第六章(1) Z变换.
第六章 Z变换
6.3 z变换的反变换
2π j , 柯西公式： ∫ z dz = C 0,
n
m = −1 m ≠ −1
6.3 z变换的Βιβλιοθήκη 变换6.3 z变换的反变换
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
例2 、 x[ n] = u[ n]
X ( z) = ∑ z
n =0
+∞
−n
1 = , z >1 −1 1− z
+∞ 1 X (ω ) = + π ∑ δ (ω − 2kπ ) − jω 1− e k = −∞
例3、
x[n] = − a u[− n − 1]
n
−1 n −n
a z X ( z) = − ∑ a z = − ∑ a z = − −1 1− a z n = −∞ n =1 1 = ,z <a −1 1 − az
第6章 Z变换 章 变换
引言
x(n) = z
n
LTI
y(n) = H(z)z
n
h(n)
H (z) =
jω
n = −∞
∑
+∞
h(n ) z −n ,
H ( z ) 为 h ( n )的 z 变换 .
z = re , 当r＝1时，即为h( n)的傅立叶变换。
z变换是离散时间傅里叶变换的推广，在连续时 变换是离散时间傅里叶变换的推广， 变换是离散时间傅里叶变换的推广 间域内与拉氏变换相对应。 间域内与拉氏变换相对应。
(3) ZT[δ (n +1)] = ∑δ (n +1)z + ∑δ (n +1)z
n=0
Z变换
n2
−n
−∞ ≤ n ≤ n
m n =m
2
X ( z) =
m= − n
m=− n2
∑ x(−m)z
∞
=
n=− n2
∑ x(−n) z
16
∞
n
若：
lim n x ( −n ) z < 1
n n →∞
则：
lim
n →∞
n
x( −n ) < z
1
n
−1
收敛半径
z<
lim
n →∞
x( −n )
= Rx2
1. 有限序列：在有限区间内x(n)
X (z) = ∑x(n)z
n=n1
收敛域为
n2
−n
n1 ≤ n ≤ n2
0< z <∞
12
例如： n1 = −2, 则：
n2 = 3
收敛域
X ( z ) = ∑ x(n)z = ∑ x(n) z
−n n = n1 n = −2
1 2 z <∞ −1 −2 常数
n
逆变换
= ⎡ 2 ( 2 ) − 1⎤ u ( n ) ⎣ ⎦
40
6.5 Z变换的基本性质
•线性 •位移性 •序列线性加权（ Z 域微分） •序列指数加权（ Z 域尺度变 换） •初值定理和终值定理 •时域卷积和 Z 域卷积定理
41
基本性质
线性：表现为叠加性和均匀性
若：
Z [x ( n ) ] = X ( z )
1、 Z变换式的一般形式
b0 + b1 z + " br −1 z + br z X ( z) = k −1 k a0 + a1 z + " + ak −1 z + ak z
第六节 Z 变 换
Z xn 1 z X ( z) x(1)
1
Z xn 2 z X ( z) z x(1) x(2)
2 1
三、频移性质（Ｚ域尺度变换）：
If x ( n ) X(z )
j0 n
ROC : R
then 1. e
x n X e
j0z k源自 z 1 j 0 j 0
1 e z e z cosk 0 k j 0 j 0 e z 1 e z 1 2 z z cos 0 2 z 2 z cos 0 1
2
z z cos 0 k cosk 0 k 2 z z 2 cos 0 1
2
a 1 b 1 z a b z a b a z b
1 k 1 k 1 x ( k ) * h( k ) a b k a b
七、序列除(k+m)（Z域积分）
If f ( n) F ( z )
z 2. F2 z 2 . z z 3 1
f 2 k ?
