抽样定理及应用
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在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值来表示，并且可以用这些样本值把信号完全恢复过来。这样，抽样定理为连续时间信号与离散时间信号的相互转换提供了理论依据。通过观察采样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，在时域是否也能恢复原信号时，利用频域时域的对称关系，得到了信号。
用数学表达式描述上述调制过程，则有
理想单位脉冲序列 可以表示为
其中 是出现在时刻 ，强度为1的单位脉冲。由于 的
数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设
所以 又可表示为
2.1.3信号重构
设信号 被采样后形成的采样信号为 ，信号的重构是指由 经过内插处理后，恢复出原来信号 的过程。又称为信号恢复。
若设 是带限信号，带宽为 ，经采样后的频谱为 。设采样频率 ，则由式（9）知 是以 为周期的谱线。现选取一个频率特性 （其中截止频率 满足 ）的理想低通滤波器与 相乘，得到的频谱即为原信号的频谱 。
2.2设计的思路
连续信号是指自变量的取值范围是连续的，且对于一切自变量的取值，除了有若干个不连续点以外，信号都有确定的值与之对应。严格来说，MATLAB并不能处理连续信号，而是用等时间间隔点的样值来近似表示连续信号。当取样时间间隔足够小时，这些离散的样值就能较好地近似连续信号。时域对连续时间信号进行采样，是给它乘以一个采样脉冲序列，就可以得到采样点上的样本值，信号被采样前后在频域的变化，可以通过时域频域的对应关系分别求得了采样信号的频谱。
显然， ，与之对应的时域表达式为
（10）
而
将 及 代入式（10）得
（11）
式（11）即为用 求解 的表达式，是利用MATLAB实现信号重构的基本关系式，抽样函数 在此起着内插函数的作用。
例：设 ，其 为：
即 的带宽为 ，为了由 的采样信号 不失真地重构 ，由时域采样定理知采样间隔 ，取 （过采样）。利用MATLAB的抽样函数 来表示 ，有 。据此可知：
1实现程序代码
当采样频率大于一个连续的同信号最大频率的2倍，即 时，称为过采样.
在不同采样频率的条件下，观察对应采样信号的时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。
Sa(t)的过采样及重构程序代码；
wm=1;
wc=1.1*wm;
Ts=1.1*pi/wm;
ws=2*pi/Ts;
n=-100:10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ;
通过以上分析，得到如下的时域采样定理：一个带宽为wm的带限信号f(t)，可唯一地由它的均匀取样信号fs(nTs)确定，其中，取样间隔Ts<π/wm,该取样间隔又称为奈奎斯特间隔。根据时域卷积定理，求出信号重构的数学表达式为：
式中的抽样函数Sa(wct)起着内插函数的作用，信号的恢复可以视为将抽样函数进行不同时刻移位后加权求和的结果，其加权的权值为采样信号在相应时刻的定义值。利用MATLAB中的抽样函数 来表示Sa(t)，有 ， ，于是，信号重构的内插公式也可表示为：
nTs=n*Ts
f=sinc(nTs/pi);
Dt=0.005;t=-10:Dt:10;
fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));
2.3详细设计过程
2.3.1 的临界采样及重构
1实现程序代码
当采样频率小于一个连续的同信号最大频率的2倍，即 时，称为临界采样.修改门信号宽度、采样周期等参数，重新运行程序，观察得到的采样信号时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。
Sa(t)的临界采样及重构程序代码；
wm=1;%升余弦脉冲信号带宽
t1=-20:0.5:20;
f1=sinc(t1/pi);
subplot(211);
stem(t1,f1);
xlabel('kTs');
ylabel('f(kTs)');
title('sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号');
subplot(212);
plot(t,fa)
xlabel('t');
ylabel('fa(t)');
title('由sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构sa(t)');
grid;
2程序运行运行结果图与分析
图3 的临界采样及重构图
运行结果分析：为了比较由采样信号恢复后的信号与原信号的误差，可以计算出两信号的绝对误差。当t选取的数据越大，起止的宽度越大。
2.3.2 的过采样及重构
wc=wm;%频率
Ts=pi/wm;%周期
ws=2.4*pi/Ts;%理想低通截止频率
n=-100:100;%定义序列的长度是201
nTs=n*Ts%采样点
f=sinc(nTs/pi);%抽样信号
Dt=0.005;t=-20:Dt:20;
fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));%信号重建
若设 是带限信号，带宽为 ， 经过采样后的频谱 就是将 在频率轴上搬移至 处（幅度为原频谱的 倍）。因此，当 时，频谱不发生混叠；而当 时，频谱发生混叠。
一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列 的幅值调制器，即理想采样器的输出信号 ，是连续输入信号 调制在载波 上的结果，如图2所示。
图2 信号的采样
抽样定理及应用
，或频域间隔 （其中 ）。采样信号 的频谱是原信号频谱 的周期性重复，它每隔 重复出现一次。当 ＞2 时，不会出现混叠现象，原信号的频谱的形状不会发生变化，从而能从采样信号 中恢复原信号 。（注： ＞2 的含义是：采样频率大于等于信号最高频率的2倍；这里的“不混叠”意味着信号频谱没有被破坏，也就为后面恢复原信号提供了可能！）
(a)
(b)
(c)
图*抽样定理
a)等抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）
b)高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）
c)低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）
2.1.2信号采样
