正方体表面涂色问题
涂色正方体每个面的规律
涂色正方体每个面的规律正方体是一种常见的几何体，它有六个面，每个面都是一个正方形。
如果我们把正方体的每个面涂上不同的颜色，会有多少种不同的涂色方案呢？这是一个有趣的问题，涉及到组合数学和颜色理论等多个领域。
首先，我们可以考虑正方体的对称性。
正方体有24个对称操作，包括旋转和翻转。
这些对称操作可以把一个涂色方案变成另一个涂色方案，如果两个涂色方案在对称操作下是等价的，那么它们只算一种涂色方案。
因此，我们只需要找出不同的涂色方案中的一个代表，然后计算它的数量即可。
其次，我们可以用颜色理论来描述涂色方案。
假设我们有n种颜色可供选择，那么每个面可以涂上任意一种颜色，共有n种选择。
因此，总的涂色方案数为n的6次方，即n×n×n×n×n×n。
例如，如果我们有3种颜色可供选择，那么总的涂色方案数为3的6次方，即729种。
然而，这个数字并不是我们所需要的答案，因为它包含了很多等价的涂色方案。
为了消除这些等价的方案，我们需要考虑正方体的对称性。
具体来说，我们可以分类讨论正方体的对称群，然后计算每个对称群的置换群指数，从而得到不同的涂色方案数量。
对称群是指一组保持正方体不变的对称操作，它们可以用一个群来表示。
正方体的对称群有24个元素，可以表示为S4群的一个子群。
S4群是4个元素的置换群，它包含了所有4个元素的排列。
正方体的对称群可以用旋转和翻转操作来表示，其中旋转操作有6个，分别是绕x轴、y轴和z轴旋转90度、180度和270度，翻转操作有4个，分别是绕x轴、y轴和z轴翻转。
这些操作可以组合在一起，形成不同的对称操作。
置换群指数是指在对称群中不动点的数量，它可以用Burnside引理来计算。
Burnside引理是组合数学中的一个定理，它可以计算在一个群作用下不动点的数量。
对于正方体的涂色问题，我们可以把每个涂色方案看作是对正方体的一种染色，然后用对称群来描述不同的染色方案。
表面涂色的正方体规律
表面涂色的正方体规律学完立方体表面积这一课，有同学问我这个问题:把一个长3cm的立方体涂成黄色，然后把它剪成一个长1cm的小立方体。
请观察有多少个立方体两面都涂成黄色？有多少立方体的三面被涂成黄色？有多少立方体被涂成黄色？我觉得这个话题很有意思。
如果用得好，对学生的动手能力、思维发展能力、激发学生的学习兴趣都有很好的作用。
对于这个问题，我没有及时给同学们讲解方法，而是专门花了一节课的时间让全班同学一起讨论这类问题的解决方法。
在此之前，我安排同学回家自己做实验。
他们用胡萝卜和橡皮泥做成一个立方体，然后给它上色。
他们用刀切开，试着分成三等份、四等份、五等份，然后统计结果。
第二天，为了激发学生们的兴趣，上课我用电脑的模型来演示来这种规律，把一个涂色的棱长3厘米的正方体截成棱长1厘米的小正方体，得到结论：①三面涂色都有8个（8个顶点）；②一面涂色的原正方体每个面上有1个，共1×6＝6个；③二面涂色的原正方体每条棱上有1个，共1×12＝12个；④没有涂色就是最中间的1个。
以此类推，我们仍然得到边长为4cm，边长为5cm的特征。
由此我们得出结论：在小学数学课堂教学中，学生的潜力是无限的。
要充分利用点、线、面、体及其关系，提高学生的空间概念和解决实际问题的能力。
任何一个大正方体可以切成5³＝125块小正方体。
把一个涂色的大正方形切成125块小正方形后：涂不到色的有：（5-2）³＝27块（在大正方体的内部）一面涂色的有：（5-2）²×6＝54块（在六个面的中间）二面涂色的有：（5-2）×12＝36块（在12条棱上）三面涂色的有：8块（八个角）一共有：27+54+36+8＝125块。
正方体涂色问题记忆口诀
正方体涂色问题记忆口诀1. 前言哎呀，说到正方体涂色问题，大家是不是有点摸不着头脑啊？这可不是简单的画个方块，涂上颜色那么简单。
我们得从不同的角度去看看，才能真正理解这道题。
首先，正方体有六个面，每个面可以涂上不同的颜色，想想就觉得有点眼花缭乱。
不过别担心，今天咱们就来聊聊如何记住这些涂色的诀窍，让你轻松应对这个问题，赢得满堂彩！2. 正方体的基本知识2.1 正方体的构成好啦，先简单介绍一下正方体。
正方体就像一个小盒子，有六个面，八个顶点，还有十二条边。
每个面都是正方形，大家都知道，正方形四条边都相等，角度都是90度。
所以，当我们在给正方体涂色的时候，就得考虑每一个面。
想象一下，如果你把正方体放在桌子上，那这个盒子就成了我们涂色的舞台。
2.2 涂色的原则接下来，咱们来说说涂色的原则。
涂色不是随便涂涂就好了，要有策略！比如，假设我们有三种颜色：红、蓝、绿。
