第六章(1) Z变换.

3
2 z
1 z2
可见：*单边与双边z变换不同；
*对双边z变换，除z=0，和∞外对任意z，
F(z)有界，故其收敛域0＜|z|＜∞；
*对单边z变换，其收敛域|z|＞0。
F ( z )
f
k
(k)zk
z2
2z
3
2 z
1 z2
可见，如果序列f(k)是有限长的，即当k＜K1 和k＞K2（K1，K2为整常数，且K1＜K2）时 f(k)=0, 那么其象函数F(z)是z的有限次幂z-k(K1≤k≤K2) 的加权和，除z=0，∞外，F(z)有界，因此，有
可见，如果f(k)是因果序列，则单、双边z变换相等。
Z变换简记为： f (k ) F (z)
三、收敛域
和拉氏变换一样,Z变换也有一个收敛区间的问题.
对任意序列 f k 的Z变换 Fz ,使Fz 存在的Z值 的取值范围称为 Fz 的收敛域.
F(z)
f (k)zk和
F(z) f (k)zk
k
其中T为取样周期（或间隔）。
二、z变换
如有离散序列 f (k)(k 0,1,2, )z为复变量，则函数
F (z) f (k)zk 称为序列f(k)的双边z变换。 k
如果求和只在k的非负值域进行，即
F (z) f (k)zk 称为序列f(k)的单边z变换。 k0 还可以写成 F (z) f (k) (k)zk k
k
k
k 1
1
1 b1z
1
1
b1z b1z
Im[z]
z zb
zb
|b| 0
Re[z]
在z平面上，|z|<|b|是半径为|b| 的圆内区域，如图所示。
反因果序列的收敛域
如有双边序列 f (k) f2(k) f1(k) bk (k 1) ak (k)
其双边z变换
z z F (z) F2(z) F1(z) z b z a
F (z) f (kT )zk k
序列f(kT)的双边z变换
F (z) zesT F (s) 取样信号fs(t)的双边拉氏变换
z e 复变量z与s的关系是：
sT
1
s ln z
T
为了简便，序列仍用f(k)表示，如果序列是由连续信号 f(t)经取样得到的，那么
f (k) f (kT ) f (t) t kT
因此,Z变换和拉氏变换在变换的性质上及利用它们来 做系统分析上,都有很多相似之处。
Z变换可以直接从数学角度进行定义,也可以利用 拉普拉斯变换引出。
§6.1 z变换
一、从拉普拉斯变换到z变换
由教材§4.9可知，对连续时间信号进行均匀冲激取样 后，就得到离散时间信号。
取样信号可写为：
fs (t) f (t)T (t) f (t) (t kT ) f (kT ) (t kT )
za
bk (k 1) z z b
zb
bk (k 1) z z b
zb
若已知 Fz,则 其原函数不唯一.如:
Fz z
z2
f k 2k k 或 f k 2k k 1
因此,Z变换必须标明收敛域,才和它的原函数一一对应.
***对于有限长序列，其双边z变换在整个z平面 （可能除z=0或∞外）收敛。
在z平面上， |z|>|a|是一个半径为|a|的圆 外区域，称其为象函数F(z)的收敛域，如图所示。
显然它也是单边z变换的收敛域。
例6.1-3 求反因果序列
f2
(k
)
bk
(k
1)
bk 0
k0 k0
的z变换（式中b为常数）。
1
解：F2(z) bk k 1 zk bk zk bk zk
（1）当|b|>|a|时，双边z变换 在该域存在；
|a|<|z|<|b|
Im[z]
（2）当 b 时a ，F1(z)和F2(z)没 有共同收敛域，f(k)的双边z变 换不存在；
|b|
|a|
0
Re[z]
（3）对于双边z变换必须 标明收敛域，否则其对应序 列将不是唯一的。
双边序列的收敛域
ak (k) z z a
k
k0
即 (k) 1
可见，其单边、双边z变换相等。由于其z变换 是与z无关的常数1，因而在z的全平面收敛。
(2) f (k) {1 2 3 2 1}
k 0 序列f(k)的双边z变换为：
F ( z )
f
kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(k)zk
z2
2z
3
2 z
1 z2
其单边z变换为： F ( z )
k0
f
(k)zk
k0
是z的幂级数，所以，仅当该幂级数收敛，即
f (k)zk
k
序列 f (k )的z变换 存在的充要条件。
序列 f 的kz变换才有意义。 绝对可和条件。
例6.1-1求以下有限长序列的z变换：
(1) (k),(2) f (k) {1 2 3 2 1}
k 0
解（1）单位序列的z变换
F (z) (k)zk (k)zk 1
限长序列z变换的收敛域一般为0＜|z|＜∞，有
时它在0和∞也收敛。
k
k1
k2
例6.1-2求因果序列
f1(k
)
a
k
(k
)
0 a k
k0 k0
的z变换（式中a为常数）。
解： F1(z) ak (k)zk (az1 )k
k
k0
1 1 az1
z za
za
Im[z]
|a| 0
Re[z]
因果序列的收敛域
第六章 离散系统的z域分析
第三章中我们讨论了离散时间系统的时域分析法,重点 介绍了差分方程的求解方法。在连续时间系统中,为避免 解微分方程的困难,可以通过拉氏变换把微分方程转换为 复频域的代数方程。基于同样的理由,在离散时间系统中, 为了避开解差分方程的困难,也可以通过一种称为Z变换 的方法,把差分方程转换为Z域的代数方程。
k
k
取上式的双边拉普拉斯变换，考虑到：
Lb[ (t kT )] eksT 其双边拉普拉斯变换为：
F (s) Lb[ fs (t)] f (kT )eksT 令z e sT k
上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示，即
F (s) Lb[ fs (t)] f (kT )eksT 令z e sT k
***因果序列f(k)的象函数F(z)的收敛域为 z 的圆 外区域。 的z 圆 称为收敛圆。
***反因果序列f(k)的象函数F(z)的收敛域为 z的 圆内区域。 z 的 圆也称为收敛圆。
***双边序列f(k)的象函数F(z)的收敛域为环状区 域 z 。
***不同序列的双边Z变换可能相同，即序列与其 双边Z变换不是一一对应的。序列的双边Z变换连同 收敛域一起与序列才是一一对应的。