5第二章 数字控制系统分析-稳定性与稳态性能分析

再应用劳斯判据判定该系统的稳定性。
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
例2.3-7 试用修正劳斯判据确定例题2.3-6所示系统稳定的K值范围。 解：由例题2.3-6系统的特征方程：
令
பைடு நூலகம்
w +1 ，代入上式得 0.632kw2 + 1.264w + (2.736 − 0.632k ) = 0 z= w− w −1
= eσT0 ，∠ z = T0ω (2.3 −105)
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析—S，Z映射关系：
1）、S平面的坐标原点为Z平面的（1，j0）点； 2）、S平面的虚轴为Z平面上的以原点为圆心单位圆； 从 −ω0 / 2 变化 ω 到 ω0 / 2 时，则在Z平面上映射为第1个单位圆； 每当 ω 增加或减少一个ω 0则映射到Z平面是与第1个单位圆完全重叠 的单位圆；
系统的特征方程无重根时，式（2.3-98）的解为：
y (k ) = ∑ Ai λik
i =1
n
(2.3 − 99)
式中：Ai为由初始条件确定的系数；λi为系统的特征根。
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
齐次方程的通解表征了系统自由运动的情况，通解收敛则系统稳定。由 式
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
2、S平面到Z平面的映射 复变量z和复变量s的变换关系： 式中T0为采样周期，在S平面有
Z的模与相角： z
z = eT0s (2.3−104)
s =σ + jω 由此可得： z = eσ T0 e jωT0
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
3、Z平面上的稳定条件 （1）当闭环极点位于单位圆内时，其对应的暂态响应是收敛的，系统 是稳定的。 （2）当闭环极点位于单位圆外时，其对应的暂态响应是发散的，系统 是不稳定的。 （3）当闭环极点位于单位圆上时，其对应的暂态响应是等幅振荡的， 系统是临界稳定的。 稳定性定理： 稳定性定理：数字控制系统闭环特征方程的根均在Z平面的单位圆内则 系统稳定；系统有位于单位圆上或单位圆外的根，则系统发散（不稳 定）。
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析—S，Z映射关系：
3）、S平面的左半平面和右半平面对应为Z平面的单位圆内部和外部区域； 4）、S左半平面的区域
−ω0 / 2 < ω < ω0 / 2 称为主频区。
z=e
T0 s
=e
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T0 σ 1
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
例题2.3-6 讨论如图所示系统的稳定性，其中T0=1s,K=10。 解：
K s ( s + 1)
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
0.632K 2.736-0.632K 1.264 2.736-0.632K
z 2 + (0.632k − 1.368 ) z + 0.368 = 0
劳斯列表： w2 w1 w0
0.632K > 0 系统稳定则劳斯表的第1列均大于零。即： 2.736 − 0.632K > 0
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
线性定常数字控制系统的差分方程描述为：
y (k ) − ∑ ai y (k − i ) = ∑ bi u (k − i )
i =1 i =1
n
n
(2.3 − 97)
对应的齐次方程为：
y (k ) − ∑ ai y (k − i ) = 0
i =1
n
(2.3 − 98)
K 系统的开环脉冲传递函数：G ( s ) = s ( s + 1) 1 1 z z K (1 − e−T0 ) z G( z) = Z[G(s)] = Z[ K ( − )] = K ( − )= −T0 s s +1 z −1 z − e ( z −1)( z − e−T0 )
K (1 − e−T0 ) z = 2 z − (1 + e−T0 )z + e−T0
y (k ) = ∑ Ai λik
i =1
n
(2.3 − 99)
可得结论：线性定常数字控制系统稳定的充要条件是系统的所有特征根 的模均小于1，即：
| λi |< 1(i = 1,2,3, L)
(2.3 − 100)
系统特征方程有重根时，可以得出相同的稳定条件。 |λi|=1时式(2.3-99)不发散，理论上称为临界稳定状态。但在工程上归于 不稳定之列。
S平面与Z平面之间的映射关系：
1.
s = σ + jω , s = 0(S平面原点) ⇒ σ = 0， = 0 ω 影射到Z平面则有：z =esT0 =e 0T0 e 0j = (1, 0j)
2. s = σ + jω , σ = 0(S平面的虚轴) ⇒ σ = 0， = ∞，+∞） ω （ω 影射到Z平面则有：z =esT0 =e 0T0 e j（单位圆）
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
解：（1）先求系统的开环Z传递函数得：
z −1 Tz z z G(z) = K [ − + ] 2 −T z (z −1) z −1 z − e
T z −1 = K( −1+ ) −T z −1 z −e (T −1+ e−T )z + (1− e−T −Te−T ) =K (z −1)(z − e−T )
w +1 令z = ，则有 w −1
∴0 < K < 2.4
3. s = σ + jω , σ < 0(S平面左半侧) ⇒ σ < 0， = ∞，+∞） ω （ω 影射到S平面则有：z =esT0 =eσ T0 e j（模小于1的单位圆内部）
4. s = σ + jω , σ > 0(S平面右半侧) ⇒ σ > 0， = ∞，+∞） ω （ω 影射到S平面则有：z=esT0 =eσ T0 e j（模大于1的单位圆外部）
稳定：在外部作用恒为零的情况下，如果系统对平衡状态有一个初始偏 稳定
移，此后系统的状态总保持在平衡状态附近，则称这个平衡状态是稳定 的。 渐进稳定：如果系统经过充分长时间仍然返回到平衡状态，则称这个平 渐进稳定 衡状态是渐进稳定。
初始偏移
2
平衡位置
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0 1
e
j ω T0
e
T0 σ 1
<1
σ < 0 ⇒ eT σ < 1
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析—S，Z映射关系：
σ和ω成线性关系
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模e
T0σ
成指数衰减
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
4、广义Routh稳定性判据（修正劳斯判据） W变换的定义： z = 变换的定义： 的定义
w +1 (2.3 −106) w −1
z +1 由（2.3-106）可得： w = (2.3 −107) z −1 z = x + jy (2.3 −108) z和w均为复变量，可写为： w = u + jv (2.3 −109)
将(2.3-108)(2.3-109)代入（2.3-107）得：
z +1 x +1+ jy (x2 + y2 ) −1 2y w = u + jv = = = −j (2.3 −110) 2 2 2 2 z −1 x −1+ jy (x −1) + y (x −1) + y
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将式（2.3-106）
w +1 z= (2.3 −106) w −1
代入数字控制系统的特征方程得到以w为变量的特征方程:
1 + GF ( z )
w+1 z= w−1
= 0 (2.3 − 111)
① T=1秒时， G(z) =
0.368Kz + 0.264K (z −1)( z − 0.368)
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
系统的闭环Z传递函数为：
D(z) = 1+ G(z) = z2 + (0.368K −1.368)z + (0.264K + 0.368) = 0