高中数学总结归纳 复数模长可用来干什么

复数模长可用来干什么

复数模长是复数的一个基本要素,也是复数问题中经常出现的一种题设条件.但它能用来解决哪些问题呢?本文就从三个方面来阐述这一问题.

一.利用复数模长求值.

例1.设z 为复数,且,11=+=z z 求1-z 的值.

分析：若能由已知条件，求出z ，则可求|z －1|.而确定一个复数z ，需要一对实数，因此需设两个未知数，而已知条件中恰有两个等式，故而可列出关于复数z 的实部、虚部的两个方程.

解：设，z a bi a b R =+∈() Θz a bi z z +=++=+=1111()||||，且

∴+=++=⎧⎨⎪⎩⎪⇒+=++=⎧⎨⎪⎩⎪⇒+=++=⎧⎨⎪⎩⎪a b a b a b a b a b a b a 222222222222111111120()()

解方程组，得a b =-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪123

42 ∴-=+-=-+=-+=--+=|||()||()|()()z a bi a bi a b 1111121343222.

注：一般地，欲求一个复数，通常先设出复数的代数形式a ＋bi （a ，b ∈R ），而后利用已知条件列出关于a ，b 的方程组，求解出a ，b ，也即求得了这个复数，在这里，方程的思想方法得到了充分运用.

二. 利用复数模长确定复平面内对应的点的轨迹.

例2. 若复数z 满足412

2=+--i z z ,求复数z 在复平面内对应的点所表示的曲线. 分析：欲求点的轨迹，在难以直接由条件作出判断的情况下，一般先求出轨迹方程，再由方程的特征判断轨迹是何种曲线，而此处的求轨迹方程的已知条件是关于复数的等式（即方程），需设出z 的代数形式x ＋yi （即设出动点的坐标），才能把复数形式的方程化为我们熟悉的轨迹方程F(x ，y)＝0.

解：设，，代入已知等式，得z x yi x y R =+∈()|()||()|x yi x yi i +--++=1422

[()][()]x y x y -+-++=1142222整理，得x y ++=20.

∴复数在复平面内对应的点的轨迹是一条直线。z

例3.若复数z 满足,1=z 求复数i z 432-+对应的点的轨迹.

分析：若设复数2z ＋3－4i 对应的点为W(x ，y)，显然x ，y 是随着z 对应的点Z 的坐标的变化而变化的，即点W 与点Z 是一对相关点，且已知点Z 的运动有规律（Z 在以原点为圆心，以1为半径的圆上），因此联想到求轨迹方程的相关点法，需设出点Z ，W 的坐标，然后列出它们的关系式，进而代入消去点Z 的坐标，而得到点W 的轨迹方程，进而可判断其轨迹. 解：设，，另设复数，且，z a bi a b R z i x yi x y R =+∈=+-=+∈()()ωω234 则x yi a bi i a b i +=++-=++-2342324()()()

由复数相等，得x a y b a x b y =+=-⎧⎨⎩⇒=-=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪2324324

2 1=z Θ 122=+∴b a 124232

2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴y x 即()()44322=++-y x . 它表示以（，）为圆心，以为半径的圆342-.

注：本题也可不必设出点Z ，点W 表示的复数，而直接由复数z 与ω之间的关系，求得复数形式的轨迹方程.解法如下：设i z 432-+=ω,则()i z 4321+-=

ω 1=z Θ ∴()1432

1=+-i ω 即()243=--i ω. 这就是所求的轨迹方程，由方程特征，易知ω对应的点的轨迹是以（3，－4）为圆心，以2为半径的圆.

三.利用复数模长求最值

例4. 若11=-+i z ,求z 的最大值和最小值.

方法一：设()R y x yi x z ∈+=,,则

||()()z i x y +-=++-=111122即()()x y ++-=11122.

而||z x y =+22 （这是关于x ，y 的二元函数，消元略显繁琐，因此代数解法不简明，换角度看问题）.

方法二：由模的性质有||||()||||z i z i --+≤+-=111

即，解得||||||z z -≤-≤≤+212112 ∴-+||z 的最小值为，最大值为2112. 方法三：（可利用复数运算几何意义化归为几何问题）|||()|z i z i +-=--+=111

z i 对应的点的轨迹是以复数对应的点为圆心，以为半径的圆。-+11而|z|则表示该圆上的点到原点O 的距离.画出方程表示的轨迹（见下图）||z i +-=11.

由平面几何知识可知，使圆上的点到原点距离取最大（最小）值的点在直线OC 与圆的交点处。

∴| 方法.