(完整版)专题：反比例函数与相似综合
中考反比例函数与几何综合
Oy xBAABxy O反比例函数与几何综合基本图形及常见结论 （1） 反比例函数)0(≠=k xky 图象上任一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴；所围k S =矩形（2）反比例函数)0(≠=k xky 图象上任一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴及原点连线；所围2k S =三角形（3）反比例函数与正比例函数图像交于A ，B 两点，AM 与x 轴垂直； 则：①A ，B 两点关于原点对称；②k S ABM =△（4）过反比例函数xk y 11=图像上任一点向坐标轴做垂线，与反比例函数)(2122k k xk y ＞=交于两点； 则：①BNBP AM AP =,即AB ∥MN②21k k S APNH -=矩形③）（△2121k k S OAP -=一次函数)0(≠+=kb b kx y 和反比例函数)0(≠=m xmy 图像交于A 、B 两点，AE ⊥x 轴，BF ⊥y 轴，则：①OAE OBF S S △△= ② OAB ABFE S S △梯形=③AC BD =④BFAEOE OF AE OE BF OF =⇒⋅=⋅ ⑤OACOBD S S △△=（一）巧用k 的几何意义解题y x ABO CDy xDC F EO B A例1．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P 是y=的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交y=的图象于点B ．给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA=AP ．其中所有正确结论的序号是________。
迁移练习1（1）.如图，双曲线)0x (k>=xy 经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与AB 交于点C ．若△OBC 面积为3，则k ＝_______迁移练习1（2）..双曲线)0x (k>=xy 经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ； 若梯形OEBA 的面积为9，则k=________。
(完整版)初中数学反比例函数知识点及经典例
04
利用相似三角形求解线段长度或角度大小
通过相似三角形的性质，我们可以建立 比例关系，从而求解未知线段长度或角 度大小。
解方程求解未知量。
具体步骤
根据相似比建立等式关系。
确定相似三角形，找出对应边或对应角 。
经典例题讲解和思路拓展
例题1
解题思路
例题2
解题思路
已知直角三角形ABC中， ∠C=90°，AC=3，BC=4，将 △ABC沿CB方向平移2个单位 得到△DEF，若AG⊥DE于点G ，则AG的长为____反比例函数$y = frac{m}{x}$的图像经过点$A(2,3)$，且与直线$y = -x + b$相 交于点$P(4,n)$，求$m,n,b$的
值。
XXX
PART 03
反比例函数与不等式关系 探讨
REPORTING
一元一次不等式解法回顾
一元一次不等式的定义
01
在材料力学中，胡克定律指出弹簧的 伸长量与作用力成反比。这种关系同 样可以用反比例函数来描述。
牛顿第二定律
在物理学中，牛顿第二定律表明物体 的加速度与作用力成正比，与物体质 量成反比。这种关系也可以用反比例 函数来表示。
经济学和金融学领域应用案例分享
供需关系
在经济学中，供需关系是决定商品价 格的重要因素。当供应量增加时，商 品价格下降；反之，供应量减少时， 商品价格上升。这种供需关系可以用 反比例函数来表示。
XXX
PART 02
反比例函数与直线交点问 题
REPORTING
求解交点坐标方法
方程组法
将反比例函数和直线的方程联立 ，解方程组得到交点坐标。
图像法
在同一坐标系中分别作出反比例 函数和直线的图像，找出交点并 确定其坐标。
反比例函数的图像和性质的综合应用
解析
根据题意，将点 A（-2 ，3）和点 B（3，-2 ）分别代入两个函数中 ，得到关于 m、k、b 的方程组，解方程组求 得 m、k、b 的值，即 可得到两个函数的解析
式。
05
反比例函数在几何图形中应用
相似三角形判定定理推广
预备定理
平行于三角形的一边，并且和 其他两边相交的线段，所截得 的三角形的三边与原三角形三 边对应成比例。
反比例函数图像在平面直角坐标系中 ，沿y轴方向平移，函数表达式不变， 图像沿y轴平移。
伸缩变换规律
01
当k>0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而减小；
02
当k<0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而增大。
03
k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数； k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
3
平行四边形面积问题
通过已知相邻两边及其夹角求解面积，或已知面 积和一边长度及夹角求解另一边长度，应用反比 例函数进行求解。
速度、时间、距离关系分析
匀速直线运动问题
通过已知速度和时间求解距离，或已 知距离和时间求解速度，利用反比例 关系建立方程。
变速直线运动问题
曲线运动问题
通过已知速度和方向的变化规律，求 解某时刻的速度或某段时间内的平均 速度及运动轨迹，结合反比例函数进 行综合分析。
解析
根据题意，将点（-2， -1）代入两个函数中， 得到关于 k、m、n 的 方程组，解方程组求得 k、m、n 的值，即可 得到两个函数的解析式 。再将 x = 3 代入两个 函数中，得到关于 k、 m、n 的另一个方程， 与前面的方程组联立求 解，即可得到最终的解
反比例函数复习课完整版课件
通过观察反比例函数和直线图像的相对位置关系，可以直观判断交点的存在性及 个数。例如，当直线与双曲线有两个交点时，说明存在两个解；当直线与双曲线 相切时，说明存在一个解；当直线与双曲线无交点时，说明不存在解。
03 反比例函数在实际问题中 应用
生活中常见问题建模为反比例关系
路程、速度和时间的关系
当路程一定时，速度和时间成反比例关系。例如，从家到学校距离一定，步行速度越快， 所需时间越短。
工作总量、工作效率和工作时间的关系
当工作总量一定时，工作效率和工作时间成反比例关系。例如，完成一项任务所需的总工 作量是固定的，工作效率越高，所需时间越短。
矩形面积、长和宽的关系
当矩形面积一定时，长和宽成反比例关系。例如，一块固定面积的土地，长度越长，宽度 就越短。
我们探讨了反比例函数与直线交点的求解方法，以及交点存在
和不存在的条件。
学生自我评价报告分享
01
02
03
知识掌握情况
学生们表示通过本节课的 复习，对反比例函数的概 念、性质和应用有了更深 刻的理解。
学习方法反思
部分学生提到，在解决反 比例函数与直线交点问题 时，需要更加细心地处理 计算过程，以避免出错。
反比例函数定义
形如 $y = frac{k}{x}$ (其中 $k$ 为常 数，且 $k neq 0$) 的函数称为反比 例函数。
反比例函数表达式
比例系数的意义
$k$ 决定了反比例函数的图像和性质 ，当 $k > 0$ 时，图像位于第一、三 象限；当 $k < 0$ 时，图像位于第二 、四象限。
$y = frac{k}{x}$，其中 $x$ 是自变量 ，$y$ 是因变量，$k$ 是比例系数。
专题九-反比例函数与几何的综合应用
在物理学中，一些物理量之间可能存在反比例关系，如电阻与电流、压力与面积等。通过运用反 比例函数的性质，可以更好地理解和解决这些物理问题。
反比例函数在经济学中的应用
在经济学中，一些经济指标之间可能存在反比例关系，如价格与需求量、成本与产量等。通过运 用反比例函数的性质，可以对这些经济指标进行更准确的预测和分析。
如长度、面积等。
利用反比例函数性质建立关系
02
根据反比例函数的性质，结合几何图形的特点，建立所求最值
与相关量之间的关系。
求解最值
03
通过求解反比例函数的最值，得到所求几何量的最值。
判定存在性问题
根据题意列出方程或不等式
01
根据题目条件，列出与几何图形相关的方程或不等式
。
利用反比例函数性质分析解的情况
反比例关系在圆中的应用
在圆中，当一个圆的半径增加时，其 面积会按平方比例增加，但其周长只 会按线性比例增加。这种关系虽然不 是严格的反比例关系，但也可以用于 解决一些与圆相关的问题。
解题技巧与实例分析
通过利用圆的性质和上述关系， 可以求解一些与圆相关的问题。 例如，已知一个圆的半径和另一 个圆的面积或周长，可以求解未 知圆的半径或面积等。
仔细阅读题目要求，明确题意 ，避免答非所问。
合理安排答题顺序
先做易做的题目，确保会做的 题目不丢分，再攻克难题。
控制答题时间
每道题目分配合理的时间，避 免时间不够用或浪费过多时间
。
检查答案
做完题目后要认真检查答案， 确保没有遗漏或错误。
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感谢您的观看
解题技巧与实例分析
对于其他几何图形中的反比例关系问题，可以通过设定未知数、利用几何图形的性质和反比例关系来求解。 需要注意的是，在解题过程中要仔细分析题目条件和数据特点，选择合适的解题方法和思路。
反比例函数与相似
xy DB AOC相似探究九题型九：相似与反比例函数【方法技巧】利用垂直作垂线构造直角三角形相似，得到线段关系，进而转化为坐标关系，通过方程求解． 1.直线122y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，AC ⊥AB 交双曲线(0)ky x x=>于C 点，BC 交x 轴于D 点，若2ACDABD SS=，求k 的值．2.如图，在△ABO 中，∠AOB ＝900，点A 在第一象限，点B 在第四象限，且AO ：BO ＝12A (x 0，y 0)的坐标满足001y x =，求点B (x ，y )的坐标x ，y 所满足的关系式．3.如图，双曲线k y x =当经过Rt △BOC 斜边上的点A ，且满足23AO AB =，与BC 交于点D ，21BODS ＝，求k 的值，4.如图，直线122y x =--交两坐标轴于A ，B 两点，OC ⊥AB 于C ，直线OC 交双曲线(0)ky x x=>于点D ，若AB ＝2DO ，求k 的值.相似探究（十）题型十：相似与反比例函数【方法技巧】利用垂直作垂线构造直角三角形相似，将线段关系转化为坐标关系，通过方程求解. 1.如图，直线y ＝kx （k ＞0）分别交双曲线y ＝2x （x ＞0）和双曲线y ＝4x （x ＞0）于A ，B 两点，求OAOB的值.2.如图，在AOB 中，AOB ＝90，点A 在双曲线y ＝()0k x x <上，点B 在双曲线y ＝1x（x ＞0）上. （1）若k ＝－2，求OAOB的值； （2）若∠OAB ＝30°，求k 的值.3.如图，点A 是双曲线y ＝2x在第一象限的分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于 点B ，以AB 为边作等边ABC ，点C 在第四象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线y ＝kx（X ＞0）上运动，求k 的值.。
(完整版)专题：反比例函数与相似综合
中考数学专题复习：反比例函数与相似的综合题【考点分析】近几年的中考数学题中，对于反比例函数与几何图形的结合的考查力度明显加大，主要考查：①平面直角坐标系中，如何把线段转化为坐标，坐标转化为含有字母的代数式, 进而进行代数计算；②反比例函数与相似图形的综合题；③反比例函数与几何图形的平移。
【专题攻略】在平面直角坐标系中，反比例函数与几何图形的综合题，最基本的解决方法是：由点的坐标求相关线段的长度，根据相关线段的长度表示点的坐标。
这类题在解答时要求我们要熟练运用数学基础知识，还要能灵活运用数形结合、转化、待定系数、分类讨论等基本数学思想和方法。
【课前训练】k1、如图，面积为3的矩形OABC勺一个顶点B在反比例函数y 的图象上，另三点在坐x标轴上，则k= .交于点0若厶OBA的面积为6，则k =k4、如图，已知双曲线y -(k>0)经过直角三角形OAB斜边X交于点0若厶OBC勺面积为3，贝y k = ______________3、如图，已知双曲线第3、4题X轴于B点，若S A AOB = 3,则k =ky (k>0)经过直角三角形OAB斜边xOB的中点D,与直角边AB相OB的中点D,与直角边AB相【典型例题】(2010年广州中考第23题)已知反比例函数y= m__ (m为常数)的图象经过点A (- 1, 6).x(1)求m的值；(2)如图9，过点与x轴交于点C,（2014南沙区一模）如图，已知直线y 4 x与反比例函数y m m>0, x > 0的图象x交于A、B两点，与x轴、y轴分别相交于C、D两点.（1）若点A的横坐标为1,求m的值并利用函数图象求关于x的不等式4 x< m的解集;x（2）是否存在以AB为直径的圆经过点P（1，0）？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.1、（ 2013?宁波）如图，等腰直角三角形 / BCA=90 ° AC=BC=2 典，反比例函数与AB , BC 交于点D , E .连结。
初中数学中考复习 备战2020年中考数学一轮专项复习——反比例函数综合问题(含详细解答)
备战2020年中考数学一轮专项复习——反比例函数综合问题一、反比例函数的概念：知识要点：1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式：（A ）y = xk （k ≠ 0） ； （B ）xy = k （k ≠ 0）； （C ）y=kx -1（k ≠0） 二、反比例函数的图象和性质：知识要点：1、形状：图象是双曲线。
2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第一、三象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第二、四象限内。
3、增减性：（1）当k>0时,y = xk （k ≠ 0）为减函数,y 随x 的增大而减小； （2）当k<0时,y = xk （k ≠ 0）为增函数,y 随x 的增大而增大。
4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点成中心对称；（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y =x 6 和y = x 6 ）来说，它们是关于x 轴，y 轴成轴对称。
一、选择题：1．下列函数，①y ＝2x ，②y ＝x ，③y ＝x ﹣1，④y ＝是反比例函数的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是（k ≠0）判定则可． 【解析】①y ＝2x 是正比例函数；②y ＝x 是正比例函数；③y ＝x ﹣1是反比例函数；④y＝不是反比例函数，是反比例关系；所以共有1个．故选：B．2．（2019•济南）函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解析】a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y＝在一、三象限，无选项符合．a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y＝（a≠0）在二、四象限，只有D符合；故选：D．3．如图，过原点的直线l与反比例函数y＝﹣的图象交于M，N两点，根据图象猜想线段MN的长的最小值是（）A．B．2C．2 D．1【分析】设N的横坐标是a，则纵坐标是﹣，利用a即可表示出ON的长度，然后根据不等式的性质即可求解．【解析】设N的横坐标是a，则纵坐标是﹣．则OM＝ON＝≥．则MN的最小值是2．故选：B．4．（2019•阜新）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y 轴上，则△ABC的面积为（）A．3 B．2 C．D．1【解析】连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△CAB，而S△OAB＝|k|＝，∴S△CAB＝，故选：C．5．（2019•遵义）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【解析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2，∴A（，4），B（，2），∴AE＝2，BE＝k﹣k＝k，∵菱形ABCD的面积为2，∴BC×AE＝2，即BC＝，∴AB＝BC＝，在Rt△AEB中，BE＝＝1∴k＝1，∴k＝4．故选：C．6．如图，在菱形ABOC中，∠ABO＝120°，它的一个顶点C在反比例函数y＝的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则该反比函数的表达式为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣【分析】点C作CD⊥x轴于D，设菱形的边长为a，根据菱形的性质和三角函数分别表示出C，以及点A向下平移2个单位的点，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到方程组求解即可．【解析】过点C作CD⊥x轴于D，设菱形的边长为a，在Rt△CDO中，OD＝a•cos60°＝a，CD＝a•sin60°＝a，则C（﹣a，a），点A向下平移2个单位的点为（﹣a﹣a，a﹣2），即（﹣a，a﹣2），则，解得．故反比例函数解析式为y＝﹣．故选：B．7.