2 2 2
解：
1 z z z 1. F1 z 1 2 2 z 1 z 1
cos 0;
2
k f1 k k cos 2
k
z 2. F2 z 2 z z 3 1
3 2
z 1
解：
F ( z) 2 6 8 13 2 z z z z 1 z 0.5
k
f (k ) 2 k 1 6 k (8 130.5 ) k
z变换公式
z变换公式在信号处理领域中，z变换是一种将离散时间序列转换为复频域的工具。
它在数字信号处理、控制系统分析和通信工程等领域中广泛应用。
本文将详细介绍z变换的概念、特性以及常见的z变换公式。
一、z变换的概念z变换是对离散时间信号进行频域分析的一种方法。
它类似于傅里叶变换，但傅里叶变换只适用于连续时间信号，而z变换适用于离散时间信号。
通过将离散时间序列表示为z的幂级数形式，可以将离散时间信号在复频域中进行表示和分析。
z变换的定义如下：X(z) = Z{x(n)} = ∑[ x(n) * z^(-n)] （1）其中，x(n)是离散时间序列，X(z)是x(n)的z变换。
二、z变换的特性与傅里叶变换类似，z变换也具有线性性、时移性、共轭性和卷积性质。
下面对每个特性进行详细讨论。
1. 线性性z变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及离散时间序列x1(n)和x2(n)，有以下公式成立：Z{a * x1(n) + b * x2(n)} = a * X1(z) + b * X2(z) （2）其中，X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的z变换。
2. 时移性z变换具有时移性质，即对于离散时间序列x(n - k)，其z变换为Z{x(n - k)} = z^(-k) * X(z)。
3. 共轭性z变换具有共轭性质，即如果x(n)的z变换为X(z)，则x*(-n)的z 变换为X*(1/z*)，其中，*表示共轭。
4. 卷积性质z变换具有卷积性质，即对于离散时间序列x1(n)和x2(n)的卷积序列y(n) = x1(n) * x2(n)，其z变换为Y(z) = X1(z) * X2(z)，其中，*表示乘法运算。
三、常见的z变换公式根据z变换的定义和特性，可以得到一些常见的z变换公式，下面将逐个进行介绍。
1. 常数序列对于常数序列x(n) = C，其z变换为X(z) = C * (1 - z^(-1)) / (1 - z^(-1))。
信号分析第六章第一节z变换及收敛域
X
15
4 斜变序列 x(k)k(k)
第
页
Z[k(k)]
kzk
z
k zk1
z [d (zk)]
k0
k0
k0 dz
z d[ d zk0
zk]z
z
z1
z (z1)2
k(k) z
(z 1)2
RO:C z1
kak1(k)
z (za)2
ROC: z a
X
第
16
页
k2(k) k2zk
z(z1)
离散系统的Z变换分析
连续系统的拉氏变换分析
X
4
第
第一节 Z 变 换
页
一.Z变换的提出—由拉氏变换引出
连续信号 等间隔采样 抽样信号
x s(t) x (t)T (t) x (t) (t k)T x (k)T ( t k)T
k 0
k 0
单边拉氏变换
X s (s)
0
x(kT) (t kT)est dt
★反因果序列的ROC为 z R的2 圆内区域；
即X(z) 最小的模值极点为半径的圆内区域 注意:收敛域是否包含z=0需判断. ★双边序列的因果和反因果序列的收敛域存在公共域,
ROC为R1 z R2圆环状,不存在公共区域z变换不存在.