涂的时候，先想好一个顺序。
比如，你可以先涂上面的面，再涂侧面，最后涂下面的面。
这样一来，涂色就不会乱了套，能让你有条不紊。
记住，要像做菜一样，先准备好材料，然后再下锅。
3. 记忆口诀的妙用3.1 口诀的魔力那么，如何记住这些涂色的步骤呢？这就要靠我们的记忆口诀了！大家听好，咱们可以用“上红、左蓝、右绿、下白”的口诀来记忆。
这样一来，涂色的时候就不会忘记了，每次看到正方体，就能立刻想起这四个方位的颜色。
是不是觉得这个口诀简直像金子一样珍贵啊？用好了，绝对能让你在涂色题上如鱼得水。
3.2 趣味游戏涂色不光是个脑筋急转弯的游戏，还是个非常有趣的挑战！想象一下，你和朋友们一起玩“涂色大比拼”，谁能在最短的时间内完成涂色，谁就能获得小礼物。
通过这种游戏，不仅能加深记忆，还能增进友谊。
谁说学习就得乏味无聊呢？只要用心，学习也可以像春风化雨，轻松愉快。
4. 总结最后，正方体涂色问题其实并不复杂，只要我们掌握了基本的知识，记住口诀，找到乐趣，学习就能变得轻松自在。
表面涂色的正方体
32×6＝54
1面涂色的小正方体的个数都是6的倍数。
如果用n表示把大正方体的棱平均分的份数，用a、b分别表示
2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，你能用式子分别表示n
和a、b的关系吗？
a=12(n －2) b=6(n －2)2
找各种小正方体时， 各种小正方体的个
要注意它们在大正 数与正方体顶点、
方体上的位置。
谢谢观看
表面涂色的正方体
一个表面涂色的正方体，每条楞都平均分成2 份。如果照下边的样子把它切开，能切成多少个 同样大的小正方体？每个小正方体有几个面涂色？
如果像下图这样把正方体切开，能切成多少个小 正方体？切成的小正方体中，3面涂色、2面涂色、 1面涂色的各有多少个，分别在什么位置？
3面涂色的在每个顶点处，有8个。
3面涂色的小正方体有8个。源自3×12＝36（个） 2面涂色的小正方体有36个。
32×6＝54（个） 1面涂色的小正方体有54个。
3面涂色的小正方体都在大正方体顶 点的位置，都是8个。
1×12＝12
2×12＝24
3×12＝36
2面涂色的小正方体的个数都是12的倍数。
12×6＝6
22×6＝24
面和棱的个（条）
数有关。
要把找、数、算等 方法结合起来，并 根据图形的特征进 行思考。
小结： 把棱长为几厘米的小正方体涂色后切成棱长为1厘米的小正 方体，涂色面的规律： （1）3面涂色的小正方体个数=正方体的订点个数=8个; （2）2面涂色的小正方体个数
=正方体棱的条数乘棱长减2的差 =12×（n -2); （3）1面涂色的小正方体个数 =正方体的面数乘棱长将2的差的平方 =6×（n -2)²。
2面涂色的在每条棱的中间位置处，有12个。
探索规律表面涂色的正方体
涂色技巧：在涂色 时，可以采用“跳 步涂色法”，即先 涂一个面，再跳过 一个面涂下一个面， 以此类推，直至涂 完所有的面。
涂色顺序：在涂色 时，可以采用“从 上到下”、“从左 到右”、“从外到 内”等顺序进行涂 色，以保证每个面 都有一个不同的颜 色。
正方体的表面涂色问题实例解析
3面涂色：只在棱 上出现，代表顶 点
涂色规律在其他形状上的推广：可添加标题
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涂色规律在不同维度上的推广：可 以应用于三维、四维等更高维度的 正方体表面涂色问题。
涂色规律在其他领域的应用：可以 应用于计算机图形学、建筑学等领 域。
正方体的表面涂 色问题
正方体的表面涂色问题概述
感谢您的观看
汇报人：XX
计算机图形学： 涂色规律可以应 用于计算机图形 学中，实现更逼 真的三维模型渲 染效果。
物理学模拟：涂 色规律可以应用 于物理模拟中， 如量子力学和分 子动力学的模拟。
游戏开发：涂色 规律可以应用于 游戏开发中，如 角色皮肤和场景 的渲染。
涂色规律的推广
涂色规律的应用范围：适用于所有 正方体表面涂色问题，包括大、中、 小正方体。
涂色方法：可以采用递归、数学归纳法等方法证明涂色规律，并给出具体的涂色方案。
应用领域：表面涂色问题在计算机图形学、组合数学等领域有广泛应用，可以用于设 计图案、解决几何问题等。
对未来研究的展望
深入研究不同涂色方式对正方体表面涂色问题的影响 探索更高效的算法和计算模型，以解决大规模正方体表面涂色问题 结合其他领域的知识，如计算机图形学、统计学等，对正方体表面涂色问题进行多角度研究 拓展正方体表面涂色问题的应用场景，将其应用于实际问题的解决中
