理论力学第6章

• 求M点的速度：
vx x r ( cost ) r (1 cost ) v y y r sin t v v v
2 x 2 y 2 2

r (1 cost ) sin t 2r sin
t
2
• 求M点的曲线位移： • 方法1
• 3.点的速度
s ds v lim v t 0 t dt
dv a dt
• 点的速度v就是切向速度 。 • 4.点的加速度:
• 动点移动时，速度大小和方向都发生改变。
dv d ds d 2s ds dτ a ( τ) 2 τ dt dt dt dt dt dt

§6-3 自然法
• 自然法：利用质点轨迹作为曲线坐标系描述 其运动。 • 1. 弧坐标：在轨迹曲线上建立弧坐标。s=s(t) • 2. 自然轴坐标系 • 切线及其单位矢τ：轨迹曲线的切线方向的单 位长度的矢量。 • 主法线单位矢n：由质点所在位置指向曲率 中心的单位长度的矢量。
• 副法线单位矢b：与和构成右手螺旋系的的 单位长度的矢量。 • 密切面：轨迹曲线上两个邻点的切线形成 的平面。 • 法平面：过轨迹曲线某点与切线垂直的平 面。
• 解：点M的坐标(运动方程)：
x(t ) (l a) cos (l a) cost y(t ) (l a) sin (l a) sin t
• 消去t，得轨迹方程：
x 2 y 2 ( ) ( ) 1 la l a
• 速度：
vx (l a) sin t v y (l a) cost
s t 0 0 2
t
2
dt
t
2
dt
ds 2r sin
s 4r (1 cos
t
2 )
dt
t
2
• 轮摆线
x(t ) r (t sin t ) y(t ) r (1 cost )
s(t ) 4r (1 cos
t
2
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)
• 求M点的加速度：
a x x r sin t
• 曲率半径ρ的定义 ：
ds s , d
• (2)切向单位矢沿曲线的变化率 • 令：τ(s+Δs)-τ(s)=Δτ
• 显然， Δτ指向曲率中心。
2 sin d 2 lim ds s 0 s 1 lim s 0 s d 1 n ds
作业
• 6-4 • 6-6
• 解：
s (t ) l 2 x 2 (t )
ds v0 , v x, a x dt
v0

2x x 2 l 2 x 2 (t ) l2 1 2 x 1 l2 2 2 1 x

v x v0 dv a v0 dt
2 2 v0 l 2l 2 (- 3 x) 3 x x
• 主法线，n：法平面与密切面的交线。 • 副法线，b：与切线、主法线垂直的线。 • τ ，n，b组成右手螺旋系
• 3. 曲线坐标的一些性质 • （1）曲率中心：曲线上 两个邻点的法线交点。 • 曲率半径：曲线上的一点 到曲率中心的距离。 • 设M和M’是曲线上的两个 邻点，相距△s，切向单 位矢分别τ(s) 为和τ(s+ △ s) ，曲率半径为ρ。
• 加速度：
dv d r a 2 dt dt
2
• 2. 表示质点运动的 直角坐标法
• 质点的位置坐标是时间的函数： • x=x(t), y=y(t), z=z(t), • 速度： • v = vxi+ vyj+ vzk
dx vx , dt dy vy , dt dz vz , dt
2 t 2 n
2
• 例6-4 半径为r的轮子沿地面直线轨道作纯 滚动，转速为ω，转角为φ= ω t。求轮上任 一点M的运动方程、速度、加速度（切向、 法向）。 • 解：初始时，设点M与点O重合。 • 求M点的坐标（运动方程）：
OC MC r rt
x OC r sin r (t sin t ) y r r cos r (1 cost )
• 切向加速度
d s dv at 2 τ τ dt dt
2
• 法向加速度
ds dτ dτ an v dt dt dt
dτ dτ ds 1 vn dt ds dt an v
2

n
• 全加速度
dv v a τ n at a n dt a a a
ds v dt s vdt 2r sin
0 t
t
2
dt 4r (1 cos
t
2
)
• 求M点的曲线位移： • 方法2
ds d 2 x d 2 y r 2 2 (1 cost ) 2 r 2 2 sin 2 t dt r 2 2 cost dt r 4 sin 2 r sin
xB r sin(t 0 ) vB x B r cos(t 0 ) aB x B r 2 sin(t 0 )

• 点A的运动：
xA b r sin(t 0 ) v A x A r cos(t 0 ) a A x A r 2 sin(t 0 )
加速度： a = axi+ ayj+ azk
d 2x ax 2 , dt d2y ay 2 , dt d 2z az 2 , dt
例6-1
• 椭圆规。曲柄OC绕O转动，C与规尺AB铰 接，滑块A和B在滑槽中运动，已知： OC=AC=BC=l，MC=a,φ=ωt。 • 求：M的运动方程、轨迹、速度、加速度。
第六章 点的运动学
• §6-1 矢量法和直角坐标法 • 1. 表示质点运动的矢量法： • 质点的空间位置用矢径r表示，它是时间的 函数， • r = r(t) • 投影式： r = xi+yj+zk • 轨迹：矢径r 端点的连线。
dr r (t t ) r (t ) lim • 速度： v dt t 0 t
• 加速度：
a x (l a) cost
2
a y (l a) sin t
2
• 例6-2 正弦运动机构，曲柄OM=r，以匀角 速度ω绕O点转动，转角φ= ω t+θ0。滑杆AB 在固定的垂直槽内滑动，滑块M在机构的水 平滑槽内运动，求A、B两点的速度、加速 度。 • 解：点B的运动：
2

a y y r 2 cost
2 2 a ax ay r 2

dv t 2 a a a ; at r cos dt 2 t 2 2 2 an a at r sin 2
2 2 t 2 n
• 习题6-5 套管A由绕过定滑轮B的绳子牵引 而沿着导轨上升。滑轮中心到导轨等距离 为l，设绳索以速度v0拉下，忽略滑轮尺寸， 求套管A的速度和加速度与x的关系。