五年级奥数竞赛班-[第16讲]定义新运算
小学五年级奥数思维拓展提升志愿导学教案：2.定义新运算
2.定义新运算2023.10.29 教学目标：1.会理解特定的运算规则，会通过表达式寻找到运算规则。
2.培养学生自主思考，解题的能力。
感受到数学思维的逻辑性，唯美性。
教学重点：会通过表达式寻找到运算规则。
教学难点：特殊情况的表达式的理解。
教学准备：课件教学过程：一、导入1.揭示课题。
（1）加、减、乘、除这四种运算的意义和运算法则我们都很熟悉。
除了这四种运算之外，我们还可以人为的规定一些其他运算，并给出特定的运算规则。
这样的运算形式我们一般称之为定义新运算。
（2）定义新运算通常运用某种特殊符号来表示一种运算。
其运算规则中运用的计算方法与我们所学的四则运算方法相同。
解题的关键是通过表达式寻找到运算规则。
2.运算律。
新定义的运算中如果有括号，要先算括号里面的，但它在没有转化前是不适合用各种运算定律的。
二、新授1.例1如果2※3=2+3+4=9,5※4=5+6+7+8=26。
求：（1）9※5的值是多少？（2）解方程x※3=15。
（1）信号表示求连续自然数的和信号前面的数表示第一个数（首项）。
星号后面的数表示连续自然数的个数（项数）。
（2）9※5=9+10+11+12+13=55x※3=x+（x+1）+（x+2）=3x+33x+3=15，x=42.例2定义两种运算“©”“¤”，对于任意两个整数a、b。
都有：a©b=a+b-1，a¤b=a×b-1.若x©（x¤4）=33，求x的值。
（1）在有括号时，要先算括号内的，再算括号外的。
同时还要注意有两种运算。
（2）此题的运算方法是：先根据符号©所表示的意义。
将小括号里的式子改写成x×4-1。
再根据符号¤所表示的意义，将x©（x×4-1）改写成x+（x×4-1）-1，即原方程可变为x×5-2=33。
然后再求出未知数。
3.例3定义一种运算“*”，它的意义是a*b=a+aa+aaa+…+aaa…a(a,b都是非0自然数）。
五年级奥数定义新运算练习题
五年级奥数定义新运算练习题知识要点：定义新运算，是指用某些特殊的符号，表示特定的意义，从而解答某些特殊的算式的一种运算。
定义新运算中运算符号有：＃、＊、※、▽等，有时借用一些已有的运算符号“＋、－、×、÷”，但与四则中的运算符号是有区别的。
解答定义新运算，必须先理解新定义的含义，遵循新定义的关系式，把问题转化为一般四则运算。
例题解答例1：已知a※b=a÷b×2+3×a-b,计算169※13例2:对于整数a,b，规定运算如下：a⊙b=a×b-a-b+1,求⊙2练习1、规定a⊕b＝×b，求⊕52、对于任意整数a和b，规定a▲b=3a+2b-2,求11▲10的值。
3、已知a＃b=a÷b×2+3,若256＃a=19,求a定义新运算测试题1、假设x△y=÷4,求13△17的值；2△的值；求a△16=10中a的值。
2、已知P※Q=3、如果A⊙B=P?Q,求3※的值。
A?B,照这样的规则：3⊙[6⊙]的结果是多少？4、如果a□b表示a×b+a+b，那么□1=29,a是多少？5、如果a※b表示a×b+a,那么当x※5比5※x大100时，x是多少？6、若A☆B=A++++??+，那么X☆10=65中X的值是多少？7、令A＃B=4A+3B，那么，＃的结果是多少？五年级奥数专题三:定义新运算关键词：运算四则四则运算定义奥数符号意义这些表示年级我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。
除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。
这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
例 1 对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。
定义新运算(小学数学五年级奥数)
定义新运算知识与方法：对于常用的加、减、乘、除等运算，我们已经熟知它们的运算法则和计算方法，如6＋2=8，6×2=12等。
都是2和6，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。
由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。
对应法则不同就是不同的运算。
当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。
通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。
这节课，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。
解决定义新运算这类题的关键：是抓住定义的本质——借用“＋、－、×、÷”四则运算进行的，解答时要弄清新运算与四则运算的关系。
特别注意运算顺序，每个新定义的运算符号只能在本题中使用，新运算不一定符合运算定律。
例1：设a、b都表示数，规定：a△b =3×a－2×b。
试计算：（1）3△2；（2）2△3。
练习1：1.设a、b都表示数，规定：a○b=5×a－2×b。
试计算3○4。
2.设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。
试计算：5*6例2：对于两个数a与b，规定a△b=3a＋2a，试计算2△（3△5）。
练习2：1.对于两个数a与b，规定：a○b=a+3b，试计算4○5○6。
2.对于两个数A与B，规定：A△B=2×A－B，试计算5△6△7。
例3：对于两个数a，b，规定：a⊕b=a×b＋a＋b，试计算：9⊕。
练习3：1.对于两个数a，b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b），试计算：6⊕7.2..对于两个数A与B，规定：AθB=A×B÷2，试计算：8θ9。
例4：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，那么按此规律计算：（1）3△5；（2）8△3。
练习4：1.如果4△2=4×5，2△3=2×3×4，那么按此规律计算:5△4。
(完整版)定义新运算(小学数学五年级奥数)
定义新运算知识与方法：对于常用的加、减、乘、除等运算，我们已经熟知它们的运算法则和计算方法，如6+ 2=8, 6X2=12等。
都是2和6,为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。
由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。
对应法则不同就是不同的运算。
当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。
通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。
这节课，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。
解决定义新运算这类题的关键：是抓住定义的本质借用“ +、一、X、十”四则运算进行的，解答时要弄活新运算与四则运算的关系。
特别注意运算顺序，每个新定义的运算符号只能在本题中使用，新运算不一定符合运算定律。
例1:设a、b都表示数，规定：aAb =3X a— 2X b。
试计算：(1) 3A2; (2) 2A3。
练习1:1. 设a b都表示数，规定：a。
b=5X a— 2X b。
试计算3042. 设a b都表示数，规定：a*b=3x a+ 2X b。
试计算：5*6例2:对于两个数a与b,规定b=3a+ 2a,试计算( 3^5)练习2:1.对于两个数a与b,规定：aOb=a+3b，试计算405062.对于两个数A与B,规定：A△ B=2X A — B,试计算5A6A7例3:对于两个数a, b,规定：a金b=ax b+ a+ b,试计算：9 ®练习3:1.对于两个数a, b,规定：a$b=ax b— ( a+ b),试计算：6 ® 7.2..对于两个数A与B,规定：A GB=A X B-2,试计算：8 99例4:如果2、3=2 + 3 + 4, 5A4=5+ 6+ 7+ 8,那么按此规律计算：(1) 3A5;(2) 8A3。
练习4:1.如果4A2=4X 5, 2A3=2X 3X 4,那么按此规律计算:5A4。
2.如果24=24- (2+ 4), 3V6=36- (3 + 6), 6V3=63- (6+ 3),那么按此规律计算:7V2.例5:对于两个数a与b,规定aDb=a(a+1)+(a+2)+・・・(a+b— 1)。
【奥数专题】精编人教版小学数学五年级上册 定义新运算(试题)含答案与解析
经典奥数：定义新运算（专项试题）一．选择题（共6小题）1．对于两个数a、b．定义一种运算“*”，a*b＝3a+2b．则3*5＝（）A．19B．15C．6D．52．假设a#g＝（a+g）÷（a÷g），如果x#（5#1）＝6，那么x是（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.43．假设A※B表示A的3倍减去B的2倍，即A※B＝3A﹣2B．已知x※（4※1）＝7，那么x※4＝（）A．7B．9C．19D．364．如果规定符号“☆”为选择两数中的较大数，“△”为选择两数中的较小数，例如：4☆6＝6，4△6＝4，那么[（8△4）☆6]×（4☆8）＝（）A．48B．24C．325．将2020年2月2日记成20200202，这个数字从左往右、从右往左读都样，我们称这样的数为“世纪吉祥数”。
从2000年到2099年这样的“世纪吉祥数”有（）个。
A．15B．12C．9D．36．如果：a*b＝a×（b+3），则5*2＝5×（2+3）＝25．同理可得：4*8＝（）A．32B．56C．44二．填空题（共6小题）7．如果规定：符号*表示选择两个数中较大的数，#表示选择两个数中较小的数，例如3*8＝8，3#8＝3，则4.5#5.4＝，（3.6*15.6）÷（1.2#1.8）＝。