2面涂色：在棱上 出现，代表棱上 非顶点
数学人教版五年级下册正方体的表面涂色问题
正方体的表面涂色问题【教学内容】教科书第26～27页探索规律“表面涂色的正方体”。
【教学目标】1.使学生通过自主探究，发现表面涂色的正方体切成若干个小正方体后，小正方体不同涂色面个数的规律。
2.是学生在探索规律的过程中，经历观察、想象、比较、推理、归纳、反思等过程，培养学生空间观念和推理想象能力。
3.使学生进一步感受图形学习的乐趣，获得成功的体验，提高数学学习的兴趣，增强学习数学的信心。
【教学重点】探究并发现表面涂色的正方体切成若干个小正方体后，小正方体不同涂色面个数的规律。
【教学难点】理解大正方体的棱平均分的分数、切成小正方体的总个数和不同涂色面的小正方体的个数之间的关系。
【教学过程】一、回顾旧知，激趣引入1. 课件呈现一个正方体。
提问：你对正方体有哪些认识？小结：我们从顶点、棱、面三个方面研究了正方体的特征，知道正方体有完全相同的6个面、12条棱和8个顶点。
2.媒体演示将这个正方体表面涂上一层红色。
谈话：如果把这个正方体切成完全一样的小正方体，我从中拿出一个小正方体它的6个面有涂色吗？涂色面的个数又有哪些情况呢？这节课我们要对表面涂色的正方体切成小正方体的情境进行研究。
（板书课题：表面涂色的正方体）二、自主探究，发现规律1. 探究切成8个小正方体的涂色情况。
谈话：怎样研究表面涂色的正方体的规律呢？我们首先从最简单的情况入手。
动态呈现：把每条棱平均分成两份的情况。
提问：照上图的样子把它切开，能切成多少个同样大小的正方体？你是怎么想的？小结：切成小正方体的个数是2×2×2＝8（个）。
先算出一层的个数，再算出两层一共的个数。
提问：每个小正方体有几个面涂色？为什么？先自己想一想，然后和同桌说一说。
交流：每个小正方体有几个面涂色说说你的想法。
学生回答后课件演示：每个小正方体都在顶点位置，都有三个面涂色。
出示表格，引导学生填表，再交流并板书填表。
2.探究切成27个小正方体的涂色情况。
数学———正方体涂色问题
数学———正⽅体涂⾊问题 将⼀个正⽅体的表⾯涂上颜⾊.把正⽅体的棱等分,然后沿等分线把正⽅体切开,能够得到个⼩正⽅体,通过观察我们可以发现个⼩正⽅体全是个⾯涂有颜⾊的. 如果把正⽅体的棱三等分,然后沿等分线把正⽅体切开,能够得到27个⼩正⽅体,我们可以发现这些⼩正⽅体中有8个是三⾯涂有颜⾊的,有12个是两⾯涂有颜⾊的,有6个是⼀⾯涂有颜⾊的,还有1个⾯没有涂⾊. 如果把正⽅体的棱四等分,然后沿等分线把正⽅体切开,能够得到64个⼩正⽅体,我们可以发现这些⼩正⽅体中有8个是三⾯涂有颜⾊的,有24个是两⾯涂有颜⾊，有24个⾯是⼀⾯涂有颜⾊的，还有8个⾯没有涂⾊。
如果把正⽅体的棱五等分,然后沿等分线把正⽅体切开,能够得到125个⼩正⽅体,我们可以发现这些⼩正⽅体中有8个是三⾯涂有颜⾊的,有36个是两⾯涂有颜⾊，有54个⾯是⼀⾯涂有颜⾊的，还有27个⾯没有涂⾊。
如果把正⽅体的棱n等分,然后沿等分线把正⽅体切开,能够得到n3个⼩正⽅体,我们可以发现这些⼩正⽅体中有 8个是三⾯涂有颜⾊的,有12(n-2)个是两⾯涂有颜⾊，有6(n-2)(n-2)个是⼀⾯涂有颜⾊的，还有(n-2)3个⾯没有涂⾊。
例：将棱长4厘⽶的正⽅体表⾯涂成蓝⾊，再将它锯成棱长1厘⽶的⼩正⽅体，则三⾯涂蓝，两⾯涂蓝，⼀⾯涂蓝和没有颜⾊的⾯各⼏个？ 解： 1、以原来⼤正⽅体的顶点为顶点的⼩正⽅体才有可能三⾯涂⾊，共8个。
2、两个⾯相交成⼀条棱，所以只有以原来⼤正⽅体的棱为⼀条棱【此时不包括顶点】的⼩正⽅体才有可能两⾯涂⾊，⼀条棱上两⾯涂⾊的⼩正⽅体2个，12条棱共有12*2=24个。
3、⼀⾯涂⾊的正⽅体是被三⾯涂⾊和两⾯涂⾊的正⽅体包围在中间，且在⼤正⽅体表⾯的，原⼤正⽅体⼀⾯有（4-2）*（4-2）=4个，6个⾯有6*4=24个。
4、没有涂⾊的⼩正⽅体有：4*4*4-8-24-24=8个或（4-2）*（4-2）*（4-2）=8个。
第三单元《探索图形——正方体表面的涂色问题》教案
（举例：介绍不同的涂色方法，并让学生动手实践，理解各种涂色方法在实际操作中的应用。）
（3）计算涂色所需的颜料数量：根据不同涂色方法，计算所需颜料的数量。
（举例：引导学生运用数学计算方法，根据正方体的特征和涂色方法，求解涂色所需的颜料数量。）
2.教学难点
4.在实践活动和小组讨论中，学生们的表现让我深感他们在合作学习中的潜力。今后，我将继续采用这种教学方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
