线性代数第6章习题课

第六章 二次型与对称矩阵习题课
6.1 6.2 6.3 6.4 二次型及其矩阵 二次型的标准形 合同变换与二次型的规范形 实二次型分类 正定二次型
一 主要概念
~ 1.矩阵A,B合同 1.矩阵A,B合同 ( A− B) : 矩阵A,B 存在n阶可逆矩阵P，使得 PT AP = B 2.二次型的标准形 二次型的标准形: 2.二次型的标准形:只含有平方项的二次型
P AP = Λ = diag(λ1, λ2 ,⋯, λn )
T
2)任意二次型都可经可逆变换化为的标准形 2)任意二次型都可经可逆变换化为的标准形
f
x = Py
P是可逆阵 是可逆阵
b1 y1 + b2 y 2 + ⋯ + bn y n
2 2
2
任意实对称矩阵A都存在可逆矩阵P,使得 任意实对称矩阵A都存在可逆矩阵P,使得 P,
2
得标准形
f = 4 y1 − y 2 − 4 y 3
2
所用的可逆线性变换为
1 x1 1 − 2 − 1 y1 x 2 = 1 1 2 − 1 y 2 x 0 0 1 y 3 3
（3）正交变换法 ）
等价 A ≅ 相似
B
PAQ = B
(P,Q可逆) (P,Q可逆) 可逆
−1
R( A) = R(B)
A∼ B
P AP = B R( A) = R(B), A = B ,
(P可逆) (P可逆) 可逆 A,B特征值相同, A,B特征值相同, 特征值相同
(A,B为方阵) (A,B为方阵) 为方阵 合同 A ≃
x
f = x T Ax > 0 . ，都有
则称f为正定二次型 对称矩阵A称为正定矩阵 称为正定矩阵. 则称 为正定二次型, 对称矩阵 称为正定矩阵 为正定二次型
二. 主要结论 A,B都是 阶矩阵,存在n阶可逆矩阵P, 都是n P,使得 矩阵合同 设A,B都是n阶矩阵,存在n阶可逆矩阵P,使得 PT AP = B A与B合同记作 A ≃ B. 合同的性质 (1)合同具有自反性，对称性和传递性. (1)合同具有自反性，对称性和传递性. 合同具有自反性 合同矩阵具有相同的秩) (2)若A ≃ B, 则 R( A) = R(B). (合同矩阵具有相同的秩) (3)若 是对称矩阵, (3)若 A ≃ B, 且A是对称矩阵,则B也是对称矩阵 与对称矩阵合同的必是对称矩阵) (与对称矩阵合同的必是对称矩阵) (4)若 合同, 等价. (4)若A与B合同, 则A与B等价.即 A ≃ B ⇒ A ≅ B. (5)合同与相似是两个独立的概念 (5)合同与相似是两个独立的概念
PT AP = Λ = diag(b1, b2 ,⋯, bn )
3)(惯性定律) 3)(惯性定律)任意实二次型都可经可逆实线性变换化 为规范形 x = Py 2 2 2 2
fห้องสมุดไป่ตู้
P可逆 可逆
z1 +⋯+ zp − zp+1 −⋯− zp+q
且规范形是唯一的. 且规范形是唯一的. 任意实对称矩阵A都存在可逆矩阵P,使得 任意实对称矩阵A都存在可逆矩阵P,使得 P,
三 重要方法 化二次型为标准型的3种方法： 化二次型为标准型的3种方法： (1)正交变换法 f = x T Ax 正交变换法 (2)配方法 配方法 (3)合同变换法 合同变换法 系数是A的特征值 系数是 的特征值
λ1 y12 + λ2 y2 2 + ⋯+ λn yn 2
b1 y1 + b2 y2 + ⋯+ bn yn
trA = trB,
B
P AP = B
T
R( A) = R(B),
A,B对称性不变, A,B对称性不变, 对称性不变 A,B正惯性指数相等, A,B正惯性指数相等, 正惯性指数相等 A,B负惯性指数相等, A,B负惯性指数相等, 负惯性指数相等
(A,B为方阵) (A,B为方阵) 为方阵
(P可逆) (P可逆) 可逆
2
所用的可逆线性变换为
x1 = z1 − z 2 − z 3 x 2 = z1 + z 2 − z 3 x3 = z 3
（2）合同变换法 ）
