交通运筹学第7章 网络模型
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运筹学课件：第7章 图论与网络分析-第1,2节
v1
v2 a
v3
v4 c
b v1
a
v2
b
v3
d
d
v4
c
第2节 最小树问题
一、树及其性质 定义1： 无圈的连通图称为树。树一般用T表示。
定理1： 任给树T=（V，E），若P（T）≥2，则 T中至少有两个悬挂点。
证明：设µ=（v1，v2，…，vk）是G中含边数最多的 一条初等链，因P（T）≥2，并且T是连通的， 故链µ中至少有一条边，从而v1与vk是不同的 。
不少数学家都尝试去解析这个事例。而这些解析，最 后发展成为了数学中的图论。
例：中国邮路问题 一个邮递员送信，要走完他所负责的全部街道分送
信件，最后返回邮局。邮递员都会本能地以尽可能少的 行程完成送信任务。
问题：他如何走？
点：路口； 边：两路口之间道路，第i条道路长ei。
问题：求一个圈，过每边至少一次，并使圈长度最短。
由于T是树，由定义知T连通且无圈。只须证明m=n-1。
归纳法： 当n=2时，由于T是树，所以两点间显然有且 仅有一条边，满足m=n-1。
假设 n=k-1时命题成立，即有k-1个顶点时,T有k-2条边。
当n=k时，因为T连通无圈，k个顶点中至少有一个点次 为1。设此点为u，即u为悬挂点，设连接点u的悬挂边 为[v，u]，从T中去掉[v，u]边及点u ，不会影响T的连 通性，得图T’，T’为有k-1个顶点的树，所以T’有k-2条 边，再把（ v，u）、点u加上去，可知当T有k个顶点 时有k-1条边。
4
2
v4
94
v2
3
v3 8
0 9 2 4 7 9 0 3 4 0 其权矩阵为： A 2 3 0 8 5 4 4 8 0 6 7 0 5 6 0
运筹学-7、图与网络分析PPT课件
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终止条件
所有节点都在同一连通分量中， 即生成树形成。
算法思想
从边开始，每次选择权值最小的 边加入，若形成回路则舍去，直 到生成树形成。
算法特点
适用于稀疏图，时间复杂度为 O(eloge)，其中e为边数。
最小生成树问题的应用
通信网络设计
在构建通信网络时，需要在保证所有节点连通的前提下，使得建设 成本最低。最小生成树算法可以用于求解此类问题。
活动时间的估计
对每个活动进行时间估计，包括乐观时间（a）、最 可能时间（m）和悲观时间（b），并计算期望时间 （t=（a+4m+b）/6）。
项目工期的计算
根据活动的逻辑关系和网络结构，计算项目 的期望工期，并确定项目的关键路径。
网络计划技术的应用
项目进度管理
网络计划技术可用于制定详细 的项目进度计划，确保项目按
图与网络的应用背景
图与网络分析的方法
介绍图与网络分析中常用的最短路径 算法、最小生成树算法、最大流算法 等。
阐述图与网络在交通运输、电路设计、 社交网络等领域的应用。
学习目标与要求
学习目标
掌握图与网络分析的基本概念和 常用算法，能够运用所学知识解 决实际问题。
学习要求
熟悉图与网络分析的基本概念和 常用算法，了解相关应用领域， 具备一定的编程能力和数学基础。
算法步骤
初始化距离数组和访问标记数组；从起点开始，选择距离起点最近的未访问节点进行访问 ，并更新其邻居节点的距离；重复上述步骤，直到所有节点都被访问。
管理运筹学讲义 第7章 网络分析
16
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
第三节
一、双标号算法
最短路问题
1.标号法的基本思路
基本思路: 从始点vs 出发，逐步探寻，给每个点标号； 标号分永久标号P(vk)和临时标号T(vk) 两种：
• 永久标号P(vk) 是从点 vs → vk 的最短路权 • 临时标号T(vk) 是从点 vs → vk 最短路权的上界
1
3 2
v4
6
7
1
vt
(v5 ,13)
v3 (v4 , 9)
v6 (v3 ,11)
管理科学与工程学院
25
石家庄经济学院
第三节
一、双标号算法
第七步：
(vs ,3)
最短路问题
(v1 ,5)
v1
3
(vs , 0)
2 4
v5
8 1 (v5 , 6)
7 9
vs
10
v2
4
(v4 , 7)
v1
3
(vs , 0)
v5
8 1
7 9
vs
10
v2
4
(vs ,9)
1
3 2
(v1 , 7) v4
6 7
1
vt
(vs , )
v3 (vs ,10)
石家庄经济学院
v6 (vs , )
管理科学与工程学院
21
第三节
一、双标号算法
第三步：
(vs ,3)
最短路问题
(v1 ,5)v1Fra bibliotek3(vs , 0)
2 4
2.避圈法
从无向网络中，开始选取权数最小的一条边，再选权数为次小 的一条边；如此进行，总从剩余边中选取权数最小者，但前提 是与已经选择的边不要构成圈；如果最小权数的边不止一条， 则任选一条。
运筹学课件 第七章 网络优化模型
子图
生成子图
e9
v5
v2
e1
e2
e8
v1
e6
e7
v3
e4
e3
v4
e5
v2
v2
v5
e1
v1
e6
e2 v3
v4
e1 v1
e4
e2 v4
e8 v3
e5
e5
6、网络
网络（赋权图）：由点、边以及与点边相关联的 权数所构成的图称为网络，记作N={V,E,W}
无向网络 有向网络
6 v2 2
v1 1 8
5 4
v4
解：构造一棵有 5 个叶子的最优 2 叉树，其叶子的 权分别为 50，20，5，10，15。总权为：
m（T*）= 5×4 + 10 ×4 + 15 ×3 + 20 ×2 + 50 ×1 = 195
100 50 30 15
5 10 15 20 50 C DEB A
A？
N
Y
B？
A
N
Y
E？
B
N
Y
D？
E
N
v3
6
6 v2 2
v1 1 8
5 4
v4
v3
6
厂长
EH A BC D F G I J KL M N
人 财总 事 务工 科 科程
师
生 产 副 厂
长
新技
产术 品科生设 供 动 开 产备 应 力 发 科科 科 科
科
经 营 副 厂 长
销检 售验 科科
7.1.2 树的概念及性质
1、树（T）：无圈的连通图称为树。树中次为1的点称 为树叶，次大于1的点称为分枝点。
运筹学第07章 图与网络分析
关联矩阵
对于图G=(V,E), | V |=n, | E |=m, 有mn阶矩阵M=(mij) mn，其中:
2 当且仅当vi是边e j的两个端点 mij 1 当且仅当vi是边e j的一个端点 0 其他
权矩阵
对于赋权图G=(V,E), 其中边
(vi , v j ) 有权 w i j , 构造矩阵B=(bij) nn其中：
第1节 图的基本概念与模型 │图的矩阵描述
1.4.1 矩阵的相关概念
邻接矩阵
对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方矩阵A=(aij) nn，其中
1 当且仅档v i与v j之间有关联边 Nhomakorabea aij 0 其它
第1节 图的基本概念与模型 │图的矩阵描述
1.4.1 矩阵的相关概念
C
B A
D
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.2 图论与网络分析
图论与网络分析理论所研究的问题十分广泛，内容极其丰富。正如一位数学家所说：“可以说， 图论为任何一个包含了某种二元关系的系统提供了一种分析和描述的模型。”
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.3 图的定义
图：若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图G可以定义为点和边的集合，记作：
② 9 7 10 6 19 20 ③ 25 ⑥
15 ④ 14 ⑤
①
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.4 图的相关概念