★ ROC内不包含任何极点（以极点为边界）；
★有限长序列的ROC为整个 z 平面 0 z
k 0
x(kT) (t kT)est dt 0 k 0
x(kT)eskT 引入连续复变z 量 esT
k 0
取 T1 X S(s) x(k)Z kX (Z ) k 0
X
5
说明:
第 页
第6章 Z变换
主要内容
定义和收敛域 有理z变换 逆z变换 z变换的性质 有限长序列卷积的计算 传输函数
概述
z变换是离散时间傅立叶变换的推广形式 对于很多序列，其离散时间傅立叶变换不存 在，但其z变换存在 对于实值序列，其z变换是复数变量z的实有 理函数 z变换是数字滤波器设计和分析的重要工具 在z域中，LTI离散时间系统的表示由其传输 函数给出
逆z变换
使用查表法计算逆z变换 使用部分分式展开法求逆变换 P253 例6.14
有用性质的证明
共轭性质 时间反转性质 线性性质 P258 例6.22
有限长序列卷积计算
线性卷积 圆周卷积
线性卷积
两序列x[n],h[n]的线性卷积和y[n] 的z变换 Y(z)可以由x[n]和h[n]的z变换相乘获得 例6.30 6.31
LTI离散时间系统传输函数的表示
FIR数字滤波器 有限维LTI IIR离散时间系统
FIR数字滤波器
冲激响应h[n]定义在区间N1≤n≤N2上，在区间 外有h[n]=0，传输函数为：
H ( z) =
n= N1
h[n]z − n ∑
N2
对于因果FIR滤波器，0≤N1≤N2，所以所有极 点均在z平面的原点处 H(z)的收敛域是除了z=0的整个z平面 P267 例6.33
用极点表示的稳定性条件
基于冲激序列h[n]给出BIBO稳定性：
n = −∞
∑ h[n] < ∞
+∞
问题：对于无限冲激响应系统，稳定性条件很 难检测 解决：用传输函数H(z)的极点位置来表示稳定 条件。 P272 例6.36 例6.37
用极点表示的稳定性条件
通过傅立叶变换H(ejω)的存在性来验证其冲激 响应是否绝对可和：
第六章 Z 变换及其应用
1.单位样值序列δ(n)
Z [ ( n )] ( n ) z n 1
n 0
(n) 1
第六章
Z 变换及其应用
27
2.单位阶跃序列 u(n)
Z [u(n )] z
n 0
n
1 1 | z | 1 1 1 z
z | z | 1 z 1
第六章
RX | z | RX
(6.2-4)
式(6.2-4)表明双边序列的收敛区是以 RX-为内径，以RX+为外径 的一环形区；而当RX+ < RX-时，X(z)的双边Z变换不存在。
第六章
Z 变换及其应用
22
例6.2-5 已知双边序列x(n)=c|n|，c为实数，求X(z)。
c n n 0 |n| x(n) c n c n0
第六章
Z 变换及其应用
11
例6.2-2 已知序列x(n)=RN(n)，求X(z)。 解
X ( z ) z n 1 z 1 z 2 z ( N 1)
n 0
N 1
1 z N 1 z 1
收敛域为0<|z|≤ ∞
第六章
Z 变换及其应用
12
2.
左边序列是无始有终的序列，即n1→-∞，如图6.2-3所示。 左边序列的Z变换为
n x ( n ) z n2
X ( z)
n
当n2>0时，将左边序列的X(z)分为两部分
n | x ( n ) z | n2 n n | x ( n ) z | | x ( n ) z | n 0 1 n2
Z变换的定义可由抽样信号的拉氏变换引出。连续信号的理
《数字信号处理》第六章 Z变换
第一节 Z变换的定义
例1：求 x(n)=(1/2)nu(n) 的z变换
解：
X (z)
x(n)zn
(1)nu(n)zn
z
n
n
n 2
n0 2
例2：求 x(n)=-(1/2)nu(-n-1)的z变换
解：
X (z)
x(n)zn
A( z )
1 za
1 a
1 1 1
z
a
按等比级数有
A(z)
1 a
(1
1 a
z
1 a2
z2
)
at
{
1 a
,
1 a2
,
1 a3
,, ,
1 a n 1
,)
第四节 Z反变换
当 a 1时，
A( z )
z
1 a
11 z 1 az 1
按等比级数有
A(z) 1 (1 az1 a2 z2 ) z
解：
Z [u(n)] 1 , z 1
1 z
Z [u(n 3)] z3
1
z3 ,
z 1
1 z 1 z
Z [x(n)] 1 z3 z2 z 1, z 1 1 z 1 z
例4 已知序列x(n)的z变换为X(Z)，求
7X(z)+3zX(z)+8z2X(z) +z3X(z) +6z5X(z)所对应的信号
k
zk
k 0
1 1 z
这是一个等比级数，当|z|<1时，该级数收敛。
信号与系统第六章Z变换
