带电粒子在有界磁场中运动的临界问题

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题

“带电粒子在磁场中的运动”是历年高考中的一个重要考点，而“带电粒子在有界磁场中的运动” 则是此考点中的一个难点．其难点在于带电粒子进入设定的有界磁场后只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，它要求考生根据带电粒子运动的几何图形去寻找几何关系，然后应用数学工具和相应物理规律分析解决问题．下面举例谈谈带电粒子在不同形状有界磁场中运动的一些临界问题．

一、 带电粒子在“圆形磁场区域”中的运动

例1、如图1，半径为cm r 10=的匀强磁场区域边界跟y 轴相切于坐标原点O ，磁感强度T B 332.0=，方向垂直纸面向里．在O 处有一放射源S ，可向纸面各个方向射出速度为s m v /102.36⨯=的粒子．已知α粒子质量kg m 27

1064.6-⨯=，

电量C q 19

10

2.3-⨯=，试画出α粒子通过磁场空间做圆周运动的

圆心轨道，求出α粒子通过磁场空间的最大偏角．

解析：设粒子在洛仑兹力作用下的轨道半径为R ，由

R

v m Bq v 2

= 得

cm m m Bq mv R 2020.010

2.3332.0102.31064.619

6

27==⨯⨯⨯⨯⨯==-- 虽然α粒子进入磁场的速度方向不确定，但粒子进场点是确定的，因此α粒子作圆周运动的圆心必落在以O 为圆心，半径cm R 20=的圆周上，如图２中虚线．

由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角．在半径R 一定的条件下，为使α粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长．该弦是偏转轨道圆的弦，同时也是圆形磁场的弦．显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径．即α粒子应从磁场圆

直径的A 端射出．

如图２，作出磁偏转角ϕ及对应轨道圆心O '，据几何关系得2

1

2

sin

==

R r ϕ

，得060=ϕ，即α粒子穿过磁场空间的最大偏转角为060．

二、带电粒子在“长方形磁场区域”中的运动

例2、如图3，长为L 间距为d 的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B ，两板不带电，现有质量为m ，电量为q 的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率v 水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率v 应满足什么条件．

解析：如图４，设粒子以速率1v 运动时，粒子正好打在左极板边缘（图４中轨迹１），

则其圆轨迹半径为41d R =，又由1

2

11R v m Bqv =得m Bqd

v 41=，则粒子入射速率小于1v 时可

不打在板上．

设粒子以速率2v 运动时，粒子正好打在右极板边缘（图４中轨迹２），

由图可得2

22

2

2)2(d R L R -+=，则其圆轨迹半径为d d L R 44222+=，又由2

222R v m Bqv =得md d L Bq v 4)4(222+=，则粒子入射速率大于2v 时可不

打在板上．

综上，要粒子不打在板上，其入射速率应满足：m

Bqd

v 4<或md d L Bq v 4)4(22+>．

三、带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动

例3、在边长为a 2的ABC ∆内存在垂直纸面向里的磁感强度为

B 的匀强磁场，有一带正电q ，质量为m 的粒子从距Ａ点a 3的Ｄ点

垂直ＡＢ方向进入磁场，如图５所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，

图３

⨯⨯⨯⨯⨯⨯

⨯

⨯

→∙d L

v 图４

v

2

v 图5

D

B

求粒子速率应满足什么条件及粒子从ＡＣ间什么范围内射出．

解析：如图６所示，设粒子速率为1v 时，其圆轨迹正好与ＡＣ边相切于Ｅ点． 由图知，在E AO 1∆中，11R E O =，113R a A O -=

，由

A

O E O 11030cos =

得

1

1323

R a R -=

，解得a R )32(31-=，则a R a A

O AE )332(2

321

1-=-=

=． 又由1

2

11R v

m Bqv =得m aqB m BqR v )32(311-==，则要粒子能从ＡＣ间离开磁场，其速率应大于1v ．

如图７所示，设粒子速率为2v 时，其圆轨迹正好与ＢＣ边相切于Ｆ点，与ＡＣ相交于Ｇ点．易知Ａ点即为粒子轨迹的圆心，则

a AG AD R 32===．

又由2

2

22R v m Bqv =得m aqB

v 32=，则要粒子能从ＡＣ间离开磁场，其速率应小于

等于2v ．

综上，要粒子能从ＡＣ间离开磁场，粒子速率应满足m

aqB

v m aqB

3)32(3≤

<-． 粒子从距Ａ点a a 3~

)332(-的EG 间射出．

四、带电粒子在“圆环形磁场区域”中的运动

例4、据有关资料介绍，受控核聚变装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束带电粒子运动使之束缚在某个区域内．现按下面的简化条件来讨论这个问题：如图8所示的是一个截面为内径m R 6.01=、外径m

R 2.12=图

8

图6

D

1o

A