（2019•淄博）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y ＝（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y10的值为（）A．2B．6 C．4D．2【解析】过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…其斜边的中点C1在反比例函数y＝，∴C（2，2）即y1＝2，∴OD1＝D1A1＝2，设A1D2＝a，则C2D2＝a此时C2（4+a，a），代入y＝得：a（4+a）＝4，解得：a＝，即：y2＝，同理：y3＝，y 4＝，……∴y1+y2+…+y10＝2+++……＝，故选：A．8．如图，已知点A，B在双曲线y＝（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P 是AC的中点．若△ABP的面积为4，则k的值为（）．A．16 B．8 C．4 D．24【分析】由△ABP的面积为4，知BP•AP＝8．根据反比例函数y＝中k的几何意义，知本题k＝OC•AC，由反比例函数的性质，结合已知条件P是AC的中点，得出OC＝BP，AC＝2AP，进而求出k的值．【解答】解：∵△ABP 的面积为•BP •AP ＝4，∴BP •AP ＝8，∵P 是AC 的中点，∴A 点的纵坐标是B 点纵坐标的2倍，又∵点A 、B 都在双曲线y ＝（x ＞0）上，∴B 点的横坐标是A 点横坐标的2倍，∴OC ＝DP ＝BP ，∴k ＝OC •AC ＝BP •2AP ＝16．故选A.二、填空题：9.（2019山西）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，菱形ABCD 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点A 坐标为（-4,0），点D 的坐标为（-1,4），反比例函数)0(>=x xk y 的图象恰好经过点C ，则k 的值为 .【解析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则AD=5，∵四边形ABCD 为菱形，∴CD=5∴C （4,4），将C 代入x k y =得：44k =，∴16=k10．（2019遂宁中考 第15题 4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A 、点C 分别位于x 轴，y 轴的正半轴，G 为线段OA 上一点，将△OCG 沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数y ＝经过点B ．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过C （0，3）、G 、A 三点，则该二次函数的解析式为 ．（填一般式）【解析】点C （0，3），反比例函数y ＝经过点B ，则点B （4，3），则OC ＝3，OA ＝4，∴AC ＝5，设OG ＝PG ＝x ，则GA ＝4﹣x ，PA ＝AC ﹣CP ＝AC ﹣OC ＝5﹣3＝2， 由勾股定理得：（4﹣x ）2＝4+x 2，解得：x ＝，故点G （，0），将点C 、G 、A 坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故答案为：y ＝x 2﹣x +3． 11．如图，已知点(1，3)在函数y ＝kx (x >0)的图象上，正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数y ＝kx(x >0)的图象又经过A ，E 两点，则点E 的横坐标为____．【解析】 把(1，3)代入到y ＝kx，得k ＝3， 所以函数解析式为y ＝3x. 设A (a ，b )，根据图象和题意可知，点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 2.因为y ＝3x 的图象经过A ，E ，所以分别把点A 和E 代入到函数解析式中得 ab ＝3，①b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝3，② 由②得ab 2＋b 24＝3，把①代入得32＋b 24＝3， 即b 2＝6，解得b ＝±6，因为A 在第一象限，所以b ＞0，所以b ＝ 6.把b ＝6代入①求得a ＝62， 所以点E 的横坐标为a ＋b 2＝ 6.故答案为 6. 12．如图，Rt △AOB 中，∠OAB ＝90°，∠OBA ＝30°，顶点A 在反比例函数y ＝图象上，若Rt △AOB 的面积恰好被y 轴平分，则进过点B 的反比例函数的解析式为 ．【分析】分别过A 、B 作AE ⊥x 轴于E ，BD ⊥y 轴交AE 于F ．设A （a ，b ），则ab ＝﹣4．根据两角对应相等的两三角形相似，得出△OAE ∽△ABF ，由相似三角形的对应边成比例，则BD 、OD 都可用含a 、b 的代数式表示，从而求出B 的坐标，进而得出结果．【解析】分别过A 、B 作AE ⊥x 轴于E ，BD ⊥y 轴交AE 于F ．设A （a ，b ）．∵顶点A 在反比例函数y ＝图象上，∴ab＝﹣4．∵∠OAB＝90°，∠OAE＝90°﹣∠BAF＝∠ABF，∠OEA＝∠BFA＝90°，∴△OAE∽△ABF，∴OA：AB＝OE：AF＝AE：BF，在Rt△AOB中，∠AOAB＝90°，∠OBA＝30°，∴OA：AB＝1：，∴﹣a：AF＝b：BF＝1：，∴AF＝﹣，BF＝b，∵Rt△AOB的面积恰好被y轴平分，∴AC＝BC，∴BD＝DF＝BF＝﹣a，OD＝AE+AF＝b﹣a，∴b＝﹣a，∴A（﹣b，b），B（b，b﹣）∴﹣b•b＝﹣4，∴b2＝，∴k＝b（b﹣）＝b2﹣ab＝10，故答案为：10．13．如图， △OAP ，△ABQ 是等腰直角三角形，点P ，Q 在反比例函数y ＝4x (x ＞0)上，直角顶点A ，B 均在x 轴上，则点Q 的坐标为 ．【解析】 ∵△OAP 是等腰直角三角形，∴PA ＝OA .∴设P 点的坐标是(a ，a )，把(a ，a )代入解析式y ＝4x，解得a ＝2(a ＝－2舍去)， ∴P 的坐标是(2，2)，∴OA ＝2，∵△ABQ 是等腰直角三角形，∴BQ ＝AB ，∴可以设Q 的纵坐标是b ，∴横坐标是b ＋2，把Q 的坐标代入解析式y ＝4x， 得b ＝4b ＋2，∴b ＝5－1(b ＝－5－1舍去)，∴点Q 的坐标为(5＋1，5－1)．14．（2019•毕节市）如图，在平面直角坐标中，一次函数y ＝﹣4x +4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点．正方形ABCD 的顶点C 、D 在第一象限，顶点D 在反比例函数y ＝（k ≠0）的图象上．若正方形ABCD 向左平移n 个单位后，顶点C 恰好落在反比例函数的图象上，则n 的值是 ．【解析】过点D 作DE ⊥x 轴，过点C 作CF ⊥y 轴，∵AB ⊥AD ，∴∠BAO ＝∠DAE ，∵AB ＝AD ，∠BOA ＝∠DEA ，∴△ABO ≌△DAE （AAS ），∴AE ＝BO ，DE ＝OA ，易求A （1，0），B （0，4），∴D （5，1），∵顶点D 在反比例函数y ＝上，∴k ＝5，∴y ＝，易证△CBF ≌△BAO （AAS ），∴CF ＝4，BF ＝1，∴C （4，5），∵C 向左移动n 个单位后为（4﹣n ，5），∴5（4﹣n ）＝5，∴n ＝3，故答案为3；三、解答题15．如图，一次函数y ＝kx ＋2的图象与反比例函数y ＝m x的图象在第一象限的交点为P .PA 垂直x 轴于点A .PB 垂直y 轴于点B .函数y ＝kx ＋2的图象分别交x 轴，y 轴于点C ，D .已知DB ＝2OD ，△PBD 的面积S △PBD ＝4.(1)求点D 的坐标；(2)求k ，m 的值；(3)写出当x ＞0时，使一次函数y ＝kx ＋2的值大于反比例函数y ＝m x的值的x 的取值范围．【解析】(1)在y ＝kx ＋2中，令x ＝0，得y ＝2，所以点D (0，2)．(2)因为OD ＝2，DB ＝2OD ＝4，由S △PBD ＝4，可得BP ＝2，而OB ＝OD ＋DB ＝6，所以点P (2，6)．将P (2，6)分别代入y ＝kx ＋2与y ＝mx，可得 k ＝2，m ＝12.(3) 由图象可知，当x ＞0时，使一次函数y ＝kx ＋2的值大于反比例函数y ＝mx的值的x 的取值范围是x ＞2.16．（2019遂宁中考 第23题 10分）如图，一次函数y ＝x ﹣3的图象与反比例函数y ═（k ≠0）的图象交于点A 与点B （a ，﹣4）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若动点P 是第一象限内双曲线上的点（不与点A 重合），连接OP ，且过点P 作y 轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．【解析】（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中得：a＝﹣1∴B（﹣1，﹣4）将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y═（k≠0）中得：k＝4∴反比例函数的表达式为y＝；（2）如图：设点P的坐标为（m，）（m＞0），则C（m，m﹣3）∴PC＝|﹣（m﹣3）|，点O到直线PC的距离为m∴△POC的面积＝m×|﹣（m﹣3）|＝3解得：m＝5或﹣2或1或2∵点P不与点A重合，且A（4，1）∴m≠4又∵m＞0∴m＝5或1或2∴点P的坐标为（5，）或（1，4）或（2，2）．17．（2019•河池）在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标为A（0，0），B（6，0），C（6，8），D（0，8），AC，BD交于点E．（1）如图（1），双曲线y＝过点E，直接写出点E的坐标和双曲线的解析式；（2）如图（2），双曲线y＝与BC，CD分别交于点M，N，点C关于MN的对称点C′在y轴上．求证△CMN～△CBD，并求点C′的坐标；（3）如图（3），将矩形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y＝与AD交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值．【解析】（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴DE＝EB，∵B（6，0），D（0，8），∴E（3，4），∵双曲线y＝过点E，∴k1＝12．∴反比例函数的解析式为y＝．（2）如图2中，∵点M，N在反比例函数的图象上，∴DN•AD＝BM•AB，∵BC＝AD，AB＝CD，∴DN•BC＝BM•CD，∴＝，∴＝，∴＝，∵∠MCN＝∠BCD，∴△MCN∽△BCD，∴∠CNM＝∠CDB，∴MN∥BD，∴△CMN∽△CBD．∵B（6，0），D（0，8），∴直线BD的解析式为y＝﹣x+8，∵C，C′关于MN对称，∴CC′⊥MN，∴CC′⊥BD，∵C（6，8），∴直线CC′的解析式为y＝x+，∴C′（0，）．（3）如图3中，①当AP＝AE＝5时，∵P（m，5），E（m+3，4），P，E在反比例函数图象上，∴5m＝4（m+3），∴m＝12．②当EP＝AE时，点P与点D重合，∵P（m，8），E（m+3，4），P，E在反比例函数图象上，∴8m＝4（m+3），∴m＝3．③显然PA≠PE，若相等，则PE∥x轴，显然不可能．综上所述，满足条件的m的值为3或12．18．“六一”儿童节，小文到公园游玩．看到公园的一段人行弯道MN(不计宽度)如图，它与两面互相垂直的围墙OP，OQ之间有一块空地MPOQN(MP⊥OP，NQ⊥OQ)，他发现弯道MN上任意一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等．比如：A，B，C是弯道MN上的三点，矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI 的面积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系(如图)，图中三块阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，并测得S2＝6(单位：平方米)，OG＝GH＝HI.(1)求S1和S3的值；(2)设T(x，y)是弯道MN上的任一点，写出y关于x的函数解析式；(3)公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外)，已知MP＝2米，NQ＝3米．问一共能种植多少棵花木？【解析】(1)∵矩形ADOG 、矩形BEOH 、矩形CFOI 的面积相等，∴弯道为反比例函数图象的一部分．设反比例函数的解析式为y ＝k x (k ≠0)，OG ＝GH ＝HI ＝a ，则AG ＝k a ，BH ＝k 2a ，CI ＝k 3a .所以S 2＝k 2a •a －k 3a•a ＝6，解得k ＝36.所以S 1＝k a •a －k 2a •a ＝12k ＝12×36＝18，S 3＝k 3a •a ＝13k ＝13×36＝12；(2)由(1)得，弯道的函数解析式为y ＝36x .∵T(x ，y)是弯道MN 上的任一点，∴y ＝36x ；(3)∵MP ＝2，NQ ＝3，∴GM ＝362＝18，OQ ＝363＝12.∵在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外)，∴当x ＝2时，y ＝18，可以种8棵；当x ＝4时，y ＝9，可以种4棵；当x ＝6时，y ＝6，可以种2棵；当x ＝8时，y ＝4.5，可以种2棵；当x ＝10时，y ＝3.6，可以种1棵．故一共可以种8＋4＋2＋2＋1＝17(棵)花木．19、如图，已知反比例函数k y x=与一次函数y x b =+的图象在第一象限相交于点(1,4)A k -+． （1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．【解析】（1）∵已知反比例函数k y x =经过点(1,4)A k -+，∴41k k-+=，即4k k -+= ∴2k =∴A(1，2) ∵一次函数y x b =+的图象经过点A(1，2)，∴21b =+∴1b =∴反比例函数的表达式为2y x=， 一次函数的表达式为1y x =+。
反比例函数和相似三角形综合题(教师版)
反比例函数和相似三角形综合题1．如图，已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．（1）求n与k的值；（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；（3）观察反比例函数y=的图象，当y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围．2．如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A．B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C．D两点，点D（2，﹣3），OA=2．（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式；（2）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．（3）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，直接写出P点的坐标．3．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交雨点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．（1）求一次函数、反比例函数解析式；（2）直接写出当＞kx+b时x的取值范围；（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2=0，▱ABCD 的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y=经过C、D两点．（1）求k的值；（2）点P在双曲线y=上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M 是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．5．如图1，直线y=﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，交双曲线y=（x ＜0）于点N，S=10．△OBN（1）求双曲线的解析式．=，求点H的坐标．（2）已知点H是双曲线上一动点，若S△HON（3）如图2，平移直线BC交双曲线于点P，交直线y=﹣6于点Q，连接PC，QB，并延长PC，QB交于第一象限内一点G，若PG=GQ，求平移后的直线PQ的解析式．6．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．（1）求证：△APB≌△APD；（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式；②当x=6时，求线段FG的长．7．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）8．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．9．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．一．解答题（共9小题）1．如图，已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．