有向图中，以vi为始点的边数称为点vi的出次，用d+(vi)表示；以vi为终点的边数称为点vi 的入次， 用表示d-(vi) ；vi 点的出次和入次之和就是该点的次。 ※ 有向图中，所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。
对于图G=(V,E), | V |=n, | E |=m, 有mn阶矩阵M=(mij) mn，其中:
2 当且仅当vi是边e j的两个端点 mij 1 当且仅当vi是边e j的一个端点 0 其他
权矩阵
对于赋权图G=(V,E), 其中边
(vi , v j ) 有权 w i j , 构造矩阵B=(bij) nn其中：
第1节 图的基本概念与模型 │图的矩阵描述
1.4.1 矩阵的相关概念
邻接矩阵
对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方矩阵A=(aij) nn，其中
1 当且仅档v i与v j之间有关联边 Nhomakorabea aij 0 其它
第1节 图的基本概念与模型 │图的矩阵描述
1.4.1 矩阵的相关概念
C
B A
D
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.2 图论与网络分析
图论与网络分析理论所研究的问题十分广泛，内容极其丰富。正如一位数学家所说：“可以说， 图论为任何一个包含了某种二元关系的系统提供了一种分析和描述的模型。”
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.3 图的定义
图：若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图G可以定义为点和边的集合，记作：
② 9 7 10 6 19 20 ③ 25 ⑥
15 ④ 14 ⑤
①
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.4 图的相关概念
有向图中，以vi为始点的边数称为点vi的出次，用d+(vi)表示；以vi为终点的边数称为点vi 的入次， 用表示d-(vi) ；vi 点的出次和入次之和就是该点的次。 ※ 有向图中，所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。
07交通工程学第七讲交通流理论-排队论模型、跟弛模型与交通波模型
交通运输与物流学院
6
5.3 排队论及其应用
4.应用
收费站
单通道排队服务系统(M/M/1系统):由于排队等待接 受服务的通道只有单独一条,也叫单通道服务系统。
交通运输与物流学院
7
5.3 排队论及其应用
4.应用
收 费 站
多路排队多通道服务:每一个通道各排一队每个通
道只为其相对应的一队车辆服务
交通运输与物流学院
8Байду номын сангаас
客 客客
客
到达
排队
服务 窗口
离去
排队论模型的应用
高速公路收费站
机动车
空港的起降跑道
飞机
船舶停靠码头
船
停车场
机动车
交叉口
机动车
交通运输与物流学院
收费 起飞、降落 货物装卸 驻车 通行
9
例题
例 有一停车场，到达车辆是60辆/h，服从泊松分布，停车 场的服务能力是100辆/h，服从负指数分布，其单一的 出入道可存6辆车，试问该数量是否合适？
2.说明：排队等待的车辆从一开始起动,就产生了起 动波,该波以接近 的v f 速度向后传播。
交通运输与物流学院
30
交通流中观测的加速度
把速度简单地看成密度的函数v(k)，使得求解连续方程变得简单。 现实中交通流的平均速度v不可能瞬时地随密度发生变化，驾驶
员总是根据前方密度来调整车速
该式表明：观测车随交通流的加速度是密度梯度（）的函数， 它从理论上证明了车流的加速减速与车流前方密度的关系
OB 事故发生堵塞部分车道 BC 因排障而完全封闭道路 CD 疏通部分车道 DE 障碍完全排除
排队车辆数 排队时间 总延误 车头时距 车头间距 密度波的波阵面（集散波）
管理运筹学第7章网络计划.ppt
R ( i ,) j t ( i ,) j t ( i ,)( j t i ,) j L F E S
26
7.3 网络计划的优化
一、 时间优化 在关键路线上采取措施： (1)采取技术措施,缩短关键工序的作业时间; (2)采取组织措施,将连续施工的工序调整为平行施工; (3)充分利用非关键工序的总时差,合理调配技术力量 及人财物等资源,缩短关键工序的作业时间.
10 3 E 8 18
10
C 3
18 4
20 F 2 5
20
23 G 3 23 7 6
23
K 2 31 9 J 5 31 32 10 32
B 10
23
I 8
L 1
H 2
25 8
26
21
三、工序时间参数 1、工序的最早开始时间
t ES (i, j )
任何一道工序都必须在其紧前工序结束后才能开始。紧前 工序最早结束时间即为工序最早可能开始时间，用 t ( i , j )
27
【例1】 在【引例】中为获得18万元的资金奖励，能否把 项目工期缩短为41周？如何对项目进行管理？
22 6
26 G 7
29 8
33 H 9
38 9
42
0 1
0 A 2
2 2
2 B 4
6 3
6 C 10
16
D 16 4 E 4 I 7 6
M 38 38 12 2 N 6 44 13 44
20 5
ES
tES (1, j) 0 tES (i, j) max{tES (k , i)} tE (i)
22
2、工序的最早结束时间
t EF (i , j )
运筹学(首都经济贸易大学)第七章 网络分析
5 道路 链中的每一条边的终点都是它的下一条 边的起点，则称这种链为道路
v1
e1 e2 e3 e4 e5
v2
v3
e6
e7 e9 v5
v4
e8
v6
二 最短路问题的狄克斯拉算法（Dijkstra）
下面仅介绍在一个赋权有向图中寻求最短路 的方法——双标号法（Dijkstra算法），它是在 1959年提出来的。目前公认，在所有的权wij ≥0 时，这个算法是寻求最短路问题最好的算法。并 且，这个算法实际上也给出了寻求从一个始定点 vs到任意一个点vj的最短路。
M={1,2,4,6,7}, p7=3
M={1,2,4,6,7}
p1=0
p2=2
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
p5=6
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
8
4
8
p6=3
p7=3
min {c23,c25,c75,c78}=min {2+6,2+5,3+3,3+8}=min {8,7,6,11}=6
M={1,2,4,5,6,7}, p5=6
A {a1，a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 , a10} a10
a1 (v1 , v2 )
a2 (v1 , v2 )
v6
a3 (v2 , v3 ) a4 (v3 , v4 )
a9
a5 (v1 , v3 )
a6 (v3 , v5 )
更新距离函数 (vi ) 为：
v1 v2 v3 v4 v5
v1
e1 e2 e3 e4 e5
v2
v3
e6
e7 e9 v5
v4
e8
v6
二 最短路问题的狄克斯拉算法（Dijkstra）
下面仅介绍在一个赋权有向图中寻求最短路 的方法——双标号法（Dijkstra算法），它是在 1959年提出来的。目前公认，在所有的权wij ≥0 时，这个算法是寻求最短路问题最好的算法。并 且，这个算法实际上也给出了寻求从一个始定点 vs到任意一个点vj的最短路。
M={1,2,4,6,7}, p7=3
M={1,2,4,6,7}
p1=0
p2=2
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
p5=6