5.本次教学中，我尝试将正方体表面涂色问题与学生的日常生活相结合，让他们感受到数学知识在实际生活中的应用。从学生的反馈来看，这种教学方式取得了较好的效果。今后，我会继续探索更多贴近生活的教学案例，提高学生的学习兴趣和积极性。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正方体表面涂色问题在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（1）空间观念的培养：学生对三维图形的认知能力较弱，难以把握正方体的空间结构。
（举例：通过观察、操作正方体模型，引导学生从不同角度观察正方体，提高空间观念。）
（2）逻辑推理能力的运用：学生在解决正方体表面涂色问题时，可能难以运用逻辑推理方法进行分析。
（举例：在教学过程中，教师应引导学生通过逻辑推理，分析不同涂色方法的规律，从而解决问题。）
（二）新课讲授Leabharlann 用时10分钟）1.理论介绍：首先，我们要了解正方体表面涂色问题的基本概念。正方体表面涂色是指对正方体的六个面进行不同颜色或同颜色的涂抹。它可以帮助我们了解正方体的特征，提高空间观念和逻辑推理能力。
正方体表面涂色类
正方体表面涂色类1．有一个正方体木块，将其表面全部涂上蓝色，在他的每个面都等距地切两刀，可以得到多少个三面蓝色地小正方体？两面蓝色地小正方体？一面是蓝色地小正方体？没有涂色的的小正方体？如果每面都改为切三刀，上述各问题的结果又是多少？如果要得的各面都没有涂色的小正方体100个，每面都切n 刀，上述各问的结果又各是多少？如果要得的各面头没有涂色的小正方体100个，每面至少需切多少刀？2．把棱长分别为2，4，6,…,18,20的10个正方体木块的便面都涂成黑色，太后把他们都锯成棱长为1的小正方体木块。
在这些小木块中是少又一面涂黑的共有多少个？3．有五个表面涂满红漆的正方体，其棱长分别为3，5，7，9，11，若把这些正方体全部锯成棱长为1的小正方体，则这些正方体中共有多少个是一面涂有红色的？4．将一个表面涂成红的长方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中一点红的都没有的小正方体只有三块，求原来长方体的体积？5．由27块小立方体构成的3×3×3的立方体。
如果将其表面涂成红色，则在角上的8个立方体有三面是红色的，在中央的小方块则一点也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红色的，6个一面是红色的，这里两面是红色的小方块是一面是红的小方块的两倍，三面是红色的小方块是一点红色也没有的小方块的8倍。
问：由多少块小立方体构成的立方体，表面涂红色后会出现相反的情况？即一面是红色的小方块是两面是红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面是红色的小方块的八倍。
6．一个正方体木块，在它的一个角上先切割去一个正方体，这个被切割去的小正方体的体积是大正方体体积的二十七分之一。
把这个木块所有的表面都涂上红漆，然后把这木块锯成26个小正方体。
问：没有涂红漆的有几个？图1/ 1。
苏教版数学六年级上册 表面涂色的正方体
3
4
5
…
n
没有涂色的小正方体位置
中心
中心
中心
中心
没有涂色的小正方体个数
1பைடு நூலகம்
8
27
…
（n-2）³
先仔细观察，想一想。
三面涂色的小正方体有8个，在顶点处。
两面涂色的小正方体有12个，在棱的中间。
一面涂色的小正方体有6个，在面的中间。
如果把这个正方体的每条棱都平均分成4份、5份，再切成同样大小的小正方体，结果怎样？
三面涂色
两面涂色
一面涂色
8个
2×12=24（个）
4×6=24（个）
每条棱平均分成4份
每条棱平均分成5份
三面涂色
两面涂色
一面涂色
8个
3×12=36（个）
9×6=54（个）
大正方体的棱平均分的份数
2
3
4
5
……
切成小正方体的总个数
8
27
64
125
……
3面涂色的小正方体个数
8
8
8
8
……
2面涂色的小正方体个数
0
12
24
36
……
1面涂色的小正方体个数
0
6
24
54
……
观察填出的表格，你会发现什么规律？
大正方体的棱平均分的份数
2
3
4
5
…
n
切成小正方体的总个数
8
27
64
125
…
n³
3面涂色的小正方体个数
8
8
8
8
…
8
2面涂色的小正方体个数
正方体涂色块数的规律
正方体涂色块数的规律正方体是一种非常基础且常见的几何体，它具有六个面，每个面都是一个正方形。
