高数重积分测试题

高数测试题七（重积分部分）答案

一、选择题（每小题5分，共25分） 1、交换积分0

(,)(a

y

dy f x y dx a ⎰

⎰为常数）的次序后得（ B ）

A 00

(,)y

a

dx f x y dy ⎰⎰ B

0(,)a

a

x

dx f x y dy ⎰⎰

C

(,)a

x

dx f x y dy ⎰

⎰ C

(,)a

y

dx f x y dy ⎰

⎰

2、设2222

222()()x y z t F t f x y z d v ++≤=

++⎰⎰⎰

，其中 f 为连续函数，(0)f '存

在，而(0)0,(0)1f f '==，则5

0()

lim

t F t t →=（ B ）

A π

B 45π

C 35π

D 2

5

π

3、球面2

2

2

2

4x y z a ++=与柱面22

2x y ax +=所围成立体体积（含在柱

内部分）为（ C ）

A

2cos 20

04a d π

θ

θ⎰⎰ B

2cos 20

8a d π

θ

θ⎰⎰

C

2cos 20

4

a d π

θ

θ⎰

⎰

D

2cos 20

2

a d π

θ

πθ-⎰⎰

4、设D 是xy 平面上以点(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )D

xy x y d σ+⎰⎰=（ A ）

A 1

2

cos sin

D x yd σ⎰⎰ B 1

2D xyd σ⎰⎰ C 1

(cos sin )D xy x y d σ+⎰⎰ D 0

5、设22222222

22sin()1

arctan 0

(,)0

2

x y x y x y x y f x y x y π⎧++≠⎪⎪++=⎨

⎪+=⎪⎩ ，

区域22

:(0)D x y ε

ε+≤>，则0

1

lim (,)D

f x y d εσπε

+

→⎰⎰=（ A ）

A

2

π

B π

C 0

D ∞ 二、填空题（每小题5分，共25分） 1、 设(,,)I f x y z dxdydz Ω

=

⎰⎰⎰，积分区域

:0z z y Ω≤≥≥所确定，则I 在柱面坐标系下

的三次积分为

120

(cos ,sin ,)d rdr f r r z dz π

θθθ⎰

⎰

2、 设D 是由3

,(0)y x y x x ==>所围成的平面区域， 则

sin D

x

d x σ⎰⎰= 32(cos1sin1)-+ 3、二次积分

2

2

2

y x

dx e dy -⎰

⎰=

41

(1)2

e -- 4、 设D

是由11

,2x y -≤≤-≤≤围成的平面区域，则

3

(2)D

x

y d x d y +⎰⎰= 0

5、 设Ω是由球面2

2

2

1

x y z ++=所围成的闭区域，则222222ln(1)

1z x y z dxdydz x y z Ω

++++++⎰⎰⎰= 0 三、计算题 1、（6分）计算 222:(0)D xy dxdy

D x y a a +≤>⎰⎰

解：由对称性知

224

142()2

a

a

D

xy dxdy dx x a x dx a ==-=

⎰⎰

⎰⎰

3、（6分）计算

D

，其中D 为 221x y +≤的第一象限部分

解：原式

=

220

(2)48

d t r π

ππθπ==-⎰

⎰

⎰

4、（8分）

22224:9D

x y dxdy D x y +-+≤⎰⎰

解：

1

2

2

2222222

23

220

24(4)(4)41

(4)(4)2

D

D D x

y dxdy x y dxdy x y dxdy

d r rdr d r rdr π

π

θθπ+-=-+++-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰

5、（6

分）计算Ω

，其中 Ω为2216,4,0

x y y z z +=+==所围成的区域

解：原式=

24

4sin 0005123

r d rdr rdz π

θ

π

θ-=

⎰⎰⎰

6、（8分）计算22222222

:,2(0)z dv x y z a x y z az a Ω

Ω++≤++≤>⎰⎰⎰

解：

12

2

22

20

222

22220

2

[][]59(2)()480

z z

a

a

a D D a a

a z dv z d dz z d dz

z az z dz z a z dz σσπππΩ

=+=-+-=

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