没有对数②1的对数是零③底数的对数等于1(6)常用法则/公式：5.三角函数⑴正弦函数y=sin x(1)定义：对边与斜边的比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ(K∈Z)时，Y 取最大值1 2.当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ,0)，K ∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2，K ∈Z④单调性：在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2]，K∈Z上单调递减⑤有界性：有界函数(6)图像：(2)余弦函数y=cos x(1)定义：邻边与斜边之比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ +π /2(K∈Z)时，Y取最大值1 2.当X=2Kπ +π (K∈Z)时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：偶函数③对称性：对称中心是(Kπ+π/2,0)，K∈Z；对称轴是直线x=Kπ，K∈Z④单调性：在[2Kπ,2Kπ+π]，K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π]，K∈Z上单调递增⑤有界性：有界函数(6)图像：(3)正切函数y=tan x(1)定义：对边与邻边之比(2)定义域：{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}(3)值域：R(4)最值：无最大值和最小值(5)性质：①周期性：最小正周期都是πT=π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ/2,0)，K∈Z④单调性：在[Kπ-π/2,Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增⑤有界性：无界函数(6)图像：(4)余切函数y=cot x(1)定义：在直角三角形中，某锐角的相邻直角边和相对直角边的比，叫做该锐角的余切。
基本初等函数公式及运算法则
基本初等函数公式及运算法则一、基本初等函数公式：1. 幂函数公式： $(a^m)^n=a^{mn}$；2. 对数函数公式： $\log_{a^n}b=\frac{1}{n}\log_ab$；3. 指数函数公式： $a^{\log_ab}=b$；4.三角函数公式：$\begin{aligned} (\sin x)^2+(\cos x)^2&=1\\ (\secx)^2&=1+(\tan x)^2 \\ (\csc x)^2&=1+(\cot x)^2 \end{aligned}$。
5.反三角函数公式：$\begin{aligned} \sin^{-1}x+\cos^{-1} x&=\frac{\pi}{2}\\\tan^{-1}x+\cot^{-1} x&=\frac{\pi}{2} \end{aligned}$。
6.双曲函数公式：$\begin{aligned} \cosh^2x-\sinh^2x&=1\\ \cos^2x+\sinh^2x&=1 \end{aligned}$。
二、基本初等函数运算法则：1.基本四则运算法则：加法、减法、乘法、除法；2. 复合函数法则：$(f\circ g)(x)=f(g(x))$；3. 取模运算法则：$(a+b)\bmod m=(a\bmod m+b\bmod m)\bmod m$；4. 取整函数法则：$\lfloor x+y\rfloor=\lfloorx\rfloor+\lfloor y\rfloor,\lceil x+y\rceil=\lceil x\rceil+\lceil y\rceil$；5.比较大小法则：对于正整数$a,b,c$，若。
$(1)\ a>b>0,c>0$，则$ac>bc$；$(2)\ a>b>0,c<0$，则$ac<bc$；$(3)\ a<b<0,c>0$，则$ac<bc$；$(4)\ a<b<0,c<0$，则$ac>bc$。
6类基本初等函数以及三角函数(考研数学基础)
基本初等函数及图形(1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数）(2) 幂函数 μx y =，μ是常数；(3) 指数函数 xa y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ；(4) 对数函数x y a log =(a是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞；1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当u>1时在原点处与X 轴相切。
且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称；2. 当u 为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数。
3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。