（1）求n与k的值；（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；（3）观察反比例函数y=的图象，当y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围．【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得n，则可求得A点坐标，代入反比例函数解析式则可求得k的值；（2）由一次函数解析式可先求得B点坐标，从而可求得AB的长，则可求得C 点坐标，利用平移即可求得D点坐标；（3）在y=中，当y＞﹣2时可求得对应的x的值，结合图象即可求得x的取值范围．【解答】解：（1）把A点坐标代入一次函数解析式可得n=×4﹣3=3，∴A（4，3），∵A点在反比例函数图象上，∴k=3×4=12；（2）在y=x﹣3中，令y=0可得x=2，∴B（2，0），∵A（4，3），∴AB==，∵四边形ABCD为菱形，且点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，∴BC=AB=，∴点C由点B向右平移个单位得到，∴点D由点A向右平移个单位得到，∴D（4+，3）；（3）由（1）可知反比例函数解析式为y=，令y=﹣2可得x=﹣6，结合图象可知当y＞﹣2时，x的取值范围为x＜﹣6或x＞0．2．如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A．B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C．D两点，点D（2，﹣3），OA=2．（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式；（2）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．（3）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，直接写出P点的坐标．【分析】（1）把点D的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作DE⊥x轴于E，根据题意求得A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）根据图象即可求得k1x+b﹣≥0时，自变量x的取值范围；（3）作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P，由C'和D的坐标可得，直线C'D为y=x﹣，进而得到点P的坐标．【解答】解：（1）∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2=的图象上，∴k2=2×（﹣3）=﹣6，∴y2=﹣；如图，作DE⊥x轴于E∵OA=2∴A（﹣2，0），∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1=k1x+b的图象上，，解得k1=﹣，b=﹣，∴y=﹣x﹣；（2）由图可得，当k1x+b﹣≥0时，x≤﹣4或0＜x≤2．（3）由，解得或，∴C（﹣4，），作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P，∴由C'和D的坐标可得，直线C'D为y=x﹣，令x=0，则y=﹣，∴当|PC﹣PD|的值最大时，点P的坐标为（0，﹣）．3．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交雨点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．（1）求一次函数、反比例函数解析式；（2）直接写出当＞kx+b时x的取值范围；（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据题意得出P点坐标，再将A、P两点的坐标代入y=kx+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，把点P（4，2）代入反比例函数y=即可得出m的值，进而得出结论；（2）利用图象法，写出反比例函数图象想一次函数图象的上方的自变量的取值范围即可；（3）根据PB为菱形的对角线与PC为菱形的对角线两种情况进行讨论即可．【解答】解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），∴O为AB的中点，即OA=OB=4，∴P（4，2），B（4，0），将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得：，解得：，∴一次函数解析式为y=x+1，将P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y=．（2）观察图象可知：＞kx+b时x的取值范围0＜x＜4．（3）如图所示，∵点C（0，1），B（4，0）∴BC==，PC=，∴以BC、PC为边构造菱形，当四边形BCPD为菱形时，∴PB垂直且平分CD，∵PB⊥x轴，P（4，2），∴点D（8，1）．把点D（8，1）代入y=，得左边=右边，∴点D在反比例函数图象上．，∵BC≠PB，∴以BC、PB为边不可能构造菱形，同理，以PC、PB为边也不可能构造菱形．综上所述，点D（8，1）．4．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2=0，▱ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y=经过C、D两点．（1）求k的值；（2）点P在双曲线y=上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M 是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；（2）由（1）知k=4可知反比例函数的解析式为y=，再由点P在双曲线y=上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；（3）连NH、NT、NF，易证NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN=HT由此即可得出结论．【解答】解：（1）∵+（a+b+3）2=0，∴，解得：，∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），∵E为AD中点，∴x D=1，设D（1，t），又∵DC∥AB，∴C（2，t﹣2），∴t=2t﹣4，∴t=4，∴k=4；（2）∵由（1）知k=4，∴反比例函数的解析式为y=，∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，∴设Q（0，y），P（x，），①当AB为边时：如图1，若ABPQ为平行四边形，则=0，解得x=1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；如图2，若ABQP为平行四边形，则=，解得x=﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；②如图3，当AB为对角线时，AP=BQ，且AP∥BQ；∴，解得x=﹣1，∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；故P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；（3）的值不发生改变，理由：如图4，连NH、NT、NF，∵MN是线段HT的垂直平分线，∴NT=NH，∵四边形AFBH是正方形，∴∠ABF=∠ABH，在△BFN与△BHN中，，∴△BFN≌△BHN，∴NF=NH=NT，∴∠NTF=∠NFT=∠AHN，四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF=180°，而∠NTF=∠NFT=∠AHN，所以，∠ATN+∠AHN=180°，所以，四边形ATNH内角和为360°，所以∠TNH=360°﹣180°﹣90°=90°．∴MN=HT，∴．5．如图1，直线y=﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，交双曲线y=（x ＜0）于点N，S=10．△OBN（1）求双曲线的解析式．=，求点H的坐标．（2）已知点H是双曲线上一动点，若S△HON（3）如图2，平移直线BC交双曲线于点P，交直线y=﹣6于点Q，连接PC，QB，并延长PC，QB交于第一象限内一点G，若PG=GQ，求平移后的直线PQ的解析式．【分析】（1）如图1中，作NG⊥x轴于H．由S=•OB•NG，可得×4×NG=10，△NOB推出NG=5，推出N（﹣1，5），由此即可解决问题；（2）如图2中，作NM⊥x轴于M，HE⊥x轴于E．设H（m，﹣）．首先证明S△OHN=S梯形NMHE，由此构建方程即可解决问题；（3）首先证明OG垂直平分BC，推出P、Q关于直线OG对称，由点P在y=﹣上，推出点Q也在y=﹣上，又点Q在直线y=﹣6上，可得Q（，﹣6），由此即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，作NG⊥x轴于H．∵直线y=﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，∴B（4，0），C（0，4），=•OB•NG，∵S△NOB∴×4×NG=10，∴NG=5，∴N（﹣1，5），∵反比例函数y=经过点N（﹣1，5），∴k=﹣5，（2）如图2中，作NM ⊥x 轴于M ，HE ⊥x 轴于E ．设H （m ，﹣）．∵S △HEO =S △NMO ，又∵S 四边形HEON =S △HNO +S △HEO =S △NMO +S 梯形MNHE ，∴S △OHN =S 梯形NMHE ， ∴•（5﹣）•|m +1|=，当m ＜﹣1时，整理得3m 2+8m ﹣3=0，解得m=﹣3或（舍弃），当0＞m ＞﹣1时，整理得3m 2﹣8m ﹣3=0，解得m=﹣或3（舍弃）．综上所述，满足条件的点H 的坐标为（﹣3，）或（﹣，15）；（3）如图3中，∴∠GPQ=∠GQP，∵BC∥PQ，∴∠GCB=∠GPQ，∠GBC=GQP，∴∠GCB=∠GBC，∴GC=GB，∵OC=OB，∴OG垂直平分BC，∴P、Q关于直线OG对称，∵点P在y=﹣上，∴点Q也在y=﹣上，又∵点Q在直线y=﹣6上，∴Q（，﹣6），设直线PQ的解析式为y=﹣x+b，∴﹣6=﹣+b，∴b=﹣，∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣．6．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．（1）求证：△APB≌△APD；（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式；②当x=6时，求线段FG的长．【分析】（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；（2）①首先证明△DFP≌△BEP，进而得出=，=，进而得出=，即=，即可得出答案；②根据①中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，进而得出==，求出即可．【解答】（1）证明：∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，∵在△APB和△APD中，∴△APB≌△APD（SAS）；（2）解：①∵△APB≌△APD，∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，∵在△DFP和△BEP中，，∴△DFP≌△BEP（ASA），∴PF=PE，DF=BE，∵四边形ABCD是菱形，∴GD∥AB，∴=，∵DF：FA=1：2，∴=，=，∴=，∵=，即=，∴y=x；②当x=6时，y=×6=4，∴PF=PE=4，DP=PB=6，∵==，∴=，解得：FG=5，故线段FG的长为5．7．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）【分析】（1）首先过点D作DF⊥BC，交AB于点F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；（2）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE ∽△GDA即可得出答案；（3）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE ∽△GDA即可得出答案．【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；（2）解：DE=AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴=，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD；（3）AD=DE•tanα；理由：如图2，∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，∴∠EBD=∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴=，在Rt△BDG中，=tanα，则=tanα，∴AD=DE•tanα．8．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得AM是高线、顶角的角平分线，根据直角三角形的性质，可得∠EAB+∠EBA=90°，根据三角形外角的性质，可得答案；（2）根据三角形中位线的性质，可得MF与AC的关系，根据等量代换，可得MF与BD的关系，根据等腰直角三角形，可得BM与NM的关系，根据等量代换，可得NM与BC的关系，根据同角的余角相等，可得∠CBD与∠NMF 的关系，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案．【解答】（1）答：△BMN是等腰直角三角形．证明：∵AB=AC，点M是BC的中点，∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．∵BN平分∠ABE，∠EBN=∠ABN．∵AC⊥BD，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=（∠BAE+∠ABE）=45°．∴△BMN是等腰直角三角形；（2）答：△MFN∽△BDC．证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，∴FM∥AC，FM=AC．∵AC=BD，∴FM=BD，即．∵△BMN是等腰直角三角形，∴NM=BM=BC，即，∴．∵AM⊥BC，∴∠NMF+∠FMB=90°．∵FM∥AC，∴∠ACB=∠FMB．∵∠CEB=90°，∴∠ACB+∠CBD=90°．∴∠CBD+∠FMB=90°，∴∠NMF=∠CBD．∴△MFN∽△BDC．9．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得△BAD ≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF；（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由对顶角相等，易证得△BMA ∽△CMG，根据相似三角形的对应角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可证得BD⊥CF；②首先过点F作FN⊥AC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN的长，又由等角的三角函数值相等，可求得AM=AB=，然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的长，再由勾股定理即可求得线段BG的长．【解答】解（1）BD=CF成立．理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴BD=CF．（2）①证明：设BG交AC于点M．∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM．∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG．∴∠BGC=∠BAC=90°．∴BD⊥CF．②过点F作FN⊥AC于点N．∵在正方形ADEF中，AD=DE=，∴AE==2，∴AN=FN=AE=1．∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3，BC==4．∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==．∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=．∴AM=AB=．∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM===．∵△BMA∽△CMG，∴．∴．∴CG=．∴在Rt△BGC中，BG==．。
反比例函数与相似的综合