如图1所示，给出了信号采样原理图
信号采样原理图（a）
由图1可见， ，其中，冲激采样信号 的表达式为：
其傅立叶变换为 ，其中 。设 ， 分别为 ， 的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得
用数学表达式描述上述调制过程，则有
理想单位脉冲序列 可以表示为
其中 是出现在时刻 ，强度为1的单位脉冲。由于 的
数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设
所以 又可表示为
2.1.3信号重构
设信号 被采样后形成的采样信号为 ，信号的重构是指由 经过内插处理后，恢复出原来信号 的过程。又称为信号恢复。
若设 是带限信号，带宽为 ，经采样后的频谱为 。设采样频率 ，则由式（9）知 是以 为周期的谱线。现选取一个频率特性 （其中截止频率 满足 ）的理想低通滤波器与 相乘，得到的频谱即为原信号的频谱 。
2.2设计的思路
连续信号是指自变量的取值范围是连续的，且对于一切自变量的取值，除了有若干个不连续点以外，信号都有确定的值与之对应。严格来说，MATLAB并不能处理连续信号，而是用等时间间隔点的样值来近似表示连续信号。当取样时间间隔足够小时，这些离散的样值就能较好地近似连续信号。时域对连续时间信号进行采样，是给它乘以一个采样脉冲序列，就可以得到采样点上的样本值，信号被采样前后在频域的变化，可以通过时域频域的对应关系分别求得了采样信号的频谱。
显然， ，与之对应的时域表达式为
（10）
而
将 及 代入式（10）得
（11）
式（11）即为用 求解 的表达式，是利用MATLAB实现信号重构的基本关系式，抽样函数 在此起着内插函数的作用。
例：设 ，其 为：
即 的带宽为 ，为了由 的采样信号 不失真地重构 ，由时域采样定理知采样间隔 ，取 （过采样）。利用MATLAB的抽样函数 来表示 ，有 。据此可知：
1实现程序代码
当采样频率大于一个连续的同信号最大频率的2倍，即 时，称为过采样.
在不同采样频率的条件下，观察对应采样信号的时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。
Sa(t)的过采样及重构程序代码；
wm=1;
wc=1.1*wm;
Ts=1.1*pi/wm;
ws=2*pi/Ts;
n=-100:10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ;
通过以上分析，得到如下的时域采样定理：一个带宽为wm的带限信号f(t)，可唯一地由它的均匀取样信号fs(nTs)确定，其中，取样间隔Ts<π/wm,该取样间隔又称为奈奎斯特间隔。根据时域卷积定理，求出信号重构的数学表达式为：
式中的抽样函数Sa(wct)起着内插函数的作用，信号的恢复可以视为将抽样函数进行不同时刻移位后加权求和的结果，其加权的权值为采样信号在相应时刻的定义值。利用MATLAB中的抽样函数 来表示Sa(t)，有 ， ，于是，信号重构的内插公式也可表示为：
nTs=n*Ts
f=sinc(nTs/pi);
Dt=0.005;t=-10:Dt:10;
fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));
2.3详细设计过程
2.3.1 的临界采样及重构
1实现程序代码
当采样频率小于一个连续的同信号最大频率的2倍，即 时，称为临界采样.修改门信号宽度、采样周期等参数，重新运行程序，观察得到的采样信号时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。
Sa(t)的临界采样及重构程序代码；
wm=1;%升余弦脉冲信号带宽
t1=-20:0.5:20;
f1=sinc(t1/pi);
subplot(211);
stem(t1,f1);
xlabel('kTs');
ylabel('f(kTs)');
title('sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号');
subplot(212);
plot(t,fa)
xlabel('t');
ylabel('fa(t)');
title('由sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构sa(t)');
grid;
2程序运行运行结果图与分析
图3 的临界采样及重构图
运行结果分析：为了比较由采样信号恢复后的信号与原信号的误差，可以计算出两信号的绝对误差。当t选取的数据越大，起止的宽度越大。
2.3.2 的过采样及重构
wc=wm;%频率
Ts=pi/wm;%周期
ws=2.4*pi/Ts;%理想低通截止频率
n=-100:100;%定义序列的长度是201
nTs=n*Ts%采样点
f=sinc(nTs/pi);%抽样信号
Dt=0.005;t=-20:Dt:20;
fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));%信号重建
若设 是带限信号，带宽为 ， 经过采样后的频谱 就是将 在频率轴上搬移至 处（幅度为原频谱的 倍）。因此，当 时，频谱不发生混叠；而当 时，频谱发生混叠。
一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列 的幅值调制器，即理想采样器的输出信号 ，是连续输入信号 调制在载波 上的结果，如图2所示。
图2 信号的采样
抽样定理及应用
，或频域间隔 （其中 ）。采样信号 的频谱是原信号频谱 的周期性重复，它每隔 重复出现一次。当 ＞2 时，不会出现混叠现象，原信号的频谱的形状不会发生变化，从而能从采样信号 中恢复原信号 。（注： ＞2 的含义是：采样频率大于等于信号最高频率的2倍；这里的“不混叠”意味着信号频谱没有被破坏，也就为后面恢复原信号提供了可能！）
(a)
(b)
(c)
图*抽样定理
a)等抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）
b)高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）
c)低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）
2.1.2信号采样
如图1所示，给出了信号采样原理图
信号采样原理图（a）
由图1可见， ，其中，冲激采样信号 的表达式为：
其傅立叶变换为 ，其中 。设 ， 分别为 ， 的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得