存在性与恒成立

专题训练 恒成立存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤。

6、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则()f x 在[]b a x ,1∈上的值域M 是()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的子集。

即：M ⊆N 。

7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 8、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；题型一、常见方法1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；【分析：】1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决． 2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可．简解：（1）由12012232++<⇒>-+-x xx a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x xx x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ． 2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x x ab +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 方法3：变更主元，0101)(≤-++⋅=b x a xa ϕ，]2,21[∈a简解：方法1:对b x x a b x x g x h ++=++=)()(求导，22))((1)(xa x a x x a x h +-=-='， 由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者．⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴ab ab b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ．3、已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为解析：对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥等价于m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(在[]2,1上的最小值m -41不大于2)(x x f =在[]2,0上的最小值0，既041≤-m ，∴41≥m4. 已知()2ln b f x ax x x =-+在1x =与12x =处都取得极值. 函数2()=2+g x x mx m -，若对任意的11[,2]2x ∈，总存在21[,2]2x ∈，使得、122()()ln g x f x x ≥-，求实数m 的取值范围。

解析：在与处都取得极值∴，， ∴ 解得：当时，，所以函数在与处都取得极值. ∴ 又 函数在上递减，∴21()2ln ,()2b b f x ax x f x a x x x '=-+∴=++()2ln b f x ax x x =-+1x =12x =(1)0f '=1()02f '=2102420a b a b ++=⎧⎨++=⎩13a b ==-13a b ==-2212(1)()2112()=333x x f x x x x ---'=--+()f x 1x =12x =13a b ==-21=()ln +33y f x x x x -=-[2]21，min 7[()ln ]=(2)=6f x x f --又 函数图象的对称轴是（1）当时：，依题意有 成立， ∴ （2）当时：， ∴，即， 解得：又∵ ，∴ （3）当时：，∴ ， ， 又 ，∴ 综上： 所以，实数的取值范围为 题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。

解：不等式即()21210x p x x -+-+>,设()()2121f p x p x x =-+-+，则()f p 在[-2,2]上恒大于0，故有：()()222043031112010f x x x x x x f x ->⎧⎧-+>><⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨><->->⎪⎩⎪⎩⎩或或1x ⇒<-或3x >2、已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数，(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若[]2()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立，求t 的取值范围；(Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：λ及t ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。

显然可将λ视作自变量，则上述问题即可转化为在(],1-∞-内关于λ的一次函数大于等于0恒成立的问题。

(Ⅱ)略解：由(Ⅰ)知：()f x x =，()sin g x x x λ∴=+，()g x 在[]11-，上单调递减，()cos 0g x x λ'∴=+≤cos x λ∴≤-在[]11-，上恒成立，1λ∴≤-，[]max ()(1)sin1g x g λ=-=--，∴只需2sin11t t λλ--≤++，2(1)sin110t t λ∴++++≥（其中1λ≤-）恒成立，由上述②结论：可令()2(1)sin110(1f t t λλλ=++++≥≤-）,则2t 101sin110t t +≤⎧⎨--+++≥⎩，21sin10t t t ≤-⎧∴⎨-+≥⎩，而2sin10t t -+≥恒成立，1t ∴≤-。

题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来） 1、当()1,2x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 . 解析: 当(1,2)x ∈时，由240x mx ++<得24x m x+<-.∴5m ≤-. 题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）） 1、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________解析：对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立、则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即11a -≤≤。

2、已知函数()222f x x kx =-+，在1x ≥-恒有()f x k ≥，求实数k 的取值范围。

分析：为了使()f x k ≥在[)1,x ∈-+∞恒成立，构造一个新函数()()F x f x k =-，则把原题转化成左边二次函数在区间[)1,-+∞时恒大于等于0的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。

解：令()()222F x f x k x kx k =-=-+-，则()0F x ≥对[)1,x ∈-+∞恒成立，而()F x 是开口向上的抛物线。

①当图象与x 轴无交点满足0∆<，即()24220k k ∆=--<，解得21k -<<。

②当图象与x 轴有交点，且在[)1,x ∈-+∞时()0F x ≥，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：()010212F k ⎧⎪∆≥⎪⎪-≥⎨⎪-⎪-≤-⎪⎩解得32k -≤≤-，故由①②知31k -≤<。

小结：若二次函数()20y ax bx c a =++≠大于0恒成立，则有00a >⎧⎨∆<⎩，同理，若二次函数()20y ax bx c a =++≠小于0恒成立，则有0a <⎧⎨∆<⎩。

若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。

题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <. 1、存在实数x ，使得不等式2313x x a a ++-≤-有解，则实数a 的取值范围为______。