差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的 作用下，其输出信号不会无限增长， 则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点 位置和类型来分析系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分 ，则系统是稳定的；否则，系统是不 稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允 许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如 果两个信号在时间上相乘，那么它们 的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因 为它允许我们通过将两个信号相乘来 得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表 示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领 域的重要基础课程，其中第六章z变换 是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数 学工具，用于分析离散时间信号和系 统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变 换转换为复数序列，用于分析离散时间系统 的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应， 了解系统在不同频率下的性能表 现。
z变换公式
z变换公式什么是z变换z变换是一种离散信号处理中常用的数学工具，用于描述数字信号在复平面上的变换。
它通过将离散时间序列转换为连续时间函数，可以对离散信号进行频域分析和滤波等操作。
z变换的定义如下：假设x[n]是一个离散时间序列，其中n为整数，z为复平面上的变量。
那么x[n]的z变换X(z)定义为：X(z) = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] * z^(-n)其中，∑表示求和，x[n]表示离散时间序列的值，z^(-n)表示z的幂次方。
z变换的性质z变换具有多种性质，这些性质对于分析和操作离散信号非常有用。
以下是一些常见的z变换性质：如果x1[n]和x2[n]是两个离散时间序列，a和b是常数，那么有：a * x1[n] +b * x2[n] 的z变换为 a * X1(z) + b * X2(z)其中，X1(z)和X2(z)分别为x1[n]和x2[n]的z变换。
位移性质如果x[n]的z变换为X(z)，那么x[n - n0]的z变换为 z^(-n0) * X(z)。
这个性质表示，对离散时间序列进行向右或向左位移，相当于在z变换域中乘以一个因子 z^(-n0)。
延迟性质如果x[n]的z变换为X(z)，那么x[n - 1]的z变换为 z^(-1) * X(z)。
这个性质表示，对离散时间序列进行一阶延迟，相当于在z 变换域中乘以一个因子 z^(-1)。
如果x[n]的z变换为X(z)，那么a^n * x[n]的z变换为X(z/a)。
这个性质表示，对离散时间序列进行放缩操作，相当于在z 变换域中对变换函数进行放缩。
z变换的逆变换类似于傅里叶变换，z变换也有逆变换，可以将频域函数逆变换回时域函数。
如果X(z)是一个z变换，那么其逆变换x[n]可以通过下面的公式计算：x[n] = (1/2πj) * ∮(C) X(z) * z^(n-1) * dz其中，∮(C)表示沿着包围复平面单位圆的逆时针方向进行积分，j表示虚数单位。
z变换知识点总结
z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。
与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。
本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。
二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。
2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。
而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。
3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。
z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。
z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。
三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。
这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。
