抛物线的规律以及解题技巧
探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧
探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧高中数学作为一门重要的学科，其内容的难度也相对较高。
抛物线作为高中数学中的一个常见知识点，其涉及到的解题方法与技巧也非常重要。
在本文中，我将借助我的学习经验，向大家浅谈关于探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧。
一、基本概念在探讨解题方法与技巧之前，首先我们需要了解抛物线的基本概念。
抛物线是一种在平面上呈现出u形的曲线。
其方程通常为y = ax² + bx + c。
抛物线有两个基本特性：首先，抛物线是对称的，它的对称轴是垂直于x轴的线，其公式为x = -b/2a。
其次，抛物线的最高点叫做顶点，其y坐标为y = c - b²/4a。
二、解题方法1. 求解抛物线的相关参数在解题的过程中，如果我们要求解抛物线的方程，我们需要知道其中的相关参数。
在抛物线方程y = ax² + bx + c中，参数a、b、c分别代表什么意思？我们可以这样理解：参数a代表抛物线的开口方向和开口的大小，参数b代表抛物线的上下平移位置，参数c代表抛物线的左右平移位置。
2. 求解抛物线与其他曲线的交点在解题的过程中，我们还需要求解抛物线与其他曲线（如直线、另一条抛物线等）的交点。
这时我们需要用到解方程的方法。
以求解抛物线和直线的交点为例，我们先将抛物线和直线的方程联立起来，然后将抛物线的方程中的x用直线的方程表示，我们最后就能够解出x的值。
将x的值代入其中一个方程就可以求出y的值。
3. 求解离散数据的抛物线方程在实际生活中，我们有时候需要通过一组离散的数据来求解抛物线的方程。
这时候我们需要用到最小二乘法。
最小二乘法是一种通用的解决线性回归问题的办法，将数据点投影到一个平滑的函数上，通过求解该函数的系数，最终得到最优的函数曲线。
三、解题技巧1. 确定坐标系在解题的过程中，我们应该确定好坐标系的选择，通常可以根据题目的要求来选择合适的坐标系。
如果我们要求解抛物线上的某一个点，可以选择原点为顶点，则求解过程更容易进行。
初中数学题解抛物线的方法
初中数学题解抛物线的方法抛物线是初中数学中的一个重要概念，也是中考数学必考的内容。
掌握抛物线的方法和技巧，可以帮助同学们更好地应对数学考试。
下面是初中数学题解抛物线的方法：一、抛物线的定义和基本性质1. 定义：抛物线是平面内到一个定点（焦点） F 的距离与到一条定直线（准线） l 的距离相等的点的轨迹，焦点和准线的交点称为顶点。
2. 基本性质：（1）对称性：抛物线是关于准线对称的；顶点是对称轴的中心点。
（2）推移性：在抛物线上取两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则这两点关于焦点的距离之和等于线段PQ的长度。
（3）经过焦点性质：抛物线上任意一点到准线的距离等于这一点到焦点的距离。
二、抛物线的方程1. 标准方程：y = ax^2其中，a是抛物线的开口方向和大小的控制参数，如果a>0，则抛物线开口朝上，如果a<0，则抛物线开口朝下。
2. 一般式方程：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是三个参数，可以通过已知条件计算出来。
3. 直角坐标系下，过顶点V(x0,y0)的抛物线：y = a(x - x0)^2 + y0其中，x0、y0、a是常数，可以从已知条件计算出来。
三、抛物线的性质及应用1. 最值问题：对于开口朝上的抛物线，最小值为0，即抛物线与x轴的交点；对于开口朝下的抛物线，最大值为0，即与x轴交点。
2. 焦距问题：焦距等于抛物线的开口方向与大小的控制参数的倒数，即f=1/a。
3. 运动问题：抛物线在空中运动的轨迹就是一个抛物线。
根据公式可以计算出抛物线的高度和距离，解决投掷问题。
4. 其他问题：如抛物线与圆相交、抛物线的切线和法线等，都可以通过平面几何的方法进行求解。
以上就是初中数学题解抛物线的方法。
同学们可以通过大量的练习，掌握抛物线的概念、性质和应用，从而在数学考试中取得好成绩。
抛物线
（二）抛物线在平面直角坐标系中的轴对称变换。抛物线在平面直角坐系中的轴对称变换主要有两种变换。即关于x轴对称的抛物线和关于y轴对称的抛物线变换。
其变换的一般规律是：抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线解析式为y=-ax2-bx-c。变化的实质是：只改变抛物线的开口方向，对称轴保持不变。
一、抛物线在平面直角坐标系中的平移、旋转、轴对称、中心对称变换
（一）抛物线在平面直角坐标系中的平移。我们知道，抛物线y=ax2+bx+c的形状（包括开口方向与开口大小）是由其二次项系数决定的，具体来说，a的符号决定了其开口方向。a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，其开口越大。因此抛物线在平面直角坐标系中的平移，并不会改变抛物线的形状，即在平移过程中其开口方向与抛物线开口的大小保持不变。平移中改变的是抛物线在平面直角坐标系中的位置，即对称轴和顶点坐标的改变。其一般变化规律是：把抛物线y=ax2向左平移h个单位后其解析式为y=a（x+h）2，向右平移h个单位后其解析式为y=a(x-h)2，向上平移k个单位后其解析式是y=ax2+k，向下平移k个单位后其解析式是y=ax2-k。平移中解析式变化的实质是：左右平移时只要自变量x加减某个量即可，即抛物线上每个点的横坐标发生变化，纵坐标保持不变。上、下平移时抛物线上每个点的纵坐标发生改变，横坐标保持不变。
二、在知识探索中，认定归类整理的教学方法
由以上综述可知，抛物线在平面直角坐标系中的变换非常灵活。无论是抛物线在平面直角坐标系中的平移变换，轴对称变换，还是抛物线在平面直角坐标系中的旋转变换，中心对称变换，其形状和大小均保持不变。即归类整理就有头绪。只要我们在数学课堂教学中注意引导学生探索发现它们变化的一般规律，就能发现它们的奥妙所在，那么学生们在学习本单元内容时会充满兴趣。把本来比较枯燥难以理解掌握的抛物线在平面直角坐标系中的变换内容，变得生动有趣，使同学们对学好本单元内容充满自信，为我们提高数学课堂效率，大面积提为学生长远发展打好坚实基础。
抛物线的有关推论技巧
抛物线的有关推论技巧
1. 抛物线的对称性：抛物线的坐标系中心（x,y）一定是抛物线的对称中心，即对于任意一点（x,y）在抛物线上，过对称中心的直线与抛物线相交的两点关于对称中心对称。
2. 抛物线的拐点：抛物线的拐点就是抛物线的顶点，也是抛物线的最小值或最大值。
如果抛物线开口向上，顶点就是最小值，如果抛物线开口向下，顶点就是最大值。
3. 抛物线与直线的交点：如果给出一条直线的方程，可以通过将其与抛物线方程相等求解得到交点的横坐标。
注意：交点可能有两个，一个在抛物线的左边，一个在抛物线的右边。
4. 抛物线的方程：抛物线的标准方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
如果已知抛物线上的三个点，可以利用这三个点求解出对应的a、b、c，从而得到抛物线的方程。
5. 抛物线的焦点和准线：抛物线的焦点是指平面上离抛物线上任意一点距离相等的点的轨迹；抛物线的准线是指与抛物线平行且距离抛物线顶点相等的一条直线。
焦点和准线具有对称性，可以互相确定。
6. 抛物线的面积：抛物线的面积可以通过计算定积分来得到，也可以通过使用
基本几何公式来计算。
对于一个开口朝上的抛物线，其面积等于x轴上两个交点的区域之间的面积，对于一个开口朝下的抛物线，其面积等于x轴上两个交点的区域之间的面积减去抛物线下方的面积。
中考抛物线题型考点分析