8．根据运算定律，填一填。
78.6×※+☆×2.4＝78.6×10，※＝，☆＝。
9．如果A△B表示3×A+B，例如2△4表示3×2+4＝10，那么，5△2＝。
10．规定A△B＝5A﹣B，如果X△（5△2）＝1；那X＝。
11．如果1*3＝1+11+111＝123，2*4＝2+22+222+2222＝2468，3*3＝3+33+333＝369，那么5*4＝．12．有这样两种运算◆和■：规定a◆b＝a×b﹣a，a■b＝a÷b+a．则（6◆5）■4＝．三．解答题（共9小题）13．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），按收方由密文→明文（解密），已知加密规则为明文a，b，c对应的密文a+1，2b+4，3c+9，例如明文1，2，3对应的密文为2，8，18，如果接收的密文7，18，15，则解密得到的明文是什么？14．对于实数x、y，定义一种新的运算*，x*y＝ax+by，其中a、b为常数，等式的右边是通常的加法与乘法运算，已知3*2＝7，2*3＝8，则1*1是多少？15．定义一种新运算：a*b＝3a+5ab+kb，其中a和b为任意两个不为0的数，k为常数．比如：2*7＝3×2+5×2×7+7k（1）如果5*2＝7*3，8*5与5*8的值相等吗？请说明理由（2）当k取什么值时，对于任何不同的a和b，都有a*b与b*a，即新运算“*”符合交换律？16．1*5＝1+11+111+1111+11111，2*4＝2+22+222+2222，3*3＝3+33+333，4*2＝4+44，那么（1）7*4＝？（2）210*2＝？17．a和b都是正整数，设a※b表示从a起b个连续正整数的和。
五数奥数新定义运算
第一讲定义新运算一、学习目标1. 了解新运算的定义并学会按新运算的要求进行计算。
2. 学习观察、比较、判断和推理的数学方法。
二、内容提要与方法点拨1.要熟练掌握四则运算的法则及运算定律。
2. 定义新运算是指用某种特定的符号表示特定意义的运算。
解答这类题目时，首先要弄清新定义的运算的特定含义，也就是弄清它所表示的通常意义下是什么运算，然后转化为通常意义下的四则运算来进行解答。
在没有特别说明的情况下，一些基本的四则运算法则如从左往右计算、有括号时先算括号里面的等在新定义的运算中也是适用的。
但是，在新定义的运算中，不一定都适合交换律或结合律。
三、例题选讲例1如果a▽b表示a×b＋a－b，试计算：（7▽4）▽5。
解：式子a▽b表示两个数的积加上第一个数后再减去第二个数。
在式子（7▽4）▽5中，要先算小括号里面的。
（7▽4）＝7×4＋7－4＝31而31▽5＝31×5＋31－5＝181，所以，（7▽4）▽5＝181。
例2规定a☆b表示a的4倍减去b的3倍，即a☆b＝4a－3b，试计算：（1）5☆6 ；（2）6☆5。
解：（1）根据a☆b＝4a－3b，所以，5☆6＝4×5－3×6＝2（2）6☆5＝6×4－5×3＝9注意：a☆b表示a的4倍减去b的3倍，而b☆a表示b的4倍减去a的3倍，这里a≠b，所以a☆b≠b☆a。
因此，本例定义的新运算是不满足交换律的，计算中不能把前后两个数交换。
例3 对于两个数x、y，规定x＃y表示3x＋2y，试计算：（1）（5＃7）＃8 ；（2）5＃（7＃8）。
解：（1）根据x＃y＝3x＋2y，得（5＃7）＃8＝（3×5＋2×7）＃8＝29＃8＝3×29＋2×8＝103（2）5＃（7＃8）＝5＃（3×7＋2×8）＝5＃37＝3×5＋2×37＝89注意：本例定义的运算是不满足结合律的。
小学五年级奥数 定义新运算(二)_PDF压缩
【例5】(★★★) 对于任意自然数x，y，定义运算☆如下：如果同奇同偶，则x☆y＝ (x＋y)÷2；如果x，y， 奇偶性不同，则x☆y＝(x＋y＋1)÷2。 求：① (1994☆1995)☆(1995☆1996)☆(1996☆1997)☆… ☆(1999☆2000) ②1994☆1994☆1998☆2000☆2001
【例3】(★★★☆)(北京市迎春杯-改编)
6
对⑴⑵于求已任，知意3，的x(2整9 数1 )＝x4 与8 ，_y_那定__义么__新，_。运x 算_“___”__：. xy=
x 2 y x y
1
【例4】(★★★★)(海淀名校-真题) 如的2 1数有# 2之a#后b1 ,新所如运得果算的，，余2 a1 #数#(b，2 表1 #例示x)如a、，5 b,2 中#则7 较x可大1 ,能的8 #是数3 _除__2 以,_9_#较_（1 小6 x 7 , 小于50）.
定义新运算
本讲主线 1பைடு நூலகம் 定义新运算基本类型. 2. 杯赛中的定义新运算.
1. 常见运算符：＋，－，×，÷，( )，[ ]，＝ 2. 定义新运算：用一个符号和已知运算表达式表示一种新
的运算。
【课前小练习】(★★)(2008年希望杯五年级一试第2题) 若规定 a b a b a ，那么(1 2 ) 3 ＝____。
知识大总结 1. 定义新运算
⑴ 注意a、b的左右顺序 ⑵ 有括号，分步计算 ⑶ 找规律，验证后使用。 2. 考点 ⑴ 含有未知数x，代入后，解方程. ⑵ 含有字母m、n，利用已知求解m、n. ⑶ 寻找新运算的含义——简便运算.
【今日讲题】例3，例4，例5 【讲题心得】 ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ______________________________. 【家长评价】 ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ______________________________.
五年级奥数培优之定义新运算
定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。
解答定义新运算关键是要正确理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
例1 设b a,表示两个不同的数,规定b a b a 43.求6)78(.例2 规定：6* 2=6＋66=72，2*3=2＋22＋222=246，1*4=1＋11＋111＋1111=1234。
求7*5例3 设ab b a b a 5.024，求34)14(x 中的未知数x 。
专题：定义新运算1、定义运算?为a ?b =5×)(b a b a .则11?12=2、b a,表示两个数,记为:a ※b =2×b b a 41.则8※(4※16)= .3、设y x,为两个不同的数,规定x □y 4)(y x.求a □16=10中a = 4、有一个符号“?”,使下列算式成立:4?8=16，10?6=26，6?10=22，18?14=50.求7?3=5、如果a △b 表示(a-2)×b ，例如：3△4=(3-2)×4=4，那么当( a △2)△3=12时，a=6、对于数b a,规定运算“▽”为)5()3(b a ba .求)76(57、Q P,表示两个数,P ※Q =2Q P ,如3※4=243=3.5.求4※(6※8);如果x※(6※8)=6,那么x ?. 8、对任意的数a ，b ，定义：f （a ）=a2+1, k （b ）=2b（1）已知f （m ）=26，求m 的值；（2）求f （k （3））+k （f （3））的值9、规定a ⊕)1()2()1(b a a a a b ,(b a,均为自然数,a b ).如果x ⊕10=65,那么x ?10、有A ，B ，C ，D 四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。
装置A ∶将输入的数加上5；装置B ∶将输入的数除以2；装置C ∶将输入的数减去4；装置D ∶将输入的数乘以3。
最新小学五年级奥数全册讲义(1-30讲)(含详解)【值得拥有】
小学五年级奥数全册讲义第1讲数字迷(一)第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
五年级奥数：定义新运算
五年级奥数重难点：定义新运算知识点一：1、定义新运算是指用新的符号所定义的运算。
解题时需要按它所规定的“运算程序”进行运算，直接得出最后结果。
2、运算符号所表示的运算并不是一种固定的算法，而是因题而异，不同的题目有不同的规定，我们应当严格按照题中规定进行运算。
类型一：直接运算型解题方向：直接根据运算公式计算【例1】“★”表示一种新运算，规定A★B=5A+7B，求4★5。
边学边练：1、设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。
试计算3○4。
2、“♀”表示一种新的运算，规定A♀B=2A+3B，求0.3♀1.4【例2】设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。
试计算：（1）（5*6）*7 （2）5*（6*7）边学边练：1、a 、b 是自然数，规定a ※b=（a+b ）÷2，求3※（4※6）2、令A ®B=3×A+4×B ，试计算：（1）（4®5）®6 （2）（1®5）+（2®4）类型二：反解未知数型解题方向：建立方程【例3】规定a ＆b=3a -2b ，如果x ＆4=7，求x 的值。
边学边练：1、如果规定c b d a d bc a ⨯-⨯=，已知2.74.2612=x ，求x 的值。
2、对任意正整数a,b ，规定a ※b=a ÷b ×2+3。
若256※a=19，求a 的值。
【例4】对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。
已知x□6=27，求x。
边学边练：1、如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。
已知x□3=5973，求x。
2、对于两个数a与b，规定a※b=a+(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。