0 2 A 2 = E 1 0 0 2 2 0 2 2 0 0 0 1 0 0 1
2 2 2 f = k1 y1 + k2 y2 +⋯+ kn yn 3.二次型的规范形 3.二次型的规范形
f
y1 +⋯+ yp − yp+1 −⋯− yp+q
2 2 2
2
其中p， ， 其中 ，q，p+q=R(A)由二次型所唯一确定 由二次型所唯一确定 4.正定二次型和正定矩阵 4.正定二次型和正定矩阵 如果任何非零实向量
2 2 2
正交变换 可逆变换
f = x Ax
T
系数不一定是A 系数不一定是 的特征值
利用正交变换将化二次型为标准形的步骤: 利用正交变换将化二次型为标准形的步骤 1.由二次型写出对称矩阵A 1.由二次型写出对称矩阵A 由二次型写出对称矩阵 2.求出对称矩阵 求出对称矩阵A 2.求出对称矩阵A的全部的特征值 3.求每个不同特征值对应的线性无关的特征向量 3.求每个不同特征值对应的线性无关的特征向量 4.将属于每个不同特征值的特征向量正交化 将属于每个不同特征值的特征向量正交化, 4.将属于每个不同特征值的特征向量正交化,单位化 共可得到n个两两正交的单位特征向量η1 ,η 2 ,⋯,η n 共可得到n 5.以 η1 ,η 2 ,⋯,η n 为列向量构成正交矩阵P， 为列向量构成正交矩阵P 5.以 则正交变换为 x = Py 6. 二次型经此正交变换化为标准形
实二次型 f = xT Ax 正定(A正定)的充分必要条件 正定(A正定) (A正定 其标准形中n 其标准形中n个平方项系数全为正
2 2 2 其规范形为 f = z1 + z2 +⋯+ zn
f (或者A)的正惯性指数为n. 或者A)的正惯性指数为n. A)的正惯性指数为
A的n个特征值全为正． 个特征值全为正． A合同于n阶单位矩阵E. 即A − E 合同于n阶单位矩阵E. ɶ A的各阶顺序主子式全大于0. 的各阶顺序主子式全大于0. 存在可逆矩阵P,使得 存在可逆矩阵P,使得 A = PT P P,
0.
试用正交变换法, 试用正交变换法,配方法和合同变换法把二次型
0 1 2 T f ( x1 , x 2 , x3 ) = x 3 0 3 x 2 1 0
化为标准形,并求所用的正交变换和可逆变换. 化为标准形,并求所用的正交变换和可逆变换. 解 给出的二次型为 f = 4 x1 x 2 + 4 x1 x3 + 4 x 2 x3 二次型的矩阵为
λ
先求A的特征值 先求 的特征值
−2 −2 1 −2 −2 λE − A = − 2 λ − 2 = (λ − 4)1 λ − 2 = (λ − 4)(λ + 2)2 = 0 −2 −2 λ 1 −2 λ
得特征值
( 对λ1 = λ2 = −2, 解 − 2E − A)x = 0,
- 2 - 2 - 2 1 1 - 2E - A = - 2 - 2 - 2 → 0 0 - 2 - 2 - 2 0 0 −1 得线性无关的 ξ1 = 1 特征向量 0 1 0 0
PT AP = Λ = diag(1,⋯,1, −1,⋯, −1,0,⋯,0)
如果实对称矩阵A与对角矩阵Λ合同 合同, 4) 如果实对称矩阵A与对角矩阵 合同 则Λ的主对角 的主对角 元中,正数的个数即是 的正惯性指数, 正数的个数即是A的正惯性指数 元中 正数的个数即是 的正惯性指数 负数的个数即是 A的负惯性指数 的负惯性指数, 的负惯性指数
0 2 2 A = 2 0 2 2 2 0
注意到二次型中无平方项， （1）配方法 注意到二次型中无平方项，故作线性变换
x1 = y1 − y 2 x 2 = y1 + y 2 x =y 3 3
f = 4 x1 x 2 + 4 x1 x3 + 4 x 2 x3 = 4( y1 2 − y 2 2 + 2 y1 y 3 )
= 4[( y1 + y 3 ) − y 2 − y 3 ]
2 2 2
再令
z1 = y1 + y 3 z2 = y2 z =y 3 3
2
反解出