中考抛物线题型考点分析第一层次考点：求抛物线的解析式一、 三点代入法（用一般式：c bx a y x++=2）二、 顶点代入法（用顶点式：k ay h x +=+)(2）三、 交点代入法（用交点式：))((21x x x x a y --=）四、 其他点代入法（y 轴交点代入法：图象与y 轴交点坐标即为c 值）五、 点的坐标很隐蔽，需要提前求出。
1、 通过平移得出：平移点时，注意横坐标或纵坐标中，哪一个不变，哪一个要变。
2、 通过对称或对折得出：对称时也要注意哪个坐标变为相反数。
对折时要注意全等。
3、 通过旋转得出：旋转时要注意全等，同时要分析旋转角是多少度，是否为特殊角度。
4、 通过相似得出：通过相似求出相应的线段，从而确定一些特殊点的坐标。
5、 通过解直角三角形，使用三角函数得出：解直角三角形求出相应线段，确定坐标。
6、 通过一次函数得出：代入一次函数，求出相应的特殊点的坐标。
7、 通过反比例函数得出：代入反比例函数，求出相应的特殊点的坐标。
8、通过特殊角度得出（30°、45°、60°等）：作高产生直角三角形。
求出相应坐标。
第二层次考点：求抛物线线上特殊点的坐标一、组成等腰三角形的点 解法：1、用两点间的距离公式求出线段的长（含参数的代数式），再利用等腰三角形两边相等建立方程求解出代数式中的参数，即求出了符合要求的点的坐标；2、 利用中垂线的性质定理来求解，建立中垂线的直线方程与抛物线相交的点即可组成等腰三角形；3、利用半径相等，用画弧的方法求解；4、注意一些特殊角度（如30°，45°，60°，120°，135°、150°等）。
（1）30°，45°，60°的在三角形内部作高，组成特殊直角三角形。
（2）120°，135°、150°在外角上作高，在外部组成特殊直角三角形。
高中数学抛物线的公式及复习技巧
高中数学抛物线的公式及复习技巧高中数学抛物线的公式1、抛物线：y=ax__+bx+c就是y等于ax的平方加上bx再加上c。
a0时，抛物线开口向上;a0时抛物线开口向下;c=0时抛物线经过原点;b=0时抛物线对称轴为y轴。
2、顶点式y=a(x+h)__+k就是y等于a乘以(x+h)的平方+k，-h是顶点坐标的x，k是顶点坐标的y，一般用于求最大值与最小值。
3、抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0)。
4、准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程：y^2=2pxy^2=-2p__^2=2pyx^2=-2py。
高考数学复习技巧1、训练想像力。
有的数学问题既要凭借图形，又要进行抽象思维。
同学们不但要学会看图，而且要学会画图，通过看图和画培养自己的空间想象能力比如，几何中的“点”没有大小，只有位置。
现实生活中的点和实际画出来的点就有大小。
所以说，几何中的“点”只存在于大脑思维中。
2、准确理解和牢固掌握各种数学运算所需的概念、性质、公式、法则和一些常用数据，概念模糊，公式、法则含混，必定影响数学运算的准确性。
为了提高运算的速度，收集、归纳、积累经验，形成熟练技巧，以提高运算的简捷性和迅速性。
3、审题。
有些题目的部分条件并不明确给出，而是隐含在文字叙述之中。
把隐含条件挖掘出米，常常是数学解题的关键所在，对题目隐含条件的挖掘，都要仔细思考除了明确给出的条件以外，是否还隐含着更多的条件，这样才能准确地理解数学题意。
高三提高数学成绩的窍门1、培养良好的学习兴趣常言到：兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它才会去实践它，达到乐在其中，才会形成学习的主动性和积极性就自然的会立志学好数学，成为数学学习的成功者就连孔子不是也说过：知之者不如好之者，好之者不如乐之者“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣2、培养良好的学习习惯很多数学成绩不好或是基础差的同学都没有好的学习习惯良好的学习习惯会让你的学习感到有序和轻松，高中数学良好的学习习惯应该是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用在跟着老师脚步学习的过程中应该养成把老师讲的知识翻译成自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中数学答题技巧有什么1.检查关键结果。
抛物线运动知识点归纳总结
抛物线运动知识点归纳总结抛物线运动知识点归纳总结一、引言抛物线运动是我们在物理学中经常遇到的一种运动形式，它不仅具有理论上的重要性，也与日常生活紧密相关。
本文将对抛物线运动的知识点进行归纳总结，为读者深入了解抛物线运动提供指导。
二、基本概念1. 抛物线的定义抛物线是指平面上一点离定点距离与定直线距离之差保持不变的轨迹。
2. 抛物线的特点抛物线具有对称性，以焦点为中心，顶点为对称轴，对称于焦距的负方向。
三、运动规律1. 抛物线的运动方程对于抛物线的运动，可以通过运动方程来描述：y = ax² + bx + c其中a、b、c为常数，而x、y则分别表示抛物线上的点的横坐标和纵坐标。
2. 抛物线的速度抛物线上的点随时间的变化而变化，速度也随之改变。
在任意一点处的速度与该点处的切线垂直，这是因为切线的斜率是0。
3. 抛物线的加速度抛物线上的点也存在加速度，它总是指向焦点的方向。
这是因为加速度的方向与速度的方向相同，而速度则是沿着法线方向的。
四、运动的影响因素1. 初始速度抛物线的形状和顶点的位置会受到初始速度的影响。
初始速度越大，抛物线越“扁”，顶点的位置也越靠近顶点。
2. 发射角度发射角度决定了抛物线的朝向和形状。
发射角度为45°时，抛物线的高度和水平距离达到最大值。
3. 重力重力是影响抛物线运动的重要因素。
在没有空气阻力的情况下，重力仅改变了抛物线的高度，不会影响抛物线的形状。
五、实际应用1. 炮弹的抛物线轨迹抛射炮弹的运动轨迹可以看作是抛物线。
通过分析炮弹的抛物线轨迹，可以确定炮弹的落点和射程。
2. 投掷运动许多运动项目，如铅球投掷、棒球投掷等，都可以看作是抛物线运动。
通过研究抛物线运动的规律，可以提高投掷的准确性和力度。
3. 桥梁设计在桥梁的设计中，抛物线曲线被广泛运用，因为抛物线具有良好的承重性能和结构稳定性。
六、结论抛物线运动是物理学中的重要概念，通过对抛物线运动的知识点进行归纳总结，我们可以更好地理解和应用这一概念。
高中数学抛物线解题方法总结归纳
圆锥曲线抛物线知识点归纳1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：FK p = ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。
④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。
3抛物线标准方程的四种形式：特点：焦点在一次项的轴上，开口与“±2p ”方向同向4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ，②准线方程是：2p x -=。