反比例函数与相似的综合题型一利用平行线构造A型或X型相似1．（2020•鞍山一模）如图，点A在双曲线y=3x上，点B在双曲线y=kx（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC=32CD，则k的值为152．【解析】解：设点A的坐标为（a，3a ），则点B的坐标为（ak3，3a），∵AB∥x轴，∴∠BAC＝∠ODC，∠ACB＝∠DCO，∴ABOD =ACDC，∵AC=32CD，∴ABDO=32，∵OD＝a，∴AB＝1.5a，∴点B的横坐标是2.5a，∴2.5a=ak3，解得，k=152，故答案为：152．2．（220•黔东南州）如图，已知点A，B分别在反比例函数y1=−2x和y2=kx的图象上，若点A是线段OB的中点，则k的值为﹣8．【解析】解：设A（a，b），则B（2a，2b），∵点A在反比例函数y1=−2x的图象上，∴ab＝﹣2；∵B点在反比例函数y2=kx的图象上，∴k＝2a•2b＝4ab＝﹣8．故答案是：﹣8．题型二 利用平行线构造相似3．（2020•柯桥区一模）如图，已知B 、A 分别在反比例函数y =−9x，y =k x上，当AO ⊥BO 时，BO ：AO ＝3：4，则k ＝ 16 ．【解析】解：设点A 的坐标为（a ，ka），点B 的坐标为（b ，−9b ），作BC ⊥x 轴于点C ，作AD ⊥x 轴于点D ，∵∠AOB ＝90°，∠BOC +∠OBC ＝90°，∴∠BOC +∠AOD ＝90°，∴∠BOC ＝∠OAD ，∵∠BCO ＝∠ODA ＝90°，BO ：AO ＝3：4，∴△BOC ∽△OAD ，∴OCAD=BC OD=OB AO，即−bk a=−9ba=34，解得，k ＝16，故答案为：16．4．（2020•历下区期中）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的顶点A 的坐标为（5，0），顶点B 在第一象限，函数y =kx （x ＞0）的图象分别交边OA 、AB 于点C 、D ．若OC ＝2AD ，则k ＝ 4√3【解析】解：如图，过C 作CE ⊥x 轴于E ，过D 作DF ⊥x 轴于F ，则∠CEO ＝∠DF A ＝90°，又∵∠COE ＝∠DAF ＝60°，∴△COE ∽△DAF ，又∵OC ＝2AD ，∴DF =12CE ，AF =12OE ，设OE ＝a ，则CE =√3a ，∴AF =12a ，DF =√32a ，∴C （a ，√3a ），D （5−12a ，√32a ）， ∵函数y =k x（x ＞0）的图象分别交边OA 、AB 于点C 、D ，∴a •√3a ＝（5−12a ）•√32a ，解得a ＝2， ∴C （2，2√3），∴k ＝2×2√3=4√3，故答案为4√3．5．（2020•如东县一模）如图，点A （1，n ）和点B 都在反比例函数y =kx （x ＞0）的图象上，若∠OAB ＝90°，OA AB=23，则k 的值是 2 ．【解析】解：如图，过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥AC 于D ，则∠ACO ＝∠BDA ＝90°，OC ＝1，AC ＝n ，∵∠BAO ＝90°，∴∠CAO +∠BAC ＝∠ABD +∠BAC ＝90°，∴∠CAO ＝∠DBA ，∴△AOC ∽△BAD ，∴AD OC=BD AC=AB OA，即AD 1=BD n=32，∴AD =32，BD =32n ，∴B （1+32n ，n −32），∵k ＝1×n ＝（1+32n ）（n −32），解得n ＝2或n ＝﹣0.5（舍去），∴k ＝1×2＝2故答案为：2．6．（2020•泗阳县一模）如图，点A在反比例函数y=3x(x＞0)上，以OA为边作正方形OABC，边AB交y轴于点P，若PB：P A＝2：1，则正方形OABC的边长AB＝√10．【解析】解：由题意可得，OA＝AB，设AP＝a，则BP＝2a，OA＝3a，设点A的坐标为（m，3m），作AE⊥x轴于点E，∵∠P AO＝∠OEA＝90°，∠POA+∠AOE＝90°，∠AOE+∠OAE＝90°，∴∠POA＝∠OAE，∴△POA∽△OAE，∴APAO =OEEA，即a3a=m3m，解得，m＝1或m＝﹣1（舍去），∴点A的坐标为（1，3），∴OA=√10，故答案为：√10．巩固练习1．（2020•滨州模拟）如图，点A在双曲线y=4x上，点B在双曲线y=kx（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为12．【解析】解：设点A的坐标为（a，4a ），则点B的坐标为（ak4，4a），∵AB∥x轴，AC＝2CD，∴∠BAC＝∠ODC，∵∠ACB＝∠DCO，∴△ACB∽△DCO，∴ABOD =ACDC，∴ABOD=21，∵OD＝a，则AB＝2a，∴点B的横坐标是3a，∴3a=ak4，解得，k＝12，故答案为：12．2．（2020•岳麓区校级模拟）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=4x上，第二象限的点B在反比例函数y=kx上，且OA⊥OB，OBOA=34，则k的值为−94．【解析】解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图，∵OA⊥OB，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴∠AOC＝∠OBD，∴Rt△OBD∽Rt△AOC，∴S△OBDS△AOC=（OBOA）2＝（34）2=916，∵S△OBD=12|k|，S△AOC=12×4＝2，∴12|k|2=916，而k＜0，∴k=−94．故答案为−94．3．（2020•洛宁县期中）已知反比例函数y=kx（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且有x1＜x2＜0，则y1和y2的大小关系是y1＜y2．【解析】解：∵反比例函数y=kx（k＜0）的k＜0，可见函数位于二、四象限，∵x1＜x2＜0，可见A（x1，y1）、B（x2，y2）位于第二象限，由于在二四象限内，y随x的增大而增大，∴y1＜y2．故答案为y1＜y2．4．（2020•渝中区校级月考）如图，△ABC 是等边三角形，顶点C 在y 轴的负半轴上，点A （1，5√32），点B 在第一象限，经过点A 的反比例函数y =kx（x ＞0）的图象恰好经过顶点B ，则△ABC 的边长为 2√7 ．【解析】如图延长AB 到D ，使得AB ＝BD ，连接CD ，作AH ⊥y 轴于H ，DE ⊥y 轴于E ．设C （0，c ）． ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∵AB ＝BD ，∴BA ＝BC ＝BD ，∴△ACD 是直角三角形， ∵∠CAD ＝60°，∴DC =√3AC ，∵∠ACD ＝∠AHC ＝∠DEC ＝90°，∴∠ACH +∠DCE ＝90°，∵∠ECD +∠CDE ＝90°，∴∠ACH ＝∠CDE ，∴△ACH ∽△CDE ，∴AH EC=HC DE=AC CD=√33， ∵A （1，5√32），∴AH ＝1，CH =5√32−c ，∴EC =√3，DE =152−√3c ，∴D （152−√3c ，c −√3）， ∵BA ＝BD ，∴B （17−2√3c4，3√3−2√3c4）， ∵A 、B 在y =kx上，∴5√32=17−2√3c 4×3√3−2√3c4， 整理得：4√3c 2﹣16c ﹣11√3=0，解得c =−√32或11√36（舍弃），∴C （0，−√32）， ∴AC =2+CH 2=√12+(3√3)2=2√7，故答案为2√7．5．（2020•碑林区校级一模）如图，反比例函数y=kx，（k＞0）经过正方形ABCD的顶点C，D，若正方形的边长为4，则k的值为16．【解析】解：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图，设A（0，m），B（n，0），∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∵∠ABO+∠CBE＝90°，∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠CBE＝∠OAB，而∠AOB＝∠BEC，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴OA＝BE＝m，OB＝CE＝n，∴C（m+n，n），同理方法可证明△AOB≌△DF A（AAS），∴OA＝DF＝m，OB＝AF＝n，∴D（m，m+n），∵反比例函数y=kx，（k＞0）经过正方形ABCD的顶点C，D，∴m（m+n）＝（m+n）n，∴m＝n，∵OA2+OB2＝AB2，∴m2+n2＝42，即m2+m2＝16，解得m＝2√2，∴C（4√2，2√2），∴k＝4√2×2√2=16．故答案为16．6．（2020•深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点A在反比例函数y=kx图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝4√77．【解析】解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，∵C（0，﹣3），∴OC＝3，∵∠AED ＝∠COD ＝90°，∠ADE ＝∠CDO ∴△ADE ∽△CDO ，∴AE CO=DE OD=AD CD=13，∴AE ＝1；又∵y 轴平分∠ACB ，CO ⊥BD ，∴BO ＝OD ，∵∠ABC ＝90°，∴∠OCD ＝∠DAE ＝∠ABE ，∴△ABE ～△COD ，∴AEOD=BE OC设DE ＝n ，则BO ＝OD ＝3n ，BE ＝7n ，∴13n=7n3，∴n =√77∴OE ＝4n =4√77∴A （4√77，1）∴k =4√77×1=4√77．故答案为：4√77．。
3反比例及相似综合
yxP 1P 2P 3A 3A 2A 1O 反比例及相似训练三1.如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等； ②△AOB ∽△FOE ； ③△DCE ≌△CDF ； ④AC BD =．其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）2．如图，反比例函数y ﹦4x的图象经过直角三角形OAB 的顶点A ，D 为斜边OA 的中点，则过点D 的反比例函数的解析式为 .3. 将x ﹦23 代入反比例函数y ﹦﹣1x 中，所得函数值记为y 1，又将x ﹦y 1+1代入原反比例函数中，所得函数值记为y 2，再将x ﹦y 2+1代入原反比例函数中，所得函数值记为y 3，…，如此继续下去，则y 2016﹦ ．4．如图，A 、B 是反比例函数y ﹦k x（k ＞0）的图象上关于原点O 对称的两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，连接AC 过点D （0，-1.5）．若△ABC 的面积为7，则点B 的坐标为___________．5.如图，()111P ,x y ，()222P ,x y ，……()P ,n n n x y 在函数(40y x x=>的图像上，11P OA ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，……1P A A n n n -∆都是等腰直角三角形，斜边1OA 、12A A 、23A A ，……1A A n n -都在x 轴上⑴求1P 的坐标 ⑵求12310y y y y ++++的值6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =2x +n 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线xy 4=在第一象限内交于点C （1，m ）． （1）求m 和n 的值；（2）过x 轴上的点D （3，0）作平行于y 轴的直线l ，分别与直线AB 和双曲线xy 4=交于点P 、Q ，求△APQ 的面积．7. 如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC =∠ACB =90°，E 为AB 的中点， （1）求证：AC 2=AB •AD ；（2）求证：CE ∥AD ；（3）若AD =4，AB =6，求的值．y xDCA B OF EyxO DC BA8．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：2EF=BD，（2）四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积9．点D为Rt△ABC的斜边AB上一点，点E在AC上，连接DE，CD，且∠ADE=∠BCD，CF⊥CD交DE的延长线于点F，连接AF（1）如图1，若AC=BC，求证：AF⊥AB；（2）如图2，若AC≠BC，当点D在AB上运动时，求证：AF⊥AB．10.如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它们的延长线）所在的直线于G，H点，如图（2）（1）问：始终与△AGC相似的三角形有__________及___________；（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图（2）的情形说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形．。
反比例函数相似综合讲义
反比例知识点一：反比例函数的概念 1、解析式：()0≠=k xky 其他形式：①k xy = ②1-=kx y例1.当m 取什么值时，函数23)2(m x m y --=是反比例函数？例2．若函数22)12(--=mx m y 是反比例函数，且它的图像在第二、四象限，则m 的值是___________2.反比例函数图像上的点的坐标满足：k xy =例1．已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（-2，3）则m 的值为 例2．下列函数中，图像过点M （-2，1）的反比例函数解析式是( )x y A 2.=2.B y x =- x y C 21.= xy D 21.-=知识点二：反比例函数的图像与性质 1、基础知识0>k 时，图像在一、三象限，在每一个象限内，y 随着x 的增大而减小； 0<k 时，图像在二、四象限，在每一个象限内，y 随着x 的增大而增大； 例1.已知反比例函数y a x a =--()226，当x >0时，y 随x 的增大而增大，求函数关系式2、面积问题（1）三角形面积：k S AOB 21=∆ 例1.如图，过反比例函数xy 1=（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定例2.如图，点P 是反比例函数x y 1=的图象上任一点，PA 垂直在x 轴，垂足为A ，设OAP ∆的面积为S ，则S 的值为 （2）矩形面积：k=OBACS 矩形例1．如图，P 是反比例函数(0)ky k x=<图象上的一点，由P 分别向x 轴和y轴引垂线，阴影部分面积为3，则k= 。
知识点三：利用图像比较大小问题 （1）比较点的坐标大小例1．已知点（－1，y 1）、（2，y 2）、（π，y 3）在双曲线xk y 12+-=上，则下列关系式正确的是（ ）（A ）y 1＞y 2＞y 3 （B ）y 1＞y 3＞y 2 （C ）y 2＞y 1＞y 3 （D ）y 3＞y 1＞y 2知识点四：反比例函数与一次函数的综合题 （1） 在同一坐标系中的图像问题 例1． 一次函数y kx k =-与反比例函数ky x=在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）知识点五：反比例函数的应用例1．已知甲、乙两地相s （千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为a （升），那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y （升）与汽车的行驶速度v （千米/时）的函数图象大致是（ ）例1图BACD E例2．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若210x≤≤，则y与x的函数图象是（）相似1、定理：“平行”出相似平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. 几何表达式举例：∵DE∥BC∴ΔADE∽ΔABC2、定理：“AA”出相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.几何表达式举例：∵∠A=∠A又∵∠AED=∠ACB∴ΔADE∽ΔABC3、定理：“SAS”出相似如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.几何表达式举例：∵ACABAEAD又∵∠A=∠A∴ΔADE∽ΔABC4、“双垂”出相似及射影定理：AB CDEACDEBACDEB一、选择题1．矩形面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为 （ ）2．如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ）A ．21B ．31C ．32D ． 413．如图，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )4．如图，在△ABC 中，090=∠BAC ,AD ⊥BC 与D ，DE ⊥AB 与E ，若AD=3，DE=2，则AC=（ ） A ．221B ．215C ． 29D ．155．如图，点M 是△ABC 内一点,过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边,所形成的三个小三角形1∆,2∆,3∆(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49,则△ABC 的面积是( )A ．81B ．121C ．124D ．144 二、填空题6．