2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。
这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。
3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。
初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。
终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。
z变换通俗理解
z变换通俗理解摘要：1.Z 变换的定义与背景2.Z 变换的性质3.Z 变换的应用领域4.Z 变换与其他变换的关系5.Z 变换的局限性及发展前景正文：Z 变换是一种在控制工程、信号处理等领域广泛应用的数学变换方法。
它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地分析和处理信号。
1.Z 变换的定义与背景Z 变换是一种拉普拉斯变换的广义形式，用于解决离散时间信号的处理问题。
Z 变换的基本思想是将离散时间信号转换为一个复变量函数，使得该函数在复平面上具有解析性。
2.Z 变换的性质Z 变换具有以下几个重要性质：（1）线性性：Z 变换满足线性组合的性质；（2）可逆性：存在逆Z 变换，可以将频域信号转换回时域信号；（3）移位性：Z 变换结果与原始信号的移位关系；（4）尺度变换性：Z 变换结果与原始信号的尺度变换关系。
3.Z 变换的应用领域Z 变换在控制工程、信号处理、通信系统等领域具有广泛应用。
例如，在控制系统稳定性分析、数字滤波器设计、信号调制与解调等方面，Z 变换都是重要的分析工具。
4.Z 变换与其他变换的关系Z 变换与傅里叶变换、拉普拉斯变换等数学变换方法有密切关系。
Z 变换可以看作是离散时间信号的拉普拉斯变换，而傅里叶变换则是连续时间信号的拉普拉斯变换。
在一定条件下，Z 变换可以转换为傅里叶变换或拉普拉斯变换。
5.Z 变换的局限性及发展前景尽管Z 变换在许多领域具有广泛应用，但它仍然存在一些局限性，如对于非线性系统、非平稳信号的处理能力较弱。
为了解决这些问题，研究者们不断提出新的变换方法，如W 变换、H 变换等。
z变换总结
z变换总结什么是z变换z变换是一种在信号处理和控制系统中广泛使用的数学工具，用于在z平面上对离散信号进行分析和处理。
它可以将一个离散时间序列转换为复平面上的函数，从而使得离散信号的频域特性能够被研究和分析。
z变换的公式表示如下：$$ X(z) = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}{x(n) \\cdot z^{-n}} $$其中，X(z)是信号的z变换，x(n)是离散时间信号。
z变换的性质z变换具有一些重要的性质，这些性质有助于简化信号处理过程，并且在频域分析中提供了有用的工具。
线性性质z变换是线性的，即对于任意常数a和b，满足以下等式：$$ a \\cdot X_1(z) + b \\cdot X_2(z) = a \\cdot \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}{x_1(n) \\cdot z^{-n}} + b \\cdot \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}{x_2(n) \\cdot z^{-n}} $$移位性质当信号在时间域中发生平移时，其在z变换中的表示也会相应地发生平移。
假设信号x(n)的z变换为X(z)，那么对于平移k个单位的信号x(n−k)，其z变换为$z^{-k} \\cdot X(z)$。
延时性质信号在时间域中的延时操作可以通过z变换的乘法操作来表示。
假设信号x(n)的z变换为X(z)，那么对于延时k个单位的信号x(n+k)，其z变换为$z^{k}\\cdot X(z)$。
单位样本响应性质单位样本是一个离散时间信号，只在n=0处取值为1，其它时刻均为0。
单位样本的z变换表示为X(z)=1。
倒置性质信号在时间域中的倒置操作可以通过z变换的操作来表示。
假设信号x(n)的z变换为X(z)，那么倒置后的信号x(−n)的z变换为X(z−1)。
z变换与傅里叶变换的关系z变换是傅里叶变换的离散形式，通过在z平面上进行积分，可以将离散信号转换为连续信号，从而进行频域分析。
第六章(1) Z变换
k1
k2
k
6.1例6.1-2求因果序列
0 f1(k) = a ε (k) = k a
k
k <0 k ≥0
Im[z]
变换(式中a为常数). 的z变换(式中a为常数). 解: F (z) = 1
|a| 0
k =∞
∑a ε (k)z
k
∞
k
= ∑(az )
k =0