③焦半径公式： （称为焦半径）是：02pPF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y p y或2(2,2)P pt pt5一般情况归纳：题型讲解 （1）过点（－3，2）的抛物线方程为 ；y 2=－34x 或x 2=29y ， （2）焦点在直线x －2y －4=0y 2=16x 或x 2=－8y ，（3）抛物线 的焦点坐标为 ；（4）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点 到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为 ；或或.（5）已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时,M 点坐标是 )4,2(例2．斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A B 、两点,求线段AB 的长． 解：法一 通法法二 设直线方程为1y x =-， 1122(,)(,)A x y B x y 、，则由抛物线定义得1212||||||||||22p pAB AF FB AC BD x x x x p =+=+=+++=++，又1122(,)(,)A x y B x y 、是抛物线与直线的交点，由24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2610x x -+=，则126x x +=，所以||8AB =．例3．求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切． 证明：（法一）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2p F ，准线2px =-．设以过焦点F 的弦AB 为直径的圆的圆心M ，A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ，则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+=，又111||||2||AA BB MM +=，∴11||||2MM AB =，即1||MM 为以AB 为直径的圆的半径，且准线1l MM ⊥， ∴命题成立．（法二）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2p F ，准线2px =-．过点F 的抛物线的弦的两个端点11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,)M x y ，则1212||22p pAB x x x x p =+++=++，∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径1211||()22r AB x x p ==++．M 1M点M 到准线2p x =-的距离120121()2222p x x p d x x x p +=+=+=++，∴圆M 与准线相切．例4．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 22(0)y px p =>上，求这个正三角形的边长． 解：设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2112y px =，2222y px =，又||||OA OB =，所以22221122x y x y +=+，即221212()2()0x x p x x -+-=， 1212()(2)0x x x x p -++=．∵10x >，20x >，20p >，∴12x x =．由此可得12||||y y =，即线段AB 关于x 轴对称． 因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=，所以113tan 303y x ==． ∵2112yx p=，∴123y p =，∴1||243AB y p ==．例5 A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)求证：(1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB 经过一个定点解：(1)设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2), 则y 12=2px 1, y 22=2px 2, ∴y 12y 22=4p 2x 1x 2,∵OA ⊥OB, ∴x 1x 2+y 1y 2=0,由此即可解得：x 1x 2=4p 2, y 1y 2=─4p 2 (定值)(2)直线AB 的斜率k=1212x x y y --=py p y y y 22212212--=212y y p+, ∴直线AB 的方程为y─y 1=212y y p+(x─p y 221),即y(y 1+y 2)─y 1y 2=2px, 由(1)可得 y=212y y p+(x─2p),直线AB 过定点C(2p,0) 例6．定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，设点M 为线段AB 的中点，求点M 到y 轴的最小距离．解：抛物线焦点1(,0)4F ，准线l ：14x =-，设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是 1A 、1B 、1M ，设点00(,)M x y ，则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+≥，M1M A又11111||(||||)||22MM AA BB AB =+≥，又101|4MM x =+，||3AB =，∴01342x +≥，所以054x ≥，即0x 的最小值是54．∴点M 到y 轴的最小距离是54，当且仅当AB 过点F 是取得最小距离例7 设抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴证明直线AC 经过原点O分析：证直线AC 经过原点O ，即证O 、A 、C 三点共线，为此只需证k OC =k OA 本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决证法一：设AB ：x =my +2p ，代入y 2=2px ，得y 2－2pmy －P 2=0由韦达定理，得y A y B =－p 2， 即y B =－Ay p2∵BC ∥x 轴，且C 在准线x =－2p上， ∴C （－2p，y B ） 则k OC =2p y B -=A y p 2=A Ax y =k OA 故直线AC 经过原点O证法二：如图，记准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D 则AD ∥EF ∥BC 连结AC 交EF 于点N ，则||||AD EN =||||AC CN =||||AB BF ，BCNF ||=||||AB AF ∵|AF |=|AD |，|BF |=|BC |， ∴|EN |=||||||AB BF AD ⋅=||||||AB BC AF ⋅=|NF |，即N 是EF 的中点从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O点评：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y A ·y B =－p 2这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目例8 、已知抛物线 ，点A(2,3)，F 为焦点，若抛物线上的动点到A 、F 的距离之和的最小值为，求抛物线方程.N O CBD EF A y x分析：在解析几何中，关于到两个定点的距离之和的最小值（或距离之差的最大值）问题，运用纯代数方法解，导致复杂运算，因而常运用几何方法与相关曲线的定义。
中考数学抛物线动点题秒杀技巧
中考数学抛物线动点题秒杀技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：抛物线是数学中一个非常重要的概念，也是中考数学考试中常常会出现的题型之一。
抛物线的性质不仅仅是个别的知识点，更是一个整体的系统性知识。
在解题过程中，我们需要灵活运用抛物线的相关知识，抓住关键点，掌握一些技巧，才能在考试中取得更好的成绩。
本文将为大家介绍一些中考数学抛物线动点题的秒杀技巧，希望能够帮助大家顺利解答相关题目。
我们需要了解抛物线的基本性质。
抛物线是一种特殊的二次曲线，其一般方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
抛物线开口的方向取决于a的正负性：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