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
8
4
8
p6=3
p7=3
min {c23,c25,c75,c78}=min {2+6,2+5,3+3,3+8}=min {8,7,6,11}=6
M={1,2,4,5,6,7}, p5=6
A {a1，a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 , a10} a10
a1 (v1 , v2 )
a2 (v1 , v2 )
v6
a3 (v2 , v3 ) a4 (v3 , v4 )
a9
a5 (v1 , v3 )
a6 (v3 , v5 )
更新距离函数 (vi ) 为：
v1 v2 v3 v4 v5
运筹学课件：第7章 图论与网络分析-第5,6节
f3t<C3t， 给vt标号 (3, l(vt)), 这里
l(vt ) min l(v3), (C3t f3t ) min 1,1 1,
vt得到标号，标号过程结束。
（v-21，1）(4，3) （v24，1）
(3，3)
(1，1)
(5，3)
（0，∞）vs
(1，1)
(5，1)
(3,0) v（t 3，1）
41
22 ③ 22
④ 76
60
⑥
93
⑤
第6节 最小费用最大流问题
网络D=（V，A，C），每弧（vi，vj）∈A，还给出 （vi，vj）上单位流的费用b(vi，vj)≥0，（简记bij）。 最小费用最大流问题：
求一个最大流f，使流的总费用
b(f)
bij fij
(vi ,v j )A
取最小值。
l(v3) min l(v2 ), f32 min 1,1 1,
（v-21，1）(4，3) （v24，1）
(3，3)
(1，1)
(5，3)
（0，∞）vs
(1，1)
(5，1)
(3,0) v（t 3，1）
(2，1)
（sv，1 4） (2，2)（-v23，1）
（5）检查v3，在弧（v3，vt）上，f3t=1， C3t=2，
vj成为标号而未检查的点
vi
vj (-i , l(vj))
fij>0
l(vj)=min[l(vi),fji]
重复上述步骤，一旦vt被标号，则得到一条vs到vt的增 广链。若所有标号都已检查过，而vt尚未标号，结束， 这时可行流，即最大流。
（二）调整过程 从vt开始，反向追踪，找出增广链µ，并在µ上进行 流量调整。 （1）找增广链 如vt的第一个标号为k（或-k），则弧（vk，vt）∈µ （或弧（vt，vk) ∈µ)。检查vk的第一个标号，若为i （或-i），则(vi,vk) ∈µ(或(vk,vi) ∈µ).再检查vi的第一个 标号,依此下去,直到vs。被找出的弧构成了增广链µ。 （2）流量调整
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第7章 动态规划
即 f4 (7) = 4, f4 (8) = 3 。 第二步 k=3，状态变量 s3 可取三个值④、⑤、⑥，这是经过一个中途点到达终点 E 的
两级决策问题，从城市④到 E 有两条路线，需加以比较，取其中最短的，即
f3 (4)
=
min
⎧d ⎩⎨d
(4, 7) + (4,8) +
f
4
(7)⎫ ⎬
f4 (8) ⎭
表 7-1
i月
1
2
3
4
yi （需求）
2
3
2
4
这也是一个 4 阶段决策问题。 例 3 投资决策问题
某公司现有资金 Q 万元，在今后 5 年内考虑给 A、B、C、D 四个项目投资，这些项目 的投资期限、回报率均不相同，问应如何确定这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有资
金的本利总额最大。 这是一个 5 阶段决策问题。
c(
j)
=
⎧ ⎨⎩a
0 + bj
( j = 0) ( j = 1, 2,3,L , m)
（千元）
其中 a 为生产的固定费用， b 为可变生产费率， m 为生产能力。供应需求所剩余产品应存 入仓库，每月库存 j 单位产品的费用为
E( j) = c * j （千元）
计划开始和计划期末库存量都是 0。试制定 4 个月的生产计划，在满足用户需求的条件下使 总费用最小。
现在我们利用动态规划最优性原理，由最后一段路线开始，向最初阶段递推求解，逐
步求出各段各点到终点 E 的最短路线，最后求得 A 点到 E 点的最短路线。 上面我们已经规定了本例的阶段数、状态变量、决策变量，给出了转移方程、指标函数
等。再用 d (sk , uk ) 表示由状态 s k 点出发，采用决策 uk 到达下一阶段 sk+1 点时的两点间距离。 第一步从 k=4 开始，状态变量 s4 可取两种状态⑦、⑧，它们到 E 点的路长分别为 4，3。
两级决策问题，从城市④到 E 有两条路线，需加以比较，取其中最短的，即
f3 (4)
=
min
⎧d ⎩⎨d
(4, 7) + (4,8) +
f
4
(7)⎫ ⎬
f4 (8) ⎭
表 7-1
i月
1
2
3
4
yi （需求）
2
3
2
4
这也是一个 4 阶段决策问题。 例 3 投资决策问题
某公司现有资金 Q 万元，在今后 5 年内考虑给 A、B、C、D 四个项目投资，这些项目 的投资期限、回报率均不相同，问应如何确定这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有资
金的本利总额最大。 这是一个 5 阶段决策问题。
c(
j)
=
⎧ ⎨⎩a
0 + bj
( j = 0) ( j = 1, 2,3,L , m)
（千元）
其中 a 为生产的固定费用， b 为可变生产费率， m 为生产能力。供应需求所剩余产品应存 入仓库，每月库存 j 单位产品的费用为
E( j) = c * j （千元）
计划开始和计划期末库存量都是 0。试制定 4 个月的生产计划，在满足用户需求的条件下使 总费用最小。
现在我们利用动态规划最优性原理，由最后一段路线开始，向最初阶段递推求解，逐
步求出各段各点到终点 E 的最短路线，最后求得 A 点到 E 点的最短路线。 上面我们已经规定了本例的阶段数、状态变量、决策变量，给出了转移方程、指标函数
等。再用 d (sk , uk ) 表示由状态 s k 点出发，采用决策 uk 到达下一阶段 sk+1 点时的两点间距离。 第一步从 k=4 开始，状态变量 s4 可取两种状态⑦、⑧，它们到 E 点的路长分别为 4，3。
管理运筹学 第七章图与网络分析
图是反映对象之间关系的一种工具，如果我们把对象 用点表示，关系用线表示，就构成了一个图。
关系
对称的关系：甲与乙有这种关系，则乙与甲 也有这种关系，如两点之间的距离等。
不对称的关系：甲与乙有这种关系，但乙与 甲未必有这种关系：如两个人的认识关系， 比赛结果、交通路线中的单行线等。
关系的表示 对称的关系用边表示：e=[vi,vj]或e=[vj,vi] 不对称的关系用带箭头的弧表示：a=(vi,vj) 图的分类： 无向图：G=(V,E) 有向图：D=(V,A)
2
10
Step 1 从图G中任取一点vi, 让viS, 其余各点均包含在 S=V\S中。 Step 2 从（S,S)中选一条权最小的边e=vivj，加到T中。 Step 3 令S vjS, S\vjS，(将所选边的另一个顶点添 加到S中）。 Step 4 重复2、3两步，直到图中所有点均包含在S中为止。
v4
42
8
6
v2
7
v5
该问题就是要在赋权图中所有从v1到v8 的路中，找一条 权最小的路。称之为最短路。
其中路的权指路上所有边对应的权之和，又称为路长。
2. 最短路问题的Dijkstra算法
当边(弧)权wij 0 时，目前公认的求最短路的最好算法是 由Dijkstra于1959年提出的，称为Dijkstra算法。这个算 法事实上可以求出从一个给定的点到任意点的最短路。
回路：起点和终点相同的路称为回路。
（简单路回路）、初等路（回路）可以类似定义。
引例:自来水管道的铺设问题
校门A点(水源); 需要使用自来水的场所共有7个:
v1,v2,…,v7;
问题:为了各个场所都用上自来水,怎样铺设管道才 能使挖开的道路数目最少?