函数的图形均经过原点和（1 ,1）.如果m>n 图形于x 轴相切,如果m<n,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m,n 均为奇数时,跟原点对称4. 当u 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数.1. 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减.2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方.3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点.(5) 三角函数正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0)2. 当a>1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于x 的下方,在区间(1, +∞),y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域是单调增函数. a<1在实用中很少用到/(6)反三角函数反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ，反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，反正切函数 x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，)2,2(ππ-∈y ，反余切函数 x y cot arc =，),(+∞-∞∈x ，),0(π∈y ．小结：(a 为任意实数)(正弦函数)正弦函数是奇函数且三角公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：y r =αcsc注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
函数基本初等函数
当$n=-1$时，幂函数为$y=x^{-1}$，表示反比例函数。
当$n=0.5$时，幂函数为$y=x^{0.5}$，表示一个半次函数。
应用场景
在数学领域，幂函数广泛应用于 代数、几何和微积分等领域。
在物理领域，幂函数可以描述一 些自然现象，如电磁波的传播、
热传导等。
在工程领域，幂函数可以用于建 模和预测一些实际问题的结果，
函数基本初等函数
目录
• 常数函数 • 指数函数 • 三角函数 • 对数函数 • 幂函数 • 反三角函数
01 常数函数
定义与性质
定义
常数函数是指函数表达式中不含 有自变量，因变量始终等于某个 常数的函数。
性质
常数函数具有水平渐近线，即当 自变量趋于无穷时，因变量始终 等于该常数。
举例
常数函数y=5
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数学
在数学中，三角函数用于证明定理、 解决方程和不等式等问题，以及与 其他数学领域进行交叉研究。
04 对数函数
定义与性质
定义
对数函数是数学中的一种函数，它以 幂运算为基础，表示为 y = logₐx (a > 0, a ≠ 1)，其中 x > 0。
性质
对数函数具有反函数性质、运算性质 、换底公式等基本性质，这些性质在 数学和实际应用中具有重要意义。
在物理学中，对数函数被用于描述声 学、光学和热力学等领域的现象。
05 幂函数
定义与性质
定义
幂函数是形如$y=x^n$（$n$为实数）的函数，其中$x$是自 变量，$n$是实数指数。
性质
幂函数具有非负性、递增性、递减性、奇偶性等性质，具体 性质取决于指数$n$的取值。
6类基本初等函数以及三角函数(考研数学基础)
基本初等函数及图形(1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数）(2) 幂函数 μx y =，μ是常数；(3) 指数函数 xa y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ；(4) 对数函数x y a log =(a是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞；1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当u>1时在原点处与X 轴相切。
且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称；2. 当u 为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数。
3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。
函数的图形均经过原点和（1 ,1）.如果m>n 图形于x 轴相切,如果m<n,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m,n 均为奇数时,跟原点对称4. 当u 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数.1. 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减.2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方.3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点.(5) 三角函数正弦函数xy sin=，),(+∞-∞∈x，]1,1[-∈y，余弦函数xy cos=，),(+∞-∞∈x，]1,1[-∈y，正切函数xy tan=，2ππ+≠kx，k Z∈，),(+∞-∞∈y，1.他的图形为于y轴的右方.并通过点(1,0)2.当a>1时在区间(0,1),y的值为负.图形位于x的下方,在区间(1, +∞),y值为正,图形位于x轴上方.