种群相互竞争模型

数学实验设计
课题：
两种群相互竞争模型如下：
()1(11)12()2(12)12x y x t r x s n n x y y t r y s n n ⎧
=--⎪⎪⎨
⎪=--⎪⎩
其中x （t ），y(t)分别是甲乙两种群`的数量，r1，r2为它们的固有增长率，n1，n2为它们的最大容量。

s1的含义是，对于供养甲的资源而言，单位数量乙（相对n2）的消耗量为单位数量甲（相对n1）消耗的s1倍，对于s2也可做相应的解释。

分析：
这里用x (t)表示甲种群在时刻t 的数量，即一定区域内的数量。

y(t)表示乙种群在时刻t 的数量。

假设甲种群独立生活时的增长率（固有增长率）为r1，则x (t)/ x=r1，而种群乙的存在会使甲的增长率减小，且甲种群数量的增长也会抑制本身数量的增长，即存在种间竞争。

这里，我们设增长率的一部分减少量和种群乙的数量与最大容纳量的比值成正比，与s1（s1表示最大容纳量乙消耗的供养甲的资源是最大容纳量甲消耗该资源的s1倍）成正比。

另一部分的减少量和种群甲的数量与甲的最大容纳量的比值成正比。

则我们可以得到如下模型：
x(t)=r1*x*(1-x/n1-s1*y/n2)
同样，我们可以得到乙种群在t时刻的数量表达式：y(t)=r2*y*(1-s2*x/n1-y/n2)
如果给定甲、乙种群的初始值，我们就可以知道甲、乙种群数量随时间的演变过程。

对于上述的模型，我们先设定好参数以后，就可以用所学的龙格库塔方法及MATLAB 软件求其数值解；
问题一：
设r1=r2=1,n1=n1=100,s1=0.5,s2=2, 初值x0=y0=10，计算x(t),y(t)，画出它们的图形及相图(x,y)，说明时间t充分大以后x(t),y(t)的变化趋势（人民今天看到的已经是自然界长期演变的结局）。

编写如下M文件：
function xdot=jingzhong(t,x)
r1=1;r2=1;n1=100;n2=100;s1=0.5;s2=2; xdot=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r 2*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)])*x;
然后运行以下程序：
ts=0:0.1:10;
x0=[10,10];
[t,x]=ode45(@jingzhong,ts,x0);
[t,x]
plot(t,x),grid,
gtext('\fontsize{12}x(t)'),gtext('\fontsize {12}y(t)'),
pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid, xlabel('x'),ylabel('y')
得到10年间甲、乙两种群数量变化的图象为：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0102030405060708090100x(t)
y(t)
相图为：
10
20304050
60708090100
05
10
1520
25
x
y
结论：当t 充分大时，x 和y 的数量悬殊变大，最终是一方灭绝，一方繁荣。

如上述模型中，甲种群繁荣下去，乙种群很快灭绝。

问题二：
改变r1,r2,n1,n2,x0,y0，但s1,s2不变，（或保持s1<1,s2>1），计算并分析所得结果；若s1=1.5(>1)，s2=0.7(<1)再分析结果，由此你的得到什么结论，请用各参数生态学上的含义作出解释。

分析：当s1,s2不变（或保持s1<1,s2>1）时
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
05101520253035404550x(t)
y(t)
当s1=1.5(>1)，s2=0.7(<1)时
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0102030405060708090100x(t)
y(t)
当s1,s2不变（或保持s1<1,s2>1）时总有甲种
群繁荣，乙种群灭绝。

而当s1=1.5(>1)，s2=0.7(<1)时，有乙种群繁荣，甲种群灭绝。

因此我们得到：在两个种群的相互竞争中s1，s2是两个关键指标．从上面对它们的解释可知，s1 >l ，s2<1表示在消耗供养甲的资源中，乙的消耗多于甲，因而对甲增长的阻滞作用乙大于甲，即乙的竞争力强于甲． 问题三：
实验当s1=0.8(<1),s2=0.7(<1)时会有什么样的结果：当s1=1.5(>1),s2=1.7(>1)时又会有什么样的结果。

能解释这些结果吗？
分析：当s1=0.8(<1),s2=0.7(<1)时有如图：
012345678910
10
20
30
40
50
60
70
x(t)
y(t)
即甲、乙竞争激烈程度加剧，没有一方有明显优势；
当s1=1.5(>1),s2=1.7(>1)时又会有如图：
012345678910
10
20
30
40
50
60
70
80
x(t)
y(t)
说明当s1、s2都大于1时，竞争中有一方具有绝对优势。

本题中为甲有绝对优势；。