关系
对称的关系：甲与乙有这种关系，则乙与甲 也有这种关系，如两点之间的距离等。
不对称的关系：甲与乙有这种关系，但乙与 甲未必有这种关系：如两个人的认识关系， 比赛结果、交通路线中的单行线等。
关系的表示 对称的关系用边表示：e=[vi,vj]或e=[vj,vi] 不对称的关系用带箭头的弧表示：a=(vi,vj) 图的分类： 无向图：G=(V,E) 有向图：D=(V,A)
2
10
Step 1 从图G中任取一点vi, 让viS, 其余各点均包含在 S=V\S中。 Step 2 从（S,S)中选一条权最小的边e=vivj，加到T中。 Step 3 令S vjS, S\vjS，(将所选边的另一个顶点添 加到S中）。 Step 4 重复2、3两步，直到图中所有点均包含在S中为止。
v4
42
8
6
v2
7
v5
该问题就是要在赋权图中所有从v1到v8 的路中，找一条 权最小的路。称之为最短路。
其中路的权指路上所有边对应的权之和，又称为路长。
2. 最短路问题的Dijkstra算法
当边(弧)权wij 0 时，目前公认的求最短路的最好算法是 由Dijkstra于1959年提出的，称为Dijkstra算法。这个算 法事实上可以求出从一个给定的点到任意点的最短路。
回路：起点和终点相同的路称为回路。
（简单路回路）、初等路（回路）可以类似定义。
引例:自来水管道的铺设问题
校门A点(水源); 需要使用自来水的场所共有7个:
v1,v2,…,v7;
问题:为了各个场所都用上自来水,怎样铺设管道才 能使挖开的道路数目最少?
运筹学-第7章-图与网络优化
(v1 , v2 , v3 , v6 , v7)是一条初等链 (v4 , v1 , v2 , v3 , v5 , v7, v6 , v3 , v4)是一个简单圈 (v1 , v2 , v3 , v4 , v1)是一个初等圈
20/139
连通图、子图、支撑子图、基础图
• 连通图 图G中，若任何两个点之间，至少有一条链，称为连通图。否 则称为不连通图。
• 奇点 次为奇数的点, 如 v5
18/139
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
• 链： 由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边 序列, 如:
（v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ,e3 ,v3 ,…,vn-1 ,en , vn ）; 其中v0 ，vn分别为链的起点和终点， v1 ,v2 ,…,vn-1称 为中间点 ； • 圈： 起点与终点重合的链； • 简单链（圈）：链（圈）中所含的边均不相同； • 初等链（圈）：链（圈）中所含的点均不相同,也 称通路；
v2
a8
v5
a10
a4 a6
a9
a7
a5
v4
v7 a11 v6
•路 • 初等路 • 回路
(v1, a2 , v3 , a4 , v4 , a7 , v6 )是从v1到v6的路。也是一条初等路。 在上图中,(v3 , a3 , v2 , a5 , v4 , a6 , v5 , a8 , v3 )是一个回路。
vV1
vV2
vV
2m为偶数，且偶点的次之和 d(v)也为偶数，所以 d(v) 必为偶
数，即奇数点的个数必为偶数vV。2
vV1
27/139
第二节 树
本节主要内容： • 树的概念 • 构造生成树的方法 • 最小生成树问题
20/139
连通图、子图、支撑子图、基础图
• 连通图 图G中，若任何两个点之间，至少有一条链，称为连通图。否 则称为不连通图。
• 奇点 次为奇数的点, 如 v5
18/139
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
• 链： 由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边 序列, 如:
（v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ,e3 ,v3 ,…,vn-1 ,en , vn ）; 其中v0 ，vn分别为链的起点和终点， v1 ,v2 ,…,vn-1称 为中间点 ； • 圈： 起点与终点重合的链； • 简单链（圈）：链（圈）中所含的边均不相同； • 初等链（圈）：链（圈）中所含的点均不相同,也 称通路；
v2
a8
v5
a10
a4 a6
a9
a7
a5
v4
v7 a11 v6
•路 • 初等路 • 回路
(v1, a2 , v3 , a4 , v4 , a7 , v6 )是从v1到v6的路。也是一条初等路。 在上图中,(v3 , a3 , v2 , a5 , v4 , a6 , v5 , a8 , v3 )是一个回路。
vV1
vV2
vV
2m为偶数，且偶点的次之和 d(v)也为偶数，所以 d(v) 必为偶
数，即奇数点的个数必为偶数vV。2
vV1
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第二节 树
本节主要内容： • 树的概念 • 构造生成树的方法 • 最小生成树问题
运筹学通论 第7章 网络规划
M 6 (6)
(-5) 2
4
(5) e1
e4 1
e7 M 5
M
1
2 e2
3 (-3)e6
5 (-6)
v5
e3 3 e5 1 3
(3) 4
最小费用流的网络算法
1. 找一个带根的生成树; 2. 计算检验数 (可用位势法或连圈法在图
上直接计算)并确定入树弧; 3. 确定出树弧 (可在图上直接确定); 4. 迭代 (找到一个新的带根的生成树)。
§7.2 最小费用流问题
• 最小费用流问题是网络规划中最有代表 性的问题，许多其它网络都可看成最小 费用流问题的特例，或转化为最小费用 流问题；
• 最小费用流问题又是有特殊结构的线性 规划问题, 其特殊结构可以用特殊的算法 求解。
最小费用流问题描述
• 在连通网络中求满足流量平衡约束的 费用最小问题。
图与网络的基本概念
定义: 图是一个有序二元组(V, E), 记为： G =( V, E )
其中V ={vi}为点集, E ={ei}为边集, V 中 的元素 vi 叫做节点（顶点）, E 中的元素 ei 叫做边。
V, E 均为有限集合时, G 称为有限图, 否则为无限图。
e1
v1
e2 e3
v2 v3
➢能定量地处理许多问题。如最短路径问题， 最小费用问题和关键路径问题等。
与网络图相关的部分术语
• 子图: 已知图 G = (V, E), 若 E ’是 E 的子集, V ’是 V 的子集, 且 E’中的弧仅与 V ’ 中的节点相关联, 则称 G ’= (V ’, E ’)是G 的一 个子图。
• 链: 图 G 中一个点、弧交错的子图 (vi1 , ej1 , vi2 , ,
运筹学—网络模型
W w 1 2 ,w 1 3 ,w 1 4 , ,w 5 6
连通的赋权图称为网络图，记为 G＝｛V，E，W｝
6.1 最小(支撑)树问题
Minimal (Spanning)Tree Problem
6.1 最小树问题 Minimal tree problem