在定义域是单调增函数.a<1在实用中很少用到/余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；(6)反三角函数反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ，反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，反正切函数 x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，)2,2(ππ-∈y ，反余切函数xy cotarc=，),(+∞-∞∈x，),0(π∈y．小结：函数名称函数的记号函数的图形函数的性质指数函数a):不论x为何值,y总为正数;b):当x=0时,y=1.对数函数a):其图形总位于y轴右侧,并过(1,0)点b):当a＞1时,在区间(0,1)的值为负；在区间(1,+∞)的值为正；在定义域内单调增.幂函数(a为任意实数)这里只画出部分函数图形的一部分。
基本初等函数定义
基本初等函数定义
1基本初等函数定义
基本初等函数是数学中的一个概念，它也可以称为基本函数，Primary functions，或基础函数。
它被用来定义和描述许多不同的数学模型。
它的定义是：具有某种形式的函数，可以用对数、指数函数、三角函数或其他几何函数组合而成，用来分析某类特定问题。
基本初等函数主要有三种：偶函数、奇函数和其他函数。
偶函数是指在其定义域上，它的取值在坐标轴的对称轴上是对称的，例如二次函数、sinx函数和cosx函数。
奇函数的取值则保持对称，但对称轴不是坐标轴，而是原点，例如tanx函数和cotx函数。
最后，还有一些特殊的函数，例如圆函数、非偶函数和非奇函数，它们可以组合在一起构造特殊的数学模型。
基本初等函数不仅用于模型建构，还可以用来分析数学函数在定义域上的取值规律，以便预测它们在实际问题中的行为。
在几何学中，它常常用于描述和表示不同几何形状的性质，例如点、线、圆、矩形、多边形等。
此外，它还可以用于描述空间几何形状的性质，例如平面、球体等。
因此，基本初等函数在数学和几何学的应用是非常重要的，它们为我们理解数学和几何学中的复杂概念和问题提供了方便的工具和实用的方法。
基本初等函数公式总结
1常数函数：c y =；1y =；y e = 2幂 函 数：y x α=；2x y =；xy =；1y x -=；/n m y x == 3指数函数：x a y =；x e y = 4对数函数：x y a log =；x y ln =；x y 2log =；lg y x = 5三角函数：x y sin =；x y cos =三角函数是有界函数，sin x 奇函数；cos x 偶函数6奇函数：()()f x f x -=- 图形关于坐标原点对称；偶函数：()()f x f x -= 图形关于y 轴对称；含有x x a a -+因子的是偶函数；含有x x a a --因子的是奇函数，1sin lim 0=→xx x e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 无穷小量×有界量＝无穷小量当x →∞时，1sin n x π是无穷小量1sin lim0=→xxx()e x xx =+→101lim极限运算法则：g f g f lim lim )lim(±=±sin lim0x xx→∞=lim sin 0x x x →=f k kf lim )lim(=；lim lim lim fg f g =⋅kdx dkx =dx ax dx x dx a a a 1)(-='= adx a dx a da x x x ln )(='=dx dx x x d 2)2(2='= 221log (log )ln 2d x x dx dx x '== xdx dx x x d cos )(sin sin ='= dxe dx e de x x x ='=)(dx xdx x x d 1)(lnln ='= xdx dx x x d sin )(cos cos -='=0)(='c 1)(='x a x x a ln 1)(log =' x x cos )(sin =' 0)0(='2()2x x '=x x 1)(ln ='x x sin )(cos -=' ()01='211x x -='⎪⎭⎫⎝⎛a a a x x ln )(=')()()('±'='±g f g f)()()('+'='g f g f fg )()('='f k kf1)(-='a aaxxxx 21)(='xxe e =')(2)()(g g f g f g f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛()()x x x x 2cos 222cos 2sin ='='()()22222x x x xex ee ='='()()22212ln x x x x ''==[](())(())()y f x f x x φφφ''''==0 dx c=⎰ dx c = ln xx a a dx c a =+⎰不定积分运算法则：加减法，数乘1 dx x c =+⎰ 3223dx x c =+x x e dx e c =+⎰ ⎰⎰⎰±=±gdx dx f dx g f )(21 2x dx x c =+⎰ 11 1aa x dx x c a +=++⎰ sin cos x dx x c =-+⎰ dx f k kfdx ⎰⎰= 211 dx c x x=-+⎰ 1ln ||dx x c x =+⎰cos sin x dx x c =+⎰dx c dx =+x d dx xln 1= x d dx x21= 原函数()F x 与被积函数()f x之间的关系kdx c dkx =+x x de dx e = x d xdx cos sin -= ⎰+=c x F dx x f )()(221dx xdx =x d dx x112-= x d xdx sin cos =)()(x f x F ='() ()|()()bb aaf x dx F x F b F a ==-⎰() bbbaaaf g dx f dx g dx ±=±⎰⎰⎰bbaakf dx k f dx =⎰⎰（为常数）| bbbaaafg dx fg f gdx ''=-⎰⎰ ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰-aaa为偶函数时x 即当f x f x f dx x f 为奇函数时x 即当f x f x f dx x f 0)()()(,)(2)()()(,0)(用初等行变换求逆矩阵的方法：()()1||P I I P −−−−→初等行变换－当()r A n =时齐次方程0AX =只有零解。