∞
Re[z]
1 k
1 z = 1 az1 = z a
z b ε (k 1) z b z k (b) ε (k 1) z +b
k
z <b z <b
令b=1,则有 b=1,
a=e
± jβ
则有
z e ε (k) jβ z e z jβk e ε (k) jβ z e
jβk
z ε (k 1) z <1 z 1 z >1
z >1
本节小结
1,Z变换的确定 , 变换的确定 2,收敛域的确定 2,
因果序列的收敛域
z>a
平面上, |z|>|a|是一个半径为|a|的圆 是一个半径为|a| 在z平面上, |z|>|a|是一个半径为|a|的圆 外区域,称其为象函数F(z)的收敛域,如图所示. F(z)的收敛域 外区域,称其为象函数F(z)的收敛域,如图所示. 显然它也是单边z变换的收敛域. 显然它也是单边z变换的收敛域. 它也是单边
6.1.4z变换 - z变换二性质(精品文档)
信信号号处处理理与与系系统统
（双边）
u(n 1) u(n 1)zn zn
n
n1
1
z
1
z 1
（单边） u(n 1) u(n) (n 1)
1
z 1 z1
1 1 z1
z 1
（双边）
信信号号处处理理与与系系统统
四、 z变换的性质
单、双边 z 变换的许多性质都相同，但也有一些显著不 同，我们将一起讨论其性质的同异。
0、共轭对称性 （单、双边）
若x(n) X (z) 收敛域R，则 x*(n) X *(z*) 收敛域R 当 x(n) 是实信号时，x*(n) x(n) 于是有
X (z) X *(z*)
表明如果 X (z)有复数零极点，必共轭成对出现。
信信号号处处理理与与系系统统
1、 x(n) X (z) 收敛域 r1 | z | r2
则 x(n n0 ) X (z)zn0 收敛域 r1 | z | r2
n0
n0
nanu(n) az1 (1 az1)2
| z || a |
信信号号处处理理与与系系统统
3、时域翻转 （双边）
(收敛域边界倒置)
若 x(n) X (z) 收敛域R，则 x(n) X (z1) 收敛域1/R
例2： 求 x(n) anu(n) 的z变换。
解:
若 x(n) X (z) 收敛域R，则 nx(n) z dX (z) 收敛域R dz
利用该性质可以方便地求出某些非有理函数X(z)的反变换， 或具有高阶极点的X(z)的反变换。
例1： 求 x(n) nanu(n) 的z变换
第六章离散系统的Z域分析
z z F (z) （ a z b ） za zb
a z 当 1且 1即a z b 收敛 z b
j Im [z ]
b
0
a
Re [ z ]
5
由上可知 （1） z变换的收敛域与f(k) 与z值的范围有关，两 个不同的序列由于收敛域不同可能对应于同一个z 变换，为了单值的确定z变换对应的序列，在给出 序列的z变换式的同时，必须明确其收敛域。
m
n m
f (n)z
1
n m
f (n)z
n
1
n
]
]
14
z f ( k m ) ( k ) f ( k m )z
k 0
k
z
m
f (k m )z
k 0
( k m )
z
m
z [ f ( n)z
n 0
m m 1 n 0
据定义
zkf ( k )
k 1
z ( kz
k
d k d z z f (k ) z F ( z ) dz k dz
时域序列线性加权的z变换为原序列象函数微 20 分后乘以（z）
kf (k )z dz ) f ( k ) z [ dz
k k
k
k
] f (k )
推广：
m
d m k f ( k ) ( z ) F ( z ) ( 1 z 2 ) dz
d m ( z ) F ( z )表示对F ( z )求导并乘以 ( z )共m次 dz
z 例4、 若 已 知 z[ ( k )] ,求 斜 变 序 列 k ( k )的z变 换 z 1
Z变换知识点范文
Z变换知识点范文Z变换是其变量为离散信号的连续复平面变换。
它在离散系统分析中扮演着重要的角色，具有广泛的应用。
下面是一些关于Z变换的知识点：1.Z变换的定义：Z变换将一个离散序列表示为复平面上的函数，通过对序列各个元素进行加权求和来定义。
给定一个序列x[n]，它的Z变换为X(z)，表示为X(z)=Z{x[n]}。
2.Z变换的收敛域：Z变换中的收敛域是指Z平面上的有效区域，其中Z变换收敛并且定义良好。
对于一个离散序列x[n]，它的Z变换收敛域由序列的性质决定。
3.常见的Z变换公式：Z变换有一些常见的公式，包括前向差分公式、后向差分公式、Z域的微分公式、Z域的积分公式等等。
这些公式可以用来简化复杂的序列计算，方便分析和设计离散系统。
4.Z域和频域之间的关系：Z变换可以将一个离散序列从时间域转换到Z域，相当于从时域到频域的变换。
在Z域中，可以分析序列的频率响应和系统的稳定性等。
5.Z变换的性质：Z变换具有一些重要的性质，包括线性性质、时移性质、尺度性质、卷积定理等。
这些性质可以用于简化Z变换的计算和分析。