6.1.1树的概念
一个无圈并且连通的无向图称为树图或简称树(Tree)。组织机 构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路网络等 都能表达成一个树图 。
14
13
15
6
14
12
0
表6-3计算示例:
L
( i
3 j
)
等于表6-2中第i行与第j列对应元素相加取最小值。例如，
2
87
【解】 (1)依据图6-14,写出 任意两点间一步到达距离 4
④ 9⑤
16
表L1。见表6.1所示。本例
12
n=8，lg 7 2.807 ，因此计 算到L3lg 2
⑥
2
3 10
6
⑦ 12 ⑧
图6-14
6.2 最短路问题 Shortest Path Problem
表6-1 最短距离表 L1
v1
m in Z
cij xij
( i , j ) E
x12 x13 x14 1
(
i
,
j
)
E
xij
( k ,i )E
xki
0
i 2,3,
,6
x57 xij
x67 0或
1 1，(i,
j)
E
6.2 最短路问题 Shortest Path Problem
连通的赋权图称为网络图，记为 G＝｛V，E，W｝
6.1 最小(支撑)树问题
Minimal (Spanning)Tree Problem
6.1 最小树问题 Minimal tree problem
6.1.1树的概念
一个无圈并且连通的无向图称为树图或简称树(Tree)。组织机 构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路网络等 都能表达成一个树图 。
14
13
15
6
14
12
0
表6-3计算示例:
L
( i
3 j
)
等于表6-2中第i行与第j列对应元素相加取最小值。例如，
2
87
【解】 (1)依据图6-14,写出 任意两点间一步到达距离 4
④ 9⑤
16
表L1。见表6.1所示。本例
12
n=8，lg 7 2.807 ，因此计 算到L3lg 2
⑥
2
3 10
6
⑦ 12 ⑧
图6-14
6.2 最短路问题 Shortest Path Problem
表6-1 最短距离表 L1
v1
m in Z
cij xij
( i , j ) E
x12 x13 x14 1
(
i
,
j
)
E
xij
( k ,i )E
xki
0
i 2,3,
,6
x57 xij
x67 0或
1 1，(i,
j)
E
6.2 最短路问题 Shortest Path Problem
运筹学图与网络模型
∈J}={[v1,v2],[v1,v3]}，且s12=l1+c12=0+15=15， s13=l1+c13=0+10=10，min(s12,s13)=s13=10，边[v1,v3]中未标号 点v3标以(10,1). 3. I={v1,v3},J={v2,v4,v5,v6,v7},边集{[vi,vj]}={[v1,v2],[v3,v2],[v3,v5]}, 且s32=l3+c32=10+3=13，s35=l3+c35=10+4=14， min(s12,s32,s35)=s32=13.边[v3,v2]中未标号的点v2标以(13,3). 4. I={v1,v3,v2},J={v4,v5,v6,v7},边集{[vi,vj]}={[v3,v5],[v2,v4],[v2,v7]},
之和为最小。
算法的具体步骤如下：
1. 在给定的赋权的连通图上任找一个圈；
2. 在所找的圈中去掉一条权数最大的边（如果有两条或两条以 上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条。
3. 如果所余下的图中已不含圈，则计算结束，所余下的图 即为最小生成数，否则返回第1步。
第11页，共55页。
应用举例：某大学准备对其所属的7个学院办公室计算机 联网，这个网络的可能连通的路径如图G所示，图中v1,…,v7
v2 3
1 4
v3 7
3
v1
v7
2
v4
3
v6
4
v5
G4
第16页，共55页。
5. 在G4中找到一个圈（v2,v3,v7,v2），并知在此圈上边 [v3,v7]的权数5为最大，在G2中去掉边[v5,v7]得图G3。
v2
3
1
4
之和为最小。
算法的具体步骤如下：
1. 在给定的赋权的连通图上任找一个圈；
2. 在所找的圈中去掉一条权数最大的边（如果有两条或两条以 上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条。
3. 如果所余下的图中已不含圈，则计算结束，所余下的图 即为最小生成数，否则返回第1步。
第11页，共55页。
应用举例：某大学准备对其所属的7个学院办公室计算机 联网，这个网络的可能连通的路径如图G所示，图中v1,…,v7
v2 3
1 4
v3 7
3
v1
v7
2
v4
3
v6
4
v5
G4
第16页，共55页。
5. 在G4中找到一个圈（v2,v3,v7,v2），并知在此圈上边 [v3,v7]的权数5为最大，在G2中去掉边[v5,v7]得图G3。
v2
3
1
4
运筹学第七章图与网络理论
第七章图与网络理论
例1 哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡城中有一条 河，河上有七座连结着两岸和河中的两个小岛， 如图7.1所示。问题是一个人能否从一点出发， 经过每座桥一次且仅一次，回到原出发点。
A C B D C D A
图7.1 B
1
第一节 图的基本概念
所谓图，就是顶点和边的集合，点的集合记为 V={v1, v2…, vn }，边的集合记为E ={e1, e2…, em } ， vi称为图的顶点， ej称为图的边，若边ej联结vs和vt ， 则记为(vs,vt )，即ej= (vs,vt ) 。 则图可以表示为： G=(V,E)， 点代表被研究的事物，边代表事物之间的联系， 因此，边不能离开点而独立存在，每条边都有两个 端点。 在画图时，顶点的位置、边和长短形状都是无 关紧要的，只要两个图的顶点及边是对应相同的， 则两个图相同。
v8 T(16, v6) P
v7
解
v2 P(9, v1) 9 5 v1 P(0,0) 8 7 v4 P(8, v1)
图 7.20
21
8
3 6 4
v5 P(17, v ) 2 10 v6 9
3
v3 P(3, v1) 6
P(7, v3) 2 7 4
v8 P(16, v6)
v7
P(14, v6)
Dijkstra算法同样可用于求无向图的最短路。 例4 求图7.22中，v1到其它各点的最短路。
v8
2 7 4
v7
解
v2 T(9, v1) 9 5 v1 P(0,0) 8 7 v4 T(8, v1)
图 7.20
17
8
3 6 4
v5 10 v6 9
3
v3 T(3, v1) P 6
例1 哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡城中有一条 河，河上有七座连结着两岸和河中的两个小岛， 如图7.1所示。问题是一个人能否从一点出发， 经过每座桥一次且仅一次，回到原出发点。
A C B D C D A
图7.1 B