在抛物线上，我们常常遇到顶点、焦点、准线等概念，这些都是解题过程中需要重点关注的内容。
在解决抛物线动点题时，我们首先要确定动点的位置。
动点通常是抛物线上的一个点，在运动过程中其坐标会发生变化。
设抛物线的方程为y=ax^2+bx+c，动点的坐标为(x,y)，我们需要根据题目中的条件，确定动点的位置。
我们需要利用抛物线的性质，建立动点坐标变化的关系式。
在解题过程中，我们常常需要根据已知条件列方程，利用抛物线的性质建立动点坐标变化的关系式，从而求解动点的轨迹、移动方向等。
如果动点在抛物线上以匀速运动，我们可以利用速度的定义建立关于动点坐标的变化式。
我们需要灵活运用数学知识，解题过程中要注意化繁为简。
在解决抛物线动点题时，我们可能会遇到复杂的条件和问题，这时我们需要善于化繁为简，抓住关键点，简化问题。
可以通过几何、代数等不同的方法，灵活运用数学知识，解题过程中要注意逻辑性，不要陷入死胡同。
中考数学抛物线动点题并不是难题，关键在于掌握抛物线的基本性质，灵活运用数学知识，化繁为简，善于建立关系式，抓住关键点。
通过不断练习，积累经验，相信大家能够在考试中轻松应对抛物线动点题，取得好成绩。
希望以上的技巧能够帮助大家更好地掌握抛物线动点题的解题方法，祝大家在中考数学考试中取得优异成绩！第二篇示例：中考数学中，抛物线动点题是考生普遍认为比较难的题型之一。
初三抛物线知识点归纳总结
初三抛物线知识点归纳总结抛物线是数学中的一种重要曲线，具有许多特殊的性质和应用。
在初三数学中，学生将接触到抛物线的相关知识，并需要进行归纳总结。
本文将对初三抛物线的知识点进行系统整理，以帮助学生更好地掌握和运用这一知识。
一、抛物线的定义和性质抛物线是一个平面曲线，其定义为到定点（焦点）和直线（准线）的距离相等的点所构成的轨迹。
抛物线有以下性质：1. 对称性：抛物线关于准线对称，焦点和准线的中点是抛物线的对称中心。
2. 准线上的点：准线上的点到焦点的距离等于到抛物线的顶点的距离。
3. 焦点和直线关系：焦点到直线的距离等于焦距（焦点到抛物线顶点的距离）。
二、抛物线的方程及其性质抛物线的方程有两种常见形式：一般形式和顶点形式。
1. 一般形式：$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$是常数。
- 当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。
- 抛物线的平移：通过改变常数$b$和$c$，可以使抛物线平移。
2. 顶点形式：$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$是抛物线的顶点。
- 顶点坐标$(h,k)$为抛物线的最低点或最高点。
- 抛物线的平移：通过改变顶点坐标$(h,k)$，可以使抛物线平移。
三、抛物线的焦点和准线1. 焦点的坐标：对于一般形式的抛物线，焦点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$y=\frac{1}{4a}-\frac{b^2}{4ac}+c$。
2. 焦距的计算：焦距等于$\frac{1}{4a}$。
3. 准线的方程：对于一般形式的抛物线，准线方程为$y=\frac{-b^2+4ac}{4a}$。
四、与抛物线相关的常见问题1. 抛物线的判别式：对于一般形式的抛物线，判别式$D=b^2-4ac$可以判断抛物线的开口方向和与坐标轴的交点情况。
- 当$D>0$时，抛物线与$x$轴有两个交点。
- 当$D=0$时，抛物线与$x$轴有一个交点，抛物线为切线。
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线是二次函数的图像，其数学表达式为y=ax²+bx+c，其中a不等于0。
下面是抛物线的主要知识点总结：
1. 抛物线的开口方向与二次项系数a的正负有关。
当a>0时，抛物线开口向上；当
a<0时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点即为其最低点或最高点，可通过求解二次函数的极值得到。
顶点的
坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 抛物线的对称轴是确定抛物线左右对称性的一个直线，其方程为x=-b/2a。
4. 抛物线的判别式为Δ=b²-4ac，可以判断抛物线的图像与x轴的交点个数。
当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点；当Δ=0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ<0时，抛物
线与x轴没有交点。
5. 抛物线的零点是指函数与x轴相交的点，即函数f(x)=0的解。
可通过求解二次方
程ax²+bx+c=0得到零点。
6. 抛物线的焦点是指所有与抛物线上每一点距离相等的点所构成的图形。
焦点到顶
点的距离称为焦距，其计算公式为f=1/(4a)。
7. 抛物线方程经过给定点(x0, y0)的条件是，将该点的坐标带入抛物线方程得到的等式成立。
8. 抛物线与直线的交点可以通过将抛物线方程与直线方程相等，得到一个二次方程，通过求解这个二次方程得到。
9. 抛物线的图像是平面内到焦点的距离和到直线的距离相等的点组成的图形。
抛物
线还具有平移、缩放和翻转等性质。
10. 抛物线可以用于描述抛射物运动的轨迹、天文学中行星的运动轨迹等。
初中抛物线解题技巧
初中抛物线解题技巧抛物线是初中数学中的重要内容，掌握抛物线的解题技巧对于提高数学成绩至关重要。
本文将为您详细介绍初中抛物线解题的技巧和方法，帮助您在解决抛物线相关问题时更加得心应手。
一、初中抛物线的基本概念1.抛物线的定义：抛物线是平面内到一个定点（焦点）距离等于到一条直线（准线）距离的点的轨迹。
2.抛物线的标准方程：y^2 = 2px 或x^2 = 2py，其中p为焦点到准线的距离。
3.抛物线的性质：抛物线的对称轴为y轴（或x轴），顶点在原点，焦点在对称轴上，准线与对称轴平行。
二、初中抛物线解题技巧1.确定抛物线的方程（1）根据题目条件，找到抛物线的焦点和准线。
（2）利用抛物线的标准方程，结合焦点和准线的距离，确定抛物线的方程。
2.求解抛物线上的点（1）代入法：将题目给出的点坐标代入抛物线方程，验证是否满足条件。
（2）求交法：将抛物线方程与其他方程（如直线方程）联立，求解交点坐标。
3.求解抛物线的顶点（1）直接求解：将抛物线方程化为顶点式，直接得到顶点坐标。
（2）配方法：将抛物线方程化为顶点式，通过配方法求解顶点坐标。
4.求解抛物线的对称轴抛物线的对称轴为y轴（或x轴），根据抛物线方程，可直接得到对称轴方程。
5.求解抛物线的焦点和准线（1）根据抛物线方程，求解焦点坐标。
（2）根据焦点坐标和抛物线方程，求解准线方程。
三、实战演练例题：已知抛物线的顶点为（0，0），且经过点（2，4），求抛物线的方程。
解题步骤：1.根据题目条件，抛物线的顶点为（0，0），所以抛物线方程为y^2 =2px。
2.将点（2，4）代入抛物线方程，得到16 = 4p，解得p = 4。
3.代入p的值，得到抛物线方程为y^2 = 8x。
通过以上解题技巧的介绍，相信您在解决初中抛物线问题时会更加有信心。
高中数学抛物线几个常用秘技及其推导
高中数学抛物线几个常用秘技及其推导
二、易误点
1.抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线。
2.抛物线标准方程中参数p易忽视只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义。
三、与抛物线有关的最值问题的解题策略
该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关。
实现由点
到点的距离与点到直线的距离的转化。