已知x※4=122，求x。
类型三：观察规律型【例5】如果1※3=1+2+3=6，5※4=5+6+7+8=26，那么9※5=？边学边练：1、已知1∆3=1×2×3，6∆5=6×7×8×9×10，求2∆5.2、如果2※3=2+3+4=9，5※4=5+6+7+8=26，按此规则计算：（1）1※x=15 （2）x※3=12类型四：综合类型【例6】用{}a 表示a 的小数部分，[a]表示不超过a 的最大整数，例如{}4]5.4[,0]3.0[,3.03.0===。
2010年五年级奥数题：定义新运算(a)
2010年五年级奥数题：定义新运算（A）一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）规定a☉b=，则2☉（5☉3）之值为_________．2．（3分）（2012•成都）规定“※”为一种运算，对任意两数a，b，有a※b=，若6※x=，则x=_________．3．（3分）设a，b，c，d是自然数，定义＜a，b，c，d＞=ad+bc．则＜＜1，2，3，4＞，＜4，1，2，3＞，＜3，4，1，2＞，＜2，3，4，1＞＞=_________．4．（3分）[A]表示自然数A的约数的个数．例如，4有1，2，4三个约数，可以表示成[4]=3．计算：（[18]+[22]）÷[7]= _________．5．（3分）规定新运算※：a※b=3a﹣2b．若x※（4※1）=7，则x=_________．6．（3分）两个整数a和b，a除以b的余数记为a☆b．例如，13☆5=3，5☆13=5，12☆4=0．根据这样定义的运算，（26☆9）☆4=_________．7．（3分）对于数a，b，c，d规定＜a，b，c，d＞=2ab﹣c+d．如果＜1，3，5，x＞=7，那么x=_________．8．（3分）（2012•武汉模拟）规定：6※2=6+66=72，2※3=2+22+222=246，1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=_________．9．（3分）规定：符号“△”为选择两数中较大数，“☉”为选择两数中较小数．例如：3△5=5，3☉5=3．那么，[（7☉3）△5]×[5☉（3△7）]=_________．10．（3分）假设式子a#a×b表示经过计算后，a的值变为原来a与b的值的积，而式子b#a﹣b表示经过计算后，b 的值为原来a与b的值的差．设开始时a=2，b=2，依次进行计算a#a×b，b#a﹣b，a#a×b，b#a﹣b，则计算结束时，a 与b的和是_________．二、解答题（共4小题，满分0分）11．设a，b，c，d是自然数，对每两个数组（a，b），（c，d），我们定义运算※如下：（a，b）※（c，d）=（a+c，b+d）；又定义运算△如下：（a，b）△（c，d）=（ac+bd，ad+bc）．试计算（（1，2）※（3，6））△（（5，4）※（1，3））．12．羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼．运算意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了．小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示为羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼．运算意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了．对羊或狼，可用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算．运算的结果是羊，或是狼．求下式的结果：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）．13．64=2×2×2×2×2×2表示成f（64）=6；243=3×3×3×3×3表示成g（243）=5．试求下列的值：（1）f（128）=_________；（2）f（16）=g_________；（3）f_________+g（27）=6；（4）如果x，y分别表示若干个2的数的乘积，试证明：f（x•y）=f（x）+f（y）．14．两个不等的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a☉b，比如5☉2=1，7☉25=4，6☉8=2．（1）求1991☉2000，（5☉19）☉19，（19☉5）☉5；（2）已知11☉x=2，而x小于20，求x；（3）已知（19☉x）☉19=5，而x小于50，求x．2010年五年级奥数题：定义新运算（A）参考答案与试题解析一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）规定a☉b=，则2☉（5☉3）之值为1．3=☉故答案为：2．（3分）（2012•成都）规定“※”为一种运算，对任意两数a，b，有a※b=，若6※x=，则x=8．3．（3分）设a，b，c，d是自然数，定义＜a，b，c，d＞=ad+bc．则＜＜1，2，3，4＞，＜4，1，2，3＞，＜3，4，1，2＞，＜2，3，4，1＞＞=280．4．（3分）[A]表示自然数A的约数的个数．例如，4有1，2，4三个约数，可以表示成[4]=3．计算：（[18]+[22]）÷[7]= 5．5．（3分）规定新运算※：a※b=3a﹣2b．若x※（4※1）=7，则x=9．6．（3分）两个整数a和b，a除以b的余数记为a☆b．例如，13☆5=3，5☆13=5，12☆4=0．根据这样定义的运算，（26☆9）☆4=0．7．（3分）对于数a，b，c，d规定＜a，b，c，d＞=2ab﹣c+d．如果＜1，3，5，x＞=7，那么x=6．8．（3分）（2012•武汉模拟）规定：6※2=6+66=72，2※3=2+22+222=246，1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=86415．9．（3分）规定：符号“△”为选择两数中较大数，“☉”为选择两数中较小数．例如：3△5=5，3☉5=3．那么，[（7☉3）△5]×[5☉（3△7）]=25．10．（3分）假设式子a#a×b表示经过计算后，a的值变为原来a与b的值的积，而式子b#a﹣b表示经过计算后，b 的值为原来a与b的值的差．设开始时a=2，b=2，依次进行计算a#a×b，b#a﹣b，a#a×b，b#a﹣b，则计算结束时，a 与b的和是14．二、解答题（共4小题，满分0分）11．设a，b，c，d是自然数，对每两个数组（a，b），（c，d），我们定义运算※如下：（a，b）※（c，d）=（a+c，b+d）；又定义运算△如下：（a，b）△（c，d）=（ac+bd，ad+bc）．试计算（（1，2）※（3，6））△（（5，4）※（1，3））．12．羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼．运算意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了．小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示为羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼．运算意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了．对羊或狼，可用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算．运算的结果是羊，或是狼．求下式的结果：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）．13．64=2×2×2×2×2×2表示成f（64）=6；243=3×3×3×3×3表示成g（243）=5．试求下列的值：（1）f（128）=7；（2）f（16）=g81；（3）f（8）+g（27）=6；（4）如果x，y分别表示若干个2的数的乘积，试证明：f（x•y）=f（x）+f（y）．14．两个不等的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a☉b，比如5☉2=1，7☉25=4，6☉8=2．（1）求1991☉2000，（5☉19）☉19，（19☉5）☉5；（2）已知11☉x=2，而x小于20，求x；（3）已知（19☉x）☉19=5，而x小于50，求x．。
五年级奥数__定义新运算图文百度文库
