近世代数期末考试题库1

近世代数期末考试题库1世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射?：x→x＋2，则?是从A到B的?x∈R，A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B 中含有个元素。

A、2B、5 C、7D、10 3、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样) 4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数A、不相等B、0 C、相等D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1,2?，则有B?A?-1,0,1,-2,2。

1、设集合A???1,0,1?；B??2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。

4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。

6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是a-1。

8、设I和S是环R 的理想且I?S?R，如果I是R的最大理想，那么---------。

9、一个除环的中心是一个-域-----。

三、解答题?12345678??12345678???1、设置换和分别为：???，，判断?和?的奇偶性，并把?和???????64173528??23187654?写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

奇1、解：把?和?写成不相杂轮换的乘积：??(1653)(247)(8)??(123)(48) (57)(6) 可知?为奇置换，?为偶置换。

?和?可以写成如下对换的乘积：??(13)(15)(16)(24)(27)??(13)(1 2)(48)(57)B?11(A?A?)C?(A?A?)222解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C 是反对称矩阵，且A?B?C。

若令有A?B1?C1，这里B1和C1分别为对称矩阵和反对称矩阵，则B?B1?C1?C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：B?B1，C?C1，所以，表示法唯一。

1 3、设集合Mm?{0,1,2,??,m?1,m}(m?1)，定义Mm中运算“?m”为a?mb=(a+b)(modm),则是不是群，为什么？四、证明题21、设G是群。

证明：如果对任意的x?G，有x?e，则G是交换群。

2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R 的域，那么F包含R的一个商域。

2?1?1?1(xy)?exy?(xy)?yx?yx。

2、证明在F里a(a,b?R,b?0)b ?a??Q??所有?(a,b?R,b?0)b??有意义，作F的子集ab?1?b?1a?Q显然是R的一个商域证毕。

? 近世代数模拟试题二一、单项选择题二、1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集是子群。

33????aa,e??e,a?? e,a,aA、B、C、D、2、下面的代数系统中，不是群A、G 为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b| 4、设?1、?2、?3是三个置换，其中?1=，?2=，?3=，则?3= 22A、?1B、?1?2 C、?2 D、?2?1 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它。

A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个---变换全-------同构。

2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。

43、已知群G中的元素a的阶等于50，则a的阶等于-25-----。

4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。

5、A={} B={} 那么A∩B=---2--。

6、若映射?既是单射又是满射，则称?为---双射--------------。

7、?叫做域F的一个代数元，如果存在F的--不都等于林---a0,a1,?,an使得 2 a0?a1????an?n?0。

8、a是代数系统(A,0)的元素，对任何x?A均成立x?a?x，则称a为----单位元-----。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、---------。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。

三、解答题1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H 是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。

2、设E是所有偶数做成的集合，“?”是数的乘法，则“?”是E中的运算，是一个代数系统，问是不是群，为什么？1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )} H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )} 2、答：不是群，因为中无单位元。

3、解方法一、辗转相除法。

列以下算式：a=b+102 b=3×102+85 102=1×85+17 此得到(a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。

然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b. 所以p=4, q=-5. 四、证明题1、证明设e是群的幺元。

令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。

所以，x＝a－1*b是a*x ＝b的解。

若x?∈G也是a*x＝b 的解，则x?＝e*x?＝(a－1*a)*x?＝a－1*(a*x?)＝a－1*b＝x。

所以，x＝a－1*b 是a*x＝b的惟一解。

2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m ︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类。

若m︱a–b也记为a≡b(m)。

当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。

四、证明题1、若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。

2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a?b当且仅当m ︱a–b。

近世代数模拟试题三一、单项选择题1、6阶有限群的任何子群一定不是。

A、2阶B、3 阶C、4 阶D、6 阶2、设G是群，G有个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个B、5个C、6个D、7个 3 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于。

4、下列哪个偏序集构成有界格A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂A、B、C、）D、(P(A),?) 5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

?1faAAA2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则?f?a???----a------。

3、区间[1，2]上的运算a?b?{mina,b}的单位元是--2-----。

f4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=———24———————。

5、环Z8的零因子有-----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数---相等-------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-----商权----。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的---特征--------。

n9、设群G中元素a的阶为m，如果a?e，那么m与n存在整除关系为---mIn----。

三、解答题1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。

S1+S2也是子环吗？3、设有置换??(1345)(1245)，??(234)(456)?S6。

?11．求??和??；?12．确定置换??和??的奇偶性。

群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。

用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，?等等，可得总共8种。

2、证上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2：因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ，因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。

S1+S2不一定是子环。

在矩阵环中很容易找到反例：4 ?1???(1243)(56)?)；3、解：1．，??(165242．两个都是偶置换。

四、证明题1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M 为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

?1a????0?1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a，理想的定义a?1??，因而R的任意元b?b?1?? 这就是说?=R，证毕。

2、证必要性：将b代入即可得。

充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，近世代数模拟试题四一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有个元素。

2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射?：x→x＋2，?x∈R，则?是从A到B的 A.满射而非单射B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射3.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有A.(1)，(123)，(132) B.(12)，(13)，(23) C.(1)，(123)中的所有元素4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有个。