通信网技术基础-ch通信网理论分析

这四个统计量可以归纳为与λ、μ的关系：
E(n)
(系统中平均顾客数)
E(T) 1
(顾客平均逗留时间)
E(q)
(平均等待顾客数)
E(w) (平均等待时间)
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M/M/1/N(推广到存储容量为N的有限队
列排队系统)
N
N对应的状态概率的归一性条件为： Pn 1 n0
排队论基础 电路交换网分析
呼损系统 溢呼系统
分组交换网分析
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呼损系统
传统的电话交换网是电路交换网。一个由若干 个交换节点和交换节点间的中继链路组成的电 话交换网,如果在交换节点的全部出线都被占用 的情况下仍有新的呼叫发生，交换节点向用户 送忙音，表示将这个呼叫从交换系统中清除， 这种现象称为呼损。
n 1
i
Pn P0
i0 n
i
i1
式中，P0为概率常数，可以利用概率归一性条件来求 解。
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i
i i (im) i m(im)
利用上述条件可以得到平衡概率：
n
Pn
P0 P0
n!
n
m!mnm
(nm) (nm)
P 0 m k 0 1 k 1 !k m 1 !1 - 1
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大群化效应
以PB ≤ 0.1为例，传10爱尔兰业务量，要由10个m=3 系统分散处理，共需30条线，系统效率η=0.31：
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也可用一个M/M/13即拒系统传，同样传10爱尔 兰，保证PB≤0.1，比方案一省17条线，η提高一 倍多（0.31→0.705）。
可见集中器，复用器的必要性！
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M/M/m(m)模型在实际系统的意义
顾客以泊松过程到达，并总能找到一条中继线，直 到全部中继线占完。这时，顾客就不允许再进入了。 这一模型常用于电路交换网的分析，由于系统不允 许排队（无存储），所以被称为呼损系统，其主要 的性能参数是呼损概率。
p (k ) (T )ke T/k !(k 0 ,1 ,2 ......)
其平均值E(k)和 方差：
E(k)kp(k)T k0
k 2E (k2)E 2(k)
E(k)T
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泊松过程和负指数分布的关系
如果到达是个泊松过程，则到达的时间间隔服从负 指数分布，反之亦然。
证明：设是一个随即变量，代表任一时间起点与第一次到
E(n) 0 nn P1
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M/M/1排队的平均队长
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Little公式
Little公式是排队论中的一个重要公式，它说明了平 均到达率λ、平均时延E(T)和平均队长E(n)三者之间 的关系，这一关系式对所有排队系统，包括具有优 先级排队规则的系统都是适用的。
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式中，B(N,A)表示流入话务量为A，中继线数 为N时的呼损概率，式中用A＝λ/μ，表示系统 的业务强度，对于电话网就是系统承受的电话 负荷（话务量）
例如，电话网的平均来话率λ＝300次/时，每次 通话平均时间2分钟（即1/μ＝2分钟），则此电 话网的流入话务量A＝10 Erl。
话务量单位用Erl(爱尔兰，Erlang),是为了纪念 丹麦话务理论家A.K.Erlang而命名的。话务量 单位也可以用每小时百秒呼（ccs）来表示。 Erl与ccs的关系是：Erl=36ccs。
i i 1
（证明略）
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排队论基础
排队模型 泊松过程 M/M/1排队 M/M/m排队
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M/M/1排队
泊松
到达
μ
λ 无限大 负 指 缓存器 数 服 务
系统服务强度ρ＝λ/μ
利用此模型来分析该系统的相关统计特性：系
统中的平均顾客数E(n)、平均排队长度E(q)、
M/G/1 排队
表示泊松到达、服务时间服从一般分布的单服务员排队系统。
M/D/1 排队
表示泊松到达、服务时间为常数的单服务员排队系统。
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排队论基础
排队模型 泊松过程
定义 性质
M/M/1排队 M/M/m排队
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泊松过程定义
用下面三个条件来对泊松过程进行定义。
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模型及状态转移图
μ1 λ
┇
μm
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系统平衡方程
0P 01P 1
(1 1 )P 10 P 02 P 2
(n n ) P n n 1 P n 1 n 1 P n 1
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解平衡方程，可以求得系统的平衡概率：
l0
当n=m时出现阻塞，因此阻塞概率PB 和系统效率（每线利用率）分别为：
P B mm/m !(/)
l /l!