五年级奥数__定义新运算图文百度文库一、拓展提优试题1．（7分）棱长都是1厘米的63个白色小正方体和1个黑色小正方体，可以拼成一个大正方体，问：一共可以拼成种不同的含有64个小正方体的大正方体．2．将等边三角形纸片按图1所示步骤折叠3次（图1中的虚线是三边的中点的连线），然后沿两边的重点的边减去一角（如图2）．将剩下的纸片展开、平铺，得到的图形是A3．用长是5厘米、宽是4厘米、高是3厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块块．4．（8分）小张有200支铅笔，小李有20支钢笔．每次小张给小李6支铅笔，小李还给小张1支钢笔．经过次这样的交换后，小张手中铅笔的数量是小李手中钢笔数量的11倍．5．（8分）在长方形ABCD中，BE＝5，EC＝4，CF＝4，FD＝1，如图所示，那么△AEF的面积是；6．请从1、2、3、…、9、10中选出若干个数，使得1、2、3、…、19、20这20个数中的每个数都等于某个选出的数或某两个选出的数（可以相等）的和．那么，至少需要选出个数．7．对于自然数N，如果在1﹣9这九个自然数中至少有七个数是N的因数，则称N是一个“七星数”，则在大于2000的自然数中，最小的“七星数”是．8．如图，若长方形S长方形ABCD＝60平方米，S长方形XYZR＝4平方米，则四边形S四边＝平方米．形EFGH9．（8分）6个同学约好周六上午8：00﹣11：30去体育馆打乒乓球，他们租了两个球桌进行单打比赛每段时间都有4 个人打球，另外两人当裁判，如此轮换到最后，发现每人都打了相同的时间，请问：每人打了分钟．10．某长方体的长、宽、高（长、宽、高均大于1）是三个彼此互质的自然数，若这个长方体的体积是665，则它的表面积是．11．从1、2、3、4、5中任取3个组成一个三位数，其中不能被3整除的三位数有个．12．（8分）在如图每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．那么，两个乘数的和是．13．观察下面数表中的规律，可知x＝．14．同学们去春游，带水壶的有80人，带水果的有70人，两样都没带的有6人．若既带水壶又带水果的人数是所有参加春游人数的一半，则参加春游的同学共有人．15．松鼠A、B、C共有松果若干，松鼠A原有松果26颗，从中拿出10颗平分给B、C，然后松鼠B拿出自己的18颗松果平均分给A、C，最后松鼠C把自己现有松果的一半平分给A、B，此时3只松鼠的松果数量相同，则松鼠C原有松果颗．【参考答案】一、拓展提优试题1．【分析】一共64个，4×4×4，①把黑色正方体放在顶点处，1种；②把黑色正方体放在棱中间，任选一个，2种；③把正方体放在每个面的中间4个，任选一个，4种；④把黑色正方体放在里面，从外边看不到，8种；然后把几种情况的种数相加即可．解：①把黑色正方体放在顶点处，1种；②把黑色正方体放在棱中间，任选一个，2种；③把正方体放在每个面的中间4个，任选一个，4种；④把黑色正方体放在里面，从外边看不到，8种；共：1+2+4+8＝15（种）；答：一共可以拼成15种不同的含有64个小正方体的大正方体．故答案为：15．2．解：找一剪刀与一等边三角形纸片，按题中所示步骤进行操作，最后得到的图形是A，故答案为：A．3．解：正方体的棱长应是5，4，3的最小公倍数，5，4，3的最小公倍数是60；所以，至少需要这种长方体木块：（60×60×60）÷（5×4×3），＝216000÷60，＝3600（块）；答：至少需要这种长方体木3600块．故答案为：3600．4．解：依题意可知：当第一次过后，小张剩余194只铅笔，小李剩余19只钢笔．当第二次过后，小张剩余188只铅笔，小李剩余18只钢笔．当第三次过后，小张剩余182只铅笔，小李剩余17只钢笔．当第四次过后，小张剩余176只铅笔，小李剩余16只钢笔．正好是11倍．故答案为：四5．解：根据分析，AD＝BE+EC＝5+4＝9，AB＝1+4＝5，S△EFC＝×EC×FC＝×4×4＝8；S△ABE＝×AB×BE＝×5×5＝12.5；S△ADF＝×AD×DF＝×9×1＝4.5；S长方形ABCD＝AB×AD＝5×9＝45，要求的△AEF的面积等于整体长方形的面积减去三个三角形的面积．S△AEF＝S长方形ABCD﹣S△EFC﹣S△ABE﹣S△ADF＝45﹣8﹣12.5﹣4.5＝20．故答案是：20．6．解：列举如下：1＝1；2＝2；3＝1+2；4＝2+2；5＝5；6＝1+5；7＝2+5；8＝8；9＝9；10＝10；11＝1+10；12＝2+10；13＝5+8；14＝7+7；15＝5+10；16＝8+8；17＝8+9；18＝8+10；19＝9+10；通过观察，可看出从1、2、3、…、9、10中选出若干个数分别为{1，2，5，8，9，10}；就能使得1、2、3、…、19、20这20个数中的每个数都等于某个选出的数或某两个选出的数（可以相等）的和．故至少需要选出6个数．故答案为6．7．解：根据分析，在2000～2020之间排除掉奇数，剩下的偶数还可以排除掉不能被3整除的偶数，最后只剩下：2004、2010、2016，再将三个数分别分解质因数得：2004＝2×2×3×167；2010＝2×3×5×67；2016＝2×2×2×2×2×3×3×7， 显然2014和2010的质因数在1～9中不到7个，不符合题意，排除，符合题意的只有2016，此时2016的因数分别是：2、3、4、6、7、8、9．故答案是：2016．8．解：根据分析，如下图所示：长方形S 长方形ABCD ＝S 长方形XYZR +△AEF +△EFR +△FBG +△FGX +△HCG +△HGY +△DHE +△HEZ＝S 长方形XYZR +2×（a +b +c +d ）⇒60＝4+2×（a +b +c +d ）⇒a +b +c +d ＝28四边形S 四边形EFGH ＝△EFR +△FGX +△HGY +△HEZ +S 长方形XYZR＝a +b +c +d +S 长方形XYZR＝28+4＝32（平方米）．故答案是：32．9．解：6÷2＝3（组）11时30分﹣8是＝3时30分＝210分210×2÷3＝420÷3＝140（分钟）答：每人打了140分钟．故答案为：140．10．解：665＝19×7×5，因为长、宽、高（长、宽、高均大于1）是三个彼此互质的自然数，所以长、宽、高分别是19、7、5，（19×7+19×5+7×5）×2＝（133+95+35）×2＝263×2＝526，答：它的表面积是526．故答案为：526．11．解：1+2+3＝6，1+2+4＝7，1+2+5＝8，2+3+4＝9，2+3+5＝10，3+4+5＝12，其中不能被3整除的数的和是7、8、10，即有三组（1、2、4），（1、2、5）（2、3、5），每一组可以组成3×2×1＝6个，三组共可以组成6×3＝18个，即不能被3整除的数共有18个．故答案为：18．12．解：依题意可知：结果的首位是2，那么在第二个结果中的首位还是2．再根据第一个结果中有一个1，那么就是有和数字5相乘以后数字1的进位同时十位数字是偶数才能满足条件，第一个乘数的个位数字只能是2或者3才能满足进位是1．当第一个乘数尾数是2时，首位数字无论是哪一个偶数都不能得到200多的结果．不满足题意．当第一个乘数尾数是3时，来看看偶数的情况．23×9＝207.43，63，83无论乘以数字几都不能构成百位十位是20的结果．故是23×95＝2185，那么23+95＝118．故答案为：11813．解：根据分析可得，81＝92，所以，x＝9×5＝45；故答案为：45．14．解：设既带水壶又带水果的为x人，则参加春游的同学共有2x人，由题意可得：80+70﹣x+6＝2x156﹣x＝2x3x＝156x＝52则2x＝2×52＝104答：则参加春游的同学共有104人．故答案为：104．15．解：10÷2＝5（颗）18÷2＝9（颗）此时A有：26﹣10+9＝25（颗）此时C有：25×4＝100（颗）原来C有：100﹣9﹣5＝86（颗）答：松鼠C原有松果 86颗．故答案为：86．。
奥数专题-定义新运算(带答案完美排版)
定义新运算我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b，①求3△2，2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：① 3△2＝3×3－2×2＝9－4＝52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17－2×6＝39；再计算第二步39△2＝3 ×39－2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4－2×b＝12－2b，那么12－2b＝2，解出b＝5.例2、定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35－12＝23，7※ 5＝7×5－（7＋5）＝35－12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例子可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝8x－13那么8x－13＝3 解出x＝2.例3、定义新的运算a ?b＝a×b＋a＋b.①求6 ?2，2 ?6；②求（1 ?2）?3，1 ?（2 ?3）；③这个运算有交换律和结合律吗？解：① 6 ?2＝6×2＋6＋2＝20，2 ?6＝2×6＋2＋6＝20.②（1 ?2）?3＝（1×2＋1＋2）?3＝5 ?3＝5×3＋5＋3＝231 ?（2 ?3）＝1 ?（2×3＋2＋3）＝1 ?11＝1×11＋1＋11＝23.③先看“?”是否满足交换律：a ?b＝a×b＋a＋bb ?a＝b×a＋b＋a＝a×b＋a＋b（普通加法与乘法的交换律）所以a ?b＝b ?a，因此“?”满足交换律.再看“?”是否满足结合律：（a ?b）?c＝（a×b＋a＋b）?c＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c＝abc ＋ac ＋bc ＋ab ＋a ＋b ＋c .a ?（b ?c ）＝a ?（b ×c ＋b ＋c ）＝a ×（b ×c ＋b ＋c ）＋a ＋b ×c ＋b ＋c＝abc ＋ab ＋ac ＋a ＋bc ＋b ＋c＝abc ＋ac ＋bc ＋ab ＋a ＋b ＋c .（普通加法的交换律） 所以（a ? b ）? c ＝a ?（b ? c ），因此“?”满足结合律.说明：“?”对于普通的加法不满足分配律，看反例：1 ?（2＋3）＝1 ? 5＝1×5＋1＋5＝11；1 ? 2＋1 ? 3＝1×2＋1＋2＋1×3＋1＋3＝5＋7＝12；因此1 ?（2＋3）≠ 1 ? 2＋1 ? 3.例4、有一个数学运算符号“?”，使下列算式成立：2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25，求7?3＝？解：通过对2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25这几个算式的观察，找到规律：a ?b ＝2a ＋b ，因此7?3＝2×7＋3＝17.例5、x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x *y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k ×1×2=2k ，由于k 的值不知道，所以首先要计算出k 的值，k 值求出后，l △2的值也就计算出来了.