通信网性能分析基础参考答案
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第二章习题答案
2-2 验证M/M/1的状态变化为一个生灭过程。
解:M/M/1排队系统在有顾客到达时,在时间(),t t t +∆内从状态k 转移到k+1(k>=0)的概率为()t o t λ∆+∆,λ为状态k 的出生率;
当有顾客服务完毕离去时,在时间(),t t t +∆内从状态k 转移到k-1(k>=1)的概率为
()t o t μ∆+∆,μ为状态k 的死亡率;
在时间(),t t t +∆内系统发生跳转的概率为()o t ∆;
在时间(),t t t +∆内系统停留在状态k 的概率为()()1t o t λμ-+∆+∆; 故M/M/1排队系统的状态变化为生灭过程。
2-3 对于一个概率分布{}k p ,令()∑∞
==+++=02
210...k k k x p x p x p p X g 称为分布
{}k p 的母函数。 利用母函数求M/M/1队长的均值和方差。
解:对于M/M/1
)1(ρρ-=k k p 0≥k
()
'12
2''212
1
1
1()(1)(1)...(1)1[]()/1[][]()/[]([])1z k k z k k g z z z
E k g z Var k k p kp g z E k E k ρρρρρρ
ρ
ρρ=∞
∞===∴=-+-+=--∴==
-=-=+-=
-∑∑
2-4 两个随机变量X,Y 取非负整数值,并且相互独立,令Z=X+Y ,证明:Z 的母函数为X,Y 母函数之积。根据这个性质重新证明性质2-1。
证:设Z(!!!此处应为 X ???)的分布为:...,,210p p p ,Y 的分布为:...,,210q q q 由于
{}{}{}{}{}∑∑∑=-===-===-====+==k
r r
k r k r k r q p r k Y p r X p r k Y r X p k Y X p k Z p 0
,
()()()
()...
(01100110022102210)
0++++++++=++++++-k k k k x q p q p q p x q p q p q p x q x q q x p x p p
所以 g(Z)=g(X)g(Y)
对于两个独立的Poisson 流,取任意一个固定的间隔T ,根据Poisson 过程性质,到达k 个呼叫的概率分别为:
T
k i k i e k T T p λλ-=!
)()( i=1,2 这两个分布独立
分布列的母函数分别为:
)1(0
0!)()(--∞
=-∞
====∑∑x T T Tx k T
k k i k
k k i i i i e e e e x k T x T p λλλλλ 他们母函数之积为合并流分布列的母函数,而母函数之积)1()()
1()1(2121-+--==x T x T x T e e
e λλλλ
所以 合并流为参数21λλ+的 Poisson 过程。
2-7 求k+1阶爱尔兰(Erlang )分布1+k E 的概率密度。
可以根据归纳法验证,1+k E 的概率密度为x
k e k x μμμ-!
)( x>=0 证明:
利用两个随机变量的和的概率密度表达式:求Z X Y =+的分布,当X 和Y 相互独立时,且边缘密度函数分别为()X f x 和()Y f y ,则()()()Z X Y f z f x f z x dx ∞
-∞
=
-⎰
。
1k +阶Erlang 分布是指1k +个彼此独立的参数为μ的负指数分布的和。
用归纳法。
当1k =时,需证2阶Erlang 分布的概率密度为2x
x e
μμ-
()()
221t
t
t x x
t t f t e
e
dx e dx t e μμμμμμμμ------∞
-∞
===⎰⎰
令n k =时成立,即()()!
k t
k t f t e k μμμ-= 则当1n k =+时,
()()()()
()121
()!
()
!1!
k t
t
t x x k k k k t t k t
x f t f x f t x dx e e dx
k t e x dx e k k μμμμμμμμμμ---+-∞-∞++---∞=-===+⎰⎰⎰
第三章习题答案
3-1 证明:)
,1()
,1(),(a s aB s a s aB a s B -+-=
证:11
0111000
!(1,)(1)!(1)!
!(,)(1,)!!!(1)!(1)!s s s k s k s s s s s k k k k k k a a a a a k aB s a s s s B s a a a s aB s a a a a s a s k k k s s --=---===---====+-++--∑∑∑∑
3-2 证明:(1)a s a s B a s a s sB a s C >--=
,
)]
,(1[)
,(),(
(2)a s a B a s aB a s a s C >=--+=-,且1),0()],1()[(11
),(1
(1)证:
),(/11!!)/1(!!
!!!!!!!
)],(1[),(01
1
00100
a s C s
a p s a k a
s a s a s a
k a s a k a s a k a k a a s k a s a s a s B a s a s sB s s k k s
s
s k k s
k k s
s k k s k k s
k k
s
=-=-+=
-=-=--∑∑∑∑∑∑
-=-===-==
(2)证:
),(/11!!
)/1(!
!
)!
1(!
)
(11
)]
,1()[(11
01
11
01
a s C s
a p s a k a
s a s a s a s a a
k a a s a s aB a s s s k k
s
s
s s k k =-=-+=--+=--+∑∑-=--=-
3-3 在例3.3中,如果呼叫量分别增加10%,15%,20%,请计算呼损增加的幅度。