存在性与恒成立
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专题训练 恒成立存在性问题
知识点梳理
1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立
2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立
3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨
≤⎪⎩在上恒成立
在上恒成立
另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,
D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .
4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则
()()x g x f min min ≥
5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则
()()x g x f max max ≤。
6、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则()f x 在
[]b a x ,1∈上的值域M 是()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的子集。即：M ⊆N 。
7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 8、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤
9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数
()y g x =图象上方；
10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数
()y g x =图象下方；
题型一、常见方法
1、已知函数12)(2
+-=ax x x f ，x
a
x g =
)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；
2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；
【分析：】
1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决． 2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可．
简解：（1）由1
20122
32
++<⇒>-+-x x
x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可．对1
2)(2
3++=x x
x x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，3
2)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是32
0<