湖北省长阳一中2013-2014学年高一下学期期中数学试题 理

湖北省长阳一中2013-2014学年高一下学期期中数学试题 理一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b += （ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．42. 已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2，则a 与b 的 夹角为 ( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°3. 000sin 47sin17cos30cos17-= （ ） A 、23-B 、 21-C 、23D 、 214. 已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则q ＝ ( )A.1或－12B.1C.－12D.－25. 设a ＝12(sin56°－cos56°)， b ＝cos50°·cos128°＋cos40°·cos38°，c ＝12(cos80°－2cos 250°＋1)，则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a>b>c B ．b>a>c C ．c>a>b D ．a>c>b6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cba -=sinC sinB -A 2sin ，则角A 的 大小为（ ） A ．6πB ．4πC ．3πD ．32π7. 函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图象如图所示，则)11()2()1(f f f +++ 的值是（ ）A 、0B 、－1C 、2＋22D 、2－228. 将正偶数按下表排成4列：第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 … … 28 26则2 004在 ( )(A)第251行，第1列 (B)第251行，第2列 (C)第250行，第2列 (D)第250行，第4列C9.如图BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且=,若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD FE ∙的值是 （ ）A ．34- B ．14- C . 89- D ．91-10. 设等差数列{}n a 满足：()1sin sin sin cos cos cos sin 54623262323232=+-+-a a a a a a a a ，公差()01，-∈d ．若当且仅当9=n 时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3467ππ，B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2334ππ， C ．⎪⎭⎫⎝⎛3467ππ，D ．⎪⎭⎫⎝⎛2334ππ，二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上) 11. 在等差数列{}n a 中，已知1083=+a a ，则=+753a a ．12．已知点()1,1A -、()1,2B 、()2,1C --、()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为: 13. 数列{a n }的通项公式为a n 已知它的前n 项和S n ＝6，则项数n 等于： 14. ①设a ，b 是两个非零向量，若|a +b |=|a -b |，则a ·b =0②若c ⊥∙-∙=（（满足非零向量 ③在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 是等腰三角形④在ABC ∆中，60A ∠=，边长a,c 分别为a=4,c=33，则ABC ∆只有一解。

上面说法中正确的是15．已知函数f(x)＝2sin ωx （ω＞0）在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是：三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

16．(12分) 已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （Ⅱ）若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值；18．(12分) 已知函数cosx(m>0)的最大值为2.(1)求函数f(x)在［0,π］上的单调递减区间；(2)△ABC中，f (A )f (B )44ππ-+-=，角A ，B ，C 所对的边分别是a,b,c, 且C=60°，c=3，求△ABC 的面积.19．(12分) 已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足4S n =(a n +1)2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =n n 11a a +⋅，数列{b n }的前n 项和为T n ,求T n 的最小值；21．(14分)将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：123456789a a a a a a a a a已知表中的第一列数125,,,a a a 构成一个等差数列, 记为{}n b , 且254,10b b ==, 表中每一行正中间一个数137,,,a a a 构成数列{}n C , 其前n 项和为n S .(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)若上表中, 从第二行起, 每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列, 公比为同一个正数, 且131a =.①求n S ；②记{|(1),*}n M n n C n N λ=+≥∈, 若集合M 的元素个数为3, 求实数λ的取值范围湖北省长阳一中2013-2014学年高一下学期期中数学试题 理试卷答案（仅供参考）所以函数()f x 的最小正周期为π因为()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，又 (0)1,2,162f f f ππ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为-1（Ⅱ）解：由（1）可知00()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭又因为06()5f x =，所以03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 由0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦从而04cos 265x π⎛⎫+==- ⎪⎝⎭ 所以0003c o s 2c o s 2c o s2c s i n 26666610x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛=+-=++=⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦17. (1)由S n =2n 2+n,可得 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(2n 2+n)-[2(n-1)2+(n-1)]=4n-1,当n=1时，a 1=3符合上式，所以a n =4n-1(n ∈N *). 由a n =4log 2b n +3，可得4n-1=4log 2b n +3,解得b n =2n-1(n ∈N *).(2)a n b n =(4n-1)·2n-1,∴T n =3+7×21+11×22+15×23+…+(4n-1)×2n-1，① 2T n =3×21+7×22+11×23+15×24+…+(4n-1)×2n， ②①-②可得-T n =3+4[21+22+23+24+…+2n-1]-(4n-1)×2n=3+4×n 12(12)12----(4n-1)×2n=-5+(5-4n)×2n,∴T n =5+(4n-5)×2n.18. (1)由题意，f(x)2.=而m>0，于是，f(x)=2sin(x+4π). 由正弦函数的单调性及周期性可得x 满足32k x 2k (k Z)242ππππ+≤+≤π+∈，即52k x 2k (k Z).44πππ+≤≤π+∈所以f(x)在［0,π］上的单调递减区间为,.4ππ［］ (2)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得c 32R sin C sin60===︒化简f (A )f (B )44ππ-+-=，得sin Asin B.由正弦定理，得()2R a b b +=+=①由余弦定理，得a 2+b 2-ab=9， 即(a+b)2-3ab-9=0. ②将①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0， 解得ab=3或3ab 2=-(舍去)，故ABC1S absin C 2==19. (1)因为(a n+1)2=4S n,所以S n=()2n a 14+,S n+1=()2n 1a 14++.所以S n+1-S n =a n+1=()()22n 1n a 1a 1,4++-+即4a n+1=a n+12-a n 2+2a n+1-2a n ,∴2(a n+1+a n )=(a n+1+a n )(a n+1-a n ).因为a n+1+a n ≠0,所以a n+1-a n =2,即{a n }为公差等于2的等差数列.由(a 1+1)2=4a 1,解得a 1=1,所以a n =2n-1. (2)由(1)知b n =()()12n 12n 1-+=11122n 12n 1--+（）, ∴T n =b 1+b 2+…+b n =111111123352n 12n 1-+-+⋯+--+（） 1111122n 1222n 1=-=-++（）（）∵T n+1-T n =11111110,222n 3222n 122n 122n 32n 12n 3---=-=>++++++［］（）（）（）（）（）(）∴T n+1>T n .∴数列{T n }为递增数列， ∴T n 的最小值为T 1=111263-=. 20.由题意知海里，906030,45,DBA DAB ∠=︒-︒=︒∠=︒105ADB ∴∠=︒在DAB ∆中，由正弦定理得sin sin DB ABDAB ADB=∠∠sin sin AB DAB DB ADB ∙∠∴===∠=（海里），又30(9060)60,DBC DBA ABC BC ∠=∠+∠=︒+︒-︒=︒= 在DBC ∆中，由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-∙∙∠21. （1）2n b n =；（2）①设每一行组成的等比数列的公比为q ,由于前n 行共有2135(21)n n ++++-=个数,且223134<<,所以3310413108,81a b a a q q =====,得12q = 因此1212()22n n n n C n --=⋅=1012123+++2222n n n S --∴=+ 0122112122222n n n n n S ---=++++ 两式相减得10121111111242222222n n n n n n S ----+=++++-=- 得2282n n n S -+=-。