1
第一节 图的基本概念
所谓图，就是顶点和边的集合，点的集合记为 V={v1, v2…, vn }，边的集合记为E ={e1, e2…, em } ， vi称为图的顶点， ej称为图的边，若边ej联结vs和vt ， 则记为(vs,vt )，即ej= (vs,vt ) 。 则图可以表示为： G=(V,E)， 点代表被研究的事物，边代表事物之间的联系， 因此，边不能离开点而独立存在，每条边都有两个 端点。 在画图时，顶点的位置、边和长短形状都是无 关紧要的，只要两个图的顶点及边是对应相同的， 则两个图相同。
v8 T(16, v6) P
v7
解
v2 P(9, v1) 9 5 v1 P(0,0) 8 7 v4 P(8, v1)
图 7.20
21
8
3 6 4
v5 P(17, v ) 2 10 v6 9
3
v3 P(3, v1) 6
P(7, v3) 2 7 4
v8 P(16, v6)
v7
P(14, v6)
Dijkstra算法同样可用于求无向图的最短路。 例4 求图7.22中，v1到其它各点的最短路。
v8
2 7 4
v7
解
v2 T(9, v1) 9 5 v1 P(0,0) 8 7 v4 T(8, v1)
图 7.20
17
8
3 6 4
v5 10 v6 9
3
v3 T(3, v1) P 6
运筹学概论 第7章 网络计划
第7章 网络方案 7.1网络图的绘制
例如某工作a可以表为： 5
① a② 圆圈和里面的数字代表各事项，写在箭杆中间的数字5为
完本钱工作所需时间，即工作a：(1，2)，事项：1，2。
虚工作用虚箭线
表示。它表示工时为零，
不消耗任何资源的虚构工作。其作用只是为了正确表示工
作的前行后继关系。
0
①
②
第7章 网络方案 7.1网络图的绘制 画网络图的规那么 ：
ttE ESS((1i,,
j) j)
0
mkaxtES(k,i)
t(k,i)
(3)
tEF(i, j) tES(i, j)t(i, j)
这组公式也是递推公式。即所有从总开工事项出发的工作(1， j)，其最早可能开工时间为零；任一工作(i，j)的最早开工时间 要由它的所有紧前工作(k，i)的最早开工时间决定；工作(i, j) 的最早完工时间显然等于其最早开工时间与工时之和。
例1 利用下表资料，绘制网络图，然后予节点以正确编 号并计算最早、最迟节点时刻。
工序 紧前工序 工序时间 工序 紧前工序 工序时间
A
—
3
G D,B
6
B
—
C
—
D
A
E
B
F
C
2
H
E
2
6
I
G,H
4
4
J
E,F
5
7
K E,F
2
8
L
I,J
6
A 2
D
5
G
8I
1B
3 E6 H
J
9 L 10
C4 F
7
K
节点 最早节点时刻 最迟节点时刻
第七讲 交通网络流模型
2
3 j1 2 3 4 5 6 7 8 9
I
1010100000
2101010000
4
5
6
3
0
1
0
0
0
1
0
0
0
4100010100
5011101010
6000010001
7000100010
7
8
9
8 9
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
抽象的网络图
邻接矩阵
二、权矩阵
点与点之间的数量关系通过权矩阵（D）来反 应。权矩阵的元素d（i，j）的就确定：
车辆路径选择模拟
反馈 调整
分
配
预
测
交通流重分布模拟
道路及交叉口的速 度、流量等输出
六、交通管理对交通流影响的原理
合理调整影响车辆运行的交通阻抗。 对鼓励通行的交通流，减少交通阻抗。 对限制通行的交通流，增加交通阻抗。 以达到调整网络交通流量的目的。
路段交通阻抗
速度
道路车辆速度、行驶时间预测 时间
0 — — — —i j d (i, j) — — — —两节点之间无边连接
给定权 — —两节点之间有边连接
1
2
3
j 12 3 4 5 6 7 8 9
i
1
02 ∞ 2 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
2
20
2
∞2
∞∞∞∞
4
5
63
∞2
0
∞∞2
∞∞∞
4
2∞ ∞ 0
1
∞2
∞∞
5
∞2
运输经济学第7章运输合理化
如英国和德国，政府对市场、服务和费率 保持绝对的控制，这种控制将使政府对地区、 行业或厂商的经济成功具有举足轻重的影响。
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运输经济学第7章运输合理化
2、运输结构不合理 如铁路能力过强，公路运力不足，造成用 铁路进行短途运输。
• 3、运输能力不平衡
如武汉水路资源丰富，但码头能力不足，使有 些用户弃水走陆。
例如粮食的四散运输：散装、散运、散
• 存9．、散通卸过流通加工，减少无效运输
木材加工、钢材剪切加工等。
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运输经济学第7章运输合理化
10．优化运输路线
• 发送者应如何分组来制定路线？ • 什么是最好的服务顾客的发送顺序？ • 哪一条路线应分派给哪一种车辆？ • 对于服务于不同的客户类型，什么是最好
•3• •
•
•3• •8• •6• •• •V•3• •3•
•V•3• V•4• V•5• •V•2•
•4• •
•
•
•8• •5• •• •V•4• •5•
•V•5•
•V•3•
•5• •
•
•
•6• •
•7• •V•5• •6•
•V•4• •，•V•6• •V•5•
•6• • • • • • •7• •V•6• •7•
•3.过远运输
这是一种舍近求远的商品运输。不就地或
就近获取某种物资，却舍近求远从外地或 远处运来同种物资，从而拉长运输距离， 造成运力浪费。
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运输经济学第7章运输合理化
4．重复运输（无效中转）
重复运输是指同一批货物由产地运 抵目的地，没经任何加工和必要的作 业，也不是为联运及中转需要，又重 新装运到别处的现象。
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运输经济学第7章运输合理化
2、运输结构不合理 如铁路能力过强，公路运力不足，造成用 铁路进行短途运输。
• 3、运输能力不平衡
如武汉水路资源丰富，但码头能力不足，使有 些用户弃水走陆。
例如粮食的四散运输：散装、散运、散
• 存9．、散通卸过流通加工，减少无效运输
木材加工、钢材剪切加工等。
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运输经济学第7章运输合理化
10．优化运输路线
• 发送者应如何分组来制定路线？ • 什么是最好的服务顾客的发送顺序？ • 哪一条路线应分派给哪一种车辆？ • 对于服务于不同的客户类型，什么是最好
•3• •
•
•3• •8• •6• •• •V•3• •3•
•V•3• V•4• V•5• •V•2•
•4• •
•
•
•8• •5• •• •V•4• •5•
•V•5•
•V•3•