在进行涂色的时候，我们可以根据几何特征和规律来确定涂色块的数量。
我们可以从最简单的情况开始探讨。
当正方体只有一个面时，也就是只有一个正方形，此时涂色块的数量为1。
当正方体有两个面时，也就是正方体的两个相邻面被涂成了不同的颜色，此时涂色块的数量为2。
接下来，我们考虑正方体有三个面的情况。
我们可以将正方体的六个面依次编号为1、2、3、4、5、6。
在这种情况下，我们可以发现涂色块的数量为3。
具体来说，编号为1的面和编号为2的面是相邻的，编号为3的面与它们相邻，所以这三个面的涂色块数量为3。
当正方体有四个面时，涂色块的数量为4。
我们可以将正方体的六个面按照某种方式排列，使得四个面两两相邻。
这样一来，我们可以将涂色块的数量分为两组，每组的数量都为2，因此总的涂色块数量为4。
当正方体有五个面时，涂色块的数量为5。
同样，我们可以将正方体的六个面按照某种方式排列，使得五个面两两相邻。
这样一来，我们可以将涂色块的数量分为两组，一组的数量为3，另一组的数量为2，因此总的涂色块数量为5。
当正方体有六个面时，涂色块的数量为6。
此时，正方体的每个面都是相邻的，所以涂色块的数量就是正方体的面的数量，即6。
从以上的分析可以看出，正方体涂色块的数量与正方体的面的数量是一致的。
因此，对于任意一个正方体来说，涂色块的数量就是6。
正方体涂色块数的规律可以总结为：涂色块的数量等于正方体的面的数量。
这个规律适用于任意大小的正方体，无论是边长为1的小正方体，还是边长为x的大正方体，其涂色块的数量都是6。
在实际生活中，这个规律可以应用于许多场景。
比如在建筑设计中，设计师可以根据正方体涂色块数的规律，来确定建筑物表面的装饰图案的数量和布局。
在教育教学中，教师可以利用这个规律，帮助学生更好地理解和掌握几何体的特征和性质。
正方体涂色块数的规律简洁明了，易于理解和应用。
正方体涂色问题
（1）三面涂色：大正方体每个顶点处的
小正方体有三面涂色，正方体共有8个顶
点，所以是8个
（2）两面涂色：大正方体每条棱上除去
顶点处的1个小正方体，其余每个小正方
体各有两面被涂色，共有12条棱，所以是
12个
（3）一面涂色：大正方体每个面上除上、
下两排和左、右两列外，剩下的小正方体有
一面被涂色，大正方体共有6个面，所以
是6个
（4）分析法解决数正方体的问题，我们知道正中间的那个小整体被余下了，所以没涂色的就剩1个。
或者用减法：27-8-12-6=1（个）
正方体涂色专项练习
【练习1】
如图是用27个小正方体拼成的一个大正方体，把它的
表面都涂成红色
请你数一数，算一算：每条棱上3个小正方体，a=3
（1）三面涂成红色的小正方体有（8）块；
（2）两面涂成红色的小正方体有（12）块；
（3）一面涂成红色的小正方体有（6）块；
（4）没有涂成红色的小正方体有（1）块。
【方法总结】
用若干个小正方体拼成一个大正方体，并将拼成的大正方体的表面涂色。
如果大正方体的每条棱上有a个小正方体，则
三面涂色的小正方体在顶点处，共有8 个；
两面涂色的小正方体在棱上，共有[(a-2)×12] 个；
一面涂色的小正方体在面上，共有[(a-2)×(a-2)×6] 个。
正方体、长方体的涂色问题
生活趣味数学题：涂色的正方体一个棱长1分米的正方体木块，表面涂满了红色，把它切成棱长1厘米的小正方体。
在这些小正方体中：（1）三个面涂有红色的有多少个？（2）两个面涂有红色的有多少个？（3）一个面涂有红色的有多少个？（4）六个面都没有涂色的有多少个？下面我们结合图示，分别来看看这几个问题。
（1）三个面都涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，正方体有8个顶点，所以三个面涂有红色的有8个。
（2）两个面都涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，每条棱上有8个，正方体有12条棱，所以两个面涂有红色的有8×12=96个。
（3）一个面都涂有红色的小正方体在大正方体的面上，每个面上有8×8=64个，正方体有6个面，所以一个面涂有红色的有8×8×6=3 84个。
(4)六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有两种算法：1. 1000－8－96－384=512（个）；2. 8×8×8=512（个）。