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解。
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决。
(3)引入变量，建立目标函数，利用不等式或者函数性质求解
四、求抛物线方程应注意的问题
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题。
五、解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系。
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式。
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解
法。
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解。
圆锥曲线之抛物线知识点讲解(含解析)
抛物线的概念与几何性质一、知识梳理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质3.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.4.焦半径：抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.二、例题精讲 + 随堂训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a .(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________. 解析 设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y .答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y3. 抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.解析 设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2. 答案 24.(2019·黄冈联考)已知方程y 2＝4x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x ＝m 的距离为4，则m 的值为( ) A.5B.－3或5C.－2或6D.6解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，它与直线x ＝m 的距离为d ＝|m －1|＝4，∴m＝－3或5.答案B5.(2019·北京海淀区检测)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P 作P A⊥y轴，垂足是A，延长P A交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.答案B6.(2019·宁波调研)已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.解析设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].答案[－1，1]考点一抛物线的定义及应用【例1】(1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x21－y2－x22＝()A.4B.6C.8D.10(2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是()A.2B.135 C.145 D.3解析 (1)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋12，|BF |＝y 2＋12，∴|AF |－|BF |＝y 1－y 2＝2，又知x 21＝2y 1，x 22＝2y 2，∴x 21－x 22＝2(y 1－y 2)＝4，∴y 1＋x 21－y 2－x 22＝(y 1－y 2)＋(x 21－x 22)＝2＋4＝6.(2)由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1，0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2. 答案 (1)B (2)A规律方法 应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p2或|PF |＝|y 0|＋p 2.【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析 (1)设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .(2)如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2，0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1. 又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6. 答案 (1)y 2＝4x (2)6考点二 抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)(2018·晋城模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当|MA ||MF |＝2时，△AMF 的面积为( ) A.1B. 2C.2D.22(2)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为( )A.y 2＝85xB.y 2＝165xC.y 2＝325xD.y 2＝645x 解析 (1)过M 作MP 垂直于准线，垂足为P ， 则|MA ||MF |＝2＝|MA ||MP |＝1cos ∠AMP ，则cos ∠AMP ＝22，又0°<∠MAP <180°， 则∠AMP ＝45°，此时△AMP 是等腰直角三角形， 设M (m ，4m )，由|MP |＝|MA |，得|m ＋1|＝4m ， 解得m ＝1，M (1，2)，所以△AMF 的面积为12×2×2＝2. (2)由题意，知直线AB 必过原点， 则设AB 的方程为y ＝kx (易知k >0)， 圆心C 1(0，2)到直线AB 的距离d ＝|－2|k 2＋1＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫4552＝255，解得k ＝2，由⎩⎨⎧y ＝2x ，x 2＋（y －2）2＝4得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165，把⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165代入抛物线方程， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝2p ·85，解得p ＝165， 所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x . 答案 (1)C (2)C规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】 (1)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________.