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•7• •V•5• •6•
•V•4• •，•V•6• •V•5•
•6• • • • • • •7• •V•6• •7•
•3.过远运输
这是一种舍近求远的商品运输。不就地或
就近获取某种物资，却舍近求远从外地或 远处运来同种物资，从而拉长运输距离， 造成运力浪费。
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运输经济学第7章运输合理化
4．重复运输（无效中转）
重复运输是指同一批货物由产地运 抵目的地，没经任何加工和必要的作 业，也不是为联运及中转需要，又重 新装运到别处的现象。
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• 【定理7.1】可行流 是最大流的充分必要条 件是不存在发点到收点的增广链。
Ford-Fulkerson标号算法的步骤如下：
• 解 （1）给出一个初始可行流，弧的流量放在括号内，如 图7-16所示。
• （2）标号寻找增广链。
• （3）调整增广链上的流量 （4）对图7-18标号。
对图7-18的流量进行调整，增广链上弧的流量加上1，其余弧的 流量不变得到图7-20。
• 7.2.1 有向图的Dijkstra算法
7.2最短路问题
• 7.2.1 有向图的Dijkstra算法
14
15
• 到此，所有节点均标上了标号，算法停止。可见，从城市1到城市7的 最小运费为29个单位。
• 用Dijkstra算法求解最短路问题要注意一下 问题：
• Dijkstra算法的条件是弧长非负，问题求最 小值。
（5）对图7-20标号
对图7-20的流量进行调整，增广链上弧的流量加上1，其余弧 的流量不变得到图7-22。
（6）对图7-22标号。
7.3.3 最小费用流问题
解答过程见图7-25,7-26
7.4 旅行售货员与中国邮路问题
• 7.4.1 旅行售货员问题 • 旅行售货员问题虽然能用整数规划、动态规划等方
• Dijkstra算法求得的最短路线可能不惟一， 但最短路长相等。
• Dijkstra算法可以求任意两点之间的最短路 （最短路存在），只要将两个点看做路线 的起点和终点，然后进行标号。
7.2.2无向图的Dijkstra算法
• 如果vi与vj之间存在一条无方向的边相关联，说明vi与vj两点之间可以互 达。当与之间至少有两条边相关联时，留下一条最短边，去掉其他关联
3
• 下面以实例来说明图在道路交通中的应用。图7-1（a）表示某地区的
公路交通网，A、B、C、D、E表示五个城镇，A、B、C、D、E之间的连
线表示两城镇间的公路，我们研究的问题就是“两城镇间有无公路相 通”这一特定关系，那么就可以用图7-1（b）点的网状图来代替图71（a）的公路交通图
7.1 最小树问题
边。对于无向图最短路的求解Dijkstra算法同样有效。
• 【例7.4】要在八个城市间建立如图7-9所示的公路交通网。已知城市与城 市见的路可以互达，网络边上的数据表示城市间公路的距离，用Dijkstra算 法求解城市1到其它城市间公路的最小距离。
7
2
5
4
6
3
2
12
5
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• 最小部分树可以直接用作图的方法求解，常用的有避圈法和破圈法。
• 破圈法：取图 中任一一个圈，从圈中去掉一条权最大的边（如果有两 条或两条以上的边都是权最大的边，则任意去掉其中一条）。在余下 的图中，重复这个步骤，直到得到一个不含圈的图为止，这时的图便 是最小树。
7.2最短路问题
• 所谓最短路问题,就是在一个网络中,相邻节 点间的线路长度是已知的,要从某一起点到 某一终点之间,找出一条路长最短的通路。
• 7.1.1树的概念 • 一个无圈并且连通的无向图称为树图或简称树（Tree）
• 如图7-3是一个管道铺设方案路线图，其特征是任意两点之间都有惟一的一 条链（路）连通起来，是一棵树。
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树具有以下性质：
• 在树中任意两点之间添加一条边就形成圈。 • 在树中去掉任意一条边图就变成不连通。 • 一棵树的边数等于点数减1。 • 树中任意两点之间都有惟一的一条链连通
• 解 图7-12是一个混合图，有3条边的权是负数，有两条边 无方向。依据图7-12，写出任意两点间一步到达距离表 。
表中第一列的点表示弧的起点，第一行的点表示弧的终点， 无方向的边表明可以互达，如表7-4所示。计算过程见表75至表7-7。
7.3最大流问题
• 7.3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1基本概念
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7.3 最大流问题
• 7.3.1基本概念 • 可行流与最大流 • 可行流应满足以下条件：
综上，网络最大流问题就是在满足上述条件的基础上寻找一个流 ，使其流量达到 最大。
7.3 最大流问题
• 7.3.1基本概念 • 增广链
7.3 最大流问题
• 7.3.1基本概念 • 割集与割量
7.3.2 Ford-Fulkerson标号算法
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解
7.2.4最短路的Floyd算法
22
• 【例7.5】图7-11是一张8个城市的铁路交通图， 铁路部门要制作一张两两城市间的距离表。这 个问题实际就是求任意两点间的最短路问题。
• 表7-3就是最优表，即任意两点间的最短距离。取表中下三角得 到8个城市间的铁路交通距离表。
• 【例7.6】求图7-12中任意两点间的最短距 离。
第7章 网络模型
1
主要内容
• 第一节 最小树问题 • 第二节 最短路问题 • 第三节 最大流问题 • 第四节 旅行售货员与中国邮路问题 • 第五节 网络模型在道路交通工程中的
应用
2
•许多研究的对象往往可以用一个图表示，研究的目的归结为图的极 值问题。本章继续讨论其他几种图的极值问题的网络模型。 •运筹学中研究的图具有下列特征： •（1）用点表示研究对象，用边（有方向或无方向）表示对象之间某 种关系； •（2）强调点与点之间的关联关系，不讲究图的比例大小与形状； •（3）每条边上都赋有一个权，其图称为赋权图。实际中权可以代表 两点之 •间的距离、费用、利润、时间、容量等不同的含义； •（4）建立一个网络模型，求最大值或最小值。
• 最小部分树可以直接用作图的方法求解，常用的有破圈法和加边法。
• 破圈法 任取一圈，去掉圈中最长边，直到无圈。 • 加边法 从最短边开始往支撑图中添加，见圈回避，直到连通。
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7.1.2 最小部分树
• 在一个连通图 中，取部分边连接 的所有点组成的树 称为 的部分树或支撑数（Spanning Tree）。
起来。
7.1.2 最小部分树