反比例函数22)12(--=m x m y ，在每个象限内,y 随x 的增大而增大，则m 的值是 ．7．如图，已知双曲线)0k (xky ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若 △OBC 的面积为3，则k ＝____________．8．如图，将△ABC 沿EF 折叠，使点B 落在边AC 上的点B ’处,已知AB=AC=3,BC=4，若以点 B ’, F, C 为顶点的三角形与△ABC 相似,那么BF 的长是 ．9、A ，B 两城相距600千米，甲、乙两车同时从A 城出发驶向B 城，甲车到达B 城后立即返回．如图是它们离A 城的距离y （千米）与行驶时间 x （小时）之间的函数图象．（1）求甲车行驶过程中y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当它们行驶了7小时时，两车相遇，求乙车速度． （1）①当0≤x ≤6时，x y 100=；②当6＜x ≤14时， 设b kx y +=，∵图象过（6，600），（14，0）两点， ∴⎩⎨⎧=+=+.014,6006b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.1050,75b k∴105075+-=x y ． ∴⎩⎨⎧≤<+-≤≤=).146(105075)60(100x x x x y（2） 当7=x 时，5251050775=+⨯-=y ，757525==乙v （千米/小时）．CABEB'Fx/小y /千600146 OFEC DOADBCE4、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作OE ∥AD 交AB 于点E ，若AD=6cm ，BC=12cm ，△AOD 的面积为6cm 2， （1）求△BOC 和△DOC 的面积； （2）求OE 的长. （1） BC AD //Θ∴△AOD ∽△COB2⎪⎭⎫⎝⎛=∴∆∆BC AD S S BOC AOD)(2 246412112,622分cm S cm S S S BC AD cmBC cm AD BOC AOD BOC AOD =∴==∴=∴==∆∆∆∆ΘΘΘ△AOD ∽△COB)(2 1221212分cm S S S BC AD OC OA DOC DOC AOD =∴=∴==∴∆∆∆（2）Θ△AOD ∽△COBADOE BD OB AD BCDO OB //322Θ=∴==∴(1分) ∴△BOE ∽△BDA (1分))(1 4632分cm OE cmAD OD OB AD OE =∴===∴Θ5、如图，已知A(-4，2)、B(n ，-4)是一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象的两个交点.（1）求此反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB 的面积；（3）根据图象写出使一次函数的值小于反比 例函数的值的x 的取值范围. (1)(2)(3)224><<-x x 或选择题：1、 如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC=3，点P 从起点B 出发， 沿BC 、CD 逆时针方向向终点D 匀速运动.设点P 所走过 路程为x ，则线段AP 、AD 与矩形的边所围成的图形面积为y ， 则下列图象中能大致反映y 与x 函数关系的是（ ）)(2 8842)2,4(分得代入把xy m m xm y A -=∴-=∴-==-)(2 )4,2(2848)4,(分得代入把-∴=∴-=--=-B n nxy n B )(2 2212442)4,2(),2,4(分解得得代入把--=∴⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧+=-+-=+=--x y b k bk b k b kx y B A )(2 642202分），（，则轴交于点与设=∴==∴=∴-∆∆∆AOB BOC AOC S S S OC C C x AB2、 如图，一次函数y x b =+与反比例函数ky x =在第一象限的图象交于点B ，且点B 的横坐标为1，过点B 作y 轴的垂线，C 为垂足，若32BCOS ∆=，求一次函数和反比例函数的解析式. 解：∵一次函数y x b =+过点B ，且点B 的横坐标为1， ∴1y b =+，即11B b +（，）BC y ⊥Q 轴，且32BCO S ∆=，1131(1)222OC BC b ∴⨯⨯=⨯⨯+=，解得2b =， ∴()13B ，∴一次函数的解析式为2y x =+. 又∵ky x=过点B ， 3 3.1kk ∴==，∴反比例函数的解析式为3.y x=3、如图，一次函数2y kx =+的图象与反比例函数my x=的图象交于点P ，点P 在第一象限．PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、D ，且S △PBD =4，12OC OA=． （1）求点D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当0x >时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围. 解：（1）在2y kx =+中，令0x =得2y =∴点D 的坐标为（0，2）………2分 （2）∵ AP ∥OD∴Rt △PAC ∽ Rt △DOC ……………………1分 ∵ 12OC OA= ∴13OD OC APAC==y xPBD A O C。
反比例函数的图象和性质的的综合运用-完整版课件
反比例函数的图象永远不会与 $x$ 轴和 $y$ 轴相 交。当 $x = 0$ 时，$y$ 无定义；当 $y = 0$ 时 ，$x$ 也无定义。
02
反比例函数图象变换规律
平移变换对图象影响
平移不改变反比例函数的形状，只改变其位置。 当函数图象沿x轴正方向平移时，函数值减小；沿x轴负方向平移时，函数值增大。
当函数图象沿y轴正方向平移时，函数值增大；沿y轴负方向平移时，函数值减小。
伸缩变换对图象影响
伸缩变换会改变反比 例函数的形状和位置 。
当函数图象沿y轴方 向拉伸时，函数值增 大；压缩时，函数值 减小。
当函数图象沿x轴方 向拉伸时，函数值减 小；压缩时，函数值 增大。
对称性在反比例函数中应用
反比例函数的图象关于原点对称 。
时间、速度、路程类问题建模思路
匀速直线运动问题
根据速度、时间和路程之间的反比例 关系，建立相应的数学模型，解决与 匀速直线运动相关的问题。
变速直线运动问题
通过设定物体的加速度和时间，利用 反比例函数关系建立速度模型，进而 解决与变速直线运动相关的问题。
经济、金融类问题建模思路
1 2 3
投资回报问题
反比例函数的图象和性质的的综合运 用-完整版课件
汇报人：XXX 2024-01-22
目 录
• 反比例函数基本概念与性质 • 反比例函数图象变换规律 • 反比例函数与直线交点问题探讨 • 反比例函数在实际问题中应用举例 • 综合运用：反比例函数与其他知识点结合 • 总结回顾与拓展延伸
01
反比例函数基本概念与性质
比例函数解决问题。同时，也有助于提高学生的数学素养和跨学科综合能力。
06
总结回顾与拓展延伸
中考数学压轴题专题复习—反比例函数的综合含答案解析
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y= （3≤x≤12）的一部分，记作G1，且D（3，m）、E（12，m﹣3），将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2．（1）求双曲线的解析式；（2）设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为________；（3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值．（4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，若MN＜，直接写出a的取值范围．【答案】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得，解得，所以双曲线的解析式为y= ；（2）2（3）解：把（6，n）代入y= 得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2），抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把（6，2）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（6﹣a）2+9=2，解得a=6± ，即a的值为6± ；（4）抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把D（3，4）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（3﹣a）2+9=4，解得a=3﹣或a=3+ ；把E（12，1）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（12﹣a）2+9=1，解得a=12﹣2 或a=12+2；∵G1与G2有两个交点，∴3+ ≤a≤12﹣2 ，设直线DE的解析式为y=px+q，把D（3，4），E（12，1）代入得，解得，∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5，∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，∴M（a，﹣ a+5），N（a，），∵MN＜，∴﹣ a+5﹣＜，整理得a2﹣13a+36＞0，即（a﹣4）（a﹣9）＞0，∴a＜4或a＞9，∴a的取值范围为9＜a≤12﹣2 ．【解析】【解答】解：（2）当y=0时，﹣x2+9=0，解得x1=﹣3，x2=3，则B（﹣3，0），而D（3，4），所以BE= =2 ．故答案为2 ；【分析】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；（2）先解方程﹣x2+9=0得到B（﹣3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；（3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=﹣（x ﹣a）2+9得a的值；（4）分别把D点和E点坐标代入y=﹣（x﹣a）2+9得a的值，则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ，再利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=﹣ x+5，则M（a，﹣ a+5），N（a，），于是利用MN＜得到﹣ a+5﹣＜，然后解此不等式得到a＜4或a＞9，最后确定满足条件的a的取值范围．2．如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求△AOB的面积；（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S n，若S1+S2+…+S n= ，求n的值．【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y= ，解得，，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，解得，，∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）设直线AB的解析式为：y=mx+n，∴∴，∴直线AB的解析式为：y=x+2∴直线AB与y轴的交点（0，2），∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ，当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4，…当k=n时，S n= n（1+n+1）= n2+n，∵S1+S2+…+S n= ，∴ ×（…+n2）+（1+2+3+…n）= ，整理得：，解得：n=6．【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.3．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于二四象限内的A、B 两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n），线段OA=5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOC的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．【答案】（1）解：作AD⊥x轴于D，如图，在Rt△OAD中，∵sin∠AOD= = ，∴AD= OA=4，∴OD= =3，∴A（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入y= 得m=﹣4×3=﹣12，所以反比例函数解析式为y=﹣；把B（6，n）代入y=﹣得6n=﹣12，解得n=﹣2，把A（﹣3，4）、B（6，﹣2）分别代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=﹣x+2（2）解：当y=0时，﹣x+2=0，解得x=3，则C（3，0），所以S△AOC= ×4×3=6（3）解：当x＜﹣3或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】（1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（﹣3，4），再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（6，n）代入反比例函数解析式求出n，然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；（2）先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．4．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为 .（1）点的坐标是________，点的坐标是________（用表示）；（2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式；（3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）解：∵双曲线过点和点，∴，解得，∴点的坐标为，点的坐标为，把点的坐标代入，解得，∴双曲线表达式为（3）解：∵平行四边形与双曲线总有公共点，∴当点在双曲线，得到，当点在双曲线，得到，∴的取值范围 .【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可；（2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式；（3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围．5．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。
反比例函数与几何综合 (通用版)(含答案)