(2)(2019·济宁调研)已知点A (3，0)，过抛物线y 2＝4x 上一点P 的直线与直线x ＝－1垂直相交于点B ，若|PB |＝|P A |，则P 的横坐标为( ) A.1B.32C.2D.52解析 (1)设A ，B 在准线上的射影分别为A 1，B 1， 由于|BC |＝2|BF |＝2|BB 1|，则直线的斜率为3， 故|AC |＝2|AA 1|＝6，从而|BF |＝1，|AB |＝4，故p |AA 1|＝|CF ||AC |＝12，即p ＝32，从而抛物线的方程为y 2＝3x .(2)由抛物线定义知：|PB |＝|PF |，又|PB |＝|P A |，所以|P A |＝|PF |，所以x P ＝x A ＋x F2＝2(△PF A 为等腰三角形). 答案 (1)y 2＝3x (2)C考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】 (2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程. 解 (1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两不等实根， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 又x 2＝2py 得y ′＝xp ，则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p ＝－1， 则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1p x ＋b ，又切点A 在抛物线y ＝x 22p 上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ，切线AN 的方程为y AN ＝x 1p x －x 212p ，同理切线BN 的方程为y BN ＝x 2p x －x 222p . 又∵N 在y AN 和y BN 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1p x －x 212p ，y ＝x 2p x －x 222p，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22p .∴N (pk ，－1). |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 24p 2k 2＋8p ， 点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ， ∴22p ＝4，∴p ＝2， 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .规律方法 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A.16B.14C.12D.10解析 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 2直线的斜率为－1k ，故l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1).由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2， 由抛物线定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2. 同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k 2≥8＋216＝16. 当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号. 故|AB |＋|DE |的最小值为16. 答案 A[思维升华]1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p . [易错防范]1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p ＞0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0).2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24. (2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角). (4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点).【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4B.92C.5D.6[一般解法]易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1). 由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，②由①②解得x A ＝2，x B ＝12， 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.[应用结论]法一 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知 |AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92.法二 因为|AF |＝2|BF |，1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1， 解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92. 答案 B【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.94[一般解法]由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S△OAB ＝12|OF||y A－y B|＝12×34×6＝94.[应用结论]由2p＝3，及|AB|＝2p sin2α得|AB|＝2psin2α＝3sin230°＝12.原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝3 8，故S△AOB ＝12|AB|·d＝12×12×38＝94.答案D【例3】(2019·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为()A.5B.6C.163 D.203[一般解法]如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋p2＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝23，所以A(3，23)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y＝3(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.[应用结论]法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.法二 因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.答案 C三、课后练习1.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π3解析 设|AF |＝m ，|BF |＝n ，∵|AF |＋|BF |＝233|AB |，∴233|AB |≥2mn ，∴mn ≤13|AB |2，在△AFB 中，由余弦定理得cos ∠AFB ＝m 2＋n 2－|AB |22mn ＝（m ＋n ）2－2mn －|AB |22mn ＝13|AB |2－2mn 2mn ≥－12，∴∠AFB 的最大值为2π3. 