y1 = z1 − z 3 y2 = z2 y =z 3 3
得标准形
f = 4 z1 − 4 z 2 − 4 z 3
2
2 2
2
其中 b1 , b2 ,⋯, bn 为矩阵Λ 的主对角线元素
判断对称矩阵合同的方法 设A，B为同阶对称方阵，则 为同阶对称方阵， A与B合同 存在可逆矩阵P，使得PTAP=B 存在可逆矩阵P 使得P A与B的正负惯性指数分别相等 A与B的秩相等且正惯性指数也相等 A与B的特征值全相同
正定(A正定 的方法： 正定)的方法 判定二次型 f = xT Ax 正定 正定 的方法： （1）用定义 对任意向量 x ≠ 0, x Ax > 0 ）用定义: （2）A的特征值全为正 ） 的特征值全为正
化二次型为标准形(规范形)的有关结论 化二次型为标准形(规范形) 1)任意实二次型都可经正交变换化为标准形 1)任意实二次型都可经正交变换化为标准形
f
x = Qy
Q是正交阵 是正交阵
λ y + λ2 y2 +⋯+ λn yn
2 1 1 2
2
系数是A 系数是 的n个特 个特 征值
任意实对称矩阵A都存在正交矩阵Q,使得 任意实对称矩阵A都存在正交矩阵Q,使得 Q,
c 2 + c1
r2 + r1
4 2 4 1 1 0
2
2 0 2 0 1
4 1 0 0 4 − c1 + c 2 2 2 0 0 −1 0 − c1 + c3 0 0 − 4 0 1 − 12 − 1 −1r +r 0 1 2 1 1 −1 2 2 0 1 − r + r 0 0 1 1 3
x = Py 其中 λ1 , λ 2 , ⋯ , λ n 为A的n个特征值 的 个特征值
f
正交变换
λ1 y1 2 + λ2 y 2 2 + ⋯ + λn y n 2
利用配方法化二次型为标准形: 利用配方法化二次型为标准形 1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 xi 的乘 的平方项， 积项集中，然后配成完全平方， 积项集中，然后配成完全平方，再对其余的变量同样 进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线性变换， 进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线性变换， 就得到标准形； 就得到标准形； 2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij ≠ 0 (i ≠ j), 若二次型中不含有平方项， 则先作可逆线性变换 x i = yi − y j (k = 1,2,⋯, n且k ≠ i, j) x j = yi + y j x = y k k 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按 中方法 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法 配方. 配方 3.把每次所作的可逆变换的旧变量用新变量表示,然 3.把每次所作的可逆变换的旧变量用新变量表示, 把每次所作的可逆变换的旧变量用新变量表示 后代入整理可得所求可逆变换. 后代入整理可得所求可逆变换.
T
（3）正惯性指数 ）正惯性指数p=n 的各阶顺序主子式都大于0 （4）A的各阶顺序主子式都大于 ） 的各阶顺序主子式都大于 如果二次型的矩阵已知，常用(5),(2), 如果二次型的矩阵已知，常用(5),(2), 如果二次型的矩阵没有给出，常用(1),(2), 如果二次型的矩阵没有给出，常用(1),(2),
利用合同变换将化二次型为标准形的步骤: 利用合同变换将化二次型为标准形的步骤 1. 由二次型写出对称矩阵 由二次型写出对称矩阵A 2. 构造矩阵
A 合同变换 Λ 相应列变换 P E
3. 则可逆变换为 x = Py
f
可逆变换
b1 y1 + b2 y2 + ⋯ + bn yn