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质、常值函数（也称常数函数）y二C （其中C为常数）；二、幕函数，是自变量，是常数;1. 幕函数的图像：2. 幕函数的性质;奇偶性奇偶奇非奇非偶奇[0,+ X)增增增(0,+ X )减单调性增(-X ,0]减(-X ,0)减公共点(1,1)1）当a为正整数时，函数的定义域为区间为，他们的图形都经过原点，并当a >1时在原点处与X轴相切。
且a为奇数时，图形关于原点对称；a为偶数时图形关于y轴对称；2）当a为负整数时。
函数的定义域为除去X=0的所有实数；3）当a为正有理数时，n为偶数时函数的定义域为（0, + X）, n为奇数时函数的定义域为（-X，+ X）,函数的图形均经过原点和（1 ,1 ）；4）如果m>n图形于x轴相切，如果m<n,图形于y轴相切，且m为偶数时, 还跟y轴对称；m n均为奇数时，跟原点对称；5）当a为负有理数时，n为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数（是自变量，是常数且，），定义域是R ；［无界函数］1. 指数函数的图象：2.指数函数的性质;性质函数xy = a (a > 1)xY = a (0 c a c 1)定义域 R 值域(0, + %) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0, 1),即 x = 0时，y = 1单调性在（-, +立）是增函数在（-°0 ,）是减函数1） 当时函数为单调增，当时函数为单调减; 2） 不论为何值，总是正的，图形在轴上方； 3） 当时,,所以它的图形通过（0,1）点。
3. （选，补充）指数函数值的大小比较； a. 底数互为倒数的两个指数函数的函数图像关于y 轴对称b. 1.当时，a 值越大,i yf(x) =2h(x) =3xO(0,1)六大基本初等函数图像及其性质的图像越靠近y 轴;四、对数函数(是常数且)，定义域［无界］b.2.当时，a 值越大,的图像越远离y 轴。
三、基本初等函数
单增函数， tan（arctan x） x
2
y
2
渐近线
y
2
把常数函数，幂函数，指数 函数，对数函数，三角函数和反 三角函数统称为
基本初等函数
例: 讨论y arcsin x 1 1 的定义域.
5
25 x2
提示与分析：
所给函数是两个函数之和形式，所以
f ( x)的定义域是使施两个函数同时有意 义的取值范围，即应是两个函数定义域
递减
5、反三角函数
反正弦函数 y arcsin x 定义域 [1,1], 值域[ , ]
22 sin（arcsin x） x
反余弦函数 y arccos x
定义域 [1,1], 值域[0, ]
co（s arccos x） x
反正切函数 y arctan x 定义域 : (, )，值域( , ),
正切函数 y tan x
定义域 （: k , k ), k Z值域(, ),
2
2
以为周期,在每个开区间(k , k )上
2
2
递增
余切函数 y cot x
定义域 （: k ,(k 1) ), k Z值域(, ), 以为周期,在每个开区间(k ,(k 1) )上
解：设 t 年后我国人口为p，那么 一年后人口为 9.6259+9.6259×12‰
=9.6259×(1+12 ‰) 2年后人口为 9.6259 ×( 1+12‰ ) +9.6259×(1+12‰) × 12‰ = 9.6259×(1+12‰) 2
y cot x, y sec x, y csc x
基本初等函数
数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.
例题：
是初等函数。
一、函数与极限
6、初等函数
⑴、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、
对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下：
函
数 函数的记号
名
函数的图形
函数的性质
称
指 a):不论 x 为何值,y 总为
数 正数;
函 b):当 x=0 时,y=1.
数
a):其图形总位于 y 轴右
对
侧,并过(1,0)点
数
பைடு நூலகம்b):当 a＞1 时,在区间
函
(0,1)的值为负；在区间
数
(-,+∞)的值为正；在定义域
内单调增.
令 a=m/n
a):当 m 为偶数 n 为奇数
幂
时,y 是偶函数;
函
a 为任意实数
b):当 m,n 都是奇数时,y
数
这里只画出部分函数图
是奇函数;
形的一部分。
c):当 m 奇 n 偶时,y 在
(-∞,0)无意义.
三 (正弦函数)
角 这里只写出了正弦函
函 数
数
a):正弦函数是以 2π为周 期的周期函数
b):正弦函数是奇函数且
反 (反正弦函
三 数)
角 这里只写出了反正弦函
函 数
数
a):由于此函数为多值函 数,因此我们此函数值限制 在[-π/2,π/2]上,并称其 为反正弦函数的主值.