• 将网络图边上的权看做两点间的长度（距离、费用、时间），定义G的部 分树T的长度等于T中每条边的长度之和，记为C（T）。G的所有部分树中 长度最小的部分树称为最小部分树，或简称为最小树。如果一个连通图G 本身不是一棵树，那么G的部分树不惟一。最小树问题就是在所有部分树 中寻找树长最短的部分树。
Ford-Fulkerson标号算法的步骤如下：
• 解 （1）给出一个初始可行流，弧的流量放在括号内，如 图7-16所示。
• （2）标号寻找增广链。
• （3）调整增广链上的流量 （4）对图7-18标号。
对图7-18的流量进行调整，增广链上弧的流量加上1，其余弧的 流量不变得到图7-20。
• 7.2.1 有向图的Dijkstra算法
7.2最短路问题
• 7.2.1 有向图的Dijkstra算法
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• 到此，所有节点均标上了标号，算法停止。可见，从城市1到城市7的 最小运费为29个单位。
• 用Dijkstra算法求解最短路问题要注意一下 问题：
• Dijkstra算法的条件是弧长非负，问题求最 小值。
（5）对图7-20标号
对图7-20的流量进行调整，增广链上弧的流量加上1，其余弧 的流量不变得到图7-22。
（6）对图7-22标号。
7.3.3 最小费用流问题
解答过程见图7-25,7-26
7.4 旅行售货员与中国邮路问题
• 7.4.1 旅行售货员问题 • 旅行售货员问题虽然能用整数规划、动态规划等方
• Dijkstra算法求得的最短路线可能不惟一， 但最短路长相等。
• Dijkstra算法可以求任意两点之间的最短路 （最短路存在），只要将两个点看做路线 的起点和终点，然后进行标号。
7.2.2无向图的Dijkstra算法
• 如果vi与vj之间存在一条无方向的边相关联，说明vi与vj两点之间可以互 达。当与之间至少有两条边相关联时，留下一条最短边，去掉其他关联
3
• 下面以实例来说明图在道路交通中的应用。图7-1（a）表示某地区的
公路交通网，A、B、C、D、E表示五个城镇，A、B、C、D、E之间的连
线表示两城镇间的公路，我们研究的问题就是“两城镇间有无公路相 通”这一特定关系，那么就可以用图7-1（b）点的网状图来代替图71（a）的公路交通图
7.1 最小树问题
边。对于无向图最短路的求解Dijkstra算法同样有效。
• 【例7.4】要在八个城市间建立如图7-9所示的公路交通网。已知城市与城 市见的路可以互达，网络边上的数据表示城市间公路的距离，用Dijkstra算 法求解城市1到其它城市间公路的最小距离。
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• 最小部分树可以直接用作图的方法求解，常用的有避圈法和破圈法。
• 破圈法：取图 中任一一个圈，从圈中去掉一条权最大的边（如果有两 条或两条以上的边都是权最大的边，则任意去掉其中一条）。在余下 的图中，重复这个步骤，直到得到一个不含圈的图为止，这时的图便 是最小树。
7.2最短路问题
• 所谓最短路问题,就是在一个网络中,相邻节 点间的线路长度是已知的,要从某一起点到 某一终点之间,找出一条路长最短的通路。
• 7.1.1树的概念 • 一个无圈并且连通的无向图称为树图或简称树（Tree）
• 如图7-3是一个管道铺设方案路线图，其特征是任意两点之间都有惟一的一 条链（路）连通起来，是一棵树。
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树具有以下性质：
• 在树中任意两点之间添加一条边就形成圈。 • 在树中去掉任意一条边图就变成不连通。 • 一棵树的边数等于点数减1。 • 树中任意两点之间都有惟一的一条链连通
• 解 图7-12是一个混合图，有3条边的权是负数，有两条边 无方向。依据图7-12，写出任意两点间一步到达距离表 。
表中第一列的点表示弧的起点，第一行的点表示弧的终点， 无方向的边表明可以互达，如表7-4所示。计算过程见表75至表7-7。
7.3最大流问题
• 7.3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1基本概念
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7.3 最大流问题
• 7.3.1基本概念 • 可行流与最大流 • 可行流应满足以下条件：
综上，网络最大流问题就是在满足上述条件的基础上寻找一个流 ，使其流量达到 最大。
7.3 最大流问题
• 7.3.1基本概念 • 增广链
7.3 最大流问题
• 7.3.1基本概念 • 割集与割量
7.3.2 Ford-Fulkerson标号算法
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解
7.2.4最短路的Floyd算法
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• 【例7.5】图7-11是一张8个城市的铁路交通图， 铁路部门要制作一张两两城市间的距离表。这 个问题实际就是求任意两点间的最短路问题。
• 表7-3就是最优表，即任意两点间的最短距离。取表中下三角得 到8个城市间的铁路交通距离表。
• 【例7.6】求图7-12中任意两点间的最短距 离。
第7章 网络模型
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主要内容
• 第一节 最小树问题 • 第二节 最短路问题 • 第三节 最大流问题 • 第四节 旅行售货员与中国邮路问题 • 第五节 网络模型在道路交通工程中的
应用
2
•许多研究的对象往往可以用一个图表示，研究的目的归结为图的极 值问题。本章继续讨论其他几种图的极值问题的网络模型。 •运筹学中研究的图具有下列特征： •（1）用点表示研究对象，用边（有方向或无方向）表示对象之间某 种关系； •（2）强调点与点之间的关联关系，不讲究图的比例大小与形状； •（3）每条边上都赋有一个权，其图称为赋权图。实际中权可以代表 两点之 •间的距离、费用、利润、时间、容量等不同的含义； •（4）建立一个网络模型，求最大值或最小值。
• 最小部分树可以直接用作图的方法求解，常用的有破圈法和加边法。
• 破圈法 任取一圈，去掉圈中最长边，直到无圈。 • 加边法 从最短边开始往支撑图中添加，见圈回避，直到连通。
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7.1.2 最小部分树
• 在一个连通图 中，取部分边连接 的所有点组成的树 称为 的部分树或支撑数（Spanning Tree）。
起来。
7.1.2 最小部分树
• 将网络图边上的权看做两点间的长度（距离、费用、时间），定义G的部 分树T的长度等于T中每条边的长度之和，记为C（T）。G的所有部分树中 长度最小的部分树称为最小部分树，或简称为最小树。如果一个连通图G 本身不是一棵树，那么G的部分树不惟一。最小树问题就是在所有部分树 中寻找树长最短的部分树。