反比例函数与几何综合（通用版）试卷简介:反比例函数与几何综合一、单选题(共8道，每道10分)1.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-3x+3与x轴,y轴分别交于A,B两点,以AB为边在第一象限作正方形ABCD,点D在双曲线(k≠0)上.将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后,点C恰好落在该双曲线上,则a的值是( )A.1B.2C.3D.4答案：B解题思路：如图，作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F．根据题意可得，A（1，0），B（0，3），△CEB≌△BOA≌△AFD．∴BE=OA=DF=1，CE=OB=AF=3，∴OF=OE=4，∴C（3，4），D（4，1），k=1×4=4．∵平移后点C的纵坐标为4，∴平移后点C的横坐标为1，∴a=3-1=2．试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合2.如图,反比例函数(x>0)的图象与矩形OABC的边AB,BC分别交于点E,F,且AE=BE, 则△OEF的面积为( )A.3B.C. D.答案：C解题思路：由反比例函数常用模型知道，若点E是BA中点，则点F是线段BC的中点，，，，∴．试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合3.如图,正方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上,C(2,1),D(1,1).反比例函数的图象与边BC交于点E,与边CD交于点F.已知BE:CE=3:1,则DF:FC等于( )A.4:1B.3:1C.2:1D.1:1答案：D解题思路：方法一：易知点E，则反比例函数为，∴点，，∴DF：FC=1：1．方法二：如图，延长CD交y轴于点G，连接FE，BG．由反比例函数常见模型，可知FE∥BG，∴△CFE∽△CGB，∴，∵，易求∴DF：FC=1：1．试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合4.如图,在函数(x<0)和(x>0)的图象上,分别有A,B两点,若AB∥x轴,交y轴于点C,且OA⊥OB,已知,,则线段AB的长度为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：由，得．∴两反比例函数的解析式为，设B点坐标为（t>0），∵AB∥x轴，∴A点坐标为．由题意，可证得Rt△AOC∽Rt△OBC，∴OC：BC=AC：OC，即，∴，∴，，∴．试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合5.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(8,4).将矩形OABC绕点O逆时针旋转,使点B落在y轴上的点B′处,得到矩形OA′B′C′,OA′与BC相交于点D,则经过点D的反比例函数的解析式为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：只需求出点D的坐标即可．如图，连接OB，∵∴∵OC=AB=4，∴CD=2，即点D（2，4），∴．试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合6.如图,菱形OABC的顶点O是坐标原点,顶点A在x轴的正半轴上,顶点B,C均在第一象限,OA=2,∠AOC=60°.点D在边AB上,将菱形OABC沿直线OD翻折,使点B和点C分别落在这个坐标平面的点B′和C′处,且.若某反比例函数的图象经过点,则这个反比例函数的解析式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：连接CD，由折叠性质可知，，∴点A与点D重合．如图所示：根据题意可求得，点B的坐标为，∴点的坐标为，∴经过点的反比例函数的解析式为．试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合7.如图,直线与双曲线(k>0)在第一象限内的交点为R,与x轴的交点为P,与y轴的交点为Q;作RM⊥x轴于点M,若△OPQ与△PRM的面积之比为4:1,则k的值为( )A. B.C.2D.3答案：B解题思路：由题意可知点，点易知△OPQ与△MPR相似，且相似比为2：1，∴，∴点，则试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合8.函数y=x的图象与函数的图象在第一象限内交于点B,点C是函数在第一象限图象上的一个动点,当△OBC的面积为3时,点C的坐标是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：在x轴上找到点D使得△OBD的面积为3，过点D作OB的平行线，根据平行线间的距离处处相等及同底等高转化面积可知，平行线与反比例函数图象的交点即为要求的点C．如图，CD∥OB，由，点B的纵坐标为2，得OD=3，∴D（3，0）．由CD∥OB可设直线CD的函数解析式为y=x+b，把D点坐标代入可得b=-3，∴直线CD的函数解析式为y=x-3．联立直线CD和反比例函数的解析式可求得C（4,1）．同理可求得，直线的函数解析式为y=x+3，联立直线和反比例函数的解析式可求得．试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合二、填空题(共2道，每道10分)9.如图，矩形ABCD在第一象限，AB在x轴正半轴上，AB=3，BC=1，直线经过点C，交x轴于点E，双曲线经过点D，则k=____．答案：1解题思路：∵点C的纵坐标为1，则点，∴OB=4，∵AB=3，BC=1，∴D（1，1），∴．试题难度：知识点：反比例函数图象上点的坐标特征10.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB．A，B两点的坐标分别是（-1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数（k<0）的图象上，则k=____．答案：-12解题思路：题目当中关键点是点C和点D，我们需要建立等式来求解，题干中给出建等式的信息有三点：①点C，D都在反比例函数的图象上；②四边形ABCD是平行四边形，可以利用对边相等等条件建立等式；③BC=2AB，可以用来建等式．设点C的坐标是，过点C作x轴的垂线，过点D作y轴的垂线，两垂线交于点E，如图所示：易证得△CED≌△BOA，则DE=1，CE=2，∴点D的坐标是．∵点D在反比例函数的图象上，∴（此时利用①②两个条件）；由于DA=BC=2AB=，点D，点A（-1，0），构造直角三角形，利用勾股定理可以得到，整理我们可以得到，将其代入可以得到，∵，∴，∴．试题难度：一颗星知识点：反比例函数与几何综合第 11 页共 11 页。
专题67 反比例函数背景下的全等、相似问题(解析版)
例题精讲考点1反比例函数与全等三角形综合问题【例1】．如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，点C（﹣1，0），点B在反比例函数y＝的图象上，且y轴平分∠BAC，则k的值是________解：如图，过点B作BD⊥x轴于D，在OA上截取OE＝OC，连接CE，∵点C（﹣1，0），∴CO＝1，∴CO＝EO＝1，∴∠CEO＝45°，CE＝，∵△BAC为等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴BC＝AC，∠OCA+∠DCB＝90°，∠CAB＝45°，∵∠OCA+∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠BCD，在△OAC和△DCB中，∴△OAC≌△DCB（AAS），∴AO＝CD，OC＝BD＝1，∵y轴平分∠BAC，∴∠CAO＝22.5°，∵∠CEO＝∠CEA+∠OAC＝45°，∴∠ECA＝∠OAC＝22.5°，∴CE＝AE＝，∴AO＝1+＝CD，∴DO＝，∴点B坐标为（，﹣1），∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣1×＝﹣，变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠BAC＝30°，点A的坐标为（﹣3，0），将△ABC沿直线AC翻折，点B的对应点D 恰好落在反比例函数的图象上，则k的值为（）A．B．﹣2C．4D．﹣4解：如图，过点D作DE⊥y轴于点E．由对称可知CD＝BC，易证△DCE≌△BCO（AAS），∴CE＝CO，DE＝OB，∵∠BAC＝30°，OA＝3∴OC＝OA＝，∠OCB＝30°，∴OB＝OC＝1，∴DE＝OB＝1，CE＝OC＝，OE＝2，|k|＝DE•OE＝1×2＝2，∵反比例函数图象在第二象限，∴k＝﹣2，故选：B．【变1-2】．如图，点A是反比例函数y＝图象上的一动点，连接AO并延长交图象的另一支于点B．在点A的运动过程中，若存在点C（m，n），使得AC⊥BC，AC＝BC，则m，n满足_______(填等量关系）解：如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，∵由直线AB与反比例函数y＝的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO＝BO．又∵AC⊥BC，AC＝BC，∴CO⊥AB，CO＝AB＝OA，∵∠AOE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠COF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，AE＝CF，∵点C（m，n），∴CF＝﹣m，cF＝n，∴OE＝﹣m，AE＝n，∴A（﹣m，n），∵点A是反比例函数y＝图象上，∴﹣mn＝4，即mn＝﹣4，考点2反比例函数与相似三角形综合问题【例2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y＝的图象恰好经过点M，则k的值为（）A．B．C．D．12解：过点M作MH⊥OB于H．∵AD∥OB，∴△ADM∽△BOM，∴＝（）2＝，＝4，∵S△ADM＝9，∴S△BOM∵DB⊥OB，MH⊥OB，∴MH∥DB，∴＝＝＝，∴OH＝OB，＝×S△OBM＝，∴S△MOH∵＝，∴k＝，故选：B．变式训练【变2-1】．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，＝，则k的值为（）A．B．﹣C．﹣D．﹣3解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．则∠BDO＝∠ACO＝90°，则∠BOD+∠OBD＝90°，∵OA⊥OB，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠BOD＝∠AOC，∴△OBD∽△AOC，∴＝（）2＝（）2＝，＝×4＝2，又∵S△AOC＝，∴S△OBD∴k＝﹣．故选：B．【变2-2】．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延＝8，则k等于长线交y轴负半轴于E，双曲线的图象经过点A，若S△BEC （）A．8B．16C．24D．28解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，∴BD＝DC，∠DBC＝∠ACB，又∠DBC＝∠EBO，∴∠EBO＝∠ACB，又∠BOE＝∠CBA＝90°，∴△BOE∽△CBA，∴＝，即BC×OE＝BO×AB．＝8，即BC×OE＝2×8＝16＝BO×AB＝|k|．又∵S△BEC又由于反比例函数图象在第一象限，k＞0．所以k等于16．故选：B．【变2-3】．如图，在等腰△AOB中，AO＝AB，顶点A为反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，点B在x轴的正半轴上，过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝的图象上于点C，连接OC交AB于点D，若△BCD的面积为2，则k的值为（）A．18B．20C．22D．21解：如图，过点A作AF⊥OB交x轴于F，交OC于点E，∵OA＝AB，AF⊥OB，∴OF＝FB＝OB，∵BC⊥OB，∴AF∥BC，∴△ADE∽△BDC，，∴BC＝2EF，设OF＝a，则OB＝2a，∴A（a，），C（2a，），∴AF＝，BC＝，∴AF＝2BC＝4EF，AE＝AF﹣EF＝3EF，∵△ADE∽△BDC，∴，∴＝（）2＝，∵△BCD的面积为2，＝，∴S△ADE∴＝，∵＝，∴EC＝OE，∴＝，∴＝，＝，∴S△AOE∵＝＝，∴＝＝，＝S△AOE＝×＝10，∴S△AOF∴|k|＝10，∵k＞0，∴k＝20．故选：B．1．如图，AB⊥x轴，B为垂足，双曲线y＝（x＞0）与△AOB的两条边OA，AB分别相交于C，D两点，OC＝CA，且△ABC的面积为3，则k等于（）A．4B．2C．3D．1解：连接BC，过点C作CM⊥OB于M，∵OC＝CA，即＝，∴＝＝，又∵△ABC的面积为3，＝，∴S△OBC又∵CM∥AB，∴＝＝，∴＝＝，＝S△OBC＝＝|k|，∴S△OMC∵k＞0，∴k＝1，故选：D．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（）A．3B．2C．D．4解：作AE⊥BC于E，连接OA，∵AB＝AC，∴CE＝BE，∵OC＝OB，∴OC＝BC＝×2CE＝CE，∵AE∥OD，∴△COD∽△CEA，∴＝（）2＝4，∵△BCD的面积等于1，OC＝OB，＝S△BCD＝，∴S△COD＝4×＝1，∴S△CEA∵OC＝CE，＝S△CEA＝，∴S△AOC＝+1＝，∴S△AOE＝k（k＞0），∵S△AOE∴k＝3，故选：A．3．如图所示，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为（）A．B．C．D．解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图，∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，＝×|1|＝，S△BOD＝×|﹣5|＝，∴S△AOC∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠BOD，而∠ACO＝∠BDO，∴△AOC∽△OBD，∴＝（）2＝＝，∴＝，在Rt△AOB中，tan∠BAO＝＝，故选：B．4．如图，函数y＝﹣（x＜0）的图象经过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连接AD．若AD＝3，则△ABO的周长为（）A．12B．6+C．6+2D．6+2解：如图，过点D作DE⊥AO于E，∵点D是BO的中点，∴AD＝BD＝DO＝3，∴BO＝6，∵DE⊥AO，AB⊥AO，∴AB∥DE，∴，∴AB＝2DE，AO＝2EO，＝DE×EO＝，∵S△DEO＝AB×AO＝2，∴S△ABO∵AB2+AO2＝OB2＝36，∴（AB+AO）2＝36+8，∴AB+AO＝2，∴△ABO的周长＝AO+BO+AB＝6+2，故选：D．5．如图，长方形ABCD的顶点A、B均在y轴的正半轴上，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，对角线DB的延长线交x轴于点E，连接AE，已知S△ABE＝1，则k的值是（）A．1B．C．2D．4解：延长DC与x轴交于点F，∵ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC∥OE，∴△ABD∽△OBE，∴＝，即：AD•OB＝AB•OE，＝1＝AB•OE，又∵S△ABE∴AD•OB＝AB•OE＝2＝BC•OB，＝BC•OB＝2＝|k|，即：S矩形OBCF∴k＝2或k＝﹣2（舍去），故选：C．6．如图，直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点P，若OP＝，则k的值为3．解：设点P（m，m+2），∵OP＝，∴＝，解得m1＝1，m2＝﹣3（不合题意舍去），∴点P（1，3），∴3＝，解得k＝3．故答案为：3．7．已知一次函数y＝2x+4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点C，且AB＝2BC，则这个反比例函数的表达式为y＝．解：∵一次函数y＝2x+4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，∴A（﹣2，0），B（0，4），过C作CD⊥x轴于D，∴OB∥CD，∴△ABO∽△ACD，∴＝＝，∴CD＝6，AD＝3，∴OD＝1，∴C（1，6），设反比例函数的解析式为y＝，∴k＝6，∴反比例函数的解析式为y＝．故答案为：y＝．8．在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且点A与点B关于直线y＝x对称，C为AB的中点，若AB＝4，则线段OC的长为2．解：设A（t，），∵点A与点B关于直线y＝x对称，∴B（，t），∵AB＝4，∴（t﹣）2+（﹣t）2＝42，即t﹣＝2或t﹣＝﹣2，解方程t﹣＝﹣2，得t＝﹣﹣2（由于点A在第一象限，所以舍去）或t＝﹣+2，经检验，t＝﹣+2，符合题意，∴A（﹣+2，+2），B（+2，﹣+2），∵C为AB的中点，∴C（2，2），∴OC＝＝2．故答案为2．9．如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为9．解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，∵△OMN是边长为10的等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°设OC＝b，则BC＝，OB＝2b，∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，b），∵∠M＝60°，AB⊥OM，∴AM＝2BM＝20﹣4b，∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣4b）＝4b﹣10，∵∠AND＝60°，∴DN＝＝2b﹣5，AD＝AN＝2b﹣5，∴OD＝ON﹣DN＝15﹣2b，∴A（15﹣2b，2b﹣5），∵A、B两点都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝（15﹣2b）（2b﹣5）＝b•b，解得b＝3或5，当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，∴b＝3，∴k＝b•b＝9，故答案为：9．10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点A在反比例函数y＝图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝．解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，∵C（0，﹣3），∴OC＝3，∵∠AED＝∠COD＝90°，∠ADE＝∠CDO∴△ADE∽△CDO，∴，∴AE＝1；又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，∴BO＝OD，∵∠ABC＝90°，∴∠OCD＝∠DAE＝∠ABE，∴△ABE∽△DCO，∴设DE＝n，则BO＝OD＝3n，BE＝7n，∴，∴n＝∴OE＝4n＝∴A（，1）∴k＝．故答案为：．11．如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y＝的图象在第一象限的分支过AB的中点D交OB于点E，连接EC，若△OEC的面积为12，则k＝12．