⑵、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函
6类基本初等函数以及三角函数(考研数学基础)
x
[1,1]
，
y
[
2
,
2
]
，
反余弦函数 y arccos x ， x [1,1]， y [0, ] ，
反正切函数
y
arctan
x
，
x
(,)
，
y
(
2
,
2
)
，
反余切函数 y arccot x ， x (,) ， y (0, ) ．
小结：
函数名称 指数函数
函数的记号
对数函数
函数的图形
函数的性质 a):不论 x 为何值,y 总为正数; b):当 x=0 时,y=1. a):其图形总位于 y 轴右侧,并过(1,0)点 b):当 a＞1 时,在区间(0,1)的值为负；在区间 (1,+∞)的值为正；在定义域单调增.
九、辅助角公式
asin x bcosx a2 b2 sin(x ) （）
其中：角 的终边所在的象限与点 (a,b) 所在的象限相同，
sin b ， cos a ， tan b 。
a2 b2
a2 b2
a
十、正弦定理
a b c 2R （ R 为 ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
sin（π－α）=sinα cos（π－α）=-cosα tan（π－α）=－tanα cot（π－α）=－cotα sec(π-α)=-secα csc(π-α)=cscα
sin（α-π）=－sinα cos（α-π）=－cosα tan（α-π）=tanα cot（α-π）=cotα sec(α-π)=-secα csc(α-π)=－cscα
四、和角公式和差角公式
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin tan( ) tan tan
（完整）六大基本初等函数图像及其性质
标准实用文案大全六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）≠C 0=C 平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R 定义域R二、幂函数αx y=，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数xy =2xy =3xy =21x y =1-=xy 定义域R R R [0,+[0,+∞∞) {x|x {x|x≠≠0} 值域R [0,+[0,+∞∞) R [0,+[0,+∞∞) {y|y {y|y≠≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+[0,+∞∞) ) 增增增增(0,+(0,+∞∞) ) 减减(-(-∞∞,0] ,0] 减减(-(-∞∞,0) ,0) 减减公共点（1,11,1））xyOxy =2x y =3x y =1-=x y 21x y =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α，他们的图形都经过原点，并当α>1>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm 时，时，n n 为偶数时函数的定义域为（为偶数时函数的定义域为（0, +0, +0, +∞），∞），∞），n n 为奇数时函数的定义域为（为奇数时函数的定义域为（--∞,+,+∞），函数的图形均经过原点和（∞），函数的图形均经过原点和（∞），函数的图形均经过原点和（1 ,11 ,11 ,1）；）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,m<n,图形于图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；轴对称；m m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，）当α为负有理数时，n n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
6类基本初等函数以及三角函数(考研数学基础)
基本初等函数及图形(1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数）(2) 幂函数 μx y =，μ是常数；(3) 指数函数 xa y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ；(4) 对数函数x y a log =(a是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞；1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当u>1时在原点处与X 轴相切。
且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称；2. 当u 为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数。
3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。
函数的图形均经过原点和（1 ,1）.如果m>n 图形于x 轴相切,如果m<n,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m,n 均为奇数时,跟原点对称4. 当u 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数.1. 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减.2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方.3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点.(5) 三角函数正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0)2. 当a>1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于x 的下方,在区间(1, +∞),y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域是单调增函数. a<1在实用中很少用到/(6)反三角函数反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ，反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，反正切函数 x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，)2,2(ππ-∈y ，反余切函数 x y cot arc =，),(+∞-∞∈x ，),0(π∈y ．小结：函数名称函数的记号函数的图形函数的性质指数函数a):不论x 为何值,y 总为正数;b):当x=0时,y=1.对数函数a):其图形总位于y 轴右侧,并过(1,0)点b):当a ＞1时,在区间(0,1)的值为负；在区间(1,+∞)的值为正；在定义域内单调增. 幂函数(a 为任意实数)这里只画出部分函数图形的一部分。
6个基本初等函数总结
六个基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
常数函数：常数函数是指函数表达式为常数的函数，例如y = 1。
幂函数：幂函数是指形如y = x^n 的函数，其中n 是实数。
例如y = x^2 表示一个二次幂函数。
指数函数：指数函数是指形如y = a^x 的函数，其中 a 是实数且a > 0，a ≠ 1。
例如y = 2^x 表示一个以2 为底的指数函数。
对数函数：对数函数是指以自然对数e 为底数的指数函数的反函数，即y = ln(x)。
三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们的表达式分别为y = sin(x)、y = cos(x) 和y = tan(x)。
反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数，包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
它们的表达式分别为y = arcsin(x)、y = arccos(x) 和y = arctan(x)。
这六个基本初等函数的性质和图像是学习高等数学的基础，对于理解函数的性质和变化规律非常重要。
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3．能利用基本的指数函数或对数函
数的性质研究简单复合函数的单 调性，奇偶性等性质. 4．熟练掌握指数，对数运算法则， 明确算理，能对常见的指数型函 数，对数型函数进行变形处理. 5．能用函数的思想、方法、认识问 题解决问题.