我们设1△2=a ， (1△2）*3=a *3，按“*”的定义： a *3=ma+3n ，在只有求出m 、n 时，我们才能计算a *3的值.因此要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.解：因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时： （2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k ×8×4=32k有32k=64，解出k=2.②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k ×9×4=36k有36k=64，解出k=971，这与k 是自然数矛盾，因此m=3，n =1，k=971 m=1 n =2 m=2 n =23（舍去） m=3n =1这组值应舍去.所以m=l ，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.课后习题1.a *b 表示a 的3倍减去b 的21，例如：1*2=1×3－2×21=2，根据以上的规定，计算：①10*6； ②7*（2*1）.2.定义新运算为 a 一b ＝b 1a +， ①求2一（3一4）的值； ② 若x 一4＝1.35，则x ＝？3.有一个数学运算符号○，使下列算式成立：21○32=63，54○97=4511，65○71=426，求113○54的值. 4.定义两种运算“?”、“?”，对于任意两个整数a 、b ，a ?b ＝a ＋b ＋1， a ?b=a ×b －1，①计算4?[（6?8）?（3?5）]的值；②若x ?（x ?4）=30，求x 的值.5.对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”，x △y=y ×2x ×m y×x ×6+（其中m 是一个确定的整数），如果1△2=2，则2△9=？6.对于数a 、b 规定运算“▽”为a ▽b=（a ＋1）×（1－b ），若等式（a ▽a ）▽（a ＋1）=（a ＋1）▽（a ▽a ）成立，求a 的值.7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：x *y=xy 1＋））（（A y 1x 1++， 已知2*1=1×21＋））（（A 1121++=32，求1998*1999的值. 8.a ※b=b÷a b a +，在x ※（5※1）=6中，求x 的值. 9.规定 a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b －1），（a 、b 均为自然数，b>a ）如果x △10=65，那么x=？10.我们规定：符号◇表示选择两数中较大数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：)25.2◇106237()9934△3.0()3323△625.0()2617◇6.0(++ =？ 课后习题解答1.2.3.所以有5x-2=30，解出x=6.4 左边： 8.解：由于9.解：按照规定的运算：x △10=x +（x+1）+（x+2）+…+（x+10－1）=10x +（1+2+3+?+9）=10x + 45因此有10x + 45=65，解出x=2.定义新运算我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a 、b 都表示数，规定a △b ＝3×a －2×b ，①求 3△2， 2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b ＝2，求b .例2、定义运算※为 a ※b ＝a ×b －（a ＋b ），①求5※7，7※5； ②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？ ④如果3※（5※x ）＝3，求x . 例3、定义新的运算a ? b ＝a ×b ＋a ＋b .①求6 ? 2，2 ? 6；②求（1 ? 2）? 3，1 ?（2 ? 3）；③这个运算有交换律和结合律吗？例4、有一个数学运算符号“?”，使下列算式成立：2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25，求7?3＝？例5、x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x *y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.课后习题1.a *b 表示a 的3倍减去b 的21，例如：1*2=1×3－2×21=2，根据以上的规定，计算：①10*6； ②7*（2*1）.2.定义新运算为 a 一b ＝b 1a +， ①求2一（3一4）的值； ② 若x 一4＝1.35，则x ＝？3.有一个数学运算符号○，使下列算式成立：21○32=63，54○97=4511，65○71=426，求113○54的值. 4.定义两种运算“?”、“?”，对于任意两个整数a 、b ，a ?b ＝a ＋b ＋1， a ?b=a ×b －1，①计算4?[（6?8）?（3?5）]的值；②若x ?（x ?4）=30，求x 的值.5.对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”，x △y=y ×2x ×m y×x ×6+（其中m 是一个确定的整数），如果1△2=2，则2△9=？6.对于数a 、b 规定运算“▽”为a ▽b=（a ＋1）×（1－b ），若等式（a ▽a ）▽（a ＋1）=（a ＋1）▽（a ▽a ）成立，求a 的值.7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：x *y=xy 1＋））（（A y 1x 1++， 已知2*1=1×21＋））（（A 1121++=32，求1998*1999的值. 8.a ※b=b÷a b a +，在x ※（5※1）=6中，求x 的值.9.规定 a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b －1），（a 、b 均为自然数，b>a ）如果x △10=65，那么x=？10.我们规定：符号◇表示选择两数中较大数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：)25.2◇106237()9934△3.0()3323△625.0()2617◇6.0(++ =？[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。
五年级奥数定义新运算（精）
定义新运算姓名：知识点拨我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。
除此之外，还会有什么别的运算吗？本节课我们就来研究这个问题。
【知识点一】新运算的定义新运算的定义是题目规定的，只在对应题目里有效，相同的符号，在不同的题目里可能有不同的定义。
新定义的运算往往由已学过的四则运算，按照一定的顺序组合而成。
【知识点二】新运算的解答步骤（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。
它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、◆、♀、●、Δ、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
【知识点三】定义新运算的分类1、直接运算型2、反解未知数型3、观察规律型4、综合型经典例题类型一、直接运算型【例1】若表示，求的值。
【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。
6△（3△4），求的值。
6△（3△4）【巩固】 规定运算“☆”为：若a >b ，则a ☆b =a ＋b ；若a =b ，则a ☆b =a －b ＋1；若a <b ，则a ☆b =a ×b 。
那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=？【巩固】 已知a ,b 是任意自然数是任意自然数,,我们规定: a⊕b = a+b 我们规定: a⊕b = a+b-1,-1,,那么那么【巩固】表示【例2】对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：,求2△9。
【巩固】【巩固】 定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b.例如:4△6=(4,6+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= .【例3】规定：符号“】规定：符号“&&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。
第16讲-定义运算(1)(习题导学案教案)(奥数实战演练习题)
（2）要使该运算满足交换律，即◎＝◎，根据新运算的定义，有◎＝5＋，◎＝5＋，所以5＋＝5＋，即5＋＝，＝5，因此当＝5时，该运算满足交换律。
3、（2011年六年级“希望杯”培训题）10、定义新运算※，使它的运算规则是：※，按此规则计算：4※2.5＝，2.5※4＝。
【解析】4※2.5＝4×2.5－4÷2.5＝10－1.6＝8.4。
4、（2010年六年级“希望杯”培训题）9、对于数和，规定☆运算如下：☆，请比较：
5.1☆2.32.3☆5.1。(填“＞”、“＜”或“＝”)
求:(1)3*3；(2)4*5；(3)若1*x=123，求x.