解：如图，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为F、G，＝S矩形OADF＝2S△OEG＝k，则S△OBC又∵EG∥BC，∴△OEG∽△OBC，∴＝（）2＝2，∴＝，∴＝，∴＝＝，∴＝，∴k＝12．故答案为12．12．如图，在平面直角坐标系中，∠OAB＝60°，∠AOB＝90°，反比例函数y1＝的图象经过点A，反比例函数y2＝﹣的图象经过点B，则m的值为1．解：作BH⊥x轴，垂足为H，AM⊥y轴，垂足为M，∵∠OAB＝60°，∠AOB＝90°，∴△BHO∽△AMO，∴，令OM＝a，则BH＝，代入反比例函数y2＝﹣得：x＝，∴OH＝，得：AM＝，∴，又∵AM•OM＝m，∴m＝1．故答案为1．13．如图，线段OA与函数y＝（x＞0）的图象交于点B，且AB＝2OB，点C也在函数y ＝（x＞0）图象上，连结AC并延长AC交x轴正半轴于点D，且AC＝3CD，连结BC，若△BCD的面积为3，则k的值为．解：如图，分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足分别为M，E，F．∴BE∥CF∥AM，∴OB：OA＝BE：AM＝OE：OM＝1：3，CD：AD＝DF：DM＝CF：AM＝1：4，设点B的坐标为（a，b），∴OE＝a，BE＝b，∴AM＝3BE＝3b，OM＝3OE＝3a，∴CF＝AM＝b，∴C（a，b），∴OF＝a，∴FM＝OM﹣OF＝a，∴DF＝FM＝a，∴OD＝OM﹣DF﹣FM＝a．∵△BCD的面积为3，∴△ABC的面积＝3×△BCD的面积＝9，∴△ABD的面积＝12．∴△BOD的面积＝×△ABD的面积＝6．∴•OD•BE＝a×b＝6．解得k＝ab＝．故答案为：．14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，连接BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC＝3BD，则点B的横坐标为2．解：作BE⊥x轴于E，∴AC∥BE，∴△CDF∽△BDE，∴＝＝，∵BC＝3BD，∴＝＝，∴CF＝2BE，DF＝2DE，设B（，b），∴C（1，﹣2b），∵函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，∴﹣k＝1×（﹣2b）＝﹣2b，∴k＝2b，∴B的横坐标为＝＝2，故答案为：2．15．如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）＝6，则k＝的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC．解：如图，作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，设C （m ，），则OM ＝m ，CM ＝，∵OE ∥CM ，AE ＝CE ，∴＝＝1，∴AO ＝m ，∵DN ∥CM ，CD ＝2BD ，∴＝＝＝，∴DN ＝，∴D 的纵坐标为，∴＝，∴x ＝3m ，即ON ＝3m ，∴MN ＝2m ，∴BN ＝m ，∴AB ＝5m ，∵S △ABC ＝6，∴5m •＝6，∴k ＝．故答案为：．16．如图，A 为反比例函数（其中x ＞0）图象上的一点，在x 轴正半轴上有一点B ，OB ＝4．连接OA ，AB ，且OA ＝AB ＝2．过点B 作BC ⊥OB ，交反比例函数（其中x ＞0）的图象于点C ，连接OC 交AB 于点D ，则的值为．解：过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝2，∴AH＝＝＝6，∴点A的坐标为（2，6）．∵A为反比例函数（其中x＞0）图象上的一点，∴k＝2×6＝12．∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝3．∵AH∥BC，OH＝BH，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝．∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴，故答案为．17．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于坐标原点O，四个顶点分别在双曲线y＝和y＝（k＜0）上，＝，平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，连接OE，OF，则△OEF的面积为．解：作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOM+∠DON＝∠ODN+DON＝90°，∴∠AOM＝∠ODN，∵∠AMO＝∠OND＝90°，∴△AOM∽△ODN，∴＝（）2，∵A点在双曲线y＝，＝，＝×4＝2，＝，∴S△AOM∴＝（）2，＝，∴S△ODN∵D点在双曲线y＝（k＜0）上，∴|k|＝，∴k＝﹣9，∵平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，＝+＝，∴S△OEF故答案为．18．如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k＝8．解：点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），即：OA＝OB，∴∠OAB＝45°＝∠COD，∠ODA＝∠ODA，∴△ODA∽△CDO，∴OD2＝CD•DA，设点E（m，n），则点D（4﹣n，n），点C（m，4﹣m），则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣8n+16，CD＝（m+n﹣4），DA＝n，即2n2﹣8n+16＝（m+n﹣4）×n，解得：mn＝8＝k，故答案为8．19．如图，平行四边形ABCD的顶点C在y轴正半轴上，CD平行于x轴，直线AC交x轴＝2，于点E，BC⊥AC，连接BE，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，已知S△BCE 则k的值是4．解：（解法一）过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD．又∵BC⊥AC，∴DA⊥AC．∵CD平行于x轴，∴∠ACD＝∠CEO．∵CO⊥OE，DA⊥AC，∴∠ECO＝∠D．设点D的坐标为（m，）（m＞0），则CD＝m，OC＝DF＝．在Rt△CAD中，CD＝m，∠CAD＝90°，AD＝m•cos∠D．在Rt△COE中，OC＝，∠COE＝90°，CE＝＝．S△BCE＝CE•BC＝•m•cos∠D＝k＝2，解得：k＝4；（解法二）设点D的坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），则CD＝m，OC＝n，∵CD∥x轴，∴∠ACD＝∠OEC．∵四边形ABCD为平行四边形，BC⊥AC，∴DA⊥AC，AD＝BC，∴∠DAC＝∠COE＝90°，∴△COE∽△DAC，∴＝，即＝，∴mn＝BC•CE．＝BC•CE＝2，∵S△BCE＝4．∴mn＝2S△BCE∵点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝mn＝4．故答案为：4．20．如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB．过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则的值为．解：过点A作AH⊥x轴，垂足为H，AH交OC于点M，如图，∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝×4＝2，A（2，），C（4，），∵AH∥BC，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝﹣＝，∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴＝＝．21．如图，点A在反比例函数第一象限内图象上，点B在反比例函数第三象限内图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥y轴于点D，交于点E，若BO＝CE，则k的值为．解：过点A作AP⊥x轴于点P，过点B作BQ⊥x轴于点Q，∵AC＝BD＝，∴点A的横坐标为，点B的横坐标为﹣，∵点A在反比例函数第一象限内图象上，点B在反比例函数第三象限内图象上，∴点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为﹣3，∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，∴CD＝AP+BQ＝9，OD＝3，AC∥BD，∴∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，∴△ACE≌△BDE（AAS），∴CE＝DE＝CD＝，∵BO＝CE，∴BO＝，在Rt△BOD中，由勾股定理可得BD2+OD2＝OB2，即，解得k＝或k＝﹣（舍去），故答案为：．22．如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为．解：在菱形ABCD中，AB＝BC，BD⊥AC，OB＝OD＝＝2，∠ABC＝2∠OBC，∴点D（0，2），设点C（m，0），∵点N为CD的中点，∴点，∵反比例函数的图像经过点N，∴，解得：，即点，∴，∴，，∴∠OBC＝30°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴，∵AE⊥BC，∴，∴．故答案为：．23．如图，平面坐标系中，AB交矩形ONCM于E、F，若＝（m＞1），且双曲线y＝＝S1，S△OEF＝S2，用含m的代数式表示．也过E、F两点，记S△CEF解：过点F作FG⊥y轴于点G，如图所示：∵CM⊥y轴，FG⊥y轴，∴CM∥FG，MC＝FG，∴△BME∽△BGF，∴＝＝＝，设点C的坐标为（a，b），则E（，b），F（a，），∴S1＝×（a﹣）•（b﹣）＝ab；S2＝a•b﹣•﹣•﹣ab＝ab．∴＝．24．如图，在平面直角坐标系中，点P、Q在函数y＝（x＞0）的图象上，PA、QB分别垂直x轴于点A、B，PC、QD分别垂直y轴于点C、D．设点P的横坐标为m，点Q的纵坐标为n，△PCD的面积为S1，△QAB的面积为S2．（1）当m＝2，n＝3时，求S1、S2的值；（2）当△PCD与△QAB全等时，若m＝3，直接写出n的值．解：（1）∵当m＝2时，y＝＝6，∴P（2，6）．∵PA⊥x轴，PC⊥y轴，∴PC＝OA＝2，PA＝OC＝6．∵当m＝3时，x＝＝4，∴Q（4，3）．∵QB⊥x轴，QD⊥y轴，∴DQ＝OB＝4，QB＝OA＝3，∴CD＝OC﹣OD＝3，AB＝OB﹣OA＝2，∴S1＝CD•CP＝×3×2＝3，S2＝AB•QB＝×2×3＝3．（2）∵m＝3，∴P（3，4），∴PC＝OA＝3，当△PCD≌△QBA时，∵QB＝PC＝3，∴n＝3；当△PCD≌△ABQ时，∵PC＝OA＝3，∴AB＝PC＝3，∴OB＝OA+AB＝3+3＝6．∵点Q在反比例函数y＝的图象上，∴y＝＝2，∴n＝2．综上所述，n＝2或3．25．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；：S△BOP＝1：4，求点P的坐标．（3）若点P在线段AB上，且S△AOP解：（1）∵反比例函数y＝经过A（1，2），∴k2＝1×2＝2，∴反比例函数解析式为y＝，∵B（﹣2，n）在反比例函数y＝的图象上，∴n＝＝﹣1，∴B（﹣2，﹣1），∵直线y＝k1x+b经过A（1，2），B（﹣2，﹣1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）观察图象，k1x+b＞的x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1；（3）设P（x，x+1），：S△BOP＝1：4，∵S△AOP∴AP：PB＝1：4，即PB＝4PA，∴（x+2）2+（x+1+1）2＝16[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，解得x1＝，x2＝2（舍去），∴P点坐标为（，）．26．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y＝（k ＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k＝4；（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）连接OE，如图1，∵Rt△AOE的面积为2，∴k＝2×2＝4．（2）连接AC，如图1，设D（x，5），E（3，），则BD＝3﹣x，BE＝5﹣，＝，∴，又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCA，∴∠BED＝∠BAC，∴DE∥AC．（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，），则CD＝x，BD＝3﹣x，BE＝5﹣，AE＝．作EF⊥OC，垂足为F，如图2，易证△B′CD∽△EFB′，∴，即＝，∴B′F＝，∴OB′＝B′F+OF＝B′F+AE＝+＝，∴CB′＝OC﹣OB′＝5﹣，在Rt△B′CD中，CB′＝5﹣，CD＝x，B′D＝BD＝3﹣x，由勾股定理得，CB′2+CD2＝B′D2，（5﹣）2+x2＝（3﹣x）2，解这个方程得，x1＝1.5（舍去），x2＝0.96，∴满足条件的点D存在，D的坐标为D（0.96，5）．27．如图，点A和点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，分别过点A、B作y较的垂线，垂足分别为点C、D，AC ＝BD，连接AB交y轴于点F．（1）求k；（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2．（3）连接CE、DE，当∠CED＝90°时，求A的坐标．（1）解：∵点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，∴k＝1×2＝2；（2）证明：∵点A的横坐标为a，∴点A的纵坐标为，∵AC＝BD，∴B（﹣a，﹣），∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBF，∠ACF＝∠BDF，∵AC＝BD，∴△ACF≌△BDF（ASA），∴CF＝DF，∴m＝﹣，∴am＝﹣2；（3）解：∵∠CED＝90°，CF＝DF，∴CD＝2EF，∴＝2，由（2）知，＝﹣m，∴﹣4m＝2，解得m＝1或﹣，当m＝1时，a＝﹣2（舍去），当m＝﹣时，a＝，∴A（，）．28．已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE ⊥y轴于点E．（1）如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．（1）①证明：设点A的坐标为（a，），则当点k＝1时，点B的坐标为（﹣a，﹣），∴AE＝OF＝a，∵AE⊥y轴，∴AE∥OF，∴四边形AEFO是平行四边形；②解：过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，∵AE⊥y轴，∴AE∥BD，∴△AEO∽△BDO，∴，∴当k＝4时，，即，＝2S△AOE＝1；∴S△BOE（2）不改变．理由如下：过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，设点A的坐标为（a，），点P的坐标为（b，），则AE＝a，OE＝，PH＝﹣，∵四边形AEGO是平行四边形，∴∠EAO＝∠EGO，AE＝OG，∵∠EGO＝∠PGH，∴∠EAO＝∠PGH，又∵∠PHG＝∠AEO，∴△AEO∽△GHP，∴，∵GH＝OH﹣OG＝﹣b﹣a，∴，∴﹣k＝0，解得，∵a，b异号，k＞0，∴，＝×OE×（﹣b）＝×（﹣b）＝﹣，∴S△POE∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积不会发生变化．。
反比例函数讲义(知识点+典型例题)
变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值 ．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。
（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。
（3）增减性： 当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。
2022年中考数学专题复习：反比例函数与几何综合