三、复习中应注意的几点：
1 ．有关二次函数的问题，如求二 次函数的单调区间，二次函数在某区 间上的最值（值域），二次方程根的 分布等，关键是利用图示，对于二次
函数的图示关键又是抓住它的开口方
向和顶点（对称轴）
2 ．二次函数在某区间上的最值 （值域）求法要熟练掌握特别是
含参数的两类问题，一定要抓住
“三点一轴”数形结合，三点指 的是区间两个端点和区间重点，
一轴指的是对称轴.
3．二次方程实根分布问题要抓住
四点:即开口方向,判别式对称
轴位置,区间端点函数值正负.
x
3．已知 y loga ( 2 ax) 在[0，1]上 是x的减函数，则a的取值范围
是（ B ）
A．（0，1） B．（1，2）
C．（0，2）
D． [2,)
4．已知 f ( x ) log 1 ( x ax 3a )
在区间 [2,)上是减函数，则
2
2
(-4，4] 实数a的取值范围是________.
是解决好这类问题的关键.
四、考过什么
1．（04全国1-2）已知函数
1 x f ( x ) lg . 若f(a)=b. 1 x
则f(-a)=_______. -b
2．（04北京-7） 方程
lg(4 2) lg 2 lg 3
x x
的解是____________. x1 0, x2 1
x
最大值与最小值之和为a，则a的值
为（ B ）
1 A． 4
C．2
1 B． 2
D．4
6．（04浙江文9）若函数
f ( x ) log a ( x 1)（ a>0 ，a≠1 ）
的定义域和值域都为[0，1]， 则a的值为_____. 2
五、例题解析：
1 3 2 例 1 ：若 f ( x ) x x 的 2 2
x 3 3．（04上海-19）函数 f ( x ) 2 x 1
的定义域为A.g(x)=lg[(x-a-1)
(2a-x)](a<1)的定义域为B，则 A=_______________. (,1) [1,)
1 ( ,2] [ ,1) 若B A则实数a∈___________. 2
1 (2) A [ x | 0 x 或x 2} 8
1 5 3 (3) t 或 t 2 8 2
定 义 域 和 值 域 都 是 [1,b]
（b>1）试确定b的值.
分析：
1 3 2 函数 f ( x ) x x 的对称轴x=1， 2 2
所以它在[1，b]上是增函数， ∴f(1)=1.f(b)=b.
解后思考：
这是一道求解函数值域 的逆向问题利用函数单调性，
得到定义域和值域端点值对
应相等关系，是实现等价转 化的关键.
2
2
七、答案与提示
1．B
2． A
3．B
4．(-4，4] 30 5． 7
6 ．（ 1 ） f ( x ) 10
3 x ( 3 x )
27 4 （2）y (1,10 ]
; （ 0<x<3 ）
3 （3）在 ( 0, ] 上f(x)是递增的. 2
3 x 3 时，f(x)递减. 2
7．（1）a-b=4.
1 5．已知 f ( x ) x , g ( x ) x 5 2 设 F ( x ) f [ g 1 ( x )] g 1[ f ( x )]
2
30 则F(x)的最小值为_____. 7
6．设函数y=f(x)且
lg(lgy)=lg3x+lg(3-x)
（1）求f(x)的解析式及定义域. （2）求f(x)的值域.
A．( ,3]
B．( ,1) 和（3，5） C． [3,) D．（1，3）和 [5,)
2．f(x)是定义在R上的奇函数且
满足f(x+1)=f(x-1)当
x∈[0,1]时， f ( x) 2 1 则 f ( log 2 6) 的值为（ A ） 1 5 A． B． 2 2 C．-5 D．-6
4．指数函数 y a x与对数函数
y log a x(a 0, a 1)互为反函数要
能从概念、图示和性质三方面 理解它们之间的关系与区别.