注意正方体有8个顶点、12条棱、6个面假设把棱n等分（n≥3），那么:N的三次方个小立方体组成的立方体的表面图涂上颜色, 则未被涂色的小立方体有(n-2)的三次方个.则一面被涂色的小立方体为(n-2)*(n-2)*6两面被涂色的小立方体有(n-2)*12三面被涂色的有8长方体, 有a*b*c个立方体组成的长方体表面涂上颜色.则未被涂色的小立方体有(a-2)*(b-2)*(c-2)个一面被涂色的小立方体有(a-2)* (b-2)*2+(b-2)* (c-2)*2+(c-2)* (a-2)*2两面被涂色的小立方体有(a-2)*4+(b-2)*4+(c-2)*4三面被涂色的有8个。
表面涂色的正方体规律1
一面涂红色的：在每个面的中间位置处， 有6×1=6个。
一面涂红色的：在每个面的中间位置处， 每面有4个，共有6×4=24 。
一面涂红色的： 3×3=9 6×9=54
一面涂红色的：8×8=64 6×64=384
一面涂色的 (n-2) 的平方× 6
3
棱 长 厘 米
三面涂红色的在8个顶点处，是8个。
表面涂色的正方体
正方体有哪些特征？
3
棱 长 厘 米
三面涂红色的在8个顶点处，是8个。
4
棱 长 厘 米
三面涂红色的在8个顶点处，是8个。
5
棱 长 厘 米
三面涂红色的在顶点处，还是8个。
10
棱 长 厘 米
三面涂红色仍然是8个。
两面涂红色的在每条棱的中间位置处， 共有12×1=12个。
两面涂红色的在每条棱的中间位置处，
每条有2个， 共有12×2=24个
两面涂红色的依然在每条棱的中间位置处，
共有12×3=36个
两面涂红色的还是在每条棱的中间位置处， 共有12×8=96个
两面涂色的 (n-2) ×12
合作要求
1.看一看，想一想，说一说，一面 涂色的小正方体都在原正方体的什 么位置？有几个？怎样列式？
2.你们能得出怎样的规律？
4
棱 长 厘 米
三面涂红色的在8个顶点处，是8个。
5
棱 长 厘 米
三面涂红色的在顶点处，还是8个。
10
棱 长 厘 米
三面涂红色仍然是8个。
两面涂红色的在每条棱的中间位置处， 共有12×1=12个。
两面涂红色的在每条棱的中间位置处，
每条有2个， 共有12×2=24个
两面涂红色的依然在每条棱的中间位置处，
表面涂色的正方体
将棱长为3的正方体的表面刷上 黄色的漆，再将其分割成棱长为1的 小正方体。
其中三面、两面、一面涂色的 小正方体各有多少个？
8个
三面涂色
12个
两面涂色
6个
一面涂色
三面、两面、一面涂色的小正方体 各在原正方体的什么位置？
三面涂色
顶点
两面涂色
棱的中间
一面涂色
面的中间
如果正方体的棱长是4、5，其中三 面、两面、一面涂色的小正方体各 有多少个？
没有 涂色
棱长为3 13
棱长为4 23
棱长为5 棱长为n
33
（ n -2）3
①
②
③
棱长为4 三面涂色 8 两面涂色 一面涂色
棱长为4 三面涂色 8 两面涂色 2×12=24 一面涂色
棱长为4 三面涂色 8 两面涂色 2×12=24 一面涂色 4×6=24
棱长为5 三面涂色 8 两面涂色 一面涂色
棱长为5 三面涂色 8 两面涂色 3×12=36 一面涂色
棱长为5 三面涂色 8 两面涂色 3×12=36 一面涂色 9×6=54
（棱长-2）2×6
12
22
32
棱长为3 棱长为4 棱长为5
三面涂色 8
8
8
两面涂色 12 2×12=24 3×12=36
一面涂色
6
4×6=24 9×6=54
棱长为3 棱长为4 棱长为5 棱长为n
三面涂色 8
8
8
8
两面涂色 12 2色 6
4×6=24 9×6=54 （n -2）2×6
仔细观察表格，比一比，从中你发 现了什么？
棱长为3 棱长为4 棱长为5
三面涂色 8
正方体涂色问题公式 正方体中涂色问题的解题技巧
正方体涂色问题公式正方体中涂色问题的解题技巧三个面都染色的在8个顶点处，三个面都染色的在12条棱的中间段(去掉每条横两头的各一个)，一面有色的在各个面的中央，没有着色的在长方体的中在。
对于一个n×n×n的正方体，其涂色情况如下:三面涂色的:8块二面涂色的:(n,2)×12一面涂色的:(n,2)×(n,2)×6对于一个a×b×c的长方体，其涂色情况如下:三面涂色的:8块二面涂色的:[(a,2)，(c,2)]×4一面涂色的:[(a,2)×(b,2)，(a,2)×(c,2)，(b,2)×(c,2)]×2正方体中涂色问题的解题技巧1在人教版小学五年级下期教学《长方体和正方体的表面积》后，一位同学拿来了一道题来问我:把一个棱长是6厘米的正方体表面涂成红色，然后把它截成棱长1厘米的小正方体，请观察有二个面涂成红色的正方体有多少个,我觉得本题很有意思，如果运用得好，对学生的动手能力、思维发展能力，对激发学生的学习兴趣会取得很好的效果。