答案 D2.(2019·武汉模拟)过点P (2，－1)作抛物线x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，P A ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为( )A.32B.33C.12D.34解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点A ，B 处的切线方程为x 1x ＝2(y ＋y 1)，x 2x ＝2(y ＋y 2)，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 1x 1，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2x 2，0，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，0，因为这两条切线都过点P (2，－1)，则⎩⎨⎧2x 1＝2（－1＋y 1），2x 2＝2（－1＋y 2），所以l AB ：x ＝－1＋y ，即l AB 过定点(0，1)，则S △PEF S OAB＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 12－x 2212×1×|x 1－x 2|＝12. 答案 C3.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.解析 如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1，连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1，由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.答案655－14.(2019·泉州一模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值.解 (1)因为点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，所以点A 的纵坐标为p 4，所以p 4＋p 2＝32，所以p ＝2，所以C 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (b ≥0)，代入抛物线方程，可得x 2－4kx－4b ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以y 1＋y 2＝4k 2＋2b ， 因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以2k 2＋b ＝1，即2k 2＝1－b ≥0，所以0<b ≤1，S △OPQ ＝12b |x 1－x 2|＝12b （x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12b 16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2·b 3＋b 2(0<b ≤1)，设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b >0，函数单调递增，所以b ＝1时，△OPQ 的面积最大，最大值为2.5.已知点A (0，2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( ) A.14 B.2 C.4 D.8解析 过点M 作抛物线的准线的垂线，垂足为点M ′，则易得|MM ′|＝|MF |，所以cos ∠NMM ′＝|MM ′||MN |＝|MF ||MN |＝55，则k AM ＝－tan ∠NMM ′＝－1－cos 2∠NMM ′cos 2∠NMM ′＝－2，则直线AM 的方程为y －2＝－2x ，令y ＝0得抛物线的焦点坐标F (1，0)，则p ＝2×1＝2，故选B.答案 B。
抛物线问题解决中的一些技巧
抛物线问题解决中的一些技巧抛物线是三大圆锥曲线之一，在高考中占有重要的地位。
求解抛物线问题我们应掌握一些解题的技巧，从而使得我们的解题更简洁、思路更清晰。
一、正确选用标准方程例1、求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点(24)P --，的抛物线的标准方程． 解：由题意，抛物线有两种情形：（1）设抛物线22(0)y px p =>，将(24)P --，代入得4p =．故标准方程为28y x =-； （2）设抛物线22(0)x py p =->，将(24)P --，代入得12p =，故标准方程为2x y =-． 所以满足条件的抛物线的标准方程为28y x =-或2x y =-．点评：求圆锥曲线的标准方程，关键是确定类型，设出方程，待定系数法是常用方法之一。
本题应结合图形，分析出两种情形，避免漏解。
练习1：已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,3)M m -到焦点距离为5，求m 的值。
解：设抛物线方程为22(0)x py p =->，准线方程：2p y =∵点M 到焦点距离与到准线距离相等，∴532p=-+，解得：4p =，∴抛物线方程为28x y =-。
把(,3)M m -代入得：m =±二、合理使用定义例2、已知点(32)P ，在抛物线24y x =的内部，F 是抛物线的焦点，在抛物线上求一点M ，使MP MF +最小，并求此最小值．解：过M 作准线l 的垂线MA ，垂足为A ，则由抛物线的定义有M F M A =．MP MF MP MA +=+∴，显然当P M A ，，三点共线时，MP MF +最小． 此时，M 点的坐标为(12)，，最小值为4． 点评：抛物线的定义用法：一是根据定义求轨迹；二是两个相等距离（动点到焦点的距离与动点到准线的距离）的互化．在解题中，应正确合理地使用定义，同时应注意“看到准线想焦点，看到焦点想准线”。
练习2：已知动点M 的坐标满足方程，则动点M 的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 以上都不对解：由题意得：，即动点到直线的距离等于它到原点（0，0）的距离。
抛物线一般式平移规律口诀
抛物线一般式平移规律口诀全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：抛物线是二次函数的一种，它的一般式表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c分别代表抛物线的开口方向和顶点坐标。
而抛物线的平移规律可以通过简单的口诀来记忆，让我们一起来学习一下吧！我们来回顾一下抛物线的一般式，y=ax^2+bx+c。
a表示抛物线的开口方向，当a大于0时抛物线开口向上，当a小于0时抛物线开口向下；b表示抛物线在x轴上的对称轴位置，它决定了抛物线的左右平移；c表示抛物线的顶点在y轴上的位置，它决定了抛物线的上下平移。
现在，我们来看一下抛物线的平移规律口诀：1. 左右平移：- 当抛物线的一般式为y=a(x-h)^2+k时，h决定了抛物线向左或向右平移。
h大于0时向右平移，h小于0时向左平移；- 具体移动的距离等于h的绝对值。
通过以上口诀，我们可以轻松地记忆抛物线的平移规律，从而更加容易地在解题时进行计算。
掌握了这一规律也可以更好地理解抛物线的性质和特点。
除了以上的口诀，我们还可以通过实际的例题来加深理解和运用。
让我们考虑一个具体的例子：已知抛物线的一般式为y=2(x-3)^2+4，求抛物线的顶点坐标及平移方向。
根据口诀，我们知道h=3，k=4，因此抛物线的顶点坐标为(3,4)。
由于h大于0，因此抛物线向右平移，移动的距离为3个单位。
通过这个例子，我们可以看到口诀的应用，可以帮助我们更快、更准确地解题。