5．研究指数、对数函数问题应尽量
化为同底，另外，对数问题中要
注意定义域的限制.
6．指数函数与对数函数的问题中绝
大多数问题为复合型函数问题，
认真讨论好复合函数的单调性，
t 109 g( t ) (0 t 100) 3 3
求这种商品的日销售额的最大值.
分析： 这是一个分段函数问
题，可分段，分别计算
后求解
解后思考：
求二次函数区间最值应当
注意对应的自变量的值是否 在区间内，若不在区间内应 结合函数单调性进行分析， 讨论求解.
六、课后练习
1．函数 f ( x ) log2 | x 2 6 x 5 | 的单 调增区间是（ B ）
几种基本初等函数
一、学过什么：
1．一次函数和二次函数.
2．指数函数和对数函数. 3．简单的复合函数.
二、高考要求：
1．熟练掌握一次函数、二次函数，反比
例函数，指数函数，对数函数，以及 1 形如 y x 的函数等一些常见函数 x 的性质，归纳提炼函数性质的应用规律.
2．对指数函数与对数函数的考查应以基 本函数的性质为依托，结合运算推理 来解决.能运用性质比较熟练地进行大 小的比较，方程的求解.
可求f(3).
解后思考：
在应用函数奇偶性
解题时，注意对函数解 析式的结构进行分析，
使用构造法解题.
例 3 ，已知定义域为 ( ,)的函数 f(x)
满 足 关 系 ： 对 任 意 实 数 x,y 都 有
f(x+y)=f(x)+f(y)且x<0时f(x)>0 （1）判断f(x)的奇偶性. （2）证明f(x)是减函数. （3）若f(3)=-3且对任意x∈R都有
4．（04湖北文5）若函数
y a b 1（a>0，且a≠1）
x
的图象经过第二、三、四象限，则
一定有（ C ） A．0<a<1且b>0 B．a>1且b>0
C．0<a<1且b<0
D．a>1且b<0.
5．（04湖北理7）函数
在[0，1]上的 f ( x ) a log a ( x 1)
解后思考：
如 何 用 抽 象 函 数 f(x) 的 某些性质，探索其它性质，
应仔细分析已知与待求之间
的关系，适当选用赋值，变 形等方法.
例4．设二次函数 f ( x ) ax 2 bx c (a>0)其图象的对称轴为
（1）若 x1 2 x2 4. 求证： x0 1.
求b的取值范围.
x x0 ，又方程f(x)-x=0 的两个实根为 x1 , x 2 .
（2）若 | x1 | 2 ，且| x1 x2 | 2 ，
分析：
注意由方程的根的性质，研
究系数应满足的条件，可以从 根与系数的关系分析入手.
解后思考：
将一元二次方程的根的性质
转化为系数应满足的条件组合， 往往还需综合运用函数和不等式
f [(a 2 4a 5) x 2 ] f [4(a 1) x] 3 0
求实数a的取值范围.
分析： 这是一道有关抽象型函数的 例题，充分利用好所给条件： x 、
y∈R时， f(x+y)=f(x)+f(y) ，且
x<0 时， f(x)>0 ，可以考虑对 x,y 给予一定的赋值，求解.
例2．函数g(x)是奇函数，
f ( x ) log 2 ( a 1 x） g( x ) 2
2 x
且
1 f ( 3) 5 8Hale Waihona Puke ，求f(3).分析：
由 y log2 ( x 2 1 x )为奇函
数，可知 F ( x ) f ( x ) 2 x 为奇函
数，利用奇函数性质 F(-3)=-F(3)
（3）讨论f(x)的单调性.
1 7．设 f ( x ) 2(log2 x ) 2a log2 b x 1 已知 x ,f(x)的最小值是-8.
2
（1）求a-b.
（2）求在（1）的条件下，f(x)>0 的解集A. （3）设集合 B { x || x t | 1 , x R} 且A B ,求实数t的取值范围.
的思想方法，才可求出目标变量
的取法范围.
例 5 某商品在最近 100 天内的价格
f(t)与时间t的函数关系式是：
t 22 ( 0 t 40 , t N ) 4 f (t ) t 52(40 t 100, t N ) 2
售量g(t)与时间t的函数关系是