6.倒Z变换：倒Z变换是Z变换的逆变换，将一个函数从Z域转换回时域。
通过倒Z变换可以还原离散序列的时间信息。
7.离散传输函数和Z变换：离散系统可以用传输函数来描述，传输函数是输入和输出之间的关系。
通过Z变换可以得到离散传输函数的Z域表达式，从而进行系统的分析和设计。
8.Z变换在离散系统设计中的应用：Z变换在离散系统设计中有广泛的应用，包括信号滤波、频率域分析、系统稳定性分析等。
通过Z变换，可以方便地进行离散系统的建模和分析。
9.Z变换和傅里叶变换的关系：10.递归和非递归系统的Z变换表示：递归系统和非递归系统在Z域中有不同的表示方法。
递归系统的传输函数是有理多项式，而非递归系统的传输函数是多项式。
总之，Z变换是离散信号处理中的重要工具，可以用来描述和分析离散系统。
通过Z变换，可以方便地进行系统的建模、分析和设计，有助于了解离散信号的频率特性、系统的稳定性等。
13第6章 Z变换
第六章 Z变换Z变换是最重要的一种分析方法。
Z变换把描述离散时间系统的差分方程变换成代数方程，使得求解大大简化。
Z变换是分析离散时间系统的一个重要的数学工具。
2012 第六章 Z 变换6.1. Z 变换的定义及收敛域Z 变换的定义 若序列为()n x ，其Z 变换(Z 是一个复变量, Z=Re(z)+jIm(z))定义为：()()[]()∑∞-∞=-==n nzn x n x Z Z X （1）Z 变换的收敛域 只有（1）式的幂级数收敛时，上述Z 变换才有意义。
因此，Z 变换的收敛域是使（1）式的幂级数收敛的Z 值的集合。
根据级数理论，（1）式收敛的充分必要条件是满足绝对可和的条件，即()∞<=∑∞-∞=-M zn x n n, （2）要满足上述等式，z 值必须在一定的取值范围，这个取值范围就是收敛域。
不同的序列形式其收敛形式不同。
2012 第六章 Z 变换1、有限长度序列该类序列只在有限区间内21n n n ≤≤才存在非零值，此区间以外，序列值全部为零。
此时，该序列的Z 变换为：()()()∑∑=-∞-∞=-==21n n n nn nzn x zn x Z X （3）()()()()()()21121211101n n n n n n nz n x x z n x z n x z n x Z X ----=-++++++=∑ ＝对于（ 3）式，由于其求和范围在一个有限长度区间进行，只要求和式的每一个单项的绝对值不为∞即可。
（n 1<0时，z 不能取无穷大，n 2>0时，z 不能取0）很显然，在()n x 有界的前提下，z 的取值除开0，∞外，其它所有区域的取值均满足使（3）式绝对可和的条件。
其收敛域是()∞,0。
在21,n n 特殊取值条件下，收敛域还可进一步扩大。
01≥n ，只要0≠z , 此式即绝对可和，故其收敛域为],0(∞ 02≤n 只要∞≠z , 此式即绝对可和，故其收敛域为),0[∞2012 第六章Z变换2、右边序列右边序列是1n n <时()0=n x 的序列。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
***反因果序列f(k)的象函数F(z)的收敛域为 z的 圆内区域。 z 的 圆也称为收敛圆。
***双边序列f(k)的象函数F(z)的收敛域为环状区 域 z 。
***不同序列的双边Z变换可能相同，即序列与其 双边Z变换不是一一对应的。序列的双边Z变换连同 收敛域一起与序列才是一一对应的。
k
k
k 1
1
1 b1z
1
1
b1z b1z
Im[z]
z zb
zb
|b| 0
Re[z]
在z平面上，|z|<|b|是半径为|b| 的圆内区域，如图所示。
反因果序列的收敛域
如有双边序列 f (k) f2(k) f1(k) bk (k 1) ak (k)
其双边z变换
z z F (z) F2(z) F1(z) z b z a
za
bk (k 1) z z b
zb
bk (k 1) z z b
zb
若已知 Fz,则 其原函数不唯一.如:
Fz z
z2
f k 2k k 或 f k 2k k 1
因此,Z变换必须标明收敛域,才和它的原函数一一对应.
***对于有限长序列，其双边z变换在整个z平面 （可能除z=0或∞外）收敛。
k
k
取上式的双边拉普拉斯变换，考虑到：
Lb[ (t kT )] eksT 其双边拉普拉斯变换为：
F (s) Lb[ fs (t)] f (kT )eksT 令z e sT k
上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示，即
F (s) Lb[ fs (t)] f (kT )eksT 令z e sT k
可见，如果f(k)是因果序列，则单、双边z变换相等。
Z变换简记为： f (k ) F (z)
三、收敛域
和拉氏变换一样,Z变换也有一个收敛区间的问题.
对任意序列 f k 的Z变换 Fz ,使Fz 存在的Z值 的取值范围称为 Fz 的收敛域.