【解析】观察两个已知等式可以发现，“*”定义的是连加运算，第一个加数是“*”前边的数，且后一个加数都比前一个加数多一位，但数字相同，而“*”后边的数恰好是加数的个数。
（1）3*3=3+33+333=369
（2）4*5=4+44+444+4444+44444=49380
学科教师辅导讲义
学员编号：
年级：四年级
课时数：3
学员姓名：
辅导科目：奥数
学科教师：
授课主题
第16讲-定义新运算
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
1学会理解新定义的内容；
2理解新定义内容的基础上能够解决用新定义给出的题目；
3学会自己总结解题技巧。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
小学五年级奥数讲义(学生版)30讲全
五年级奥数第1讲数字迷〔一〕第16讲巧算24第2讲数字谜<二>第17讲位置原如此第3讲定义新运算<一>第18讲最大最小第4讲定义新运算<二>第19讲图形的分割与拼接第5讲数的整除性<一>第20讲多边形的面积第6讲数的整除性<二>第21讲用等量代换求面积第7讲奇偶性〔一〕第22 用割补法求面积第8讲奇偶性〔二〕第23讲列方程解应用题第9讲奇偶性〔三〕第24讲行程问题〔一〕第10讲质数与合数第25讲行程问题〔二〕第11讲分解质因数第26讲行程问题〔三〕第12讲最大公约数与最小公倍数〔一〕第27讲逻辑问题〔一〕第13讲最大公约数与最小公倍数〔二〕第28讲逻辑问题〔二〕第14讲余数问题第29讲抽屉原理<一>第15讲孙子问题与逐步约束法第30讲抽屉原理<二>第1讲数字谜〔一〕例1 把+,-,×,÷四个运算符号,分别填入下面等式的○内,使等式成立〔每个运算符号只准使用一次〕：〔5○13○7〕○〔17○9〕=12.例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中,使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568. 例3 在443后面添上一个三位数,使得到的六位数能被573整除.例4 六位数33□□44是89的倍数,求这个六位数.例5 在左下方的加法竖式中,不同的字母代表不同的数字,一样的字母代表一样的数字,请你用适当的数字代替字母,使加法竖式成立.FORTYTEN+ TENSIXTY例6 在左下方的减法算式中,每个字母代表一个数字,不同的字母代表不同的数字.请你填上适当的数字,使竖式成立.练习11.在一个四位数的末尾添零后,把所得的数减去原有的四位数,差是621819,求原来的四位数.2.在如下竖式中,不同的字母代表不同的数字,一样的字母代表一样的数字.请你用适当的数字代替字母,使竖式成立：〔1〕 A B <2> A B A B+ B C A - A C AA B C B A A C3.在下面的算式中填上括号,使得计算结果最大：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9.4.在下面的算式中填上假如干个〔〕,使得等式成立：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8.5.将1～9分别填入下式的□中,使等式成立：□□×□□=□□×□□□=3634.6.六位数391□□□是789的倍数,求这个六位数.7.六位数7□□888是83的倍数,求这个六位数.第2讲数字谜〔二〕这一讲主要讲数字谜的代数解法与小数的除法竖式问题.例1 在下面的算式中,不同的字母代表不同的数字,一样的字母代表相例2 在□内填入适当的数字,使左下方的乘法竖式成立.□□□× 8 1□□□□□□□□□□□例3 左下方的除法竖式中只有一个8,请在□内填入适当的数字,使除法竖式成立.□8 □□□□>□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□例4 在□内填入适当数字,使小数除法竖式成立.例4图例5图例5 一个五位数被一个一位数除得到右上图竖式〔1〕,这个五位数被另一个一位数除得到右上图的竖式〔2〕,求这个五位数.练习21.下面各算式中,一样的字母代表一样的数字,不同的字母代表不同的数字,求出abcd与abcxyz<1>1abcd×3=abcd5 <2>7×abcxyz=6×xyzabc2.用代数方法求解如下竖式：3.在□内填入适当的数字,使如下小数除法竖式成立：□ 8 □ 7 □.□□□□□□□>□□□□□□□.□> □□□.□□> □.□□□□□□□□□□□□□ 8 □□□□□□□□□□□□□□□□ 0 0□□第3讲定义新运算〔一〕例1 对于任意数a,b,定义运算"*〞：a*b=a×b-a-b.求12*4的值.例2 a△b表示a的3倍减去b的1,例如根据以上的规定,求10△6的值23,x>=2,求x的值.例6 对于任意自然数,定义：n！=1×2×…×n.例如 4！=1×2×3×4.那么1！+2！+3！+…+100！的个位数字是几？例7 如果m,n表示两个数,那么规定：m¤n=4n-〔m+n〕÷2. 求3¤〔4¤6〕¤12的值.练习31.对于任意的两个数a和b,规定a*b=3×a-b÷3.求8*9的值.2.a b表示a除以3的余数再乘以b,求134的值.3.a b表示〔a-b〕÷〔a+b〕,试计算：〔53〕〔106〕.4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和,求8◎2的值.5.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍,即m◇n=3m-2n.〔2〕x◇〔4◇1〕=7,求x的值.7.对于任意的两个数P, Q,规定 P☆Q=〔P×Q〕÷4.例如：2☆8=〔2×8〕÷4.x☆〔8☆5〕=10,求x的值.8.定义： a△b=ab-3b,a b=4a-b/a.计算：〔4△3〕△〔2b〕.9.： 23=2×3×4,45=4×5×6×7×8,……求〔44〕÷〔33〕的值.第4讲定义新运算〔二〕例1 a※b=〔a+b〕-〔a-b〕,求9※2的值.例2 定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb,其中a,b为任意两个数,k为常数.比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k.〔1〕5⊙2=73.问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？〔2〕当k取什么值时,对于任何不同的数a,b,都有a⊙b=b⊙a,即新运算"⊙〞符合交换律？例3 对两个自然数a和b,它们的最小公倍数与最大公约数的差,定义为a☆b,即a☆b=[a,b]-〔a,b〕.比如,10和14的最小公倍数是70,最大公约数是2,那么10☆14=70-2=68.〔1〕求12☆21的值；〔2〕6☆x=27,求x的值.例4 a表示顺时针旋转90°,b表示顺时针旋转180°,c表示逆时针旋转90°,d表示不转.定义运算"◎〞表示"接着做〞.求：a◎b；b◎c；c◎a.例5 对任意的数a,b,定义：f〔a〕=2a+1, g〔b〕=b×b.〔1〕求f〔5〕-g〔3〕的值；〔2〕求f〔g〔2〕〕+g〔f〔2〕〕的值；〔3〕f〔x+1〕=21,求x的值.练习42.定义两种运算"※〞和"△〞如下：a※b表示a,b两数中较小的数的3倍, a△b表示a,b两数中较大的数的2.5倍. 比如：4※5=4×3=12,4△5=5×2.5=12.5.计算：[<0.6※0.5>+<0.3△0.8>]÷[<1.2※0.7>-<0.64△0.2>].4.设m,n是任意的自然数,A是常数,定义运算m⊙n=〔A×m-n〕÷4,并且2⊙3=0.75.试确定常数A,并计算：〔5⊙7〕×〔2⊙2〕÷〔3⊙2〕.5.用a,b,c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：a表示顺时针旋转240°,b表示顺时针旋转120°,c表示不旋转. 运算"∨〞表示"接着做〞.试以a,b,c为运算对象做运算表.6.对任意两个不同的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a b.比如73=1,529=4,420=0.〔1〕计算：19982000,〔519〕19,5〔195〕；〔2〕11x=4,x 小于20,求x 的值.7.对于任意的自然数a,b,定义：f 〔a 〕=a ×a-1,g 〔b 〕=b ÷2+1.〔1〕求f 〔g 〔6〕〕-g 〔f 〔3〕〕的值；〔2〕f 〔g 〔x 〕〕=8,求x 的值.第5讲 数的整除性〔一〕1. 整除的定义、性质.定义：如果a 、b 、c 是整数并且b 0≠ ,b=c a ÷如此称a 能被b 整除或者b 能整除a ,记做b a |,否如此称为a 不能被b 整除或者b 不能整除a ,记做b | a .2、性质〔1〕如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数能被丙数整除.〔2〕如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除. 〔3〕如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除,那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除.〔4〕如果一个质数能整除两个自然数的乘积,那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个. 〔5〕几个数相乘,如果其中一个因数能被某数整除,那么乘积也能被这个数整除.整除的数的特征1、 被2整除特征：个位上是0,2,4,6,82、 被5整除特征：个位上是5,03、 能被3或9整除的数的特征是：各个数位的数字之和是3或9的倍数4、被4、25整除的数的特征：一个数的末2位能被4、25整除5、被8、125整除的数的特征：一个数的末3位能被8、125整除6、被7整除的数的特征 ：假如一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,如此原数能被7整除.如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程.7、能被11整除的数的特征： 把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数<包括0>,那么,原来这个数就一定能被11整除. 例如：判断491678能不能被11整除. —→奇位数字的和9+6+8=23 —→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法〞.8、能被13整除的数的特征：把一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果和是13的倍数,如此原数能被13整除.如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程.如：判断1284322能不能被13整除. 128432+2×4=128440 12844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100 所以,1284322能被13整除.9、被7、11、13整除特征：末三位与末三位之前的数之差〔大数－小数〕能被7、11、13整除,如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程.例如：判断556584能不能被7整除 末三位584 末三位之前的数556,584-556=28 28能被7整除,所以556584能被7整除10、能被17整除的数的特征: 把一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的5倍, 如果差是17的倍数,如此原数能被17整除.如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程.11、能被19整除的数的特征:把一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,加上个位数的2倍, 如果和是19的倍数,如此原数能被19整除.