2022年中考数学专题复习：反比例函数与几何综合1．如图，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，边CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知CD ＝4．(1)点A 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由； (2)若反比例函数的图象与DE 交于点Q ，求点Q 的横坐标．2．如图1，点A 、B 是双曲线y =kx （k ＞0）上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段AC 、AD 、BE 、BF ，AC 和BF 交于点G ，得到正方形OCGF （阴影部分），且S 阴影=1，△AGB 的面积为2．(1)求双曲线的解析式；(2)在双曲线上移动点A 和点B ，上述作图不变，得到矩形OCGF （阴影部分），点A 、B在运动过程中始终保持S 阴影=1不变（如图2），则△AGB 的面积是否会改变？说明理由．3．已知点A 为函数4(0)y x x=>图象上任意一点，连接OA 并延长至点B ，使AB OA =，过点B 作//BC x 轴交函数图象于点C ，连接OC ．(1)如图1，若点A 的坐标为(4,)n ，求点C 的坐标；(2)如图2，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，求四边形OCDA 的面积．4．如图，直线1:l y k x b =+与双曲线()20k y x x=>相交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，若点A ，B 的横坐标分别是1和2，(1)请直接写出21k k x b x+>的解集； (2)当AOB 的面积为3时，求2k 的值．5．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（0，6）是矩形OACB的两个顶点，双曲线y＝kx（k≠0，x＞0）经过AC的中点D，点E是矩形OACB与双曲线y＝kx的另一个交点．(1)点D的坐标为______，点E的坐标为______；(2)动点P在第一象限内，且满足S△PBO＝56S△ODE．①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；①若点Q是平面内一点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数ykx=（x＞0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D，且AD＝3．(1)若点D的坐标为（4，n）．①求反比例函数ykx=的表达式；①求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；(2)在（1）的条件下，设点E是x轴上的点，使△CDE为以CD为直角边的直角三角形，求E点的坐标．7．如图1，点(08)(2)A B a ，、，在直线2y x b =-+上，反比例函数(ky x x=＞0）的图象经过点B ．(1)求反比例函数解析式；(2)将线段AB 向右平移m 个单位长度（m ＞0），得到对应线段CD ，连接AC 、BD ． ①如图2，当m ＝3时，过D 作DF ①x 轴于点F ，交反比例函数图象于点E ，求E 点坐标；①在线段AB 运动过程中，连接BC ，若①BCD 是以BC 为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m 的值．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（8，4），OA 、OC 分别落在x 轴和y 轴上，OB 是矩形的对角线．将①OAB 绕点O 逆时针旋转，使点B 落在y 轴上，得到①ODE ，OD 与CB 相交于点F ，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点F ，交AB 于点G ．(1)求k 的值．(2)连接FG ，求四边形OAGF 的面积．(3)图中是否存在与①BFG相似的三角形？若存在，请找一个，并进行证明；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为矩形，若点AD①AB＝3①4，A（－6，0）、D（－9，4），点B、C在第二象限内．(1)请直接写出：点B的坐标________；(2)将矩形ABCD以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式：(3)在（2）的情况下，是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、C′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin①AOB＝45，反比例函数y＝kx（x>0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．(1)若OA＝10，求反比例函数的解析式；(2)若点F为BC的中点，且△AOF的面积S＝12，求OA的长和点C的坐标．11．如图，在正方形OABC 中，点O 为坐标原点，点()3,0C -，点A 在y 轴正半轴上，点E ，F 分别在BC ，CO 上，2CE CF ==，一次函数()0y kx b k =+≠的图象过点E 和F ，交y 轴于点G ，过点E 的反比例函数()0my m x=≠的图象交AB 于点D ．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)在线段EF 上是否存在点P ，使ADP APG S S =△△，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图是反比例函数y 2x=与反比例函数y 4x =在第一象限中的图象，点P 是y 4x =图象上一动点，P A ①x 轴于点A ，交函数y 2x =图象于点C ，PB ①y 轴于点B ，交函数y 2x=图象于点D ，点D 的横坐标为a ．(1)求四边形ODPC 的面积；(2)连接DC 并延长交x 轴于点E ，连接DA 、PE ，求证：四边形DAEP 是平行四边形．13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OC在x轴的正半轴上，边OA在y轴的正半轴上，OA＝3，AB＝4，反比例函数kyx（k＞0）的图象与矩形两边AB，BC分别交于点D，点E，且BD＝2AD．(1)求点D的坐标和k的值；(2)连接OD，OE，DE，求①DOE的面积；(3)若点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使①APE＝90°？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图1，点P是反比例函数y＝kx（k＞0）在第一象限的点，P A①y轴于点A，PB①x轴于点B，反比例函数y＝6x的图象分别交线段AP、BP于C、D，连接CD，点G是线段CD上一点．(1)若点P（6，3），求①PCD的面积；(2)在（1）的条件下，当PG平分①CPD时，求点G的坐标；(3)如图2，若点G是OP与CD的交点，点M是线段OP上的点，连接MC、MD．当①CMD＝90°时，求证：MG＝12CD．15．在矩形AOBC 中，分别以,OB OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．A 点坐标为(0,3)，B 点坐标为(4,0)，F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)ky x x=>的图象与AC 边交于点E ，连接,OE OF ，作直线EF ．(1)若2CF =，求反比例函数解新式； (2)在（1）的条件下求出EOF △的面积； (3)在点F 的运动过程中，试说明ECFC是定值．16．如图1，一次函数y ＝kx ﹣3（k ≠0）的图象与y 轴交于点B ，与反比例函数y ＝mx（x＞0）的图象交于点A （8，1）．(1)求出一次函数与反比例函数的解析式；(2)点C 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），过点C 作y 轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D ，连接OC ，OD ，AD ，当CD 等于6时，求点C 的坐标和△ACD 的面积； (3)在（2）的前提下，将△OCD 沿射线BA 方向平移一定的距离后，得到△O 'CD '，若点O 的对应点O '恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O '，D '的坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为()4,2，OA ，OC 分别落在x 轴和y 轴上，OB 是矩形的对角线，将OAB 绕点O 逆时针旋转，使点B 落在y 轴上，得到ODE ，OD 与CB 相交于点F ，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点F ，交AB 于点G ．(1)求出k 的值．(2)在x 轴上是否存在一点M ，使MF MG -的值最大？若存在，求出点M ；若不存在，说明理由．(3)在线段OA 上存在这样的点P ，使得PFG △是等腰三角形，请直接写出OP 的长．18．如图，菱形OABC 的点B 在y 轴上，点C 坐标为（4，3），双曲线ky x=的图象经过点A ．(1)菱形OABC 的边长为 ； (2)求双曲线的函数关系式；(3)①点B 关于点O 的对称点为D 点，过D 作直线l 垂直于x 轴，点P 是直线l 上一个动点，点E 在双曲线上，当P 、E 、A 、B 四点构成平行四边形时，求点E 的坐标； ①将点P 绕点A 逆时针旋转90°得点Q ，当点Q 落在双曲线上时，求点Q 的坐标．19．已知正方形OABC 的面积为9，点O 是坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数(),ky x 0k 0x=>>的图象上，点(),P m n 是函数(),k y x 0k 0x=>>的图象上任意一点．过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ．若矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分（阴影）面积为S ．（提示：考虑点P 在点B 的左侧或右侧两种情况）（1）求B 点的坐标和k 的值； （2）写出S 关于m 的函数关系式； （3）当3S =时，求点P 的坐标．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴的正半轴上，顶点C ，D 在第一象限内，正比例函数y 1＝3x 的图象经过点D ，反比例函数2(0)ky x x=>的图象经过点D ，且与边BC 交于点E ，连接OE ，已知AB ＝3． （1）点D 的坐标是 ； （2）求tan ①EOB 的值；（3）观察图象，请直接写出满足y 2＞3的x 的取值范围； （4）连接DE ，在x 轴上取一点P ，使98DPES =，过点P 作PQ 垂直x 轴，交双曲线于点Q ，请直接写出线段PQ 的长．。
(完整版)反比例函数知识点总结典型例题大全
考点5．面积计算
（1）如图，在函数
的图象上有三个点 A、B、C，过这三个点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点
（2，m），则
所作的两条垂线段与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 、 、 ，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
g are （3）已知反比例函数 in 值．
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
（6）已知函数
和
（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．
A． B． C． D．
考点3．函数的增减性
bein A．
B．
C．
D．
their 考点2．图象和性质
a 当
时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；
at 当
时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大．
thing （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（ ， ）在双曲线的另一支
分支分别讨论，不能一概而论．
x 1 时， y 的值． 2
5.
如图， P1 是反在第一象限图像上的一点，点
A1 的坐标为（2，0）．
（1）当点 P1 的横坐标逐渐增大时， △P1OA1 的面积将如何变化？
（2）若 △P1OA1 与 △P2 A1A2 均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及 A2 点的坐标．
in （1）已知函数
是反比例函数，
gs ①若它的图象在第二、四象限内，那么 k=___________．
thin ②若 y 随 x 的增大而减小，那么 k=___________．
All （2）已知一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数
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中考数学专题复习：反比例函数与相似的综合题
【考点分析】
近几年的中考数学题中，对于反比例函数与几何图形的结合的考查力度明显加大，主要考查：①平面直角坐标系中，如何把线段转化为坐标，坐标转化为含有字母的代数式, 进而进行代数计算；②反比例函数与相似图形的综合题；③反比例函数与几何图形的平移。
【专题攻略】
在平面直角坐标系中，反比例函数与几何图形的综合题，最基本的解决方法是：由点的坐标求相关线段的长度，根据相关线段的长度表示点的坐标。
这类题在解答时要求我
们要熟练运用数学基础知识，还要能灵活运用数形结合、转化、待定系数、分类讨论等基本数学思想和方法。
【课前训练】
k
1、如图，面积为3的矩形OABC勺一个顶点B在反比例函数y 的图象上，另三点在坐
x
标轴上，则k= .
交于点0若厶OBA的面积为6，则k =
k
4、如图，已知双曲线y -(k>0)经过直角三角形OAB斜边
X
交于点0若厶OBC勺面积为3，贝y k = ______________
3、如图，已知双曲线
第
3、
4题
X轴于B点，若S A AOB = 3,则k =
k
y (k>0)经过直角三角形OAB斜边
x
OB的中点D,与直角边AB相
OB的中点D,与直角边AB相
【典型例题】(2010年广州中考第23题)
已知反比例函数y= m__ (m为常数)的图象经过点A (- 1, 6).
x
(1)求m的值；
(2)如图9，过点
与x轴交于点C,
（2014南沙区一模）如图，已知直线y 4 x与反比例函数y m m>0, x > 0的图象
x
交于A、B两点，与x轴、y轴分别相交于C、D两点.
（1）若点A的横坐标为1,求m的值并利用函数图象求关于x的不等式4 x< m的解集;
x
（2）是否存在以AB为直径的圆经过点P（1，0）？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
1、（ 2013?宁波）如图，等腰直角三角形 / BCA=90 ° AC=BC=2 典，反比例函数
与AB , BC 交于点D , E .连结。
〔，当厶
BDE
BCA 时,
点E 的坐标为 ________________
k
2、（2013绵阳）如图，已知矩形 OABC 中，OA = 2, AB = 4,双曲线y — （k >0）与矩
x
形两边AB 、BC 分别交于E 、F 。
（1） 若E 是AB 的中点，求F 点的坐标；
（2） 若将△ BEF 沿直线EF 对折，B 点落在x 轴上的D 点，作EG 丄OC ,垂足为G , 证明△ EGDDCF ，并求k 的值。
I
解：（1） OABC 为矩形,AB=OC=4点E
是 AB 的中点，AE=2 OA=2，
k
点E （2, 2）在双曲线y=- 上,
x k=2 X 2=4，点F 在直线BC 及双 4
曲线y=—，设点F 的坐标为（4,
X 所以点F 的坐标为（4, 1）.
⑵ ①证明：△ DEF 是由厶BEF 沿EF 对折得到的，
/ EDF W EBF=9（O ，点 D 在直线 OC 上，
/ GDE # CDF=180- / EDF=180-90o=90o ,
/ DGE M FCD=9O ,Z GDE # GED=90,Z CDF 2 GED
f ) ,f= 4 =1,
A 0
ABC 顶点A 在x y=
（x > 0）的图象
△ EGD^ DCF；
k ②设点E的坐标为（a ,2 ），点F的坐标为（4,b），点E、F在双曲线y=- 上,
x k=2a=4b,a=2b,所以有点E (2b,2) , AE=2b,AB=4, ED=EB=4-2b,
EG=OA=CB=2, CF=b, DF=BF=CB-CF=2-b,
DC= D匡CF2 = (2-b) 2-b2 =2 1-b ,
有点 F (4, 3), k = 4 X 4 = 3.
1
3、如图，直线y —x 2分别交轴于A C,点P是该直线与反比例函数在第一象限内的
2
一个交点，PB丄x轴于B,且s ABP 9 .
令x 0,则y 2;
令y 0,则x 4
A ( 4,0),
B (0,2)
OA 4, OC 2
S
AOC
4
△ AOC ABP
S
AOC
OC 2
ABP PB
OA
AB
△EG SA DCFDC= EG 2^/T b
ED,2-b =
2 3 ------- b= _ 4-
2b ,b 4 ,
(1)求证：△ AOC ABP ;
(2)求点P的坐标；
(3)设点R与点P在同一个反比例函数的图象上T,
当厶BRT-与^ AOC相似时，求点R的坐标•
,且点R在直线PB的右侧，作RT丄x轴于
解(1) OC x 轴,PB x 轴
OC // PB
△ AOC ABP
S
AOC
S
ABP
OC 2 OA 2
PB 3,AB 3
PB 3, AB 6
OB 2
P(2,3)
p(2,3)
6
⑶ y —
x
设点R坐标为(n,-)
n
①当△ BRT ACO 时,
OA OC
BT RT
n2 2n 12 0
n, 1 .13, n21
,13(舍去)
②当△ BRTCAO 时,
OA OC
RT BT
刚42
即一
6n 2
n
n2 2n 3 0
n1 3,n21（舍去）
综合①、②所述，n 1 J3或3。