对于这道题，我没有及时给学生讲解方法，而是专门用了一节课的时间，让全班同学一起来探讨这类题的解决方法。
我充分利用学生手中的小正方体(我在上长方体和正方体的认识时，每个学生都做了2个边长1厘米的小正方体)，首先让学生用小正方体拼成一个较大的小正方体，用了8个拼成边长2厘米的正方体，然后给它的表面涂色，再截开成8个小正方体，学生很容易观察出一面涂色没有，两面涂色没有，三面涂色8个;再接着拼，用了27个拼成边长3厘米的正方体，涂色，再截开，归类出一面涂色6个，两面涂色12，三面涂色8个,没有涂色27,6,12,8,1个;第三次拼，用了64个拼成边长4厘米的正方体，涂色，截开，观察出一面涂色24个，两面涂色24个，三面涂色8个,没有涂色64,24,24,8,8个;我接着用课件演示125个涂色正方体截成小正方体，然后归类，观察出一面涂色54个，两面涂色36个，三面涂色8个,没有2涂色125,54,36,8,27个……在实际解题中，我们的学生如果每种情况都这样去分析，显得太麻烦，我为了充分调动学生的积极性，激发学生的学习兴趣，让学生主动探究出有没有更好的方法或规律来解决这类题型，我出示了课件:把一个涂色的棱长3厘米的正方体截成棱长1厘米的小正方体，你能不能不截开直接观察出涂色的情况, 学生通过小组合作探究并与展开激烈的讨论，许多学生碰撞出思维的火花，很快发现:?三面涂色都有8个(8个顶点);?一面涂色的原正方体每个面上有1个，共1×6,6个;?二面涂色的原正方体每条棱上有1个，共1×12,12个;?没有涂色就是最中间的1个。
《表面涂色的正方体》教学评析
《表面涂色的正方体》教学评析《表面涂色的正方体》是一道著名的数学题目，它被广泛用于数学教学中，用于培养学生的解决问题的能力。
这道题目的具体内容是：给定一个正方体，表面有六个面，分别用红、黄、绿、蓝、白、黑六种颜色涂色。
求这个正方体的涂色方案，使得任意两个相邻的面的颜色都不同。
这道题目的本质是一个排列问题，但是它涉及到的知识点十分广泛，可以用来帮助学生掌握解决问题的流程、排列组合、递推、归纳等基本概念和方法。
在教学中，我们可以通过以下几个步骤来解决这道题目：1. 首先，我们可以先让学生自己思考这道题目，并且让他们设计解决方案。
这可以帮助学生掌握解决问题的流程，培养他们的创新思维。
2. 其次，我们可以让学生枚举所有可能的涂色方案，并利用排列组合的知识来计算满足条件的方案数。
这可以帮助学生掌握排列组合的基本知识，并且可以帮助他们了解涂色方案问题的本质。
3. 然后，我们可以通过归纳法来解决这道题目。
我们可以先假设有一个满足条件的涂色方案，然后通过对前几个面的涂色方案进行分析，来证明正方体的涂色方案一定存在。
这可以帮助学生掌握归纳法的基本思想和使用方法。
4. 最后，我们可以通过递推的方法来解决这道题目。
我们可以先设计一个递推公式，然后根据这个公式来求解正方体的涂色方案。
这可以帮助学生掌握递推的基本思想和使用方法。
在教学过程中，我们还可以利用各种教学手段，如图片、图表、模型等，帮助学生理解这道题目。
同时，我们还可以设计一些相关的练习题，帮助学生巩固所学知识。
总的来说，《表面涂色的正方体》是一道优秀的数学题目，它可以帮助学生掌握解决问题的流程、排列组合、递推、归纳等基本概念和方法，并且可以培养学生的创新思维。
在教学中，我们可以通过各种教学手段和练习题的设计，帮助学生深入理解这道题目，并且在练习中巩固所学知识。
此外，我们还可以让学生对涂色方案问题进行更深入的思考，如：* 当正方体有不同数量的面时，涂色方案会发生什么变化？* 当正方体的面数增加到一定程度后，涂色方案会发生什么变化？* 如果涂色的颜色数量增加，涂色方案会发生什么变化？这些问题可以帮助学生进一步提高解决问题的能力，并且可以培养学生的创新思维。
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正方体表面涂色问题
教学目标
1.借助正方体涂色问题，通过实际操作、演示、想象、联想等形式发现小正方体涂色和位置的规律。
教学重点：找出涂色小正方体以及它所在的位置，让学生经历探究规律的过程。
教学难点：寻找没有颜色小正方体个数的规律，以及积累由特殊到一般寻找规律的经验，培养学生的空间想象能力。
教学准备：课件
[教学过程]
一、复习
1.复习正方体的特征。
提问：正方体的面、棱、顶点各有什么特征？
2.创设问题情境。
（1）课件演示：将棱长为3的正方体的表面刷上红色的漆，再将其分割成棱长为1的小正方体。
师：现在问题来了，一共可以切成几个小正方体呢？