也能够深化我们对抛物线的理解，提升解题的效率和准确性。
抛物线的平移规律口诀是我们学习和掌握抛物线性质的重要工具之一。
通过口诀的记忆和实际应用，我们可以更好地理解和运用抛物线的性质，提高解题的效率和准确性。
希望以上内容对大家有所帮助，期待大家在学习和解题中取得更好的成绩！第二篇示例：想要学习关于抛物线一般式平移规律的口诀吗？那么来看看下面的文章吧！抛物线是我们经常在数学课程中遇到的图形，而了解其一般式平移规律对于解题和理解概念都非常重要。
高考抛物线知识点汇总
高考抛物线知识点汇总高考是每个学子追求成功与梦想的一场考试，而数学科目中的抛物线是一个重要的知识点之一。
在高中数学学习过程中，我们接触到了关于抛物线的各种概念、定理和应用。
本文将对高考中与抛物线相关的知识点进行汇总总结，为同学们的复习提供参考。
一、抛物线的定义和性质抛物线是一种特殊的曲线，可以用平面上动点到固定点和动点到固定直线的距离相等来定义。
它的数学表达式形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
根据抛物线的形状，我们可以将其分为开口向上和开口向下的两种情况。
抛物线具有对称性、奇偶性和单调性等性质，这些性质在解题过程中非常关键。
二、抛物线的基本图像和方程理解抛物线的基本图像对于解题至关重要。
当a>0时，抛物线开口向上，对称轴是x轴，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)；当a<0时，抛物线开口向下，对称轴是x轴，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
当a=0时，方程退化成一条直线。
三、抛物线的焦点和准线焦点和准线也是抛物线的重要概念，了解其定义和性质能够帮助我们解决与抛物线相关的具体问题。
对于开口向上的抛物线，焦点在对称轴上方，准线在对称轴下方；对于开口向下的抛物线，焦点在对称轴下方，准线在对称轴上方。
焦点和准线的位置对于抛物线的图像、方程以及实际应用都有着重要的影响。
四、抛物线与其他图形的关系抛物线与直线、圆、椭圆等图形都有着密切的联系和关系。
在高考中，经常会遇到需要将抛物线与其他图形进行配合的题目。
例如，通过抛物线的性质可以求解切线或法线的方程，可以确定抛物线与其他图形的位置关系等，这些都需要我们在理解抛物线知识的基础上进行灵活运用。
五、抛物线的应用抛物线是数学与现实生活相结合的一个重要桥梁，它在物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
在高考中，也会出现与抛物线相关的应用题。
例如，通过抛物线将某个问题转化为一道优化问题，求解最优解；通过抛物线了解弹射物体的运动规律等。
(整理版)破解抛物线问题“五法”
破解抛物线问题“五法〞1、定义法抛物线是一种重要的圆锥曲线，解题中活用它的定义，常常能收到事半功倍之效.例1动点P 到点F(4，0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，求动点P 的轨迹方程. 解析：此问题的条件可转化为“动点P 到定点F(4,0)和它到定直线x=-4的距离相等〞.由抛物线的定义可知, 动点P 的轨迹是以F(4，0)为焦点、定直线x=-4为准线的抛物线. 显然,8,42==p p , 动点P 的轨迹方程是.162x y = 2、取特殊位置动点、动直线、动弦、动角、动轨迹常常是抛物线问题中出现的动态图形，利用这些动态图形的特殊位置往往能帮助我们迅速解决某些选择题或填空题. 例2设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，那么OA 与OB 的数量积为〔 〕 A.43 B.43- C.3 D.－3解析：对动直线AB ，取其垂直于x 轴的特殊位置，即线段AB 为抛物线的通径(如图1). 由于焦点F 的坐标为)0,21(，那么A )1,21(-B )1,21(，于是OA . OB=)1,21(- .)1,21(=.43141-=- 可知，答案B 正确3、巧设方程确定抛物线的方程是一类重要的题型，在许多情况下，假设恪守常规，不但过程繁琐，运算量大，对于有些问题甚至还可能陷入困境．假设能根据题目的特点，采用相应的设法，那么可到达避繁就简的目的．例3 抛物线的顶点为原点，焦点在x 轴上，且被直线1y x =+所截的弦长为解：设抛物线的方程为2y ax =〔0a ≠，那么有21y ax y x ⎧=⎨=+⎩，消去y 得2(2)10x a x +-+=，设弦AB 的端点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，那么122x x a +=-，121x x ===解得1,a =-或5a =所以所求抛物线方程为2y x =-或25y x =．.4、整体相减法涉及到抛物线上假设干个动点的问题，我们常常由点的坐标满足抛物线的方程而得到假设干个方程，将这假设干个方程实施整体相减，往往能帮助我们顺利解题.例4求抛物线y x 22-=中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.解析：设斜率为2的平行弦〔动弦〕的两个端点A 、B 的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，中点M 的坐标为),(y x . 那么2221212,2y x y x -=-=.两式整体相减得，()()()2121212y y x x x x --=-+. 显然,21x x ≠ ∴2121212x x y y x x --⋅-=+. 而,2,2212121x x x x x y y =+=--∴42-=x , .02=+x 联立y x 22-=与02=+x 解得，.2-=y 因此抛物线y x 22-=中斜率为2 的平行弦的中点的轨迹方程是)2(02-<=+y x .5、向量法由于平面向量在直角坐标系下可以用坐标表示，这就为用向量法处理抛物线问题提供了可能性. 对于某些抛物线问题，假设能活用平面向量知识求解，往往十分简捷, 给人以耳目一新之感.例5 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)是抛物线x 2=2py(p ＞0)上的两点，且OA ⊥OB(O 为原点). 求证：x 1x 2=－4p 2，y 1y 2 = 4p 2.证明：如图2，∵x 12= 2py 1, x 22= 2py 2,∴y 1= px 221, y 2= p x 222. o ∴OA=(x 1,y 1)=(x 1, px 221), OB=(x 2, y 2)=(x 2, p x 222). (图2) ∵OA ⊥OB ，∴OA ·OB=0，即 x 1x 2+241p(x 1x 2)2=0, 而x 1x 2≠0， ∴x 1x 2= －4p 2. 进而y 1y 2=241p (x 1x 2)2=4p 2. 以上介绍了破解抛物线问题的五种方法. 解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法, 有时候还需要几种方法融为一体, 共同发挥作用.。
抛物线的几个定义
抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(F∈l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
抛物线的定义也可以说成是：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比等于1的点的轨迹。
抛物线的规律总结：
①在抛物线的定义中的定点F不在直线l上，否则动点的轨迹就是过点F且垂直于直线l的一条直线，而不再是抛物线。
②抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故在一些问题中，二者可以互相转化，这是利用抛物线定义解题的关键。