几种基本初等函数

1 5．已知 f ( x ) x , g ( x ) x 5 2 设 F ( x ) f [ g 1 ( x )] g 1[ f ( x )]
2
30 则F(x)的最小值为_____. 7
6．设函数y=f(x)且
lg(lgy)=lg3x+lg(3-x)
（1）求f(x)的解析式及定义域. （2）求f(x)的值域.
2
2
七、答案与提示
1．B
2． A
3．B
4．(-4，4] 30 5． 7
6 ．（ 1 ） f ( x ) 10
3 x ( 3 x )
27 4 （2）y (1,10 ]
; （ 0<x<3 ）
3 （3）在 ( 0, ] 上f(x)是递增的. 2
3 x 3 时，f(x)递减. 2
7．（1）a-b=4.
4．（04湖北文5）若函数
y a b 1（a>0，且a≠1）
x
的图象经过第二、三、四象限，则
一定有（ C ） A．0<a<1且b>0 B．a>1且b>0
C．0<a<1且b<0
D．a>1且b<0.
5．（04湖北理7）函数
在[0，1]上的 f ( x ) a log a ( x 1)
（3）讨论f(x)的单调性.
1 7．设 f ( x ) 2(log2 x ) 2a log2 b x 1 已知 x ,f(x)的最小值是-8.
2
（1）求a-b.
（2）求在（1）的条件下，f(x)>0 的解集A. （3）设集合 B { x || x t | 1 , x R} 且A B ,求实数t的取值范围.
A．( ,3]
B．( ,1) 和（3，5） C． [3,) D．（1，3）和 [5,)
2．f(x)是定义在R上的奇函数且
满足f(x+1)=f(x-1)当
x∈[0,1]时， f ( x) 2 1 则 f ( log 2 6) 的值为（ A ） 1 5 A． B． 2 2 C．-5 D．-6
函数的图示关键又是抓住它的开口方
向和顶点（对称轴）
2 ．二次函数在某区间上的最值 （值域）求法要熟练掌握特别是
含参数的两类问题，一定要抓住
“三点一轴”数形结合，三点指 的是区间两个端点和区间重点，
一轴指的是对称轴.
3．二次方程实根分布问题要抓住
四点:即开口方向,判别式对称
轴位置,区间端点函数值正负.
f [(a 2 4a 5) x 2 ] f [4(a 1) x] 3 0
求实数a的取值范围.
分析： 这是一道有关抽象型函数的 例题，充分利用好所给条件： x 、
y∈R时， f(x+y)=f(x)+f(y) ，且
x<0 时， f(x)>0 ，可以考虑对 x,y 给予一定的Байду номын сангаас值，求解.
4．指数函数 y a x与对数函数
y log a x(a 0, a 1)互为反函数要
能从概念、图示和性质三方面 理解它们之间的关系与区别.
5．研究指数、对数函数问题应尽量
化为同底，另外，对数问题中要
注意定义域的限制.
6．指数函数与对数函数的问题中绝
大多数问题为复合型函数问题，
认真讨论好复合函数的单调性，
t 109 g( t ) (0 t 100) 3 3
求这种商品的日销售额的最大值.
分析： 这是一个分段函数问
题，可分段，分别计算
后求解
解后思考：
求二次函数区间最值应当
注意对应的自变量的值是否 在区间内，若不在区间内应 结合函数单调性进行分析， 讨论求解.
六、课后练习
1．函数 f ( x ) log2 | x 2 6 x 5 | 的单 调增区间是（ B ）
例2．函数g(x)是奇函数，
f ( x ) log 2 ( a 1 x） g( x ) 2
2 x
且
1 f ( 3) 5 8
，求f(3).
分析：
由 y log2 ( x 2 1 x )为奇函
数，可知 F ( x ) f ( x ) 2 x 为奇函
数，利用奇函数性质 F(-3)=-F(3)
3．能利用基本的指数函数或对数函
数的性质研究简单复合函数的单 调性，奇偶性等性质. 4．熟练掌握指数，对数运算法则， 明确算理，能对常见的指数型函 数，对数型函数进行变形处理. 5．能用函数的思想、方法、认识问 题解决问题.