（2）引导学生观察想象，明确：分割后的27个小正方体中，你觉得这些小正方体中最多有几个面是红色的呢？
引导学生讨论交流得出小正表面色情况可分为四类，三面涂色、两面涂色、一面涂色和无色。
板书课题：正方体表面涂色问题
（3）提出问题：其中三面、两面、一面涂色的小正方体各有多少个？
二、引导探究、积累经验
1．观察感知。
（1）师提问：我们知道小正方体最多有3 面涂色，哪它在大正方体的哪个位置呢？一共有几个？
学生独立观察，指名汇报。
明确3面涂色的在大正方体的顶点上，所以一共有8个。
（2）师提问：2面涂色的在大正方体的哪个位置呢？一共有几个？
学生独立观察，指名汇报。
明确：2面涂色的在大正方体的“每条棱的中间”有2个，所以一共有“2×12＝24”个。
（3）师提问：1面涂色的在大正方体的哪个位置呢？一共有几个？
学生独立观察，指名汇报。
明确：1面涂色的在大正方体的“每个面的中间”有1个，所以一共有“1×6＝6”个。
（4）师提问：没有涂色的一共有几个？
预设：a、学生可能用小正方体总个数—3面涂色的—2面涂色的—1面涂色的＝1个无色的b、学生可能知道用剥掉表面有色的小正方体就知道剩下的无色小正方体的个数了，但空间想象不足不能肯定无色的个数。
（如是出现预设a教师引导学生如果我们只想知道无色的有几个用这种方法是不是很麻烦，有没有更简单的方法，从而引入预设b，让学生通过想象后再借助课件演示明白感悟看不见的没有涂色的小正方体的所在的位置与个数）
2．利用发现位置特点，自主推算。
（1）提出问题：如将棱长为2的正方体的表面刷上红色的漆，再将其分割成棱长为1的小正方体。
得到的小正方体面的涂色情况是怎样的呢?
学生讨论交流得出8个小正方体都是3面涂色的，没有两面、一面涂色和无色的小正方体。
（2）出示4×4×4的大正方体切割图，想一想：这样切割得到的小正方体面的涂色情况又如何呢?
分类汇报交流。
（师相应课件演示）
①三面涂色：当学生说出有8个三面涂色的小正方体时，追问：哪8个？学生说出三面涂色的小正方体在原来大正方体的8个顶点的位置。
②两面涂色：可能有的学生是数出来的，也可能有的学生是用2×12算出来的。
先让用计算方法的学生说一说“为什么用2×12”，从而引导学生发现两面涂色的小正方体都在原来大正方体的棱的位置，体会可以从一条棱上有2个两面涂色的，推算出12条棱上就有24个两面涂色的。
引导比较“数”和“算”哪种更简便。
③一面涂色：着重交流明确可以由一面有4个一面涂色的小正方体，推算出6个面一共有4×6=24（个）一面涂色的小正方体
还要追问4从哪来的——棱长4，减去两个2个，得到一个边长是2的正方形。
④没有涂色：
通过课件演示将三面、两面、一面涂色的小正方体剥离出去的过程，明确无色的小正方体一共有（4—2）×（4—2）×（4—2）＝8个，即用（每条棱上小正方体的个数—2）×（每条棱上小正方体的个数—2）×（每条棱上小正方体的个数—2）
（3）学生独立解决棱长平均分成5份的问题。
教师课件演示
3．发现并总结规律。
（1）三面涂色的小正方体都在大正方体的顶点的位置。
不论棱长是几，分割后三面涂色的小正方体的个数都是8个。
两面涂色的小正方体都在大正方体的棱的位置，只要用每条棱中间两面涂2色的小正方体的个数乘12，就得出两面涂色的小正方体的总个数。
一面涂色的小正方体都在大正方体的面的位置，只要用每个面上一面涂色的小正方体的个数乘6，就得出一面涂色的小正方体的总个数。
（2）如果把棱长为n的大正方体涂色切割，三面涂色、两面涂色、一面涂色的小正方体各有多少个？
学生自主探究，并填写表格。
师生重点讨论无色的小正方体个数：利用课件演示将三面、两面、一面涂色的小正方体剥离出去的过程，从而总结出没有涂色的小正方体的个数是（n-2）的立方个。
三、巩固应用、深化经验
1、有一个棱长10分米的正方体，它的6个面都涂有黄色，把它切成棱长1分米的小正方体。
问：3面涂黄色、2面涂黄色、1面涂黄色、没有涂黄色的小正方体的个数各有多少个？
2、将一个棱长为整数(单位：分米)的正方体6个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为1分米的小正方体。
在这些小正方体中，6个面都没涂红色的有64块.
（1）那么其中两面涂有红色的小正方体有几块?三面的呢?
（2）原来正方体的体积是多少?
3、有一个长10分米、宽8分米、高6分米的长方体，它的6个面都涂有黄色，把它切成棱长1分米的小正方体。
问：3面涂黄色、2面涂黄色、1面涂黄色、没有涂黄色的小正方体的个数各有多少个？四、全课总结、反思提升
通过今天的学习你有什么收获，还有什么疑问？。