l 0
(1P B)
m
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B
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由上表（M/M/m(m)）可知，若要求PB ≤ 0.1， 则:
当a=1爱尔兰时， 须m≥3, η=0.31 当a=10爱尔兰时， 须m≥13, η=0.705 当a=100爱尔兰时，须m≥96, η=0.94 业务量↑―线路m↑―效率η↑
平稳性:在区间[a，a+△t] 内有k个顾客到来的概率与
起点a无关，只与时间区间的长度有关。
无后效性：两顾客到达时刻相互独立。 稀疏性：在足够小的时间间隔△t内，到达两个或两
个以上的顾客的概率为0。
Δt t
a
a+Δt
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利用上述三点，我们可以求得在T间隔内有k个顾客 到达的概率p(k)：
顾客在系统中的平均逗留时间E(T)和平均等待
时间E(w)等。
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假设，当系统中有n 个顾客时，称此系统处于 状态n，与此对应出现该状态的概率为Pn。由 此，我们可以用下图表示系统的状态转移关系 。
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在系统状态图中，有顾客到达时，状态以λ速 率向右转移一步；有顾客完成服务时状态以速 率μ向左移动一步。在系统处于统计平衡状态 下，可列出系统统计平衡方程：
服务机构
服务设施， 服务渠道与服务员 服务员数量 服务时间分布
确定型 随机型（如：负指数分布）
♂
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常见排队模型
M/M/1 排队
表示泊松到达、服务时间服从负指数分布、单服务员的排队 系统。
M/M/m 排队
表示泊松到达、服务时间服从负指数服务分布、m个服务员的 排队系统。
2
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例题1
某电话局忙时平均呼叫率为1000次，则平均来 话时间间隔为多少？平均来话间隔小于等于10 秒的概率是多少？
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Fra Baidu bibliotek
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泊松过程的附加特性
假定有m个独立的泊松流，它们的到达率分 别为λ1 λ2 ……λn，则复合流本身也是泊松流 ，其速率参数
m
E (n )E (T )
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应用Little公式，M／M／1排队的平均时延E(T)可以 表示为：
E(T)E (n)1 1 /1
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平均等待时间E(w)和平均等待 顾客数量E(q)
E (T )E (w ) 1/
E ( q ) E ( w ) / E ( n )
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呼损清除
对于交换节点来讲，如果呼叫到达是泊松过程 ，中继线群是全利用度线群。当系统发生呼叫 阻塞时，该呼叫会被立即清除。则该系统达到 统计平衡状态时，呼叫损失概率可以按爱尔兰B 公式进行计算：
AN / N!
B(N, A) N An n0 n!
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依此类推，
Pn nP0
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在M/M/1排队系统的存储容量为无穷大时，可以利用
概率归一性条件:
Pn 1
0
求得：
P0 1(队列空的 ) 概率
于是，可以得到无限存储容量M／M／1排队的平衡状 态概率：
P n (1 )n( 1 )
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根据所得到的状态概率Pn，可以求得不同的排队统计 特性。根据随机变量平均值的定义，排队系统中的平 均顾客数(包括正在被服务的一个)可以表示为：
我们可以求得：
P0
(1) 1N1
所以有限队列M／M／1排队的状态概率为：Pn
(1) 1N1
排队系统全满的概率，即系统阻塞概率为：
PN
(1)N 1N1
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例题2
有一个集中器被模型化为一个M/M/1排队，输 出线的容量为1200bps，平均报文长度为100bit 。它有N个输入端。每个平均输入率为0.1个报 文/秒。计算：
一般用λ表示单位时间顾客平均到达率，1/λ为 平均间隔时间。
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基本排队模型－排队规则
不拒绝方式（等待制系统）
先到先服务（FIFO） 后到先服务（LIFO） 优先制服务
即时拒绝方式（损失制系统） 延时拒绝方式（混合制系统）
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基本排队模型－服务机构
达之间的时间，取任一值t，则
时间起点
t
第一次到达
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P (t)pr(在 o0 b ,t） （中 0 到 )P (0 ) 达 e t 数 P (t) 1 e t
这正是随机变量的概率分布函数：
F (t) 1 et (负指数分布)
概率密度函数f (t) et
E( ) 0f ( )d 1/
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总结
网络的性能分析在网络管理中具有重要作用。 排队论是通信网性能分析中的常用工具。 在通信网络中，最常用的排队模型是M/M/m，
其中呼叫（分组）到达和离去过程都服从泊松 分布。 电路交换系统的基本设计模型是M/M/m(m)。
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提纲
•排队规则 (顾客按照一定规则排队等待服务);
•服务机构 (服务机构的设置,服务员的数量,服务的 方式,服务时间分布等)
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基本排队模型 － 输入过程
主要考察的是顾客到达服务系统的规律。 可以用一定时间内顾客数或相继到达的间隔 时间描述，一般分为确定型和随机型。 随机型的输入是指在时间t内顾客到达数n(t) 服从某一概率分布，如泊松分布。
提纲
排队论基础 电路交换网分析 分组交换网分析
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排队论基础
排队模型 泊松过程 M/M/1排队 M/M/m排队
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基本排队模型
输入 过程
顾客
排队系统
队列
服务机构
服务完离开
排队系统的三个基本组成部分.
•输入过程 (顾客按照怎样的规律到达);
如果要求报文在集中器中平均延时小于1秒，最多 可容纳多少个输入端？
假设有60个输入端，系统的业务强度是多少？缓冲 器中存储的报文数有多少？
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排队论基础
排队模型 泊松过程 M/M/1排队 M/M/m排队
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M/M/m排队
M/M/m排队系统是一个多服务员指数排队系统 ，属于到达率和离开率依赖于系统状态的排队 系统。例如没有“顾客等候室”的电路交换系统 属于这一种。
λP0 =μP1 (λ+μ)P1 =λP0 +μP2
┇
(λ+μ)Pn =λPn-1+μPn+1
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在系统稳态平衡条件下，脱离n状态与进入n状态 保持平衡，所有等式两边相等。根据此平衡方程 ，我们可以得到：
P1
P0
P0
P 2 ( 1 ) P 1 P 0 2 P 0
m 1
( /)
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M/M/m特例1
比较M/M/1和M/M/2系统性能，说明“使传输能 力加倍”与“增加第二条与原来能力相同的中继 线”，谁更有效？
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M/M/m特例2
M/M/
相当于在分组交换或电路交换两种情况下，传输 线或中继线的数量总是满足需要传输的分组或呼 叫数，因而永远不会有阻塞的可能性。
证明： n,
n n Pn P0 n / n!
P0 e
Pn n e / n! （也是泊松分布）
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M/M/m特例3
有限服务机但无存储器的情况M/M/m(m)
在这个系统中， i , nn
m
概率归一化条件为， Pn 1
n0
于是
Pn
n / n!
m
l / l!