三、复习中应注意的几点：
1 ．有关二次函数的问题，如求二 次函数的单调区间，二次函数在某区 间上的最值（值域），二次方程根的 分布等，关键是利用图示，对于二次
几种基本初等函数
一、学过什么：
1．一次函数和二次函数.
2．指数函数和对数函数. 3．简单的复合函数.
二、高考要求：
1．熟练掌握一次函数、二次函数，反比
例函数，指数函数，对数函数，以及 1 形如 y x 的函数等一些常见函数 x 的性质，归纳提炼函数性质的应用规律.
2．对指数函数与对数函数的考查应以基 本函数的性质为依托，结合运算推理 来解决.能运用性质比较熟练地进行大 小的比较，方程的求解.
x 3 3．（04上海-19）函数 f ( x ) 2 x 1
的定义域为A.g(x)=lg[(x-a-1)
(2a-x)](a<1)的定义域为B，则 A=_______________. (,1) [1,)
1 ( ,2] [ ,1) 若B A则实数a∈___________. 2
x
最大值与最小值之和为a，则a的值
为（ B ）
1 A． 4
C．2
1 B． 2
D．4
6．（04浙江文9）若函数
f ( x ) log a ( x 1)（ a>0 ，a≠1 ）
的定义域和值域都为[0，1]， 则a的值为_____. 2
五、例题解析：
1 3 2 例 1 ：若 f ( x ) x x 的 2 2
求b的取值范围.
x x0 ，又方程f(x)-x=0 的两个实根为 x1 , x 2 .
（2）若 | x1 | 2 ，且| x1 x2 | 2 ，
分析：
注意由方程的根的性质，研
究系数应满足的条件，可以从 根与系数的关系分析入手.
解后思考：
将一元二次方程的根的性质
转化为系数应满足的条件组合， 往往还需综合运用函数和不等式
解后思考：
如 何 用 抽 象 函 数 f(x) 的 某些性质，探索其它性质，
应仔细分析已知与待求之间
的关系，适当选用赋值，变 形等方法.
例4．设二次函数 f ( x ) ax 2 bx c (a>0)其图象的对称轴为
（1）若 x1 2 x2 4. 求证： x0 1.
是解决好这类问题的关键.
四、考过什么
1．（04全国1-2）已知函数
1 x f ( x ) lg . 若f(a)=b. 1 x
则f(-a)=_______. -b
2．（04北京-7） 方程
lg(4 2) lg 2 lg 3
x x
的解是____________. x1 0, x2 1
x
3．已知 y loga ( 2 ax) 在[0，1]上 是x的减函数，则a的取值范围
是（ B ）
A．（0，1） B．（1，2）
C．（0，2）
D． [2,)
4．已知 f ( x ) log 1 ( x ax 3a )
在区间 [2,)上是减函数，则
2
2
(-4，4] 实数a的取值范围是________.
1 (2) A [ x | 0 x 或x 2} 8
1 5 3 (3) t 或 t 2 8 2
定 义 域 和 值 域 都 是 [1,b]
（b>1）试确定b的值.
分析：
1 3 2 函数 f ( x ) x x 的对称轴x=1， 2 2
所以它在[1，b]上是增函数， ∴f(1)=1.f(b)=b.
解后思考：
这是一道求解函数值域 的逆向问题利用函数单调性，
得到定义域和值域端点值对
应相等关系，是实现等价转 化的关键.
的思想方法，才可求出目标变量
的取法范围.
例 5 某商品在最近 100 天内的价格
f(t)与时间t的函数关系式是：
t 22 ( 0 t 40 , t N ) 4 f (t ) t 52(40 t 100, t N ) 2
售量g(t)与时间t的函数关系是
可求f(3).
解后思考：
在应用函数奇偶性
解题时，注意对函数解 析式的结构进行分析，
使用构造法解题.
例 3 ，已知定义域为 ( ,)的函数 f(x)
满 足 关 系 ： 对 任 意 实 数 x,y 都 有
f(x+y)=f(x)+f(y)且x<0时f(x)>0 （1）判断f(x)的奇偶性. （2）证明f(x)是减函数. （3）若f(3)=-3且对任意x∈R都有