如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程 例1 在□里填上适当的数字,使得七位数□7358□□能分别被9,25和8整除.例2 由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？例3 有四个数：76550,76551,76552,76554.能不能从中找出两个数,使它们的乘积能被12整除？ 例4 在所有五位数中,各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？例5 能不能将从1到10的各数排成一行,使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？练习51.4205和2813都是29的倍数,1392和7018是不是29的倍数？2.如果两个数的和是64,这两个数的积可以整除4875,那么这两个数的差是多少？3.173□是个四位数.数学教师说："我在这个□中先后填入3个数字,所得到的 3个四位数,依次可以被9,11,6整除.〞问：数学教师先后填入的3个数字之和是多少4、用1—6六个数字组成一个六位数abcdef期中不同的字母代表1-6中不同的数字.要求ab能被2整除,abc能被3整除,abcd能被4整除,abcde是5的倍数,abcdef是6的倍数.这样的六位数有几个？各是多少？5.红光小学五年级二班期末数学考试平均分是90分,总分A95B,这个班有多少名学生？6.能不能将从1到9的各数排成一行,使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？第6讲数的整除性〔二〕特殊的数——1001.因为1001=7×11×13,所以但凡1001的整数倍的数都能被7,11和13整除. 例2 判断306371能否被7整除？能否被13整除？例3 10□8971能被13整除,求□中的数.例4说明12位数abbaabbaabba一定是3、7、13的倍数.例5 如果41位数55……5□99……9能被7整除,那么中间方格内的数字是几？︸︸20个 20个判断一个数能否被27或37整除的方法：对于任何一个自然数,从个位开始,每三位为一节将其分成假如干节,然后将每一节上的数连加,如果所得的和能被27〔或37〕整除,那么这个数一定能被27〔或37〕整除；否如此,这个数就不能被27〔或37〕整除.例6 判断如下各数能否被27或37整除：〔1〕2673135；〔2〕8990615496.判断一个数能否被个位是9的数整除的方法：为了表示方便,将个位是9的数记为 k9〔= 10k+9〕,其中k为自然数.对于任意一个自然数,去掉这个数的个位数后,再加上个位数的〔k+1〕倍.连续进展这一变换.如果最终所得的结果等于k9,那么这个数能被k9整除；否如此,这个数就不能被k9整除.例7 〔1〕判断18937能否被29整除；〔2〕判断296416与37289能否被59整除.练习61.如下各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？88205, 167128, 250894, 396500, 675696, 796842, 805532, 75778885.2.六位数175□62是13的倍数.□中的数字是几？ 3、七位数132A679是7的倍数,求A？4、六位数ababab能否被7和13整除？5、12位数aabbaabbaabb能否被7和13整除？6、33……3□88……8能被13整除,求中间□中的数？20个 20个7.九位数8765□4321能被21整除,求中间□中的数.8.在如下各数中,哪些能被27整除？哪些能被37整除？1861026, 1884924, 2175683, 2560437,11159126,131313555,266117778.9.在如下各数中,哪些能被19整除？哪些能被79整除？55119, 55537, 62899, 71258, 186637,872231,5381717.第7讲奇偶性〔一〕整数按照能不能被2整除,可以分为两类：〔1〕能被2整除的自然数叫偶数,例如0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,…〔2〕不能被2整除的自然数叫奇数,例如1,3,5,7,9,11,13,15,17,…整数由小到大排列,奇、偶数是交替出现的.相邻两个整数大小相差1,所以肯定是一奇一偶.因为偶数能被2整除,所以偶数可以表示为2n的形式,其中n为整数；因为奇数不能被2整除,所以奇数可以表示为2n+1的形式,其中n为整数.每一个整数不是奇数就是偶数,这个属性叫做这个数的奇偶性.奇偶数有如下一些重要性质：〔1〕两个奇偶性一样的数的和〔或差〕一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和〔或差〕一定是奇数.反过来,两个数的和〔或差〕是偶数,这两个数奇偶性一样；两个数的和〔或差〕是奇数,这两个数肯定是一奇一偶.〔2〕奇数个奇数的和〔或差〕是奇数；偶数个奇数的和〔或差〕是偶数.任意多个偶数的和〔或差〕是偶数.〔3〕两个奇数的乘积是奇数,一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数.〔4〕假如干个数相乘,如果其中有一个因数是偶数,那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数,那么积就是奇数.反过来,如果假如干个数的积是偶数,那么因数中至少有一个是偶数；如果假如干个数的积是奇数,那么所有的因数都是奇数.〔5〕在能整除的情况下,偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数,也可能得奇数.奇数肯定不能被偶数整除.〔6〕偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1.因为〔2n〕2=4n2=4×n2,所以〔2n〕2能被4整除；因为〔2n+1〕2=4n2+4n+1=4×〔n2+n〕+1,所以〔2n+1〕2除以4余1.〔7〕相邻两个自然数的乘积必是偶数,其和必是奇数.〔8〕如果一个整数有奇数个约数〔包括1和这个数本身〕,那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数,那么这个数一定不是平方数.整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题.有些问题外表看来似乎与奇偶性一点关系也没有,例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等,但只要想方法编上,成为整数问题,便可利用整数的奇偶性加以解决.例1下式的和是奇数还是偶数？1+2+3+4+…+1997+1998.例2 能否在下式的□中填上"+〞或"-〞,使得等式成立？1□2□3□4□5□6□7□8□9=36.例3 任意给出一个五位数,将组成这个五位数的5个数码的顺序任意改变,得到一个新的五位数.那么,这两个五位数的和能不能等于99999？例4 在一次校友聚会上,久别重逢的老同学互相频频握手.请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请说明理由.例5 五〔2〕班局部学生参加镇里举办的数学竞赛,每X试卷有50道试题.评分标准是：答对一道给3分,不答的题,每道给1分,答错一道扣1分.试问：这局部学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？练习71.能否从四个3、三个5、两个7中选出5个数,使这5个数的和等于22？2.任意交换一个三位数的数字,得一个新的三位数,一位同学将原三位数与新的三位数相加,和是999.这位同学的计算有没有错？3.甲、乙两人做游戏.任意指定七个整数〔允许有一样数〕,甲将这七个整数以任意的顺序填在如下图第一行的方格内,乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里,然后计算出所有同一列的两个数的差〔大数减小数〕,再将这七个差相乘.游戏规如此是：假如积是偶数,如此甲胜；假如积是奇数,如此乙胜.请说明谁将获胜.4.某班学生毕业后相约彼此通信,每两人间的通信量相等,即甲给乙写几封信,乙也要给甲写几封信.问：写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数？5.A市举办五年级小学生"春晖杯〞数学竞赛,竞赛题30道,记分方法是：底分15分,每答对一道加5分,不答的题,每道加1分,答错一道扣1分.如果有333名学生参赛,那么他们的总得分是奇数还是偶数？6.把如下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色.是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？试讲出理由.7.红星影院有1999个座位,上、下午各放映一场电影.有两所学校各有1999名学生包场看这两场电影,那么一定有这样的座位,上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生,为什么？第8讲奇偶性〔二〕例1用0～9这十个数码组成五个两位数,每个数字只用一次,要求它们的和是奇数,那么这五个两位数的和最大是多少？例2 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上,每次翻转其中的2只杯子.能否经过假如干次翻转,使得7只杯子全部杯口朝下？例3 有m〔m≥2〕只杯子全部口朝下放在桌子上,每次翻转其中的〔m-1〕只杯子.经过假如干次翻转,能使杯口全部朝上吗？例4 一本论文集编入15篇文章,这些文章排版后的页数分别是1,2,3,…,15页.如果将这些文章按某种次序装订成册,并统一编上页码,那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？例5 有大、小两个盒子,其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子,小盒内装有足够多的黑棋子.阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子,假如摸出的两枚棋子同色,如此从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；假如摸出的两枚棋子异色,如此把其中白棋子放回大盒内.问：从大盒内摸了1999次棋子后,大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？例6 一串数排成一行：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…到这串数的第1000个数为止,共有多少个偶数？练习81.在11,111,1111,11111,…这些数中,任何一个数都不会是某一个自然数的平方.这样说对吗？2.一本书由17个故事组成,各个故事的篇幅分别是1,2,3,…,17页.这17个故事有各种编排法,但无论怎样编排,故事正文都从第1页开始,以后每一个故事都从新一页码开始.如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少,那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？3.桌子上放着6只杯子,其中3只杯口朝上,3只杯口朝下.如果每次翻转5只杯子,那么至少翻转多少次,才能使6只杯子都杯口朝上？4.70个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和,这一行数的最左边的几个数是这样的：0,1,3,8,21,…问：最右边的一个数是奇数还是偶数？5.学校组织运动会,小明领回自己的运动员后,小玲问他："今天发放的运动员加起来是奇数还是偶数？〞小明说："除开我的,把今天发的其它加起来,再减去我的,恰好是100.