F(z)
f (k)zk和
F(z) f (k)zk
k
k0
是z的幂级数，所以，仅当该幂级数收敛，即
f (k)zk
k
序列 f (k )的z变换 存在的充要条件。
序列 f 的kz变换才有意义。 绝对可和条件。
例6.1-1求以下有限长序列的z变换：
(1) (k),(2) f (k) {1 2 3 2 1}
k 0
解（1）单位序列的z变换
F (z) (k)zk (k)zk 1
F (z) f (kT )zk k
序列f(kT)的双边z变换
F (z) zesT F (s) 取样信号fs(t)的双边拉氏变换
z e 复变量z与s的关系是：
sT
1
s ln z
T
为了简便，序列仍用f(k)表示，如果序列是由连续信号 f(t)经取样得到的，那么
f (k) f (kT ) f (t) t kT
在z平面上， |z|>|a|是一个半径为|a|的圆 外区域，称其为象函数F(z)的收敛域，如图所示。
显然它也是单边z变换的收敛域。
例6.1-3 求反因果序列
f2
(k
)
bk
(k
1)
bk 0
k0 k0
的z变换（式中b为常数）。
1
解：F2(z) bk k 1 zk bk zk bk zk
限长序列z变换的收敛域一般为0＜|z|＜∞，有
时它在0和∞也收敛。
k
k1
k2
例6.1-2求因果序列
f1(k
)
a
k
(k
)
0 a k
k0 k0
的z变换（式中a为常数）。
解： F1(z) ak (k)zk (az1 )k
k
k0
1 1 az1
z za
za
Im[z]
|a| 0
Re[z]
因果序列的收敛域
因此,Z变换和拉氏变换在变换的性质上及利用它们来 做系统分析上,都有很多相似之处。
Z变换可以直接从数学角度进行定义,也可以利用 拉普拉斯变换引出。
§6.1 z变换
一、从拉普拉斯变换到z变换
由教材§4.9可知，对连续时间信号进行均匀冲激取样 后，就得到离散时间信号。
取样信号可写为：Байду номын сангаас
fs (t) f (t)T (t) f (t) (t kT ) f (kT ) (t kT )
（1）当|b|>|a|时，双边z变换 在该域存在；
|a|<|z|<|b|
Im[z]
（2）当 b 时a ，F1(z)和F2(z)没 有共同收敛域，f(k)的双边z变 换不存在；
|b|
|a|
0
Re[z]
（3）对于双边z变换必须 标明收敛域，否则其对应序 列将不是唯一的。
双边序列的收敛域
ak (k) z z a
k
k0
即 (k) 1
可见，其单边、双边z变换相等。由于其z变换 是与z无关的常数1，因而在z的全平面收敛。
(2) f (k) {1 2 3 2 1}
k 0 序列f(k)的双边z变换为：
F ( z )
f
k
(k)zk
z2
2z
3
2 z
1 z2
其单边z变换为： F ( z )
k0
f
(k)zk
其中T为取样周期（或间隔）。
二、z变换
如有离散序列 f (k)(k 0,1,2, )z为复变量，则函数
F (z) f (k)zk 称为序列f(k)的双边z变换。 k
如果求和只在k的非负值域进行，即
F (z) f (k)zk 称为序列f(k)的单边z变换。 k0 还可以写成 F (z) f (k) (k)zk k
3
2 z
1 z2
可见：*单边与双边z变换不同；
*对双边z变换，除z=0，和∞外对任意z，
F(z)有界，故其收敛域0＜|z|＜∞；
*对单边z变换，其收敛域|z|＞0。
F ( z )
f
k
(k)zk
z2
2z
3
2 z
1 z2
可见，如果序列f(k)是有限长的，即当k＜K1 和k＞K2（K1，K2为整常数，且K1＜K2）时 f(k)=0, 那么其象函数F(z)是z的有限次幂z-k(K1≤k≤K2) 的加权和，除z=0，∞外，F(z)有界，因此，有
第六章 离散系统的z域分析
第三章中我们讨论了离散时间系统的时域分析法,重点 介绍了差分方程的求解方法。在连续时间系统中,为避免 解微分方程的困难,可以通过拉氏变换把微分方程转换为 复频域的代数方程。基于同样的理由,在离散时间系统中, 为了避开解差分方程的困难,也可以通过一种称为Z变换 的方法,把差分方程转换为Z域的代数方程。