Kronecker积及其应用

矩阵的Kronecker 积及其应用

陈蔚

（集美大学理学院数学系2005届，厦门 361021）

[摘要] 本文主要介绍了矩阵理论中的Kronecker 积，通过对概念的引入，性质、

定理的推导，简单地体现出矩阵的Kronecker 积在求解几类矩阵方程中的应用。

[关键词] Kronecker 积，特征值，拉直，1

t

i i

i A XB F

==∑矩阵方程，AX ＋F

XB =矩阵方程，X －F AXB =矩阵方程，矩阵微分方程

0、引言

众所周知，我们学习到的矩阵运算中，普遍提及的均是乘积问题，两矩阵可以相乘的条件是：前面矩阵的列数必须等于后面矩阵的行数，如果不满足这个条件，则我们就无法求解这两个矩阵的乘积，但我们却可以求它们的Kronecker 积.对于矩阵的Kronecker 积问题，绝大多数人是陌生的.本文主要介绍了Kronecker 积的定义、性质、应用，让大家一起来领略这个新知识点的风采.文中所用到的符号均可从参考文献[1-11]中找到.

一、 矩阵的Kronecker 积的概念

[1]

1.1

定义 设()m n ij A a C ⨯=∈， C b B q p ij ⨯∈=)(，则称如下的分块矩阵

111212122212n n m p nq m m m n B B a a a B a a a B

B B A B

C a a a B

B

B ⨯⎛⎫

⎪

⎪

⊗=∈ ⎪

⎪⎝⎭

为A 与B 的Kronecker 积（也称为直积或张量积）.

B

A ⊗是一个n m ⨯块的分块矩阵，所以上式还可以简写为

B A ⊗=()ij a B .

例1.1 设,,(321a a a T

A =, ),(21b b

B T =，求B A ⊗和A B ⊗.

解 B A ⊗=()111221223132123T a B a a b a b a b a b a b a b B

a B

⎛⎫

⎪

= ⎪

⎪⎝⎭

，，，，，， A B ⊗=()11121321222312T

b A b a b a b a b a b a b a b A ⎛⎫= ⎪

⎝⎭

，，，，，.

这个例子表明，矩阵的Kronecker 积与乘积一样不满足交换律，即

B

A ⊗≠ A

B ⊗.

二、 矩阵的Kronecker 积的性质、定理及推论

由定义1.1，容易证明

性质2.1 )()()(kB A B kA B A k ⊗=⊗=⊗.

性质2.2 设A 1与A 2为同阶矩阵，则（1）1212()A A B A B A B +=+⊗⊗⊗. （2）1212()B A A B A B A +=+⊗⊗⊗.

性质2.3 （A ⊗B ）⊗C =A ⊗（B ⊗C ）.

性质2.4 设A =)(a ij n m ⨯，B =)(b ij r l ⨯，C =)(c ij p n ⨯，D =)(d ij s r ⨯，则

（B A ⊗）（D C ⊗）=AC ⊗BD .

证 （B A ⊗）（D C ⊗）=()ij a B ()ij c D

=1112112n m m m n a a a B

B

B a a a B

B

B ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭

1112112p n n np c c c D

D

D c c c D

D

D ⎛⎫

⎪ ⎪

⎪⎝⎭

=1112111

1

121

1

1n

n n

k k k k k kp k k k n

n

n m k k m k k m k kp k k k a c a c a c B D B D

B D a c a c a c B D B D

B D ======⎛⎫

⎪

⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

∑∑∑∑∑∑

=111211

11121

11n n n k k k k k kp k k k n n n m k k m k k m k kp k k k a c a c a c BD BD BD a c a c a c BD

BD BD ======⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭

⎪

⎪ ⎪

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

∑∑∑∑∑∑

=BD AC ⊗.

推论2.1 （1）()()1212l l A A A B B B ⊗⊗⊗⊗⊗⊗

=1122l l A B A B A B ⊗⊗⊗ .

（2）()()()1122l l A B A B A B ⊗⊗⊗ =()()1212l l A A A B B B ⊗ .

上面两个式子只要等号右边有意义，则左边也有意义，而且两边相等. 推论2.2 若A 为m 阶矩阵，B 为n 阶矩阵，则

A B ⊗=()()()()n m m n A E E B

E B A E =⊗⊗⊗⊗.

利用性质2.1—2.4及推论2.1，可以得到以下常用到的性质. 设A 是m 阶矩阵，B 是n 阶矩阵.

性质2.5 若A 、B 都可逆，则B A ⊗也可逆，且()

1

11

A B

A B

---=⊗⊗.

证 根据性质2.4，1111()()m n mn A B A B AA BB E E E ----===⊗⊗⊗⊗，

1111()()m n mn

A A

B A B A B B E E E ----===⊗⊗⊗⊗，

∴()

1

11

A B

A B

---=⊗⊗.

推论2.3 若A i 均为方阵，且A i 均可逆（i =1，2，…）,则

()12121

1

11i i A A A A A A ----=⊗⊗⊗⊗

⊗⊗ .

证 运用归纳法. 当i =2时，由性质2.5知：等式成立.

设当i =k 时，()121

111

12k k A A A A A A ----=⊗⊗⊗⊗⊗⊗ 成立.

则当i =k +1时，根据性质2.5，有：

()1211

k k A A A A +-⊗⊗⊗⊗ =()121

11k k A A A A --+⊗⊗⊗⊗

=1111

121k k A A A A ----+⊗⊗⊗⊗ ，

从而，等式成立.