〞今天发放的运动员加起来,到底是奇数还是偶数？6.在黑板上写出三个整数,然后擦去一个换成所剩两数之和,这样继续操作下去,最后得到88,66,99.问：原来写的三个整数能否是1,3,5？7.将888件礼品分给假如干个小朋友.问：分到奇数件礼品的小朋友是奇数还是偶数？第9讲奇偶性〔三〕例1 在7×7的正方形的方格表中,以左上角与右下角所连对角线为轴对称地放置棋子,要求每个方格中放置不多于1枚棋子,且每行正好放3枚棋子,如此在这条对角线上的格子里至少放有一枚棋子,这是为什么？例2 对于左下表,每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数,能否经过假如干次后〔各次减去或加上的数可以不同〕,变为右下表？为什么？例3 如下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗？例4 如下图是由14个大小一样的方格组成的图形.能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？例5 在右图的每个○中填入一个自然数〔可以一样〕,使得任意两个相邻的○中的数字之差〔大数减小数〕恰好等于它们之间所标的数字.能否办到？为什么？例6 下页上图是半X中国象棋盘,棋盘上已放有一只马.众所周知,马是走"日〞字的.请问：这只马能否不重复地走遍这半X棋盘上的每一个点,然后回到出发点？练习91.教室里有5排椅子,每排5X,每X椅子上坐一个学生.一周后,每个学生都必须和他相邻〔前、后、左、右〕的某一同学交换座位.问：能不能换成？为什么？2.房间里有5盏灯,全部关着.每次拉两盏灯的开关,这样做假如干次后,有没有可能使5盏灯全部是亮的？3.左如下图是由40个小正方形组成的图形,能否将它剪裁成20个一样的长方形？4.一个正方形果园里种有48棵果树,加上右下角的一间小屋,整齐地排列成七行七列〔见右上图〕.守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏〔不许斜走〕,最后又回到小屋.可以做到吗？5.红光小学五年级一次乒乓球赛,共有男女学生17人报名参加.为节省时间不打循环赛,而采取以下方式：每人只打5场比赛,每两人之间用抽签的方法决定只打一场或不赛.然后根据每人得分决定出前5名.这种比赛方式是否可行？6.如如下图所示,将1～12顺次排成一圈.如果报出一个数a〔在1～12之间〕,那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置.例如a=3,就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a=11,就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置.问：a是多少时,可以走到7的位置？第10讲质数与合数自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为三类：第一类：只能被一个自然数整除的自然数,这类数只有一个,就是1.第二类：只能被两个不同的自然数整除的自然数.因为任何自然数都能被1和它本身整除,所以这类自然数的特征是大于1,且只能被1和它本身整除.这类自然数叫质数〔或素数〕.例如,2,3,5,7,…第三类：能被两个以上的自然数整除的自然数.这类自然数的特征是大于1,除了能被1和它本身整除外,还能被其它一些自然数整除.这类自然数叫合数.例如,4,6,8,9,15,…上面的分类方法将自然数分为质数、合数和1,1既不是质数也不是合数.例1 1～100这100个自然数中有哪些是质数？例2 判断269,437两个数是合数还是质数.例3 判断数1111112111111是质数还是合数？例4 判定298+1和298+3是质数还是合数？例5 A是质数,〔A+10〕和〔A+14〕也是质数,求质数A.练习101.现有1,3,5,7四个数字.〔1〕用它们可以组成哪些两位数的质数〔数字可以重复使用〕？〔2〕用它们可以组成哪些各位数字不一样的三位质数？2.a,b,c都是质数,a＞b＞c,且a×b+c=88,求a,b,c.3.A是一个质数,而且A+6,A+8,A+12,A+14都是质数.试求出所有满足要求的质数A.5.试说明：两个以上的连续自然数之和必是合数.6.判断266+388是不是质数.7.把一个一位数的质数a写在另一个两位数的质数b后边,得到一个三位数,这个三位数是a的87倍,求a和b.第11讲分解质因数自然数中任何一个合数都可以表示成假如干个质因数乘积的形式,如果不考虑因数的顺序,那么这个表示形式是唯一的.把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数.例如,60=22×3×5, 1998=2×33×37.例1 一个正方体的体积是13824厘米3,它的外表积是多少？例2 学区举行团体操表演,有1430名学生参加,分成人数相等的假如干队,要求每队人数在100至200之间,共有几种分法？例3 1×2×3×…×40能否被90909整除？例4 求72有多少个不同的约数.例5 试求不大于50的所有约数个数为6的自然数.练习111.一个长方体,它的正面和上面的面积之和是209分米2,如果它的长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少立方分米？2.爷孙两人今年的年龄的乘积是693,4年前他们的年龄都是质数.爷孙两人今年的年龄各是多少岁？3.某车间有216个零件,如果平均分成假如干份,分的份数在5至20之间,那么有多少种分法？4.小英参加小学数学竞赛,她说："我得的成绩和我的岁数以与我得的名次乘起来是3916,总分为是100分.〞能否知道小英的年龄、考试成绩与名次？5.举例回答下面各问题：〔1〕两个质数的和仍是质数吗？〔2〕两个质数的积能是质数吗？〔3〕两个合数的和仍是合数吗？〔4〕两个合数的差〔大数减小数〕仍是合数吗？〔5〕一个质数与一个合数的和是质数还是合数？6.求不大于100的约数最多的自然数.7.同学们去射箭,规定每射一箭得到的环数或者是"0〞〔脱靶〕或者是不超过10的自然数.甲、乙两同学各射5箭,每人得到的总环数之积刚好都是1764,但是甲的总环数比乙少4环.求甲、乙各自的总环数.第12讲最大公约数与最小公倍数〔一〕如果一个自然数a能被自然数b整除,那么称a为b的倍数,b为a的约数.如果一个自然数同时是假如干个自然数的约数,那么称这个自然数是这假如干个自然数的公约数.在所有公约数中最大的一个公约数,称为这假如干个自然数的最大公约数.自然数a1,a2,…,an的最大公约数通常用符号〔a1,a2,…,an〕表示,例如,〔8,12〕=4,〔6,9,15〕=3.如果一个自然数同时是假如干个自然数的倍数,那么称这个自然数是这假如干个自然数的公倍数.在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这假如干个自然数的最小公倍数.自然数a1,a2,…,an的最小公倍数通常用符号[a1,a2,…,an]表示,例如[8,12]=24,[6,9,15]=90.常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法.例1 用60元钱可以买一级茶叶144克,或买二级茶叶180克,或买三级茶叶240克.现将这三种茶叶分别按整克数装袋,要求每袋的价格都相等,那么每袋的价格最低是多少元钱？例2 用自然数a去除498,450,414,得到一样的余数,a最大是多少？例3 现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少？例4 在一个30×24的方格纸上画一条对角线〔见下页上图〕,这条对角线除两个端点外,共经过多少个格点〔横线与竖线的交叉点〕？例5 甲、乙、丙三人绕操场竞走,他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒.三人同时从起点出发,最少需多长时间才能再次在起点相会？例6 爷爷对小明说："我现在的年龄是你的7倍,过几年是你的6倍,再过假如干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍.〞你知道爷爷和小明现在的年龄吗？练习121.有三根钢管,分别长200厘米、240厘米、360厘米.现要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的小段,一共能截成多少段？2.两个小于150的数的积是2028,它们的最大公约数是13,求这两个数.3.用1～9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数,求这些数的最大公约数？4.大雪后的一天,亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长.亮亮每步长54厘米,爸爸每步长72厘米,由于两个人的脚印有重合,所以雪地上只留下60个脚印.问：这个花圃的周长是多少米？5.有一堆桔子,按每4个一堆分少1个,按每5个一堆分也少1个,按每6个一堆分还是少1个.这堆桔子至少有多少个？6.某公共汽车站有三条线路的公共汽车.第一条线路每隔5分钟发车一次,第二、三条线路每隔6分钟和8分钟发车一次.9点时三条线路同时发车,下一次同时发车是什么时间？7.四个连续奇数的最小公倍数是6435,求这四个数.第13讲最大公约数与最小公倍数〔二〕两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积,等于这两个自然数的乘积.即,〔a,b〕×[a,b]=a×b.例1 两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72.其中一个自然数是18,求另一个自然数.例2 两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210.这两个自然数的和是77,求这两个自然数. 例3 a与b,a与c的最大公约数分别是12和15,a,b,c的最小公倍数是120,求a,b,c.要将它们全局部别装入小瓶中,每个小瓶装入液体的重量一样.问：每瓶最多装多少千克？。
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五年级奥数竞赛班
已知A B AB A B
*=++，则
10
199999
****⋅⋅⋅⋅⋅⋅**=
共次运算
________。
(2006年希望杯六年级二试第16题)
国际统一书号ISBN由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用。
核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。
如：某书的书号是7107175432
ISBN---，它的核检码的计算顺序是：7101908771675544332207
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
20711189
÷=
1192
-=
这里的2就是该书的核检码。
求书号730307618
ISBN---的核检码。
设x、y是两个非零的数，定义
x y
x y
y x
=+；
①计算(23)4与2(34)；
②如果x是一个自然数，并且x○3＝2，求x的值。
对于任意的两个自然数a和b，规定新运算* (1)(2)(1)
a b a a a a b
*=+++++++-
其中a，b表示自然数。
⑴求1*100的值；
⑵已知x*10＝75，求x为多少？
定义新运算
⑶如果(x *3)*2＝121，那么x 等于几？
定义新运算*，它的含义是()()111x y xy x y A *=
+++，已知 ()()11221212113
A *=+=⨯++； 求1998*1999。
对平面上两点M 和N ，定义M #N 表示线段MN 的中点。
已知ABCD 是边长为4的正方形，求：
①以A #B ，B #C ，C #D ，D #A 为顶点的四边形面积，
②以A #(A #B )，C #(C #B )，C #(C #D )，A #(A #D )，为顶点的四边形面积。
·地理常识小阴题。